1. 引言

在图论中，我们将有向图和无向图统称为图，其中任意两个点都存在一条路径称为连通图；若 $\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个有向图， $v\in V$ 。以 $v$ 为起点的有向边的个数称为 $v$ 的出度，记作 $d^{+}\left(v\right)$ ；而以 $v$ 为终点的有向边的个数称为 $v$ 的入度，记作 $d^{-}\left(v\right)$ 。我们令 $d\left(v\right)=d^{+}\left(v\right)+d^{-}\left(v\right)$ ，叫做点 $v$ 的度数；若图的顶点 $V$ 可划分为两个互不相交的非空子集 $U$ 和 $W$ (即 $V=U\cup W$ 且 $U\cup W=\varnothing$ )，并且图中每一条边的两个端点分别属于两个不同的子集，则称该图为二部图。

在本文中，所有的图都是有限连通图。

我们令 $\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个连通图，其中 $V$ ， $E$ 分别表示顶点集、边集，我们用 $A$ 表示弧集。图 $\Gamma$ 的全体自同构的集合在映射乘法之下组成一个群，叫做图 $\Gamma$ 的自同构群，记作 $Aut\Gamma$ 。具体来说，若G分别作用在 $V$ ， $E$ 或 $A$ 上是传递的，相应地，我们称图 $\Gamma$ 是G-点传递，G-边传递或G-弧传递的。

在群与图的研究中，对于传递图的分类一直以来是一个热门的话题，特别是对于特定阶数图的分类。在上世纪七十年代，Chao对素数阶对称图进行研究[1]，开启了特定阶数对称图刻画与分类，为后续学者的深入研究奠定了基础；随后，Alspach和Sutcliffe对2p阶的点传递图进行了猜想[2]，这一猜想激发了许多读者广泛的研究兴趣；众多学者在此基础上进行了深入研究，并取得一系列重要成果，如p、2p、3p阶对称图已经得到了分类[3]-[5]；此外，Praeger在文中给出了两个不同素因子乘积阶的对称图分类[6]；化小会，冯衍全教授等人分别给2pq阶5度和7度对称图分类[7] [8]；蓝婷和凌波给出4p阶11度对称图的完全分类[9]。从阶数角度进行了剖析，通过分析图的结构特征，群的作用以及对称性等方面，为进一步理解代数图论提供了支撑和丰富案例。

本原性作为群作用的一种特殊类型，它在刻画对称图方面具有重要作用，我们称群G作用在集合 $\Omega$ 上是本原的，当且仅当 $\Omega$ 上不存在非平凡的G不变划分。特别地，对于图 $\Gamma =\left(V,E\right)$ 若 $G\le Aut\Gamma$ 在边集 $E$ 上的作用是本原的，那么称图 $\Gamma$ 是G-边本原的。对于边本原图的研究，最早起源于Weiss对3度边本原图的研究[10]，如完全二部图 $K_{3,3}$ 、Heawood图和Biggs-Smith图等。近年来，边本原图的研究取得了显著进展。2010年，Giudici和李才恒教授系统地运用O’Nan-Scott定理对边本原图和边拟本原图进行分析[11]，详细阐述了可能的边和顶点作用类型，并给出了丰富多样的实例，确定了一些特殊情况下的边本原。随后，郭松涛教授、冯衍全教授和李才恒教授对4度边本原展开了研究[12]，并确定了4度边本原图包括完全图 $K_5$ 、co-Heawood和完全二部图 $K_{4,4}$ 等，这些结果明确了4度边本原图的具体类型。同样的相关研究，郭松涛教授和冯衍全教授等人也对5度边本原图进行了分类[13]，证明了所以有限5度边本原图都是2-弧传递的，并给出了相应的自同构群，点稳定自群和边稳定子群。研究发现，边本原图的边稳定子群在度数不超过5时是可解的，而度数大于5时可能不可解，基于此，吴辞旋教授和潘江敏教授证明了6度边本原图是2-弧传递的[14]，且除了 $K_{6,6}$ 外自同构群几乎是单群，还确定了具有可解边稳定子群的6度边本原图。

在边本原图研究的基础上，李才恒教授等人证明了当图 $\Gamma$ 是一个连通的非平凡的G-边本原图且 $\Gamma$ 是G-弧传递的[11]，则满足 $\Gamma$ 是G-点本原的、G-双本原的或G局部非本原的。并进一步提出了双本原图的概念，我们设 $\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个简单连通的二部图，其中 $V=U\cup W$ ，其中 $U$ 和 $W$ 被称为二部图的分部，令 $G\le Aut\Gamma$ ，若 $G$ 中存在一个指数为2的正规子群 $G^{+}$ ，即 $G^{+}$ 满足 $\left|G:G^{+}\right|=2$ ，且 $G^{+}$ 在两个分部 $U$ 和 $W$ 上作用是本原的，则我们称图 $\Gamma$ 是 $G$ -双本原的

实际上对于双本原图的研究，最早可追溯到1985年，Ivanov和Iofinova对3度的双本原边传递图进行了完整的分类[15]；随后，李才恒和张华教授对4度双本原图进行了分类[16]；最近，蔡琦和路在平教授完成了双本原边传递5度图的分类工作[17]，特别的，他们证明了双本原半对称5度图存在且唯一。

基于以上的研究，我们将以6度边本原图为研究对象，利用 $G^{+}$ 在 $U$ 上作用是非忠实的，来讨论6度双本原图的分类，给出本文的主要结果：

定理1.1 在非忠实的作用下，6度双本原边本原图只有 $K_{6,6}$ 。

2. 预备知识

本节将介绍一些重要的定义，引理和定理。

我们首先给出群作用的定义，如下：

定义2.1 [18]设 $\Omega =\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\cdots \}$ 是一个非空集合，其元素称作点， $S_{\Omega }$ 表示 $\Omega$ 上的对称群。所谓群G在 $\Omega$ 上的一个作用 $\phi$ 指的是G到 $S_{\Omega }$ 内的一个同态，即对每个元素 $x\in G$ ，对应 $\Omega$ 上的一个变换 $\phi \left(x\right):\alpha \to {\alpha }^x$ ，并满足 ${\left({\alpha }^x\right)}^y={\alpha }^{xy}$ ， $x,y\in G$ ， $\alpha \in \Omega$ 或者 $\phi \left(xy\right)=\phi \left(x\right)\phi \left(y\right)$ ， $x,y\in G$ 。如果 $Ker\phi =1$ ，则称G在 $\Omega$ 上的作用是忠实的。如果 $Ker\phi =G$ ，则称G在 $\Omega$ 上的作用是非忠实的。

接下来是代数图论中的相关概念的介绍，我们始终假设 $\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个简单的连通图。令 $v$ 的所有邻域的集合为 $\Gamma \left(v\right)=\left\{u\in V|\left(v,u\right)\in E\right\}$ ，邻域 $\Gamma \left(v\right)$ 称为 $v$ 的度数。

引理2.2 [19]图的自同构保持顶点的度数不变，对于映射后的顶点 $u=g\left(v\right)$ 与 $v$ 有相同的度数。

证明：设 $N\left(v\right)$ 表示由顶点 $v$ 在图 $\Gamma$ 中的所有邻点诱导的子图，则 $g\left(N\left(v\right)\right)=N\left(g\left(v\right)\right)=N\left(u\right)$ 。因此 $N\left(v\right)$ 和 $N\left(u\right)$ 是图 $\Gamma$ 的同构子图，它们具有相同的顶点数，所以 $v$ 和 $u$ 的度数相同。

若图的自同构群G作用在边集上是本原的，我们称这个图是G-边本原图。关于边本原图有下面的一些经典结论：

引理2.3 [11]如果 $\Gamma$ 是一个连通的G-边本原图，并且满足以下情况之一成立：

1) 若G不是点传递(可得出 $\Gamma$ 是星图)

2) 若G是点传递但不是弧传递的，通过边稳定子和点稳定子可得圈图的性质

3) G是点传递和弧传递的

基于引理2.3的结果，我们可以进一步讨论边本原图在弧传递的条件下，有下面的结论：

引理2.4 [11]设 $\Gamma$ 是一个连通的非平凡的G-边本原图，那么 $\Gamma$ 是G-弧传递的，并且满足以下情况之一成立：

1) $\Gamma$ 是G-点本原的

2) $\Gamma$ 是G-双本原的

3) $\Gamma$ 是G本原图的扩张，且该图是G局部非本原的

本原群作为一类特殊的置换群，它在群论的发展历史上有重要意义，1990年O’Nan Scot和Praeger通过对本原置换群的结构进行分类，揭示了群的内在性质。最终得出了下面重要结果。

定理2.5 (O’Nan Scot-Praeger定理[20])设G是集合 $\Omega$ 上的本原置换群，如果 $N=Soc\left(G\right)=T^k$ 为G的唯一极小正规子群，T为非交换群，给定 $v\in \Omega$ 。则G为以下八种情形之一：仿射型(HA)，几乎单型(AS)，单对角型(SD)，扭圈积型(TW)，乘积作用型(PA)，全形单型(HS)，全形复合群型(HC)，复合对角型(CD)。

最后我们以一个6度边本原图的分类结果来结束本节。

引理2.6 [21]设 $\Gamma$ 是一个6度边本原s-传递连通图，其中 $2\le s\le 4$ ，令 $e=\left\{v,w\right\}$ 是一条边， $v$ 是顶点。则自同构群 $Aut\left(\Gamma \right)$ ，点稳定子 $Aut{\left(\Gamma \right)}_v$ 和边稳定子 $Aut{\left(\Gamma \right)}_e$ ，如下表1所示：

Table 1. Classification of 6-valent edge-primitive graphs

表1. 6度边本原图的分类

3. 证明定理1.1

设 $\Gamma =\left(V,E\right)$ 是一个6度连通的二部图，其中 $V=U\cup W\left(U\cap W=\varnothing \right)$ ，G是边本原的，其中 $G^{+}⊲G$ ， $\left|G:G^{+}\right|=2$ ，且 $G^{+}$ 在 $U$ 和 $W$ 两个分部上作用是本原的。若 $G^{+}$ 在 $U$ 上的作用是非忠实的，则 $\Gamma =K_{6，6}$ 。

如果若 $G^{+}$ 在 $U$ 上的作用是非忠实的，设 $K=\left\{g\in G^{+}|g\cdot u=u,\forall u\in U\right\}$ 是 $G^{+}$ 在 $U$ 作用的核，因为 $G^{+}$ 作用在 $U$ 是非忠实的，所以 $K$ 是非平凡的。

假设 $K$ 作用在 $W$ 上也是非忠实的，则存在非单位元 $k\in K$ 使得 $k\cdot w=w$ 对所有 $w\in W$ 成立。由于因为 $V=W\cup U$ ，且 $K$ 在 $U$ 和 $W$ 上作用是平凡的，即 $K$ 是 $G^{+}$ 在 $V$ 上的核，这与 $G^{+}$ 在 $V$ 上作用是忠实矛盾。因此 $K$ 作用在 $W$ 上一定是忠实的。 $K$ 是 $G^{+}$ 的正规子群，因为对于任意 $g\in G^{+}$ 和 $k\in K$ ，有 $g^{-1}kg\in K$ ，且 $G^{+}$ 在 $W$ 上作用是本原的。则 $K$ 在 $W$ 上作用是忠实且传递的。

由于 $K$ 在 $W$ 上是传递的，对于任意 $w_i,w_j\in W$ $\left(1\le i,j\le 6\right)$ ，存在 $k\in K$ 使得 $w_i^k=w_j$ 。因为 $\Gamma$ 是6度连通二部图，因此对于任意 $u\in U$ ， $\left|\Gamma \left(u\right)\right|=6$ 。假设存在 $w_7\in W$ ，对于某个 $u\in U$ 有 $\left\{u,w_7\right\}\notin E$ 。由于 $K$ 作用在 $W$ 上是传递的，且 $K\le G^{+}$ ， $\forall w_i\in \Gamma \left(u\right)$ ，存在 $k\in K$ 使得 $w_i^k=w_7$ 。然而 $G^{+}$ 是边传递的，且 $\Gamma$ 是6度连通二部图，这意味着任意 $u\in U$ 和 $w\in W$ 都有边相连，这与假设矛盾，所以 $\Gamma =K_{6,6}$ 。

因为 $K_{6,6}$ 是一个完全二部图，其中 $\left|U\right|=\left|W\right|=6$ ，且任意 $u\in U$ 和 $w\in W$ 之间都有边相连。因此，由引理2.5和表1，可知 $\Gamma$ 的自同构群 $Aut\Gamma$ 是 $S_6\wr S_2$ 。因为 $G^{+}$ 在 $U$ 和 $W$ 上作用是本原的，且 $G^{+}⊲G$ ，G的结构必须满足 $Z_6\le G^{+}$ 或 $Z_2\times Z_3\le G^{+}$ 。

综上， $G^{+}$ 在 $U$ 上的作用是非忠实的条件下，6度连通二部图 $\Gamma$ 只有完全二部图 $K_{6,6}$ 。

参考文献