1. 引言
狄利克雷积分
在工程技术，阻尼振动中有广泛的应用，其被积函数不能用初等函数表示，
不能直接计算[1] -[3] 。文[4] 介绍了9种算法，大致是通过二重积分、级数、等式、收敛因子法计算出
。本文介绍了四种狄利克雷积分证明方法，其中证法一和二是两种经典的证明方法[5] ，本
文对证法二进行了适当的改进，在一定程度上简化了其证明的复杂度；证法三和四是本文在传统证明方法的基础上，将复变函数与积分变化、傅里叶变换相结合提出的两种新的证明方法，与传统的证明方法相比，本文提出的方法较好的改善了狄利克雷积分证明的复杂度，而且在不同条件下都可进行有效的推广。本文介绍的狄利克雷积分的四种证明方法详细证明过程如下。
2. 传统的狄利克雷积分证明方法与改进
第一个证明方法是利用
傅里叶积分表达式来证明。
证明一：函数
的傅里叶积分表达式为：
，故
当
，就有
。
下面要介绍的第二种证法是用柯西–古萨定理和约当引理来证明。
证明二：
,
先考虑
沿着下图的积分路径
由柯西–古萨定理，有
令
则有
，
所以
，即
,(1)
由约当引理二可知
，剩下只要求出
的值就可以了。
的洛朗展式为：
,
在
是解析的，
，当
充分小时，
，当r充分小时，
故
，即
，代入(2)式中有
该证明方法比较复杂，上述证明中
可以改良为如下证明：
证明：因为
在整个复平面上处处解析，故其和积分路径无关，只与起点和终点有关，则
.
3. 基于复变函数与积分变换的狄利克雷积分证明
第三种证明方法是本文新提出的方法，利用像函数的积分性质进行证明，证明方法如下：
证明三：像函数的性质为：如果
的拉普拉斯变换
收敛，则
(2)
上式中令
得到：
，利用这个式子，令
，则有
可以看出，基于像函数的性质进行证明非常简单，很大程度上简化了狄利克雷积分证明的复杂度。
4. 基于复变函数与积分变换的狄利克雷积分证明
本文提出的另一种方法是基于复变函数和傅里叶变换进行证明的，方法如下：
证法四：
的傅里叶变换为
由傅里叶变换的对称性质：
令
，
，即
。
5. 结论
狄利克雷积分
是积分学中著名的积分，许多重要积分的计算最后都化为此积分，本文在
传统的狄利克雷积分证明进行了改进，并在此基础上，将复变函数与积分变换、傅里叶变换相结合，提出了两种新的狄利克雷积分证明的方法，较好的简化了狄利克雷积分证明的复杂度。
基金项目
国家自然科学基金(11201354)。