1. 引言
经典风险模型的研究已经取得了大量的成果，但在实际问题研究中由于存在着许多干扰因素，使模型的应用不是很理想.在文献[1] 中，将经典模型推广得到一带稀疏过程的风险模型。保险公司在收取保费的同时也伴随着一定的风险，再保险是有效的分散风险的一个途径，文献[2] [3] 从变破产下限、干扰、随机利率和比例再保险等方面将其进行了推广，文献[4] 加入了支付红利因素。本文在此基础上考虑了多因素模型的建立，给出了模型的破产概率的Lundberg不等式与最终破产概率的一般表达式。
2. 模型的建立和符号
在完备的概率空间上，考虑了保险公司向投保人支付红利的盈余过程可以表示成
对此模型我们做如下假设：
1)为初始财富值(即初始准备金)；为每张保单的平均保费到达率；为再保险比例系数，；为保险公司向投保人支付的红利，；为扰动系数，为标准的维纳过程；为破产下限，这里假设，。
2) 比例再保险通常有下列表示
：表示原保险公司自留保险；：表示再保险公司分出风险；
：表示原保险公司责任风险；：比例再保险系数。
则，。
3)为保险公司在时刻为止售出的保单总数；为保险公司到时刻为止理赔的保单总数；假设是参数为的齐次Possion过程，是的稀疏过程，其中，不妨记这一过程为
则有，
4)表示第次的索赔额，且是非负独立同分布随机变量序列，；的期望。
3. 主要引理
引理3.1：1) 盈利过程具有平稳独立增量性。
2)为保险公司在内的利润，这里一般假设，得到相对安全系数。
1) 证明：令，
则
注：由随机点过程的知识可知与一般是不独立的，但是与
是一定相互独立的。
所以，、是相互独立的，
而
所以
，
又因为
均相互独立，
所以是独立增量过程。
又因
因均有、
的分布都只依赖于,所以具有平稳增量性。
综上可知，盈余过程具有平稳独立增量性。
2)
即
令，则为相对安全系数。
注：数值越大表示保险公司的运营稳定性越好，越小则表示保险公司之间的竞争越强。当,则。
引理3.2：对于赔付盈余过程，存在一函数，使得
证明：由于具有平稳独立增量，则
其中表示索赔额的矩母函数，令
定义3.1：方程的非零正解记为，称其为调节系数，相应地，方程叫做调节系数方程。
引理3.3：方程有唯一正解。
证明：1) 当时，可知，
由矩母函数的定义可得：,所以有。
3)，
4) 因为时，，
所以，当时，为严格向下凸函数，且，，所以正解存在且唯一。
引理3.4：存在一个适当的自留比例系数使得总收益最大。
此处所采用的风险均值–方差度量原则(文献[5] [6] )是在方差一定的原则下，研究了收益最大化下风险最小的自留比例水平，为保险公司与再保险公司提供一定的依据。
总收益的期望：
总收益的方差：
目标是使得原保险公司风险最小、总收益最大，可知这是一个双目标规划问题。在此，可以先假设保险公司的风险一定，即，求出收益最大化时的自留比例。此模型可以用Lagrange乘数法来求解。Lagrange函数：
令是下面方程组的解：
由上可解得，即固定风险大小为时，存在一个适当的自留比例系数使得总收益最大。
4. 主要结果
定义4.1：破产时刻；破产概率.
定理4.1：为鞅,其中，.
证明：对，
定理4.2：最终破产概率满足Lundberg不等式，即。
证明：令，由于是破产时刻，可知为是一停时，设为一常数，则为一有界停时，由引理和停时定理可得：
(1)
从而
取可得，所以
定理4.3：在风险模型下，最终破产概率为
其中，为调节系数。
证明：在定理4.2的(1)式中，取，令，则
因为，由强大数定律可知，当，有
又由控制收敛定理得：
因此，
(2)
上式(2)中，两端分别令，即得
.
参考文献