1. 引言
关于Hamilton矩阵的特征值问题在数学及力学的很多方面都有重要的应用，如谱的计算以及相关的不变子空间刻画等等，于是得到了诸多学者的广泛关注，如文献[1] -[3] 。此外。引进连续时间变量的代数Riccati方程：
其中，则可以证明该方程的解且是对称矩阵[4] [5] 。
令表示阶复矩阵，表示阶实矩阵，则形如
的阶矩阵称为Hamilton矩阵[6] ，其中矩阵，，其中表示矩阵的共轭转置。如果定义阶矩阵，其中是n阶单位矩阵，则Hamilton矩阵显然满足关系
已经知道，实Hamilton矩阵的特征值关于实轴和虚轴是对称的[7] [8] ，也就是说当，如果和均不为零，则，，也是该Hamilton矩阵的特征值。但是这种情况对于复Hamilton矩阵不一定成立。例如，令复Hamilton矩阵为
则的特征值是0，2i，±1+i，并不关于实轴对称。我们知道，如线性二次型最优控制，控制等问题中常常用到Hamilton矩阵的特征值关于实轴和虚轴对称这一性质，甚至要求其特征值是实数或纯虚数，即其在实轴或虚轴上。因此，在本文中，我们着重讨论复Hamilton矩阵有实特征值或纯虚特征值的充分条件，还求得了一类特殊的复Hamilton矩阵，其特征值并不一定在实轴或虚轴上，但是关于实轴和虚轴是对称的。
在本文中，符号表示维列向量。表示矩阵。，和C分别表示实数，纯
虚数和复数。表示矩阵的共轭转置，表示矩阵的转置，和分别表示复数的实部和虚部，表示矩阵的谱集，即全体特征值的集合。
2. 预备知识
首先，我们引入以下引理：
引理2.1：设是复Hamilton矩阵, 则
1)的特征值关于虚轴对称；
2) 若。则有，即的特征值关于实轴和虚轴对称。
证明：1) 设，是对应于的特征向量，即成立，给该式两边取共轭得到
又，代入上式得，然后等式两边右乘，结合，得到
，
进而有
据引理2.2，得，又可逆，进而有。故结论成立。
2) 当时,，由于
.
其中
且，故矩阵与和相似，进而。再考虑到
即得的特征值关于实轴和虚轴对称。
定义：设是对称矩阵，如果对任意的向量，都有成立，则称是非负矩阵。
引理2.2：设是非负矩阵，则当且仅当。
证明：充分性显然成立，我们只需证明必要性。利用Schwarz不等式，很容易证明下列不等式
对于任意向量，都成立。故不妨令，，则有
从而可得，结论成立。
3. 主要结果
定理3.1：设是复Hamilton矩阵，如果矩阵非负可逆，且，则有下面结论：
1) 矩阵的特征值是实数或纯虚数，即；
2)当且仅当，即的特征值关于原点对称。
证明：设，是对应于的特征向量，即成立
整理可得
由于是可逆的，所以有
已知
据引理2.2：假设，则,而非负可逆，从而得，则，显然矛盾。故，从而
即。
接下来，我们证明是关于原点对称的。令，向量是对应的特征向量，取向量，则且
从而可知。
故当时，类似地，可以证明。
类似地，由定理3.1也可得下面推论。
推论3.2：设是复Hamilton矩阵，如果是非负可逆矩阵，且，则有
注：定理3.1和3.2表明，在或是对称矩阵的条件下，复Hamilton矩阵的上述性质类似于实Hamilton矩阵，即Hamilton矩阵的特征值关于实轴和虚轴对称。
推论3.3：设是复Hamilton矩阵，若，(或，)且，则。
证明：当，，或，时
从而。
推论3.4：设是复Hamilton矩阵，若，。且对任意的向量，，满足(或，且)，则。
证明：不失一般性，不妨假设，，且对任意的向量，，有，则有
令，U是对应的特征向量，即有，则有
又由于，则由上式可得
即。证明完毕。
类似地，可以得出下面的推论。
推论3.5：设是复Hamilton矩阵。若，(，)，且，那么。
以上结论说明在某些特定的条件下，复Hamilton矩阵的特征值关于实轴和虚轴对称。
定理3.6：设是复Hamilton矩阵。如果是一个斜对角分块矩阵，，是对角分块矩阵，那么的特征值关于实轴和虚轴对称。
证明：当是斜对角分块矩阵，，是对角块矩阵时，不妨令，，，，且令向量是对应的特征向量，即
令，我们同样可以得到
从而得，当且仅当。
又由引理2.1知，H的特征值关于虚轴对称，因此H的特征值关于实轴和虚轴对称。证明完毕。
定理3.7：设是复Hamilton矩阵，令，。
，如果，，且对于任意的向量，，(或，，且)，那么。
证明：显然满足，其中
因此，矩阵与矩阵相似，从而有。任取，且令是对应的特征向量，则有
其中，，整理可得
给第一式左乘，第二式左乘，然后两式相加得
再给第一式左乘，第二式左乘，然后两式相加得
方程(2)两边取共轭转置可得
给方程(1)左乘，给方程(3)右乘，然后两式相加得
这意味着
如果，，且对于任意的向量，，(或，且)，则。从而，故，证明完毕。
项目基金
国家自然科学基金(批准号：11101200)，内蒙古大学校级本科生创新培养基金(批准号：2012128)。
NOTES
*通讯作者。
参考文献