DOI: 10.12677/orf.2025.152076, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 陈洪楠：上海理工大学理学院，上海
关键词: 交换环；交换模；局部化；交换半环；半模；Commutative Ring； Commutative Module； Localization； Commutative Semiring； Semimodule

文章引用：陈洪楠. 交换环的局部化及其模的局部化[J]. 运筹与模糊学, 2025, 15(2): 198-205. https://doi.org/10.12677/orf.2025.152076

1. 绪论

1.1. 引言

本文中的环是指有单位元的结合环，符号 $C\left(R\right)$ 表示 $R$ 的中心， $N\left(R\right)$ 表示 $R$ 的幂零元集， $J\left(R\right)$ 表示 $R$ 的Jacobson根。对于 $x\in R$ ， $r\left(x\right)$ 和 $l\left(x\right)$ 分别表示x的右零化子和左零化子。设 $K$ 是 $R$ 的非零右理想，如果对 $R$ 的任何非零右理想 $K^{\prime }$ 均有 $K\cap K^{\prime }\ne 0$ ，则称 $K$ 为 $R$ 的本质右理想。令 $Z_r\left(R\right)=\left\{x\in R|r\left(x\right)为R的本质右理想\right\}$ ，那么 $Z_r\left(R\right)$ 是 $R$ 的理想，称它为 $R$ 的右奇异理想，类似地可定义左奇异理想(以上概念参见[1])。

设 $I$ 是 $R$ 的一个非空子集，如果对于任意 $x\in I$ ，均有 $1-x\notin I$ 并且 $r\left(1-x\right)=0$ ，则称 $I$ 为 $R$ 的补右零化子集[2]。类似地可定义补左零化子集。易知， $N\left(R\right)$ ， $J\left(R\right)$ ， $Z_r\left(R\right)$ 是 $R$ 的补右零化子集； $N\left(R\right)$ ， $J\left(R\right)$ ， $Z_r\left(R\right)$ 是 $R$ 的补左零化子集。

环的交换性的研究是经典环论的重要课题。自1945年以来，许多学者对此做了深入的研究，获得了丰富的研究成果。Pinter-Lucke在文献[3]中介绍了这一领域1950年至2005年期间的研究成果，其后的主要工作可参见[4]-[6]及其参考文献。众所周知，对任意乘法群 $G$ ，如果存在正整数 $m$ ，使得所有 $x,y\in G$ 均满足 ${\left(xy\right)}^{m+k}=x^{m+k}{y}^{m+k}$ ，其中 $k=0,1,2$ ，那么 $G$ 是交换群。Ligh和Richoux在文献[7]中证明了这一结论对于环也成立；魏俊潮等在文献[8] [9]推广了这一结论，证明了对于环 $R$ ，如果存在正整数 $m$ ，使得所有 $x\in R\backslash N\left(R\right)$ 均满足 ${\left(xy\right)}^{m+k}=x^{m+k}{y}^{m+k}$ ，其中 $k=0,1,2$ ，那么 $R$ 是交换环；杨倩等在文献[10]证明如果用Jacobson根 $J\left(R\right)$ 代替 $N\left(R\right)$ ，那么 $R$ 也是交换环；杜巧利和孙建华在文献[11]中证明了如果用右奇异理想 $Z_r\left(R\right)$ 代替 $N\left(R\right)$ ，那么 $R$ 仍是交换环，他们还证明了对于环 $R$ ，如果存在正整数 $m$ ，使得所有 $x\in R,y\in R\backslash Z_t\left(R\right)$ 均满足 ${\left(xy\right)}^{m+k}=x^{m+k}{y}^{m+k}$ ，其中 $k=0,1,2$ ，那么 $R$ 是交换环。Bell在文献[12]中进一步推广了[8] [9]的结论，证明了对于环 $R$ ，如果存在正整数 $m$ ，使得所有 $x,y\in R\backslash N\left(R\right)$ 均满足 ${\left(xy\right)}^{m+k}=x^{m+k}{y}^{m+k}$ 或者对于所有 $x,y\in R\backslash J\left(R\right)$ 均满足 ${\left(xy\right)}^{m+k}=x^{m+k}{y}^{m+k}$ ，其中 $k=0,1,2$ ，那么 $R$ 是交换环。

1.2. 定义和引理

定义1.2.1 设 $R$ 为交换环， $S$ 为 $R$ 中的乘法闭子集，即 $\forall a,b\in S$ ，有 $ab\in S$ ，在 $R\times S$ 上定义二元关系： $\left(a,s\right)~\left(a^{\prime },s^{\prime }\right)\iff \exists t\in S$ ，使得 $t\left(s{a}^{\prime }-s^{\prime }a\right)=0$ ，其中～是等价关系，等价类集合记为 $S^{-1}R$ 。 $S^{-1}R$ 关于分式的加法和乘法形成环，称为 $R$ 关于乘法闭子集 $S$ 的分式环。更多交换环的研究工作可参考文献[13]。

引理1.2.2 映射 $i_s:R\to S^{-1}R,x\to \frac{sx}{s}\left(s\in S\right)$ 为标准环同态，且对 $\forall s\in S$ ， $i_s\left(s\right)$ 是 $S^{-1}R$ 的可逆元。

引理1.2.2 对于环 $R^{\prime }$ 和环同态 $f:R\to R^{\prime }$ ，如果对于所有的 $s\in S$ ， $f\left(x\right)$ 是 $R^{\prime }$ 中的可逆元，则存在唯一的环同态 $g:S^{-1}R\to R^{\prime }$ ，使得 $g{i}_s=f$ 。

定义1.2.2 设 $R$ 为交换环， $M$ 是 $R-$ 模， $S$ 为 $R$ 中的乘法闭子集，即 $\forall a,b\in S$ ，有 $ab\in S$ 且 $1\in S$ ，在 $R\times S$ 上定义二元等价关系：

$\left(a,s\right):\left(a^{\prime },s^{\prime }\right)\iff \exists t\in S$ ，使得 $t\left(s{a}^{\prime }-s^{\prime }a\right)=0$ ，等价类集合记为 $S^{-1}M$ 。 $S^{-1}M$ 关于分式的加法和乘法形成 $S^{-1}R-$ 模，称为 $R-模$ $M$ 对于 $R$ 乘法闭子集 $S$ 的分式模。

引理1.2.3 若映射 $f:M\to N$ 是 $R-$ 模同态，则存在唯一的 $S^{-1}R-$ 模同态: $g:S^{-1}M\to S^{-1}N$ 使得 $g\left(x/1\right)=f\left(x\right)/1$ ，对任意的 $x\in M$ 都成立。

引理1.2.4 若 $M$ 是 $N$ 的子模，则由同态 $M\to N$ 诱导的同态 $S^{-1}M\to S^{-1}N$ 是单射的，且 $S^{-1}R-$ 模 $S^{-1}\left(N/M\right)$ 与 $S^{-1}N/S^{-1}M$ 同构。

引理1.2.5 若映射 $f:M\to N$ 是 $R-$ 模同态， $S$ 为 $R$ 中的乘法闭子集，则映射 $S^{-1}f:S^{-1}M\to S^{-1}N,m/s\to f\left(m\right)/s$ 是 $S^{-1}R-$ 模同态，且如果 $g:N\to P$ 也是 $R-$ 模同态，则 $S^{-1}\left(gf\right)=S^{-1}\left(g\right)S^{-1}\left(f\right)$ 。

2. 交换环的局部化

2.1. 交换环的局部化的基本性质

定义2.1.1 设 $R$ 是环， $S$ 是 $R$ 的非空子集，约定 $1\in S$ 而 $0\notin S$ 。若 $\forall a,b\in S$ ，有 $ab\in S$ ，则称 $S$ 是 $R$ 的乘法集。

定义2.1.2 设 $S$ 是 $R$ 的乘法集，则可以定义剩余类 $\frac{R\times S}{~}$ ，其中 $\left(a_1,s_1\right)~\left(a_2,s_2\right)\iff \exists s\in S$ ，使得 $s\left(s_2{a}_1-s_1{a}_2\right)=0$ 。我们把等价类 $\left[\left(a,s\right)\right]$ 记为 $\frac{a}{s}$ ，于是 $\frac{R\times S}{~}=\left\{\text{}\frac{a}{s}|a\in A,s\in S\right\}$ ，其中的形式分数满足约分原理。然后可以在 $\frac{R\times S}{~}$ 上定义加法和乘法：

$\frac{a_1}{s_1}+\frac{a_2}{s_2}=\frac{a_1{s}_2+a_2{s}_1}{s_1{s}_2}$

$\frac{a_1}{s_1}\cdot \frac{a_2}{s_2}=\frac{a_1{a}_2}{s_1{s}_2}$

于是 $\left(\frac{R\times S}{~},+,\cdot \right)$ 构成一个环，称为 $R$ 对 $S$ 的局部化环，记为 $S^{-1}R$ 。

2.2. 交换整环的局部化性质

定理2.2.1 (嵌入定理)设 $A$ 是整环， $S$ 是 $A$ 的乘法集，则映射 $i:\begin{array}{c}A\to S^{-1}A\\ a\mapsto \frac{a}{1}\end{array}$ 是单射。

证明：设 $\frac{a}{s}=0=\frac{0}{1}$ ，则存在 $t\in S$ ，使得 $ta=t\left(a\cdot 1-s\cdot 0\right)=0$ 。而 $0\notin S$ ，所以 $t\ne 0$ ，只能是 $a=0$ ，所以 $\ker \left(i\right)=0$ ，即 $i$ 是单射。证毕。

设 $S$ 是 $A$ 的非零因子集合，即 $S=\left\{a\in A|b\ne 0\Rightarrow ab=0\right\}$ ，则称局部化 $S^{-1}A$ 是 $A$ 的分数环。当 $A$ 是整环时，这就是我们熟知的分数域。

命题2.2.1 设 $A$ 是整环， $F$ 是 $A$ 的分数环，则 $F$ 是域。

证明：设 $\frac{a}{s}\in F-0$ ，由嵌入定理可知 $a\ne 0$ ，所以 $a$ 不是零因子，即 $a\in S$ ，而 $\frac{s}{a}\cdot \frac{a}{s}=\frac{a}{s}\cdot \frac{s}{a}=1$ ，所以 $\frac{a}{s}$ 可逆，即 $F$ 是域。证毕。

定理2.2.2 设 $A,B$ 是环， $S$ 是 $A$ 的乘法集， $f:A\to B$ 是环同态，且满足 $f\left(S\right)\subset B$ 。则存在唯一的环同态 $g:S^{-1}A\to B$ ，使得 $g\left(\frac{a}{1}\right)=f\left(a\right)$ 。

证明：对 $\frac{a}{s}\in S^{-1}A$ ，取 $g\left(\frac{a}{s}\right)=\frac{f\left(a\right)}{f\left(s\right)}$ ，容易验证取法唯一，且 $g\left(\frac{a}{1}\right)=\frac{f\left(a\right)}{f\left(1\right)}=f\left(a\right)$ 。又 $g\left(\frac{a}{s}\cdot \frac{b}{t}\right)=\frac{f\left(ab\right)}{f\left(st\right)}=\frac{f\left(a\right)f\left(b\right)}{f\left(s\right)f\left(t\right)}=g\left(\frac{a}{s}\right)\cdot g\left(\frac{b}{t}\right)$ ，

所以 $g$ 是同态。唯一性是显然的。证毕。

2.3. 交换整环的局部化例子

推论2.3.1 设 $A$ 是环， $S$ 是非零因子集合， $K=S^{-1}A$ 是分数环。如果 $T\subset S$ 也是乘法集，则 $T^{-1}A$ 同构于 $K$ 的子环 $L=\left\{\frac{a}{t}|a\in A,t\in T\right\}$ 。

例2.3.1 设 $A=Z,S=Z^{\times }$ ，则 $S^{-1}A=Q$ 。又设 $T=\left\{2k+1|k\in Z\right\}\subset S$ ，则 $T^{-1}A=\left\{\frac{n}{m}|m是奇数，n\in Z\right\}$ 是 $Q$ 的子环。

推论2.3.2 设 $D$ 是整环，环 $A\subset D$ ， $K，L$ 分别是 $A,D$ 的分数域，则 $K\subset L$ 。

例2.3.2 设 $A=C\left[t^2,t^3\right]$ ， $D=C\left[t\right]$ ，于是 $A\subset D$ 都是整环。取 $A,D$ 的分数域 $K,L$ ，则 $C\subset K\subset L\subset C\left(t\right)$ 。而 $t=\frac{t^3}{t^2}\in K$ ，所以 $\left(C,t\right)=C\left(t\right)\subset K$ ，故 $K=L=C\left(t\right)$ 。

2.4. 交换半环的局部化

设 $R$ 为有1的交换半环，以下简称半环， $R$ 的乘法封闭子集总假定是包含1的。设 $S$ 是一乘法封闭子集，在 $R\times S$ 上按如下方式定义一个二元关系：

$\left(x,s\right)\equiv \left(y,t\right)\iff xtu=ysu$

对某个 $u\in S$ 成立， $\equiv$ 是 $R\times S$ 上的等价关系。用 $S^{-1}R$ 表示 $R\times S$ 按等价关系 $\equiv$ 所作的划分， $x\cdot s$ 表示 $\left(x,s\right)$ 所在的等价类[14]。

可按如下方式在 $S^{-1}R$ 上定义加法和乘法

$a/s+b/t=\left(at+bs\right)/st$

$\left(a/s\right)\left(b/t\right)=ab/st$

则可证明，加法定义合理，即

$\begin{array}{c}a/s=a^{\prime }/s^{\prime }\\ b/t=b^{\prime }/t^{\prime }\end{array}\}\Rightarrow \left(at+bs\right)/st=\left(a^{\prime }{t}^{\prime }+b^{\prime }{s}^{\prime }\right)/s^{\prime }{t}^{\prime }$

由

$\begin{array}{l}a{s}^{\prime }u=a^{\prime }su,对某个u\in S\hfill \\ b{t}^{\prime }v=b^{\prime }tv,对某个v\in S\hfill \end{array}$

对第一个式子两边乘以 $t{t}^{\prime }v$ ，第二个式子两边乘以 $s{s}^{\prime }u$ ，再两式相加即得。类似可证明乘法定义合理，且 $S^{-1}R$ 按上述加法和乘法成一个有单位元的交换半环，称 $R$ 为对于 $S$ 的分式半环。

对于半环也可定义同态。并假定同态保持单位元。可以证明 $f\left(x\right)=x/1$ 定义了 $R$ 到 $S^{-1}R$ 的半环同态。则这个同态具有如下性质：

命题2.4.1 设 $g:R\to R^{\prime }$ 是半环同态，且对任一的 $s\in S$ ， $g\left(s\right)$ 都是 $R^{\prime }$ 的可逆元，那么存在唯一的一个半环同态 $h:S^{-1}\to R^{\prime }$ 使得 $g=h\cdot f$ 。

3. 交换模的局部化

3.1. 模的局部化定义及性质

与环的局部化类似，设 $S$ 是 $A$ 的乘法集，我们可以讨论 $A$ 上模 $V$ 的局部化： $S^{-1}V:=S^{-1}A{\otimes }_{A}V$ ，我们有更具体的构造方式[15] [16]。

定义3.1.1 设 $A$ 是环， $S$ 是 $A$ 的乘法集， $V$ 是 $A$ 的模。定义剩余类 $\frac{V\times S}{~}$ ，其中 $\left(v_1,s_1\right)~\left(v_2,s_2\right)\iff \exists s\in S$ ，使得 $s\left(s_2{v}_1-s_1{v}_2\right)=0$ 。我们把等价类 $\left[\left(v,s\right)\right]$ 记为 $\frac{v}{s}$ ，于是 $\frac{V\times S}{~}=\left\{\text{}\frac{v}{s}|v\in V,s\in S\right\}$ ，其中的形式分数满足约分原理。然后可以在 $\frac{V\times S}{~}$ 上定义加法和乘法：

$\frac{v_1}{s_1}+\frac{v_2}{s_2}=\frac{v_1{s}_2+v_2{s}_1}{s_1{s}_2}$

$\frac{a}{s}\cdot \frac{v}{t}=\frac{av}{st}$

于是 $\left(\frac{V\times S}{~},+,\cdot \right)$ 构成一个环，称为 $V$ 对 $S$ 的局部化环，记为 $S^{-1}V$ 。

性质3.1.1 设 $V$ 是 $A$ 模，则 $S^{-1}V$ 是 $S^{-1}A$ 模；

性质3.1.2 设 $f:U\to V$ 是 $A$ 模的线性变换，则 $S^{-1}f:S^{-1}U\to S^{-1}V$ 是 $S^{-1}A$ 的线性变换；

性质3.1.3 设 $f:U\to V$ 和 $g:V\to W$ 都是 $A$ 模的线性变换，则有 $S^{-1}\left(g\circ f\right)=S^{-1}g\circ S^{-1}f$ ；

性质3.1.4 设 $U\to V\to W$ 是 $A$ 模的正合列，则 $S^{-1}U\to S^{-1}V\to S^{-1}W$ 也是 $S^{-1}A$ 模的正合列。

3.2. 半模及其同态，商半模

设 $R$ 为半环， $M$ 为一有0的加法半群。 $M$ 称为半模，若在 $R$ 和 $M$ 之间定义了数乘，满足对 $\forall a,b\in R,m,n\in M$ ，则

(1) $a\cdot \left(m+n\right)=a\cdot m+a\cdot n$ ；

(2) $\left(a+b\right)\cdot m=a\cdot m+a\cdot n$ ；

(3) $a\cdot \left(b\cdot m\right)=\left(ab\right)\cdot m$ ；

(4) $1\cdot m=m$ ；

(5) $0\cdot m=0$ ；

(6) $a\cdot 0=0$ 。

设 $M,N$ 是两个半模，可以按明显方式定义半模的同态( $R-$ 线性映射)。特别要求 $f\left(0\right)=0$ ，半环上的半模范畴的说法自然是成立的。

下面考虑半模如何作商。

$M$ 上的一个二元关系 $\Lambda$ 称为一个共轭，如果 $\Lambda$ 是一个等价关系且 $x\Lambda y,x^{\prime }\wedge y^{\prime }\Rightarrow x+x^{\prime }\wedge y+y^{\prime },\forall x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in M$ ， $x\wedge y\Rightarrow ax\wedge ay,\forall x,y\in M,a\in R$

记 $M/\Lambda$ 为由 $\Lambda$ 所划分的等价类的集合。 $\bar{x}$ 记 $x\in M$ 所在的等价类，则易证 $M/\Lambda$ 按如下的加法和数乘而成为一半模：

$\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y},a\bar{x}=\overline{ax},$

且 $f:x\mapsto \bar{x}$ 确定 $M\to M/\Lambda$ 的 $R$ 半模同态，称为 $M/\Lambda$ 为 $M$ 对共轭 $\Lambda$ 的商模。

命题3.2.1 设 $f^{\prime }:M\to n$ 为一 $R$ 半模同态，如果 $\forall x,y,x\wedge y\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)\wedge f^{\prime }\left(y\right)$ ，则存在唯一的 $R$ 半模同态 $h$ 使 $f^{\prime }=h\cdot f$ 。

证明：唯一性： $\forall \bar{x}\in M/\Lambda ,h\left(\bar{x}\right)=h\left(f\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(x\right)$ ，由已知， $\forall y\in \bar{x}$ 即 $y\wedge x$ ，有 $f^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(y\right)$ 故 $f^{\prime }\left(x\right)$ 由 $\bar{x}$ 唯一确定，从而唯一确定 $h$ 。

存在性：按 $h$ 的定义，只需要验证 $h$ 为半模同态。

$h\left(a\bar{x}+b\bar{y}\right)=h\left(\overline{ax+by}\right)=f^{\prime }\left(ax+by\right)=a{f}^{\prime }\left(x\right)+b{f}^{\prime }\left(y\right)=ah\left(\bar{x}\right)+bh\left(\bar{y}\right)$

证毕。

设 $f:M\to N$ 为一 $R$ 半模同态，则由 $f$ 可确定 $M$ 上的如下二元关系 $\Xi$ ：

$x\Xi y\iff f\left(x\right)=f\left(y\right)$

可以证明， $\Xi$ 为 $M$ 上的一个共轭，记为 $\ker f$ 。注意，这里 $\ker f$ 是定义的一个二元关系，即 $M\times N$ 的一个子集，而不是像模那样的情形是 $M$ 的一个子半模。

命题3.2.2设 $f:M\to N$ 为一 $R$ 半模同态，则按 $f:\bar{x}\to f\left(x\right)$ 确定的 $f:M/\ker f\to N$ 是 $R$ 半模同构；反之，设 $\Delta$ 为 $M$ 上的一个共轭， $g:M\to M/\Delta$ 为自然商映射，则 $\ker f=\Delta$ 。

证明：按照命题3.2.1，只需证对 $\left(N,f\right)$ 关于 $\ker f$ 具有命题3.2.1中的性质，这可根据 $f$ 为满映射以及 $\ker f$ 的定义直接验证。根据 $M/\Delta$ 定义，显然可证明 $\ker f=\Delta$ 。

4. 局部化的一些推广

4.1. 理想的局部化

定理4.1.1 (1)设 $S$ 是 $A$ 的乘法集，则 $\Phi :\left\{I|I是A的理想，I\cap S=\varnothing \right\}\underset{\to }{\begin{array}{c}I\mapsto I{S}^{-1}A\\ J\cap A\leftarrow J\end{array}}\left\{J|J是S^{-1}A的理想\right\}$ 给出了 $A$ 与 $S^{-1}A$ 的理想之间的一一对应。

(2)特别地， $\Phi$ 给出了 $A$ 与 $S^{-1}A$ 的素理想之间的一一对应。

同余和局部化都是简化环的重要方法，并且它们都保持理想和素理想的对应关系。不仅如此，它们的作用正好互补。同余相当于挖掉了理想中的信息，保留理想以外的信息；而局部化则是挖掉理想以外的信息，只保留这个理想局部的信息[17]。

下面的命题说明，局部化和同余操作可以交换顺序：

命题4.1.2 设 $S$ 是 $A$ 的乘法集， $I是A的理想$ ， $\pi :A\to \frac{A}{I}$ 是分类映射，则有 $\pi {\left(S\right)}^{-1}\left(\frac{A}{I}\right)=\frac{S^{-1}A}{S^{-1}I}$

证明：设 $\phi :\begin{array}{c}\pi {\left(S\right)}^{-1}\left(\frac{A}{I}\right)\to \frac{S^{-1}A}{S^{-1}I}\\ \frac{\pi \left(a\right)}{\pi \left(s\right)}\mapsto \frac{a}{s}+S^{-1}I\end{array}$ 则 $\phi$ 是唯一确定的满射。又因为

$\begin{array}{l}\phi \left(\frac{\pi \left(a\right)}{\pi \left(s\right)}\right)\phi \left(\frac{\pi \left(b\right)}{\pi \left(t\right)}\right)\\ =\left(\frac{a}{s}+S^{-1}I\right)\left(\frac{b}{t}+S^{-1}I\right)\\ =\frac{ab}{st}+S^{-1}I\\ =\phi \left(\frac{\pi \left(a\right)\pi \left(b\right)}{\pi \left(s\right)\pi \left(t\right)}\right)\end{array}$ ，

所以 $\pi$ 是满同态。最后，注意到

$\begin{array}{c}\ker \left(\phi \right)=\left\{\frac{a+I}{s+I}|\frac{a}{s}\in S^{-1}I\right\}\\ =\left\{\frac{a+I}{s+I}|\exists b\in I,t\in S:\frac{a}{s}=\frac{b}{t}\right\}\\ =\left\{\frac{a+I}{s+I}|\exists t\in S:ta\in I\right\}\\ =\frac{0+I}{1+I}=0\end{array}$

所以 $\phi$ 是同构，即 $\pi {\left(S\right)}^{-1}\left(\frac{A}{I}\right)\cong \frac{S^{-1}A}{S^{-1}I}$ 。证毕。

4.2. 乘法封闭集的伪局部化

本部分总设 $R$ 是具有单位元的交换环， $T=T\left(R\right)$ 是 $R$ 的完全商环，即 $R$ 关于所有非零因子的局部化或分式环。于是 $T\left(R\right)$ 中的元素可以表示为 $\frac{r}{s},r\in R$ ，s是 $R$ 的非零因子， $R$ 的非零因子我们也叫做正则元。总假设 $T\left(R\right)\ne R$ ，从而存在非平凡的正则元，即存在不是单位的正则元素。

定义 4.2.1 设 $R$ 只有一个极大的正则真理想，则 $R$ 称为伪局部环[18]。

命题 4.2.2 设 $R$ 是伪局部环， $m$ 是 $R$ 的唯一极大的正则真理想，则 $m$ 是 $R$ 的极大理想，且不在 $m$ 中的非零因子是单位。

证明：设 $p$ 是包含 $m$ 的极大理想，则 $p$ 是正则理想。故 $p=m$ ，即 $m$ 是 $R$ 的极大理想。若 $s\in R-m$ ，其中 $s$ 不是零因子。若 $s$ 不是单位，则 $\left(s\right)$ 是 $R$ 的真理想，于是存在 $R$ 的极大理想 $p$ ，使得 $s\in p$ ，于是 $p\ne m$ 。矛盾，即得证。

命题 4.2.3 设 $R$ 是伪局部环， $m$ 是 $R$ 的唯一极大的正则真理想，则对任何 $s\in R-m$ 及任何 $a\in m$ ， $a$ 是非零因子，有 $\left(a,s\right)=R$ 。

证明：由 $\left(a,s\right)$ 是正则理想，且 $\left(a,s\right)\not\subset m$ ，即得证。

定理 4.2.4 设 $R$ 是伪局部环， $m$ 是 $R$ 的唯一极大的正则真理想，则 $R=R_{\left[m\right]}$ 。

证明：任意的 $u=\frac{a}{b}\in R_{\left[m\right]}$ ，其中 $a,b\in R$ ， $b$ 是 $R$ 的非零因子。若 $b\notin m$ ，则 $b$ 是单位，故 $u\in R$ ；若 $b\in m$ ，取 $s\in R-m$ ，使得 $s\cdot u\in R$ ，又 $b\cdot u=a\in R$ ，我们有 $\left(b,s\right)\cdot u\subseteq R$ 。由上述命题，有 $u\in R$ ，故 $R=R_{\left[m\right]}$ 。

参考文献

[1]	Anderson, F.W. and Fuller, K.R. (1992) Rings and Categories of Modules. 2nd Edition, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4418-9
[2]	Pan, Y. and Wei, J.C. (2015) Several Equivalent Characterizations of CN Rings. The College Mathematics Journal, 31, 99-104.
[3]	Pinter-Lucke, J. (2007) Commutativity Conditions for Rings: 1950-2005. Expositiones Mathematicae, 25, 165-174. https://doi.org/10.1016/j.exmath.2006.07.001
[4]	Abdollahi, A., Bell, H.E. and Klein, A.A. (2007) On Commutativity and Centrality in Infinite Rings. Communications in Algebra, 35, 1323-1332. https://doi.org/10.1080/00927870601142397
[5]	Andima, S. and Pajoohesh, H. (2010) Commutativity of Rings with Derivations. Acta Mathematica Hungarica, 128, 1-14. https://doi.org/10.1007/s10474-010-9092-z
[6]	Ashraf, M. and Wani, B.A. (2019) On Commutativity of Rings and Banach Algebras with Generalized Derivations. Advances in Pure and Applied Mathematics, 10, 155-163. https://doi.org/10.1515/apam-2017-0024
[7]	Ligh, S. and Richoux, A. (1977) A Commutativity Theorem for Rings. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 16, 75-77. https://doi.org/10.1017/s0004972700023029
[8]	Wei, J. (2014) Some Notes on CN Rings. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 38, 1589-1599. https://doi.org/10.1007/s40840-014-0086-9
[9]	Wei, J. and Fan, Z. (2015) A Generalization of Commutativity Theorem for Rings. Annals of the Alexandru Ioan Cuza University-Mathematics, 61, 97-100. https://doi.org/10.2478/aicu-2013-0048
[10]	Yang, Q., Chu, M.Q. and Lu, E.W. (2015) A Note of Commutativity Theorem of Rings. Journal of Nantong University (Natural Science Edition), 14, 69-70, 90.
[11]	Du, Q.L. and Sun, J.H. (2014) Right Singular Ideals and Commutativity Theorems for Rings. Journal of Yangzhou University (Natural Science Edition), 17, 5-7.
[12]	Bell, H.E. (2017) Commutativity of Rings with Identities on Subsets. Asian-European Journal of Mathematics, 10, Article 1750018. https://doi.org/10.1142/s1793557117500188
[13]	冯克勤. 交换代数基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 1986.
[14]	严质彬, 游宏. 交换半环的局部化[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2001, 33(6): 732-735.
[15]	王秋丽, 苏业芹. 交换模的广义局部化[J]. 商丘师范学院学报, 2012, 28(12): 19-22.
[16]	苏业芹, 王秋丽. 模的广义局部化及其性质[J]. 商丘师范学院学报, 2013, 29(9): 22-24.
[17]	刘树芳, 唐高华. 交换环的拟准素理想和理想的拟准素分解[J]. 广西师范学院学报(自然科学版), 2007, 24(2): 19-24.
[18]	庞佳. 乘法封闭集的伪局部化与PVMR的刻画[D]: [硕士学位论文]. 成都: 四川师范大学, 2009.