DOI: 10.12677/aam.2025.144138, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 龚禹豪：西华师范大学数学与信息学院，四川 南充
关键词: 部分等距；等价投影；von Neumann代数；比较定理；Partial Isometric； Equivalent Projection； von Neumann Algebra； Comparison Theorem

文章引用：龚禹豪. 关于von Neumann代数中几类投影运算的研究[J]. 应用数学进展, 2025, 14(4): 44-50. https://doi.org/10.12677/aam.2025.144138

1. 引言及主要结论

在算子代数的研究中，尤其是在von Neumann代数的框架下，等价投影理论具有重要地位。2004年，林丽琼与林鸿钊讨论了投影算子的等价关系[1]；2009年，邓春源与王顺钦研究了等价空间中的投影算子[2]；2016年，费秀海与张建华进一步探讨了在von Neumann代数框架下，保持投影的映射问题[3]。2022年，宋显花与加羊杰考虑了斜投影乘积交换性的等价条件[4]。在此基础上，本文主要受Richard V. Kadison的文章[5]与[6]的启发，研究了von Neumann代数中投影运算后的等价情形。

下面是本文研究得出的主要结论。

引理1.1 (本文引理3.1) 若 $E、F、N$ 都是有限von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，且 $E~F$ ， $E\le N$ ， $F\le N$ ，那么有 $N-E~N-F$ 成立。

定理1.2 (本文定理3.2) 设 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E~F$ 。当 $NE=NF=0$ 时，那么有 $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N+E~N+F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

定理1.3 (本文定理3.3) 设 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E~F$ 。当 $N<E,N<F$ 时，那么有 $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

定理1.4 (本文定理3.4) 设 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E~F$ 。当 $E<N,F<N$ 时，那么有 $N-E~N-F$ ， $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N\vee E\sim N\vee F$ 成立。

定理1.5 (本文定理3.5) 设 $E、F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E~F$ 。当 $NE=NF=0$ 时，那么有 $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N+E~N+F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

定理1.6 (本文定理3.6) 设 $E、F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E~F$ 。当 $E<N,F<N$ 时，那么有 $N-E~N-F$ ， $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

定理1.7 (本文定理3.7) 设 $E、F、G、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，其中 $E、F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，这里 $G\le E$ ， $N\le F$ ， $G~N$ ，且 $E\precsim F$ 。那么有

ⅰ) $E-G\precsim F-N$ 。

ii) 若 $E~F$ ，有 $E-G~F-N$ 。

2. 预备知识

定义2.1 [6] von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影 $E$ ，当 $E~E_0<E$ 时，这里的投影 $E_0$ 在 $ℳ$ 中，我们称投影 $E$ 相对于von Neumann代数 $ℳ$ 是无限的。否则，投影 $E$ 相对于 $ℳ$ 是有限的。如果 $E$ 是无限的，对每个中心投影 $P$ ，我们有 $PE$ 要么是0或者真无限，则称 $E$ 是真无限的。当 $I$ 是有限或者真无限的，我们说相应的von Neumann代数 $ℳ$ 分别是有限或者真无限的。

命题2.2 [6] 如果 $\left\{E_a\right\}$ 与 $\left\{F_a\right\}$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中投影的正交族，且对任意 $a$ ，有 $E_a\precsim F_a$ ，那么 ${\displaystyle \sum E_a}\precsim {\displaystyle \sum F_a}$ 。如果 $E_a~F_a$ ，对任意 $a$ ，那么 ${\displaystyle \sum E_a}\sim {\displaystyle \sum F_a}$ 。

命题2.3 [7] 如果 $E、F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，且 $E~F$ ，那么对 $ℳ$ 中的每个中心投影 $P$ ，有 $PE~PF$ 。如果 $E\precsim F$ ，那么有 $PE\precsim PF$ 。

命题2.4 [6] 如果 $E、F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，使得 $E\precsim F$ 且 $F\precsim E$ ，那么有 $E\sim F$ 。

命题2.5 [6] 如果 $E$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，那么 $E$ 的每个子投影也是有限投影。在von Neumann代数 $ℳ$ 中的每个极小投影和0也是有限的。如果 $E\sim F$ 且投影 $E$ 是有限的，那么投影 $F$ 也是有限的。

定理2.6 [6] 如果 $E、F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，那么 $E\vee F$ 在 $ℳ$ 中也是有限投影。

命题2.7 [5] 如果 $E、F$ 是作用于Hilbert空间 $\mathscr{H}$ 上的交换投影，分别相对于闭子空间 $Y$ 和 $Z$ ，则

$E\vee F=E+F-EF$ ， $E\wedge F=EF$ ， $Y\vee Z=Y+Z$ 。

特别地， $H$ 的线性子空间 $Y+Z$ 是封闭的。

定理2.8 [6] (comparison)如果 $E、F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，存在唯一的极大正交中心投影 $P$ 和 $Q$ ，具有 $QE~QF$ 的性质。如果 $P_0$ 是 $P$ 的非零中心子投影，那么 $P_{0}E\prec P_{0}F$ 。如果 $R_0$ 是 $I-P-Q$ 的非零中心子投影，那么 $R_{0}F\prec R_{0}E$ 。

推论2.9 [5] 假设 $E、F$ 分别是从希尔伯特空间 $\mathscr{H}$ 作用到闭子空间 $Y$ 与 $Z$ 的投影。那么 $EF=0$ 当且仅当 $Y$ 与 $Z$ 正交，且

$E\vee F=E+F$ ， $Y\vee Z=Y+Z$ 。

注：为了更易理解文章内容，这里进行本文中的符号说明。

主要符号表
符号	代表意义
$ℳ$	von Neumann代数
$~$	等价
$\le$	小于或等于
$\perp$	正交
$\prec$	弱于
$<$	小于
$\wedge$	交集
$\vee$	并集
$\precsim$	弱于或等价

3. 定理的证明

为了证明下面本章的定理，我们需要证明下面的引理。

引理3.1 设 $E、F、N$ 都是有限von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影。如果 $E~F$ ， $E\le N$ ， $F\le N$ ，那么有 $N-E~N-F$ 成立。

证明 用反证法。我们首先证明 $N-E$ 与 $N-F$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${\left(N-E\right)}^{\ast }=N^{\ast }-E^{\ast }=N-E$ ，

$\begin{array}{c}{\left(N-E\right)}^2=\left(N-E\right)\left(N-E\right)=N^2-NE-EN+E^2\\ =N-E-E+E=N-E.\end{array}$

$N-E={\left(N-E\right)}^{\ast }={\left(N-E\right)}^2$ 。故 $N-E$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${\left(N-F\right)}^{\ast }=N^{\ast }-F^{\ast }=N-F$ ，

$\begin{array}{c}{\left(N-F\right)}^2=\left(N-F\right)\left(N-F\right)=N^2-NF-FN+F^2\\ =N-F-F+F=N-F.\end{array}$

$N-F={\left(N-F\right)}^{\ast }={\left(N-F\right)}^2$ 。故 $N-F$ 为 $ℳ$ 中的投影。

由于， $ℳ$ 为有限von Neumann代数， $N-E$ 与 $N-F$ 都为有限投影。

现假设 $N-E\nsim N-F$ ，由定理2.8可知，存在 $ℳ$ 的中心投影 $P$ ，使得 $P\left(N-E\right)\prec P\left(N-F\right)$ 或

$P\left(N-F\right)\prec P\left(N-E\right)$ 成立。

针对上述两种情况的讨论如下：

(1) 当 $P\left(N-E\right)\prec P\left(N-F\right)$ 时，那么存在 $G\in ℳ$ ，使得 $P\left(N-E\right)~G<P\left(N-F\right)$ 成立。因为 $E~F$ ，故由命题2.3可知，有 $PE~PF$ 。由于 $G<P\left(N-F\right)\le N-F$ 而 $\left(N-F\right)\perp F$ 。故 $G\perp F$ ，此外 $\left(N-E\right)\perp E$ 。

因此，由命题2.2可知

$PN=P\left(N-E\right)+PE~G+PF<P\left(N-F\right)+PF=PN$ 。

这也就说明 $PN$ 不是有限投影，这与 $ℳ$ 为有限von Neumann代数矛盾。

(2) 当 $P\left(N-F\right)\prec P\left(N-E\right)$ 时，那么存在 $Q\in ℳ$ ，使得 $P\left(N-F\right)~Q<P\left(N-E\right)$ 成立。因为 $E~F$ ，故由命题2.3可知，有 $PE~PF$ 。由于 $Q<P\left(N-E\right)\le N-E$ 而 $\left(N-E\right)\perp E$ 。故 $Q\perp E$ ，此外 $\left(N-F\right)\perp F$ 。

因此，由命题2.2可知

$PN=P\left(N-F\right)+PF~Q+PE<P\left(N-E\right)+PE=PN$ 。

这也就说明 $PN$ 不是有限投影，这与 $ℳ$ 为有限von Neumann代数矛盾。

因此有 $N-E~N-F$ 。

证毕。

定理3.2 设 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E\sim F$ 。当 $NE=NF=0$ 时，那么有 $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N+E~N+F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

证明 i) $N\wedge E\sim N\wedge F$ 。

因为 $NE=NF=0$ ，由命题2.7可知

$N\wedge E=NE=0$ ， $N\wedge F=NF=0$ 。

故 $N\wedge E~N\wedge F$ 。

ii) $N+E~N+F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 。

由推论2.9可知

$N\vee E=N+E$ ， $N\vee F=N+F$ 。

而再由命题2.2可知

$N\vee E=N+E~N+F=N\vee F$ 成立。

证毕。

定理3.3 设 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E~F$ 。当 $N<E,N<F$ 时，那么有 $N\wedge E\sim N\wedge F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

证明 i) $N\wedge E~N\wedge F$ 。

由于 $N<E,N<F$ ，那么有 $N\wedge E=N$ ， $N\wedge F=N$ 。即 $N\wedge E~N\wedge F$ 显然成立。

ii) $N\vee E~N\vee F$ 。

由命题2.7可知

$N\vee E=N+E-NE$ ，

同理，我们有

$N\vee F=N+F-NF$ 。

又因为 $NE=NF=N$ ，故 $N\vee E=E$ ， $N\vee F=F$ ， $N\vee E=E~F=N\vee F$ ，显然有 $N\vee E~N\vee F$ 。

证毕。

定理3.4 设 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E~F$ 。当 $E<N,F<N$ 时，那么有 $N-E~N-F$ ， $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

证明 i) $N-E~N-F$ 。

因为 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，由定理2.6可知， $E\vee F$ 也为有限投影。由引理3.1知， $E、F$ 在有限von Neumann代数 $\left(E\vee F\right)ℳ\left(E\vee F\right)$ 中，那么有 $E\vee F-E~E\vee F-F$ 成立。

因为 $E<N,F<N$ ，故 $E\vee F\le N$ 。此外，我们有 $N-E\vee F$ 与 $E\vee F$ 正交，而 $E\le E\vee F$ ， $F\le E\vee F$ ，故 $E\vee F-E\le E\vee F$ ， $E\vee F-F\le E\vee F$ 。

从而有 $\left(N-E\vee F\right)\perp \left(E\vee F-E\right)$ 与 $\left(N-E\vee F\right)\perp \left(E\vee F-F\right)$ 成立。

因此，由命题2.2知

$N-E=\left(N-E\vee F\right)+\left(E\vee F\right)-E~\left(N-E\vee F\right)+\left(E\vee F\right)-F=N-F$ 。

ii) $N\wedge E~N\wedge F$ 。

因为 $N>E,N>F$ ，由命题2.7可知， $N\wedge E=E$ ， $N\wedge F=F$ 。由于 $E~F$ ，那么有

$N\wedge E=E~F=N\wedge F$ 。

iii) $N\vee E~N\vee F$ 。

由命题2.7可知

$N\vee E=N+E-NE$ ，

同理，我们有

$N\vee F=N+F-NF$ 。

又因为 $N\wedge E=E$ ， $N\wedge F=F$ 。故 $N\vee E=N$ ， $N\vee F=N$ ，显然有 $N\vee E~N\vee F$ 。

证毕。

定理3.5 设 $E、F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E~F$ 。当 $NE=NF=0$ 时，那么有 $N\wedge E~N\wedge F$ ， $N+E~N+F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

证明 i) $N\wedge E~N\wedge F$ 。

因为 $NE=NF=0$ ，由命题2.7可知

$N\wedge E=NE=0$ ， $N\wedge F=NF=0$ 。

故 $N\wedge E~N\wedge F$ 。

ii) $N+E~N+F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 。

由推论2.9可知，

$N\vee E=N+E$ ， $N\vee F=N+F$ 。

而再由命题2.2可知，

$N\vee E=N+E~N+F=N\vee F$ 成立。

证毕。

定理3.6 设 $E、F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E~F$ 。当 $E<N,F<N$ 时，那么有 $N-E~N-F$ ， $N\wedge E\sim N\wedge F$ ， $N\vee E~N\vee F$ 成立。

证明 i) $N-E~N-F$ 。

因为 $E、F、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，由定理2.6可知， $E\vee F$ 也为有限投影。由引理3.1知， $E、F$ 在有限von Neumann代数 $\left(E\vee F\right)ℳ\left(E\vee F\right)$ 中，那么有 $E\vee F-E~E\vee F-F$ 成立。

因为 $E<N,F<N$ ，故 $E\vee F\le N$ 。此外，我们有 $N-E\vee F$ 与 $E\vee F$ 正交，而 $E\le E\vee F$ ， $F\le E\vee F$ ，故 $E\vee F-E\le E\vee F$ ， $E\vee F-F\le E\vee F$ 。

从而有 $\left(N-E\vee F\right)\perp \left(E\vee F-E\right)$ 与 $\left(N-E\vee F\right)\perp \left(E\vee F-F\right)$ 成立。

因此，由命题2.2知

$N-E=\left(N-E\vee F\right)+\left(E\vee F\right)-E~\left(N-E\vee F\right)+\left(E\vee F\right)-F=N-F$ 。

ii) $N\wedge E~N\wedge F$ 。

因为 $N>E,N>F$ ，由命题2.7可知， $N\wedge E=E$ ， $N\wedge F=F$ 。由于 $E~F$ ，那么有

$N\wedge E=E~F=N\wedge F$ 。

iii) $N\vee E~N\vee F$ 。

由命题2.7可知

$N\vee E=N+E-NE$ ，

同理，我们有

$N\vee F=N+F-NF$ 。

又因为 $N\wedge E=E$ ， $N\wedge F=F$ 。故 $N\vee E=N$ ， $N\vee F=N$ ，显然有 $N\vee E~N\vee F$ 。

证毕。

定理3.7 设 $E、F、G、N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，其中 $E、F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，这里 $G\le E$ ， $N\le F$ ， $G~N$ ，且 $E\precsim F$ 。那么有

ⅰ) $E-G\precsim F-N$ 。

ii) 若 $E~F$ ，有 $E-G~F-N$ 。

证明 ⅰ) 用反证法。我们首先证明 $E-G$ 与 $F-N$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${\left(E-G\right)}^{\ast }=E^{\ast }-G^{\ast }=E-G$ ，

$\begin{array}{c}{\left(E-G\right)}^2=\left(E-G\right)\left(E-G\right)=E^2-EG-GE+G^2\\ =E-G-G+G=E-G.\end{array}$

$E-G={\left(E-G\right)}^{\ast }={\left(E-G\right)}^2$ 。故 $E-G$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${\left(F-N\right)}^{\ast }=F^{\ast }-N^{\ast }=F-N$ ，

$\begin{array}{c}{\left(F-N\right)}^2=\left(F-N\right)\left(F-N\right)=F^2-FN-NF+N^2\\ =F-N-N+N=F-N.\end{array}$

$F-N={\left(F-N\right)}^{\ast }={\left(F-N\right)}^2$ 。故 $F-N$ 为 $ℳ$ 中的投影。

因为 $E、F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影， $E-G\le E$ ， $F-N\le F$ ，由命题2.5可知 $E-G$ 与 $F-N$ 都为有限投影。由定理2.6可知， $E\vee F$ 在von Neumann代数 $ℳ$ 中也为有限投影。由引理3.1可知， $E-G$ 与 $F-N$ 在有限von Neumann代数 $\left(E\vee F\right)ℳ\left(E\vee F\right)$ 中。

假设 $E-G\precsim F-N$ ，由定理2.8可知，在有限von Neumann代数 $\left(E\vee F\right)ℳ\left(E\vee F\right)$ 中存在非零中心投影 $P$ ，使得 $P\left(F-N\right)\prec P\left(E-G\right)$ 成立。

当 $P\left(F-N\right)\prec P\left(E-G\right)$ 时，那么存在 $G_1\in ℳ$ ，使得 $P\left(F-N\right)~G_1<P\left(E-G\right)$ 成立，因为 $G~N$ ，且 $E\precsim F$ ，由命题2.3可知 $PG\sim PN$ ， $PE\precsim PF$ 。由于 $G_1<P\left(E-G\right)\le E-G$ ， $PG\le G$ 而 $E-G\perp G$ ，故 $G_1\perp PG$ 。

因此，根据命题2.2可知

$PE\precsim PF=P\left(F-N\right)+PN~G_1+PG<P\left(E-G\right)+PG=PE$ 。

这也就说明 $PE$ 不是有限投影，这与 $\left(E\vee F\right)ℳ\left(E\vee F\right)$ 为有限von Neumann代数矛盾。

因此 $E-G\precsim F-N$ 。

ii) 如果 $E~F$ ，那么有 $E\precsim F$ 与 $F\precsim E$ 。由ⅰ)中的 $E-G\precsim F-N$ 与 $F-N\precsim E-G$ ，由命题2.4可知 $E-G~F-N$ 。

证毕。

本文首先考虑在有限von Neumann代数中投影的运算，通过引理3.1的证明，我们将上述的几类投影的运算推广到更一般的von Neumann代数中，如上述定理的3.2~3.4的情况。其次进一步考虑了 $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影情形，通过证明发现其结果与上述 $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影一致。最后讨论了一般的von Neumann代数 $ℳ$ 中四个投影运算的情况。

致 谢

本文章在文仕林老师以及审稿专家的指导与建议下完成，在此表示衷心的感谢。

参考文献

[1]	林丽琼, 林鸿钊. 关于投影算子的等价关系[J]. 福建师范大学学报(自然科学版), 2004(2): 21-26.
[2]	邓春源, 王顺钦. 等价类空间上投影算子的一些性质[J]. 南阳师范学院学报, 2009, 8(3): 1-4.
[3]	费秀海, 张建华. von Neumann代数上保持投影的映射[J]. 南京师大学报(自然科学版), 2016, 39(4): 5-13.
[4]	宋显花, 加羊杰. 斜投影乘积交换性的一些等价刻画[J]. 吉林大学学报(理学版), 2022, 60(4): 811-816.
[5]	Kadison, R.V. and Ringrose, J. (1986) Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol. I: Elementary Theory. Academic Press, Inc.
[6]	Kadison, R.V. and Ringrose, J. (1986) Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol. II: Advanced Theory. Academic Press, Inc.
[7]	李炳仁. 算子代数[M]. 北京: 科学出版社, 2007.