1. 引言

局域型表面等离激元(Localized Surface Plasmon, LSP)是指在外加电磁场的作用下，金属纳米结构表面自由电子发生集体相干振荡所形成的一种局域化电磁模式[1]。这种电磁模式具有显著的纳米尺度局域特性，其振荡频率和空间分布主要取决于金属纳米结构的几何形状、尺寸以及周围介质的介电性质[2]。LSP最显著的特性在于其局域场增强效应和快速衰减机制，这两者在众多应用中具有重要意义[3]。一方面，局域场增强效应促进了LSP增强的非线性光学过程[4]、Purcell效应[5]、太阳能电池应用中的光捕获以及人工光合作用的发展[6]。另一方面，LSP的快速衰减导致相干共振的去相位时间较短，这可能会限制某些基于LSP的应用。例如，基于LSP的荧光增强效应类似于分子/腔系统中的Purcell增强效应。其增强因子可以用Purcell因子来描述，该因子与品质因子和模式体积的比值成正比。对于LSP而言，去相位时间与品质因子呈正相关关系。较短的去相位时间会限制Purcell因子的提升。此外，在传感应用中，较大的品质因子，即较长的去相位时间，也更受青睐[7]。然而，一般金属纳米粒子偶极等离激元模式的去相位时间仅为几飞秒。这种快速的去相位是由辐射过程和非辐射过程共同导致的[8] [9]，其中辐射阻尼是通过散射过程将能量耦合到远场，非辐射阻尼是通过带间或带内跃迁在金属中产生电子–空穴对。因此，对LSP去相位时间的调控，尤其是延长去相位时间，具有重要的研究意义和应用价值。

近年来，C. Sönnichsen等人通过调节纳米棒的纵横比来抑制非辐射阻尼来延长了去相位时间(~12 fs) [10]。Sun等人通过使用光源斜入射辐射纳米块结构，在不同偏振方向下激发了等离激元偶极与四极模式[11]。结果发现较高阶的四极模式的去相位时间(~9 fs)比偶极模式(~5 fs)的更长。Y. Chang和K. Ueno等人利用金属纳米堆叠结构，研究了等离激元明模式与暗模式的电场演化信息，发现暗模式的去相位时间更长(~10 fs) [12] [13]。分析得知这是由于暗模式具有更小的辐射阻尼导致的。Wang等人发现在偶极–四极纳米棒二聚体中，两个杂化模式的去相位时间(~10 fs)相比于单偶极纳米棒有明显增加[14]。Yang等人通过LSP与传播型表面等离激元(Propagating Surface Plasmon, PSP)的强耦合成功延长了去相位时间(~15 fs) [15]。尽管目前已取得了上述进展，但以往的研究要么结构较为复杂，要么对去相位时间的调控区间往往较小，这将限制光催化、光传感等应用的进一步发展。等离激元Fano共振模式是由等离激元辐射明模式与非辐射暗模式之间的相消干涉形成的，其远场散射光谱通常表现为双峰及非对称线型的凹陷特征[16]。在光谱凹陷区域附近，结构散射会受到显著抑制，从而在一定程度上比高阶模式具有更低的辐射损耗，且能够更有效地将入射光场能量局域在纳米结构表面，进而产生更强的近场增强效应。这一特性为实现去相位时间的进一步延长提供了潜在途径，有望进一步提升相关应用的性能。然而，目前基于Fano共振调控去相位时间的研究较少，例如Xu等人利用非对称双棒二聚体激发Fano共振模式调控了去相位时间仅达到~15 fs附近[17]。

在本文，我们提出了一种能够产生Fano共振模式的金属矩形环–盘结构。由于欧姆损耗会降低等离激元的寿命，我们使用了欧姆损耗较低的银材料来构建结构。并采用时域有限差分(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)法结合准正模模型(Quasi-Normal Mode, QNM) ff系统地研究了银矩形环–盘纳米结构的去相位时间和近场强度。结果表明，在沿x轴方向偏振的光源辐照下，通过改变不同结构参数，我们实现了对等离激元近场强度和去相位时间同时增加的调控。最大近场增强(E/E₀)可达到47倍，去相位时间可达到23 fs附近。

2. 仿真设置

在本研究中，我们采用有限时域差分方法，基于FDTD软件包(Lumerical FDTD Solutions)对金属等离激元纳米结构的光学特性进行了系统的数值模拟研究。所构建的银矩形环–盘纳米结构的示意图如图1所示。其中，矩形环的外径和内径分别用D₁和D₂表示、矩形盘的直径用d表示。矩形环–盘的高度H = 60 nm在全文中保持不变。环与盘的中心重合。银材料的介电常数取自于Johnson和Christy测量的数据[18]。入射光源采用脉冲宽度为4.5 fs，中心波长为1000 nm的标准傅里叶变换极限的全场散射场光源。光源沿z轴正向照射纳米结构，偏振方向沿x轴。模拟区域尺寸设定为2 × 2 × 2 μm³，边界条件采用完美匹配层(Perfectly Matched Layer, PML)以消除边界反射。所有研究系统均在真空环境下进行模拟。为确保计算结果的准确性，我们进行了严格的网格收敛性测试，最终选定2 × 2 × 2 nm³的单位网格尺寸用于3D覆盖网格计算纳米结构的近场和远场光学特性。其中，近场光谱信息通过频域监测器获取，而电场的动态演化过程则由时域监测器记录。

Figure 1. (a) Three-dimensional schematic diagram of the silver rectangular ring-disk structure. (b) Schematic diagram of the structure in the x-y plane. the red arrows in the figure indicate the polarization direction of the electric field of the light source

图1. (a) 银矩形环–盘结构立体示意图。(b) 结构在x-y平面的示意图。图中红色箭头表示光源的电场偏振方向

3. 结果与讨论

首先，我们对矩形环–盘结构在x轴偏振光源沿z轴法向辐照下的光学响应进行了仿真计算。该结构由外径D₁ = 250 nm，内径D₂ = 230 nm的矩形环和直径d = 170 nm的矩形盘组成。如图2(a)所示，散射谱呈现出典型的Fano线形特征，包含两个共振峰和一个凹陷区域，而吸收谱仅在770 nm波长处出现单一共振峰，该峰位与散射谱的凹陷位置相对应，表明矩形环–盘结构中激发出了吸收型Fano共振模式。为深入理解Fano共振的物理机制，我们进一步计算了680 nm (宽共振峰)和770 nm (凹陷)波长处的电荷与电场分布，如图2(b)所示。在680 nm处，矩形盘的电荷分布呈现单节点特征，自身为偶极模式，并与矩形环的电荷呈同相分布，导致偶极矩叠加，表现出类似偶极的超辐射模式特征。相比之下，在770 nm波长处，矩形盘的电荷分布呈现三节点特征，自身激发了八极暗模式，且与矩形环的电荷分布相位相反，整体也呈现出类八极的亚辐射模式。此外，我们根据偶极矩公式对两个模式的偶极矩进行了计算，得到680 nm波长处的偶极矩为5.8 e⁻⁷ C⋅m，要大于770 nm波长处的偶极矩3.4 e⁻⁷ C⋅m (计算公式详见后文)。这进一步证明了在680 nm和770 nm波长处激发的模式分别为明模式和暗模式。这种明模式(680 nm)与暗模式(770 nm)之间的相消干涉导致了等离激元Fano共振的产生。电场分布表明，680 nm波长下矩形环–盘间隙存在四处热点，而在770 nm波长下形成了六处热点，这一现象源于相邻异性电荷间的库仑引力作用[7]。此外，进一步我们仿真计算了结构的近场谱(图2(c))。近场谱的点监测器位置如图2(c)中的红色圆点所示。近场光谱显示，Fano共振模式在770 nm附近呈现出明显的共振峰，该峰位与吸收光谱的峰值位置高度吻合。从中获得该Fano模式的近场增强因子(E/E0)达到18，表明体系具有显著的场增强效应。

Figure 2. (a) Scattering and absorption spectra of the rectangular ring-disk structure under normal incidence of a light source polarized along the x-axis. (b) Charge and electric field distributions of the rectangular ring-disk structure at wavelengths of 770 nm and 680 nm. (c) Near-field spectra of the structure. The positions of the point monitors are indicated by the red point

图2. (a) 在沿x轴方向偏振的光源正入射照射下，矩形环–盘结构的散射谱与吸收谱。(b) 770 nm和680 nm波长处矩形环–盘结构的电荷分布与电场分布图。(c) 结构的近场谱。点监视器的位置如红色圆点所示

我们采用准正模(Quasi-Normal Mode, QNM)理论模型对模拟获得的近场光谱进行了系统分析。通过QNM模型的解析重构，成功揭示了该Fano共振模式的去相位时间特性。准正模公式如下所示[19]：

${\left|R_{fit}\left(v\right)\right|}^2={\left|{\displaystyle \underset{0}{\overset{n}{\sum }}{a}_{\mu }{A}_{\mu }\left(v\right){\text{e}}^{i{\phi }_{\mu }}}\right|}^2$

其中 ${\left|R\left(v\right)\right|}^2$ 对应于通过FDTD模拟获得的频域响应函数。 $a_{\mu }$ 和 ${\phi }_{\mu }$ 分别对应于模式的振幅和整体相位。响应函数的频率依赖性由洛伦兹展开系数控制

$A_{\mu }=\frac{1}{\left(2i{\gamma }_{\mu }\cdot 2\pi \nu -4{\pi }^2{\nu }^2+4{\pi }^2{\nu }_{\mu }^2\right)}$

其中， ${\nu }_{\mu }$ 是第 $\mu$ 个QNM的谐振频率。 ${\gamma }_{\mu }$ 是第 $\mu$ 个QNM的阻尼参数，它遵循方程 ${\gamma }_{\mu }=1/2T_{\mu }$ ，其中 $T_{\mu }$ 对应于第 $\mu$ 个QNM的去相位时间。如图3(a)所示，红色方形标记代表从图2(c)监测点获取的归一化近场强度光谱。通过QNM理论拟合获得的计算结果(蓝色曲线)与模拟获得的近场光谱数据(红色方形标记)呈现出良好的一致性。基于QNM分析，我们确定矩形环–盘结构中Fano共振模式的去相位时间为T = 13 fs。

Figure 3. (a) Normalized near-field spectra obtained at the monitoring point in Figure 2(c) (red square markers) and the fitting results from QNM (blue curve). The geometric parameters of the structure are consistent with those shown in Figure 1. (b) Third-order autocorrelation curve of the electric field E_z obtained at the time monitoring point in Figure 2(c) (red curve) and the fitting results of the damped harmonic oscillator model (blue curve)

图3. (a) 由图2(c)中监视点处获得的归一化近场光谱(红色方形标记)和来自QNM的拟合结果(蓝色曲线)。结构的几何参数与图1中所示的一致。(b) 从位于图2(c)的时间监视点处获得的电场E_Z的三阶自相关曲线(红色曲线)和阻尼谐振子模型的拟合结果(蓝色曲线)

此外，等离激元的去相位时间也可以通过阻尼谐振子模型进行测量[20]。在该理论模型中，等离激元的近场强度可表示为E_pl，其中包含了体系的阻尼特性信息，

$E_{\text{pl}}\left(t\right)\propto {\displaystyle {\int }_{-\infty }^t{\displaystyle \underset{j}{\sum }\frac{A_j}{{\omega }_j}K\left(t^{\prime }\right){\text{e}}^{-{\gamma }_j\left(t-t^{\prime }\right)}\sin \left[{\omega }_j\left(t-t^{\prime }\right)\right]\text{d}{t}^{\prime }}}$

其中， $A_j$ 是振幅强度， ${\omega }_j$ 是振荡频率， ${\gamma }_j=1/2T_j$ 是阻尼系数( $T_j$ 表示去相位时间)， $K\left(t\right)=E_0\left(t\right)+E_0\left(t+\tau \right)$ 表示光场驱动力。 $\tau$ 为泵浦探测两束光的时间延迟。光源的中心频率、脉冲持续时间和相位因子与FDTD仿真中使用的一致。光源选取的是具有傅里叶变换极限的高斯型脉冲光源： $E_0\left(t\right)=e\left(-2\ln 2\left(t^2\right)/\Delta {\tau }^2\right)\cdot \cos \left({\omega }_{0}t+\phi \right)$

其中，ω₀表示光源的中心频率，Δτ表示脉冲持续时间， $\phi$ 表示相位因子。电场自相关强度可以表示为

$I={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|{\stackrel{\to }{E}}_{\text{pl}}\left(t\right)\right|}^{2N}\text{d}t}$

N为非线性阶数。由于银的功函数为4.14~4.26 eV [21]，我们假设非线性阶数N = 3类比三光子发光过程。需要注意的是，只要在电场自相关方程和谐振子模型内N保持一致即可。在图3(b)中，蓝色曲线对应于阻尼谐振子模型计算获得的电场演化的自相关信号。红色曲线为根据FDTD获得的电场自相关信号[22]，

$Y={{\displaystyle \int \left|{\stackrel{\to }{E}}_{p_l}\left(r,t\right)+{\stackrel{\to }{E}}_{p_l}\left(r,t+d\tau \right)\right|}}^{2N}d$

其中 $d\tau$ 为延迟时间。用于阻尼谐振子模型的去相位时间拟合参数由QNM得到。如图3(b)所示，可以看到两个电场自相关信号曲线具有很好的重叠。这也证明了使用QNM方法来获取去相位时间的准确性。由于使用谐振子模型来拟合去相位时间时速度较慢，所以，在之后的研究中我们选择使用QNM方法来拟合Fano共振模式的去相位时间。

Figure 4. The variation of (a) scattering spectrum; (b) near-field spectrum; (c) electric field distribution; (d) dephase time of a rectangular ring disk structure under the illumination of a light source polarized along the x-axis (d: 170 nm~190 nm)

图4. 沿x轴方向偏振的光源照射下，矩形环–盘结构的(a) 散射谱；(b) 近场谱；(c) 电场分布；(d) 去相位时间随矩形盘直径的变化(d: 170 nm~190 nm)

接下来，为系统研究结构参数对去相位时间的调控规律，首先我们通过改变矩形盘的直径(其他几何参数保持不变)，对矩形环–盘结构Fano共振模式的去相位时间特性进行了系统的仿真研究。图4(a)展示了不同矩形盘尺寸下结构的散射光谱特征，当矩形盘直径d从170 nm以5 nm为步长增加至190 nm时，散射谱中的Fano共振凹陷位置发生显著红移，从770 nm移动至840 nm。与此同时，Fano模式的近场共振波长也呈现同步红移特性，如图4(b)所示，近场增强因子从18提升至26。此外，图4(c)为d从170 nm变化到190 nm的矩形环–盘在Fano模式处的近场分布图。可以看到随着矩形盘尺寸的增大，矩形环–盘间隙的近场强度明显增强，这是由于环–盘间的间隙变小，环和盘的耦合强度增加导致的。图4(d)定量表征了Fano模式去相位时间随矩形盘尺寸的演化规律，结果表明，随着矩形盘直径的增大，去相位时间T从13 fs增加至23 fs。这可以解释为，一方面共振波长红移远离带间跃迁带，使得结构的非辐射阻尼减小[9]，另一方面为了定量确定模式的辐射强度，我们根据公式计算了偶极矩[23]：

$\stackrel{\to }{p}={\displaystyle {\int }_v\rho \left(\stackrel{\to }{r^{\prime }}\right)\stackrel{\to }{r^{\prime }}\text{d}{V}^{\prime }}$

其中电荷分布由FDTD模式获得[24]。结果测得结构Fano模式的偶极矩由3.4 e⁻⁷ C⋅m减小到2.8 e⁻⁷ C⋅m，这说明结构的辐射阻尼也是逐渐减小的[25]。结果表明辐射阻尼与非辐射阻尼的共同减小导致结构Fano模式的去相位时间增加。值得注意的是，去相位时间与近场增强因子之间呈现显著的正相关关系。

接下来，我们对不同矩形环尺寸下矩形环–盘结构Fano模式的去相位时间进行了仿真计算。图5(a)展示了不同矩形环外径下结构的散射光谱特征，当矩形环外径D₁从250 nm以5 nm为步长减小至240 nm时，散射谱中的Fano共振凹陷位置发生显著红移，从770 nm移动至900 nm。相应地，Fano模式的近场共振波长也呈现同步红移特性，且近场强度显著增强，如图5(b)所示，当矩形环外径D₂ = 240 nm时，近场增强因子可达47。图5(c)定量表征了Fano模式去相位时间随矩形环外径的演化规律。结果表明，随着矩形环外径的减小，去相位时间从13 fs增加至22 fs。这一现象可归因于以下机制：当矩形环外径减小时，共振波长逐渐远离带间跃迁带，导致结构的非辐射阻尼显著降低。同时，实验测得结构偶极矩从3.4 e⁻⁷ C⋅m减小至3.0 e⁻⁷ C⋅m，表明辐射损耗有所减小。尽管与改变矩形盘尺寸相比，辐射阻尼的减小幅度相对较小，但更大的共振波长红移导致非辐射阻尼的显著降低，最终使得两种结构参数调控下的去相位时间近似相等。值得注意的是，随着矩形环外径的减小，Fano模式呈现出明显的规律性变化：去相位时间显著延长，同时近场强度同步增强，两者呈正相关关系。

Figure 5. The variation of (a) scattering spectrum, (b) near-field spectrum, and (c) dephase time with the outer diameter of the rectangular ring of the rectangular ring disk structure under the illumination of a light source polarized along the x-axis direction (D₁: 250 nm~240 nm)

图5. 沿x轴方向偏振的光源照射下，矩形环–盘结构的(a) 散射谱；(b) 近场谱；(c) 去相位时间随矩形环外径的变化(D₁: 250 nm~240 nm)

此外，我们在保持矩形盘直径不变的情况下同时改变矩形环的外径与内径，从改变矩形环整体尺寸方面研究了Fano模式的近场增强和去相位时间的变化。图6(a)为改变环整体尺寸的散射谱，结果显示，随着矩形环外径D₁ = 250 nm以步长5 nm逐渐减小到230 nm的同时，D₂ = 230 nm逐渐减小到210 nm，发现散射凹陷位置几乎不发生变化。图6(b)的近场谱显示，当矩形环外径D₁ = 230 nm，内径D₂ = 210 nm时，Fano共振处近场强度可增加到39左右。图6(c)为矩形环–盘结构Fano模式的去相位时间随矩形环整体尺寸的变化。结果表明随着矩形环整体缩小，去相位时间由13 fs增大到22 fs，经计算结构偶极矩由3.4 e⁻⁷ C⋅m减小到2.8 e⁻⁷ C⋅m。在改变矩形环外径和内径的过程中，等离激元的去相位时间与近场增强同样呈现出正比例关系。

Figure 6. The variation of (a) scattering spectrum, (b) near-field spectrum, and (c) phase removal time with the outer and inner diameters of the rectangular ring disk structure under the illumination of a light source polarized along the x-axis direction (D₁: 250 nm~230 nm D₂: 230 nm~210 nm)

图6. 沿x轴方向偏振的光源照射下，矩形环–盘结构的(a) 散射谱；(b) 近场谱；(c) 去相位时间随矩形环外径和内径的变化(D₁: 250 nm~230 nm D₂: 230 nm~210 nm)

基于上述结果，可以发现，相比于以往研究者利用单纳米棒、纳米棒二聚体和纳米圆盘阵列等结构中激发的偶极模式和杂化模式来调节去相位时间(~10 fs) [10] [14] [15]，我们通过改变能够激发Fano共振模式的矩形环–盘的结构参数，实现了去相位时间与近场增强的同步增强，且调控范围能够大大增加。最大近场增强可达47倍，激元去相位时间可达23 fs。这为基于等离激元的光探测与光传感技术在实际应用中大幅提升信号强度和灵敏度提供了坚实的技术支撑。它不仅有助于提高生物医学检测的精准度，还能推动环境监测和食品安全检测等领域的快速发展，为未来等离激元相关技术的广泛应用和创新突破奠定了坚实基础。

4. 结论

本文基于银矩形环–盘结构，系统地研究了Fano共振模式的近场增强和去相位时间。在沿x轴方向偏振的光源辐照下，Fano模式的近场强度和去相位时间可以通过改变不同结构参数同时增加。最大近场增强(E/E₀)可达到47，去相位时间可达到23 fs附近。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献