1. 引言
规范型方法是研究微分方程定性和分岔(尤其是动态分岔)的重要工具。在分岔分析中，若能将系统的某种分岔约化至其对应的规范型，就可以知道系统的结构。下面考虑如下的含参系统：
(1.1)
其中，，，充分光滑。先考虑参数维的情形。假设(1.1)在时有平衡点，并且其雅可比矩阵在有一对共轭虚数特征值，此外再没有实部为零的特征值(临界特征值)。此时，当在0附近扰动时，若(1.1)发生Hopf分岔，其规范型为[1] [2] ：
(1.2)
其中和是在附近限制在分岔中心流形上的状态变量，分岔发生的条件为：第一Lyapunov系数满足 (非退化)和 (横截性)。若引入，则得到如下的复规范型：
(1.3)
引入复变量，由高阶项不影响平衡点附近的拓扑结构，(1.3)可化为截断规范型 [1] [2] ：
(1.4)
从而可以通过上面标准规范型的分岔图 [3] (如图1)，获得(1.3)在对应参数下的结构。
若，则Hopf分岔退化为余维以上的情形，对应余维情形的Bautin分岔的规范型为 [1] [2] ：
(1.5)
此时参数维，为第二Lyapunov系数，余维分岔发生的条件为：，。若引入复变量，由(1.5)可得到如下的截断规范型：
Figure 1. Hopf bifurcation diagram of (1.4) with
图1. 系统(1.4)的Hopf分岔图，
(1.6)
从而可以通过上面标准规范型的分岔图 [3] [4] (如图2)，获得(1.5)在对应参数下的结构。
附注1：若给定系统的临界参数或平衡点不为0，可以通过参数或变量平移，使其具有(1)的形式。
附注2：对于本文所考虑的对称系统之特殊情形，规范型(1.2)，(1.3)和(1.4)最后余项的指数应相应增加。
关于规范型(1.3)和(1.4)中临界Lyapunov系数和的计算，已有相关结果发表 [4] - [6] 。但对其中开折参数，和的计算公式却很少见。鉴于对称系统的特殊性，本文作者在文献 [7] 中给出了余维的Takens-Bogdanov分岔开折参数的显式计算公式，而在本文中给出Hopf和Bautin分岔临界规范型系数以及开折参数的显式计算公式。
2. 临界规范型系数的计算公式
引理2.1 [3] ：复系统其中，，或2，，，且，，能够通过光滑依赖于参数的可逆复坐标变换(对充分小的)：
(2.1)
约化为下面仅含有共鸣项的系统：
(2.2)
其中，。
系统(1.1) 在临界情形下，由其对称性，右端可如下展开：
(2.3)
Figure 2. Bautin bifurcation diagram of (1.6) with, , ,
图2. 系统(1.6)的Bautin分岔图，，，，
其中，，，，。在时，由(1.1)仅有一对虚数临界特征值，存在特征向量满足：
定理 1 系统(1.1)相应于Hopf和Bautin分岔的第一和第二Lyapunov系数的临界值计算公式分别为：
(2.4)
(2.5)
其中，和可分别通过如下的线性方程来解出：
证明：记为由和所生成的临界特征空间。在此临界情形下，将(1.1)限制在2维不变中心流形上：
(2.6)
从而受限系统为：
(2.7)
将(2.6)和(2.7)代入(1.1)的临界方程得到同调方程：
(2.8)
另一方面，任意向量都可以表示为：
(2.9)
将(2.9)代入(2.8)，同调方程成为：
(2.10)
再将展开如下：
(2.11)
其中待定。根据引理2.1，，将其连同(2.11)代入(2.10),并将(2.10)的右端按(2.3)展开，比较两端项的系数得到如下的奇线性方程：
由于
于是有
利用，从而得到第一Lyapunov系数的临界值公式(2.4)。
若,则需要计算第二Lyapunov系统来判断分岔余维是否为。此时，由引理2.1得到，，将其和(2.11)一起代入(2.10)后，通过比较两端项的系数得奇线性方程：
类似前面，通过将上面方程的两端共轭左乘，得到第二Lyapunov系数的临界值计算公式(2.5)。通过比较项的系数，得到求解的线性方程：
其中可通过解如下的扩展方程(维)来确定：
3. 广义开折参数的计算公式
下面将在临界参数值0附近扰动，并计算对应的开折参数。设系统(1.1)此时的特征值为，显然有。相应于(2.3)的展开式为：
(3.1)
其中，，类似。此情形下，对于充分小的，存在参数依赖的向量和满足：
定理 2 系统(1.1)相应于Bautin分岔的开折参数的计算公式为：
(3.2)
(3.3)
Hopf分岔的余维是，其规范型 (1.3)中的开折参数。
证明：此情形下，与(2.10)相应的同调方程为：
(3.4)
与(2.11)对应的展开形式则为：
(3.5)
而且满足引理2.1中的(2.2)。将(2.2)，(3.5)代入(3.4)，并按(3.1)展开，通过类似于前面的计算得到：
下面考虑将(2.2)化为规范型(1.3)的形式。引入时间变换因为，所以对于充分小的，时间方向不变，(2.2)在此变换下成为：
注意到上面系统中非线性项系数为复数的情形，现引入新的时间满足
其中待定，将上面的系统约化为：
当取，时，上面系统的非线性项系数为实数，从而化成了规范型(1.5)，并且有：以及
4. 应用实例
考虑如下改变van der Pol振子 [8]
(4.1)
的Bautin分岔。容易验证：当，时，(4.1)在平衡点有特征值，。按(2.3)展开有：。规范化的临界特征向量计算为：
，。
利用定理1的公式(2.4)立即得到。若，则Hopf分岔退化
为余维以上情形。此时，通过定理1的公式计算和，然后代入(2.5)直接得到：
。
在临界值附近扰动参数和：。
为精简起见，我们任取下面的参数值，，，计算得：
，，
，，。再利
用定理2的公式(3.2)和(3.3)计算得到：，。最后，计算(1.6)中的开折参数，对照分岔图2知道，此时系统在分岔对应的二维中心流形上，其相图结构为②，在平衡点附近存在唯一不稳定的极限环。
项目基金
广东省自然科学基金(No.s2012040006688)和广东省教育厅科技创新项目(No.2012KJCX0073)资助。
参考文献