DOI: 10.12677/aam.2025.143128, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 黄圆圆：中国地质大学(武汉)数学与物理学院，湖北 武汉
关键词: 捕食者–食饵模型；机制转换；Lévy跳跃；阈值；白噪声；Predator-Prey Models； Regime Switching； Lévy Jumps； Threshold； White Noise

文章引用：黄圆圆. 具有状态切换和跳跃的随机捕食–食饵模型的种群动态行为[J]. 应用数学进展, 2025, 14(3): 409-421. https://doi.org/10.12677/aam.2025.143128

1. 引言

据了解，同时包含Lévy跳跃噪声和马尔科夫切换的随机捕食者–食饵系统尚未被充分研究，迄今为止所取得的结果仍然不足[1]-[5]。本文建立了一个具有马尔科夫切换和Lévy跳跃的随机捕食者–食饵系统，具体模型如下

$\{\begin{array}{l}\text{d}{X}_1\left(t\right)=\left[a_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1\left(t\right)-b_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1^2\left(t\right)-\frac{0.1X_1\left(t\right)X_2\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_2\left(t\right)}\right]\text{d}t\\ \begin{array}{ccc}& & \end{array}+\left[{\alpha }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1\left(t\right)+{\rho }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1^2\left(t\right)\right]\text{d}{W}_1\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}{\gamma }_1}\left(\varpi \left(t\right),v\right)X_1\left(t^{-}\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right),\\ \text{d}{X}_2\left(t\right)=\left[a_2\left(\varpi \left(t\right)\right)X_2\left(t\right)-b_2\left(\varpi \left(t\right)\right)X_2^2\left(t\right)+\frac{0.1X_1\left(t\right)X_2\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_2\left(t\right)}\right]\text{d}t\\ \begin{array}{ccc}& & \end{array}+\left[{\alpha }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)X_2\left(t\right)+{\rho }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)X_2^2\left(t\right)\right]\text{d}{W}_2\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}{\gamma }_2}\left(\varpi \left(t\right),v\right)X_2\left(t^{-}\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right).\end{array}$ (1.1)

系统(1.1)满足 $X_1\left(0\right)=x>0,X_2\left(0\right)=y>0$ ，其中 $X_1\left(t\right)$ 和 $X_2\left(t\right)$ 分别为t时间内食饵和捕食者的物种数量。 $a_1>0$ 和 $a_2>0$ 是内生增长率， $b_1>0$ 和 $b_2>0$ 是种内相互作用率， $m>0$ 是捕食者将汲取的营养化成繁殖所需要的营养的速率。注意到， $a_j$ 和 $b_j$ 一般会受外部条件的影响。正常数 ${\alpha }_j$ 和 ${\rho }_i$ 分别表示由外界环境带来的白噪声扰动系数。

众所周知，当受到强风、强降雨、地震和火山爆发等突发性环境扰动时，系统(1.1)的参数和稳定性都会受到很大影响[6]。Bao等[7]首先用Lévy噪声描述了这些现象，并引入了带有Lévy跳跃的随机种群竞争模型。 ${\displaystyle {\int }_{ℍ}{\gamma }_1}\left(v\right)X_1\left(t^{-}\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)$ 表示Lévy跳跃，其中 $X_1\left(t^{-}\right),X_2\left(t^{-}\right)$ 分别代表 $X_1\left(t\right)$ 和 $X_2\left(t\right)$ 的左极限。跳跃产生的影响用 ${\gamma }_j:ℍ\to ℝ,j=1,2$ 表示。本文假设N是由 $p\left(t,\omega \right)$ 生成的鞅测度，其中 $p\left(t,\omega \right)$ 被定义为平稳的 ${\left\{{ℱ}_t\right\}}_t$ 适配泊松点过程。这意味着N是具有特征量 $\vartheta$ 的泊松计数量，而 $\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)=N\left(\text{d}t,\text{d}v\right)-\vartheta \left(\text{d}v\right)\text{d}t$ 是随机补偿量。这里 $\vartheta \left(\text{d}v\right)$ 是N的强度测量，它定义在 $\left(0,\infty \right)$ 的有限可测子集 $ℍ$ 上，且 $\vartheta \left(ℍ\right)<+\infty$ 。

此外，对于系统结构和参数的变化，用白噪声和跳跃是无法准确描述的。值得注意的是，Zu等[8]研究了具有马尔可夫切换的高阶随机Lotka-Volterra捕食者–食饵系统，详述了由于环境之间的转换通常是无记忆的，即遵循马尔可夫过程。下一次切换的到达时间呈指数分布[1] [2] [9]。本文使用连续时间马尔可夫链 $\varpi \left(t\right)$ 可以模拟生态环境中的随机切换。 ${\left\{\varpi \left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 表示一个连续时间马尔可夫过程，在有限状态空间 $\mathbb{S}=\left\{1,2,\cdots ,n_0\right\}$ 中具有右连续轨迹，概率转换为

$\mathbb{P}\left\{\varpi \left(t+{\Delta }_t\right)=j|\varpi \left(t\right)=i\right\}=\{\begin{array}{ll}{\mu }_{ij}{\Delta }_t+o\left({\Delta }_t\right),\hfill & i\ne j,\hfill \\ 1+{\mu }_{ij}{\Delta }_t+o\left({\Delta }_t\right),\hfill & i=j,\hfill \end{array}$

其中 ${\Delta }_t$ 是满足 $\underset{{\Delta }_t\to 0}{\lim }\frac{o\left({\Delta }_t\right)}{{\Delta }_t}=0$ 的任意小正数， ${\mu }_{ij}\ge 0$ 是满足 ${\mu }_{ii}=-{\displaystyle \underset{j=1,i\ne j}{\overset{n_0}{\sum }}{\mu }_{ij}}$ ，条件为 $i,j=1,\cdots ,n_0$ 。在时间 $t=0$ 时，定义 $\varpi \left(0\right):=i_0\in \mathbb{S}$ 。此外，本文假设 $W_1\left(t\right),W_2\left(t\right),\varpi \left(t\right)$ 和N是两两不相关的变量。本文将 $W_1\left(t\right)$ 和 $W_2\left(t\right)$ 定义为概率空间 $\left(\Omega ,ℱ,{\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0},\mathbb{P}\right)$ 上相互独立的一维标准布朗运动，其中 ${\left\{{ℱ}_t\right\}}_{t\ge 0}$ 是满足常规条件的滤子。

接下来，针对模型(1.1)将讨论几个有趣的问题：

(Q1) 加入Lévy跳跃噪声前后，对于仅含有白噪声的模型(1.1)种群的灭绝性与持久性是否发生变化？

(Q2) 在Lévy跳跃噪声存在时，Lévy噪声的强弱对种群的灭绝性与持久性有何影响？

(Q3) 在什么条件下，系统(1.1)存在唯一的平稳分布？

2. 前提

在本节中，首先研究系统(1.1)全局唯一正解的存在性和解的随机最终有界性。定义 ${ℝ}_{+}^2=\left\{\left(x,y\right)\in {ℝ}^2:x>0,y>0\right\}$ 和 ${ℝ}_{+}=\left\{x\in ℝ:x>0\right\}$ 。令 $z:=\left(x,y\right)$ 表示 ${ℝ}_{+}^2$ 中系统(1.1)的初始值。给定初始值 $\left(X_1\left(0\right),X_2\left(0\right),\varpi \left(0\right)\right)=\left(x,y,i_0\right)\in {ℝ}_{+}^2\times \mathbb{S}$ 的系统(1.1)的解表示为 $X_z\left(t\right):=\left(X_{1,z}\left(t\right),X_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(i\right)\right)$ ，定义：

${\hat{a}}_j:={\min }_{i\in \mathbb{S}}{a}_j\left(i\right),\stackrel{⌣}{a}:={\max }_{i\in \mathbb{S}}a\left(i\right),{\hat{\gamma }}_j\left(v\right):={\min }_{i\in \mathbb{S}}{\gamma }_j\left(i,v\right)$ 和 ${\stackrel{⌣}{\gamma }}_j\left(v\right):={\max }_{i\in \mathbb{S}}{\gamma }_j\left(i,v\right),j=1,2$ 。同样，其他参数 ${\hat{b}}_j,{\stackrel{⌣}{b}}_j,{\hat{\alpha }}_j,{\stackrel{⌣}{\alpha }}_j,{\hat{\rho }}_j$ 和 ${\stackrel{⌣}{\rho }}_j$ 的定义类似。为了限制Lévy跳跃的强度适当，作以下假设：

假设1.1 存在常数 $\tilde{k}>0$ ，对于 $\forall i\in \mathbb{S}$ ，使得

(1) ${\gamma }_j\left(i,v\right)>-1$ 对于任意 $i\in \mathbb{S}$ 和 $v\in ℍ$ ；

(2) ${\displaystyle {\int }_{ℍ}{\left[\ln \left(1+{\gamma }_j\left(i,v\right)\right)\right]}^2\vartheta \left(\text{d}v\right)}<\tilde{k}$以及 ${\displaystyle {\int }_{ℍ}{\gamma }_j^2}\left(i,v\right)\vartheta \left(\text{d}v\right)<\tilde{k}$， $j=1,2$ 。

在本文中，考虑的情况是马尔可夫链 $\varpi \left(t\right)$ 是不可约的，并且对于 $\mathbb{S}$ 中的任意i具有唯一的平稳分布 $\pi =\left({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_{n_0}\right),{\theta }_i>0$ 。这表明系统能够从任一种状态转换到另一种状态。将 $\Pi$ 视为信号切换的过渡矩阵，用 ${\left[{\mu }_{ij}\right]}_{n_0\times n_0}$ 表示。利用马尔科夫链的特性，得到方程

$\{\begin{array}{l}\pi \Pi =0,\hfill \\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n_0}{\sum }}{\theta }_i}=1\hfill \end{array}$

有一个唯一的解 $\pi =\left({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_{n_0}\right)$ 。由于函数 $\varpi \left(t\right)$ 是右连续跳跃函数。此外，在 ${ℝ}_{+}^2$ 中任何指定的有限区间内，跳跃次数均有限。

假定 ${\tau }_e$ 代表爆炸时间，对于 $\left[0,{\tau }_e\right)$ 中的任意t，只需要证明 ${\tau }_e=\infty a.s.$ 这一点可以用Lyapunov函数方法来证实，类似于[3]中定理3.1所采用的方法，省略如下定理的证明。

定理1.1 对于 $\forall \left(X_1\left(0\right),X_2\left(0\right),\varpi \left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^2\times \mathbb{S}$ ，对于所有 $t\ge 0$ 系统(1.1)几乎肯定存在唯一的全局正解 $\left(X_{1,z}\left(t\right),X_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^2\times \mathbb{S}$ 。

在x轴上有如下微分方程

$\begin{array}{c}\text{d}{\phi }_{1,z}\left(t\right)=\left[a_1\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{1,z}\left(t\right)-b_1\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{1,z}^2\left(t\right)\right]\text{d}t\\ +\left[{\alpha }_1\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{1,z}\left(t\right)+{\rho }_1\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{1,z}^2\left(t\right)\right]\text{d}{W}_1\left(t\right)\\ +{\displaystyle {\int }_{ℍ}{\gamma }_1}\left(\varpi \left(t\right),v\right){\phi }_{1,z}\left(t^{-}\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right),\end{array}$ (2.1)

其中 ${\phi }_{1,z}\left(0\right)=X_1\left(0\right)=x\in {ℝ}_{+}$ 。在y轴上，有

$\begin{array}{c}\text{d}{\phi }_{2,z}\left(t\right)=\left[a_2\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{2,z}\left(t\right)-b_2\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{2,z}^2\left(t\right)\right]\text{d}t\\ +\left[{\alpha }_2\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{2,z}\left(t\right)+{\rho }_2\left(\varpi \left(t\right)\right){\phi }_{2,z}^2\left(t\right)\right]\text{d}{W}_2\left(t\right)\\ +{\displaystyle {\int }_{ℍ}{\gamma }_2}\left(\varpi \left(t\right),v\right){\phi }_{2,z}\left(t^{-}\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right),\end{array}$ (2.2)

其中 ${\phi }_{2,z}\left(0\right)=X_2\left(0\right)=y\in {ℝ}_{+}$ 。

回顾如下两个将在后文的证明中使用的引理。

引理2.1 详见[4]或[10]。在假设1.1下，对于 $\forall \left(X_1\left(0\right),X_2\left(0\right),\varpi \left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^2\times \mathbb{S}$ ，可以得到

$\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{X}_{1,z}}\text{d}{W}_1\left(s\right)=0a.s.,\\ \underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{X}_{2,z}}\text{d}{W}_2\left(s\right)=0a.s.,\\ \underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln }}\left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)=0a.s.,\\ \underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln }}\left(1+{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)=0a.s.\end{array}$ (2.3)

定理2.1 [6]. 如果假设1.1成立，对于任意小的 $\epsilon >0$ ，

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\mathbb{P}\left\{X_{j,z}\left(t\right)\le K\right\}\ge 1-\epsilon ,j=1,2,$

其中K是一个正常数。这表明系统(1.1)是随机最终有界的。

为了考察随机扰动下系统的稳定性和动力学行为，研究系统(1.1)平稳分布的存在性是非常有必要的。

3. 遍历平稳分布的存在性

本文这一部分将研究两个物种共存的条件和系统(1.1)的平稳分布的存在性。首先，给出以下结论。

定理3.1 定义停时为 ${\tau }_{3-j,z}^{\delta }:=\inf \left\{t\ge 0:X_{j,z}\left(t\right)\ge \delta \right\}$ 。给定任意 $j\in \left\{1,2\right\}$ ， $\Delta ,T>1$ ， $\epsilon ,\nu >0$ ，则有

$\mathbb{P}\left\{\left|{\phi }_{j,z}\left(t\right)-X_{j,z}\left(t\right)\right|<\nu \forall t\in \left[0,T\wedge {\tau }_{3-j,z}^{\delta }\right]\right\}\ge 1-ϵ\forall z=\left(x,y\right)\in D_{3-j}^{\delta ,\Delta },$

其中 $\delta >0$ 是一个常数， $D_1^{\delta ,\Delta }:=\left[0,\delta \right]\times \left[{\Delta }^{-1},\Delta \right]$ 和 $D_2^{\delta ,\Delta }:=\left[{\Delta }^{-1},\Delta \right]\times \left[0,\delta \right]$ 。

证明 此定理证明的关键是借助Hölder不等式以及Burkholder-Davis-Gundy不等式，具体过程可参考[11]中的引理3.2。这里将省略证明过程。

接下来，考虑(2.1)和(2.2)系统的正常返状态和瞬态。对于所有的 $i\in \mathbb{S}$ ，定义

$\begin{array}{l}{{\rm Y}}_1\left(i\right)=a_2\left(i\right)-\frac{1}{2}{\alpha }_2^2\left(i\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_2\left(i,v\right)\right)-{\gamma }_2\left(i,v\right)\right]\vartheta }\left(\text{d}v\right),\\ {{\rm Y}}_2\left(i\right)=a_1\left(i\right)-\frac{1}{2}{\alpha }_1^2\left(i\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_1\left(i,v\right)\right)-{\gamma }_1\left(i,v\right)\right]\vartheta }\left(\text{d}v\right).\end{array}$ (3.2)

为了得到在一定条件下本文的系统存在唯一的平稳分布，首先研究边界方程。下面是关于边界方程的平稳分布的存在性定理。

定理3.2

如果 ${\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_j\left(i\right)>0$ ，则过程 $\left({\phi }_{j,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)$ ， $j=1,2$ 是正常返的而且存在一个概率测度 $f_j^{*}$ 作为唯一的平稳分布；

如果 ${\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_j\left(i\right)<0$ ，则过程 $\left({\phi }_{j,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)$ ， $j=1,2$ 是瞬态的，也就是说，当t趋于无穷大时， ${\phi }_{j,x}\left(t\right)$ 趋于0。

证明 定理3.2的证明与[5]中引理2.5所使用的方法类似。由于 ${\phi }_{1,z}$ 的系数在 $x=0$ 时是非退化的，使用变换 $Z_t=\ln {\phi }_{1,z}$ 。过程 $\left({\phi }_{1,z},\varpi \left(t\right)\right)$ 的正常返性则等价于 $\left(Z_t,\varpi \left(t\right)\right)$ 的正常返性。过程 $\left(Z_t,\varpi \left(t\right)\right)$ 有一个生成器 $\mathfrak{B}$ ，其定义如下

$\mathfrak{B}f\left(x,\cdot \right)\left(i\right)={\mathfrak{L}}^{i}f\left(x,\cdot \right)\left(i\right)+{\displaystyle \underset{j\ne i,j\in \mathbb{S}}{\sum }{m}_{ij}}\left(x\right)\left(f\left(x,j\right)-f\left(x,i\right)\right),i\in \mathbb{S},$

其中 $x\in R_{+}$ ， $M\left(x\right)=\left(m_{ij}\left(x\right)\right)$ 是一个 $n_0\times n_0$ 矩阵，它依赖于x，并且对于 $\forall i\ne j$ 满足 $m_{ij}\left(x\right)\ge 0$ 。此外， ${\displaystyle \underset{j\in \mathbb{S}}{\sum }{m}_{ij}}\left(x\right)=0$ 和 $f\left(x,\cdot \right)\left(i\right)$ 表示每个 $i\in \mathbb{S}$ 的任意二阶连续可微分函数。与[5]中不同的是这里定义了一个新的算子：

${\mathfrak{L}}^i:=\left[{{\rm Y}}_2\left(i\right)-\left(b_1\left(i\right)+{\alpha }_1\left(i\right){\rho }_1\left(i\right)\right){\text{e}}^x-\frac{1}{2}{\rho }_1^2\left(i\right){\text{e}}^{2x}\right]\frac{\text{d}}{\text{d}x}+\frac{1}{2}{\left({\alpha }_1\left(i\right)+{\rho }_1\left(i\right){\text{e}}^x\right)}^2\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{x}^2}.$

借助类似的讨论，建立过程 $\left(Z_t,\varpi \left(t\right)\right)$ 的正常返性。此外，根据[12]中的定理4.2，具有机制切换的正常返过程具有唯一的平稳分布。因此，正常返过程 $\left({\phi }_{1,z},\varpi \left(t\right)\right)$ 具有唯一的平稳分布 $f_1^{*}$ 。同样地，当 ${\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_2\left(i\right)<0$ 时，过程 $\left({\phi }_{1,z},\varpi \left(t\right)\right)$ 是瞬态的。

以上完成证明。

借助定理3.2，当 ${\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_1\left(i\right)>0$ 时，系统(2.1)拥有唯一的平稳分布 $f_1^{*}$ ，以及当 ${\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_2\left(i\right)>0$ 时，系统(2.2)有唯一的平稳分布 $f_2^{*}$ 。根据遍历性[13]，对于任何可测函数 $h(\cdot ):{ℝ}_{+}\to ℝ$ 且 ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left|h\left(\phi \right)\right|f_j^{*}\left(\phi \right)\text{d}\phi }<\infty$ ，对于 $\phi >0$ 得到

$\mathbb{P}\left\{\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^{t}h}\left({\phi }_{j,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }h}}\left(\phi ,i\right)f_j^{*}\left(\phi \right)\left(\text{d}\phi ,i\right)\right\}=1.$

这里， ${\phi }_{1,z}$ 和 ${\phi }_{2,z}$ 分别是(2.1)和(2.2)的解，z为初始值。

因此，利用遍历性和[11]中的Lyapunov方法，系统(1.1)满足

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{0.1x\phi }{x\left(x+\phi \right)}{f}_2^{*}\left(\phi \right)\left(\text{d}\phi ,i\right)}}\\ ={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }0.1}}{f}_2^{*}\left(\phi \right)\left(\text{d}\phi ,i\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\underset{x\to 0}{\lim }\frac{0.1x{\phi }_{2,x}\left(s\right)}{x\left(x+{\phi }_{2,x}\left(s\right)\right)}\text{d}s}=0.1a.s.,\\ {\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\underset{y\to 0}{\lim }\frac{0.1\phi }{\phi +y}{f}_1^{*}\left(\phi \right)}}\left(\text{d}\phi ,i\right)\\ ={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }0.1f_1^{*}\left(\phi \right)}}\left(\text{d}\phi ,i\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^{t}0.1\frac{{\phi }_{1,x}\left(s\right)}{{\phi }_{1,x}\left(s\right)+0}\text{d}s}=0.1a.s.\end{array}$ (3.3)

为了确定食饵和捕食者是否会灭绝，文本设定了两个阈值：

$\begin{array}{l}{\lambda }_1={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_1\left(i\right)+{\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }0.1}}{f}_1^{*}\left(\phi \right)\left(\text{d}\phi ,i\right),\\ {\lambda }_2={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_2\left(i\right)-{\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }0.1}}{f}_2^{*}\left(\phi \right)\left(\text{d}\phi ,i\right).\end{array}$ (3.4)

定理3.3 对于 $\forall \left(X_1\left(0\right),X_2\left(0\right),\varpi \left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^2\times \mathbb{S}$ ，当 ${\lambda }_1>0$ 且 ${\lambda }_2>0$ 时，系统(1.1)是随机永久的。

证明 在[11]中命题3.2的支持下，对于 $\forall \epsilon$ ，取 $T^{\prime }>1$ 和 ${{\sigma }^{\prime }}_1>0$ 。故可得

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{P}}\left\{X_{3-j,z}\left(k{T}^{\prime }\right)\le {{\sigma }^{\prime }}_1\right\}\le \epsilon ,\forall z\in {ℝ}_{+}^2,j=1,2.$ (3.5)

这里选择足够大的 $T^{\prime }$ ， $ℳ\subset {ℝ}_{+}^2$ ，方程(3.5)将得到满足。设 $T^{\prime }=T,{{\sigma }^{\prime }}_1={\sigma }_1$ 。因此

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{P}}\left\{\left|X_{1,z}\left(kT\right)\right|\wedge \left|X_{2,z}\left(kT\right)\right|\le {\sigma }_1\right\}\le \epsilon ,\forall z\in {ℝ}_{+}^2.$

利用定理3.1和式(3.5)，得

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{P}}\left\{\left(X_{1,z}\left(kT\right),X_{2,z}\left(kT\right)\right)\in ℳ\right\}\ge 1-3\epsilon ,\forall z\in {ℝ}_{+}^2.$

使用定理2.1，取 $\tilde{\Delta }>1$ ，

$\mathbb{P}\left\{{\tilde{\Delta }}^{-1}\le X_{1,z},X_{2,z}\le \tilde{\Delta }\right\}\ge 1-\epsilon ,\forall z\in ℳ,t\le T.$

利用Markov性，有

$\mathbb{P}\left\{{\tilde{\Delta }}^{-1}\le X_{1,z}\left(kT+t\right),X_{2,z}\left(kT+t\right)\le \tilde{\Delta }\right\}\ge \left(1-\epsilon \right)\mathbb{P}\left\{\left(X_{1,x}\left(kT\right),X_{2,y}\left(kT\right)\right)\in ℳ\right\},\forall t\le T.$

所以，对于每一个 $z\in ℳ$ ，

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{1}{nT}{\displaystyle {\int }_0^{nT}\mathbb{P}}\left\{{\tilde{\Delta }}^{-1}\le X_{1,z}\left(t\right),X_{2,z}\left(t\right)\le \tilde{\Delta }\right\}\text{d}t\ge \left(1-3\epsilon \right)\left(1-\epsilon \right)>1-4\epsilon .$

也就是，

$\underset{t\to \infty }{\lim \inf }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{P}}\left\{{\tilde{\Delta }}^{-1}\le X_{1,z}\left(s\right),X_{2,z}\left(s\right)\le \tilde{\Delta }\right\}\text{d}s\ge 1-4\epsilon ,$

这表明系统(1.1)存在唯一的平稳分布(见[11]定理2.1)。此外，应用随机永久性的定义[14]，最终得到系统(1.1)是随机永久的。

4. 种群灭绝性

在本节中将研究导致种群灭绝的具体条件，以及考虑系统(1.1)解的弱收敛的情况。

定理4.1 当 ${\lambda }_1<0$ 且 ${\lambda }_2>0$ 时，捕食者将灭绝，而食饵会弱收敛到 $f_1^{*}$ ；

当 ${\lambda }_1>0$ 且 ${\lambda }_2<0$ 时，食饵种将灭绝，而捕食者会弱收敛到 $f_2^{*}$ 。

证明 根据定理3.3， $\exists \Delta >1$ ，使得

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\left\{\left(X_{1,z}\left(t\right),X_{2,z}\left(t\right)\right)\in C\right\}\ge 1-\epsilon ,$ (4.1)

其中 $C=\left\{{\Delta }^{-1}\le x\vee y\le \Delta \right\}$ 和 $z=\left(x,y\right)\in {ℝ}_{+}^2$ 表示初始值。此外，根据式(2.4)，设 $T_4>1$ 和 ${\tilde{\delta }}_1>0$ ，则得出当 $T_4>1$ 时，

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{P}}\left\{X_{1,z}\left(i{T}_4\right)<{\tilde{\delta }}_1\right\}\le \epsilon .$ (4.2)

让 $C_1=C\setminus D_2^{\tilde{\delta },\Delta }\cup \left\{\left(x,y\right):x<{\tilde{\delta }}_1\right\}$ ，这显然是一个紧集。考虑到定3.1，如果过程 $X\left(t\right)$ 在 ${ℝ}_{+}^2$ 中不是正常返，那么它是瞬态的。因此，得出结论

$\underset{t\to \infty }{\lim }\mathbb{P}\left\{\left(X_{1,z}\left(t\right),X_{2,z}\left(t\right)\right)\in C_1\right\}=0.$

结合(4.1)和(4.2)，得到

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{P}}\left\{\left(X_{1,z}\left(i{T}_4\right),X_{2,z}\left(i{T}_4\right)\right)\in D_2^{\tilde{\delta },\Delta }\right\}\ge 1-2\epsilon .$ (4.3)

因此，显然存在一个常数 $i_0$ ，使得 $\mathbb{P}\left\{X_{1,z}\left(i_0{T}_4\right)\in D_2^{\tilde{\delta },\Delta }\right\}\ge 1-3\epsilon$ 。随后，利用Markov性，推导出

$\mathbb{P}\left\{\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{\ln X_{1,z}\left(t\right)}{t}={\lambda }_2\right\}\ge {\left(1-3\epsilon \right)}^2\ge 1-6\epsilon ,\forall z\in {ℝ}_{+}^2.$

因此，如果 ${\lambda }_2<0$ ，食饵种群 $X_{1,z}\left(t\right)$ 会灭绝。根据式(2.4)，对于 $\forall {\delta }_2,\epsilon >0$ ， $\exists T_4=T_4\left(\epsilon \right)$ ，得到

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{P}}\left\{X_{2,z}\left(i{T}_4\right)<{\delta }_2\right\}\le \epsilon ,\forall z\in {ℝ}_{+}^2.$

假设 $F(\cdot ):ℝ\times \mathbb{S}\to ℝ$ 是Lipschitz连续函数，且Lipschitz为 $L_F$ 。对于所有的 $i\in \mathbb{S}$ 和 $x_1,x_2\in {ℝ}_{+}$ 满足 $\left|F\left(x,i\right)\right|\le L_F$ 以及 $\left|F\left(x_1,i\right)-F\left(x_2,i\right)\right|\le L_F\left|x_1-x_2\right|$ 。

为了得到弱收敛于度量 $f_2^{*}$ 的过程 $\left(X_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)$ 的分布，只需证明

$\underset{t\to \infty }{\lim }\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)=f^{*}:={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }F}}\left(\phi ,i\right)f_2^{*}\left(\text{d}\phi ,i\right),\forall z\in {ℝ}_{+}^2.$

此外，考虑到

$\begin{array}{l}\left|\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)-f^{*}\right|\\ \le \left|\mathbb{E}F\left({\phi }_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)-f^{*}\right|+\left|\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)-\mathbb{E}F\left({\phi }_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)\right|.\end{array}$ (4.4)

因为 $\left({\phi }_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)$ 弱收敛于 $f_2^{*}$ ，则 $\forall \nu >0$ ，得到

$\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\left|\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t\right),\varpi \left(t\right)\right)-f^{*}\right|\\ \le L_F\nu \underset{t\to \infty }{\lim \sup }\mathbb{P}\left\{\left|{\phi }_{2,z}\left(t\right)-X_{2,z}\left(t\right)\right|\le \nu \right\}+2L_F\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\mathbb{P}\left\{\left|{\phi }_{2,z}\left(t\right)-X_{2,z}\left(t\right)\right|\ge \nu \right\}.\end{array}$ (4.5)

借助Markov性，则

$\begin{array}{l}\left|\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t+i{T}_4\right),\varpi \left(t\right)\right)-f^{*}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^2}\left|\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t+i{T}_4\right),\varpi \left(t\right)\right)-f^{*}\right|\mathbb{P}\left\{X_{2,z}\left(i_0,T_4\right)\in dz\right\}}\\ \le {\displaystyle {\int }_{U_1}\left|\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t+i{T}_4\right),\varpi \left(t\right)\right)-f^{*}\right|\mathbb{P}\left\{X_{2,z}\left(i_0,T_4\right)\in U_1\right\}}\\ +2L_F\mathbb{P}\left\{X_{2,z}\left(i_0,T_4\right)\notin U_1\right\}.\end{array}$ (4.6)

结合式(4.4)和(4.5)，借助Fatou引理，式(4.6)将满足如下不等式

$\left|\mathbb{E}F\left(X_{2,z}\left(t+i{T}_4\right),\varpi \left(t\right)\right)-f^{*}\right|\le L_F\nu +4L_F\epsilon .$

由于 $\nu$ 和 $\epsilon$ 均是任意的，则定理4.1成立。

定理4.2 当 ${\lambda }_1<0$ 且 ${\lambda }_2<0$ 时，捕食者种群与食饵种群最终将灭绝。

证明 取 ${\lambda }_1<0$ ，借助Itô公式，则有

$\begin{array}{c}\text{d}\ln X_2\left(t\right)=\left[a_2\left(\varpi \left(t\right)\right)-b_2\left(\varpi \left(t\right)\right)+\frac{0.1X_1\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_2\left(t\right)}-\frac{1}{2}{\left({\alpha }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)X_2\left(t\right)\right)}^2\right]\text{d}t\\ +{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)-{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right]\vartheta \left(\text{d}v\right)\text{d}t}\\ +\left[{\alpha }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)X_2\left(t\right)\right]\text{d}{W}_2\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln }\left(1+{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)\\ \le \left[a_2\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{1}{2}{\alpha }_2^2\left(\varpi \left(t\right)\right)+0.1+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)-{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right]\vartheta \left(\text{d}v\right)}\right]\text{d}t\\ +\left[{\alpha }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_2\left(\varpi \left(t\right)\right)X_2\left(t\right)\right]\text{d}{W}_2\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln }\left(1+{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right).\end{array}$ (4.7)

运用强遍历定理可知如下式子成立

$\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\left\{a_2\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{1}{2}{\alpha }_2^2\left(\varpi \left(t\right)\right)+0.1+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)-{\gamma }_2\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right]\vartheta \left(\text{d}v\right)}\right\}\text{d}t}\\ ={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_1\left(i\right)+\mathrm{0.1.}\end{array}$

根据引理2.1，则得

$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\left\{\left[{\alpha }_j\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_j\left(\varpi \left(t\right)\right)X_j\left(t\right)\right]\text{d}{W}_j\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln }\left(1+{\gamma }_j\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)\right\}}=0a.s.$ (4.8)

这借助 ${\alpha }_j(\cdot ),j=1,2$ 的有界性和引理2.1中的公式。根据定理3.1和式(4.7)，知道 $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\ln X_2\left(t\right)}{t}<{\lambda }_1$ 是几乎肯定的，即 $\lim {\sup }_{t\to \infty }\frac{\ln X_2\left(t\right)}{t}<0a.s.$ 成立。因此，必有 $\underset{t\to \infty }{\lim }{X}_2\left(t\right)=0$ 。

再次利用Itô的公式，则得到

$\begin{array}{c}\text{d}\ln X_1\left(t\right)=\left[a_1\left(\varpi \left(t\right)\right)-b_1\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{0.1X_2\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_2\left(t\right)}-\frac{1}{2}{\left({\alpha }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1\left(t\right)\right)}^2\right]\text{d}t\\ +{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)-{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right]\vartheta \left(\text{d}v\right)\text{d}t}\\ +\left[{\alpha }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1\left(t\right)\right]\text{d}{W}_1\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln }\left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)\\ \le \left[a_1\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{1}{2}{\alpha }_1^2\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{0.1X_2\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_2\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)-{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right]\vartheta \left(\text{d}v\right)}\right]\text{d}t\\ +\left[{\alpha }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1\left(t\right)\right]\text{d}{W}_1\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln }\left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right).\end{array}$

进一步，可得

$\begin{array}{c}\frac{\ln X_1\left(t\right)}{t}\le \frac{\ln x}{t}+\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\left[a_1\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{1}{2}{\alpha }_1^2\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{0.1X_2\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_1\left(t\right)}\right]\text{d}t}\\ +\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)-{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right]\vartheta \left(\text{d}v\right)\text{d}t}}\\ +\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\left[{\alpha }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)+{\rho }_1\left(\varpi \left(t\right)\right)X_1\left(t\right)\right]\text{d}{W}_1\left(t\right)}\\ +\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t{\displaystyle {\int }_{ℍ}\ln \left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)\hslash \left(\text{d}t,\text{d}v\right)}}.\end{array}$

借助强遍历性定理，

$\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim }\left\{\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\left[a_1\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{1}{2}{\alpha }_1^2\left(\varpi \left(t\right)\right)-\frac{0.1X_2\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_2\left(t\right)}+{\displaystyle {\int }_{ℍ}\left[\ln \left(1+{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right)-{\gamma }_1\left(\varpi \left(t\right),v\right)\right]\vartheta \left(\text{d}v\right)}\right]\text{d}t}\right\}\\ ={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_2\left(i\right)-\frac{1}{t}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{0.1X_2\left(t\right)}{X_1\left(t\right)+X_2\left(t\right)}\text{d}t}a.s.\end{array}$ (4.9)

由于 ${\lambda }_1<0$ ，则 $\underset{t\to \infty }{\lim }{X}_2\left(t\right)=0a.s.$ 所以，基于式(3.4)，得到 ${\lambda }_2={\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_2\left(i\right)$ 。结合式(4.8)和(4.9)，得到不等式

$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\ln X_1\left(t\right)}{t}\le {\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_2\left(i\right).$

所以，当 ${\lambda }_2<0$ 时， $\underset{t\to \infty }{\lim }{X}_1\left(t\right)=0a.s.$

以上证明完毕。

5. 数值模拟

在本节中，利用数值模拟来论证本文的理论内容。在下面的例子中，赋予特定的参数值来研究系统(1)的种群动态行为。在本节中，取 $\mathbb{S}=\left\{1,2\right\},ℍ=\left\{1,2,3\right\}$ ， $\left(\varpi ,v\right)\in \left\{1,2\right\}\times \left\{1,2,3\right\}$ 。每个部分的强度测度值定义如下 $\vartheta \left(ℍ\right)=2,\vartheta \left(\left\{1\right\}\right)=0.5,\vartheta \left(\left\{2\right\}\right)=1$ 和 $\vartheta \left(\left\{3\right\}\right)=0.5$ 。为简单起见，假设随机环境由马尔可夫链控制，该链有两个状态，其生成矩阵为

$\Pi =\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right).$

通过计算，我们发现 $\pi =\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$ 。随机子系统之间的转换遵循马尔科夫链的特性。在本节中，假设初始值为 $\left(X_1\left(0\right),X_2\left(0\right)\right)=\left(0.2,0.2\right)$ 。对于式(2.1)和(2.2)，我们设 ${\phi }_{1,z}\left(0\right)={\phi }_{2,z}\left(0\right)=0.2$ 。在状态 $i=1$ 马尔科夫切换状态下，我们选择参数如下：

$\begin{array}{l}{a}_1\left(1\right)=0.2,a_2\left(1\right)=0.1,b_1\left(1\right)=0.3,b_2\left(1\right)=0.8,\\ {\alpha }_1\left(1\right)=0.1,{\alpha }_2\left(1\right)=0.1,{\rho }_1\left(1\right)=0.2,{\rho }_2\left(1\right)=\mathrm{0.2.}\end{array}$ (5.1)

而对于固定的状态 $i=2$ ，我们选择参数如下：

$\begin{array}{l}{a}_1\left(2\right)=0.2,a_2\left(2\right)=0.2,b_1\left(2\right)=0.3,b_2\left(2\right)=0.5,\\ {\alpha }_1\left(2\right)=0.2,{\alpha }_2\left(2\right)=0.2,{\rho }_1\left(2\right)=0.2,{\rho }_2\left(2\right)=\mathrm{0.2.}\end{array}$ (5.2)

例子1：赋予 $\gamma$ 如下结果：

$\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(1,1\right)=-0.1,{\gamma }_1\left(1,2\right)=-0.2,{\gamma }_1\left(1,3\right)=-0.1,\\ {\gamma }_2\left(1,1\right)=-0.2,{\gamma }_2\left(1,2\right)=-0.3,{\gamma }_2\left(1,3\right)=-0.2,\\ {\gamma }_1\left(2,1\right)=-0.1,{\gamma }_1\left(2,2\right)=-0.2,{\gamma }_1\left(2,3\right)=-0.1,\\ {\gamma }_2\left(2,1\right)=-0.2,{\gamma }_2\left(2,1\right)=-0.3,{\gamma }_2\left(2,1\right)=-\mathrm{0.2.}\end{array}$ (5.3)

在 $i=1$ 和 $i=2$ 的环境下系统(1.2)分别有唯一的全局渐近稳定平衡点 $\left(X_1^{*}\left(t\right),X_2^{*}\left(t\right)\right)=\left(\frac{19}{33},\frac{19}{88}\right)$ 和 $\left(X_1^{*}\left(t\right),X_2^{*}\left(t\right)\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 。通过计算我们得到 ${\lambda }_1\approx 0.1777,{\lambda }_2\approx 0.0444$ 。在这种情况下，根据定理3.3，这表明两个种群在状态切换系统中共存，见图1。此外，图2提供了更多证据，证明了两个种群在环境切换状态下是永久的。在环境切换状态下不存在和存在跳跃时 $X_1\left(t\right)$ 和 $X_2\left(t\right)$ 的联合密度分布(如图2(c)和图2(d)所示)，其中蓝色区域代表物种的数量分布情况，颜色越深代表存在的物种数目越多。我们观察到随着跳跃噪声的加入，蓝色区域有整体向左下方移动的趋势。在这种情况下，跳跃噪声的存在会对 $X_1\left(t\right)$ 和 $X_2\left(t\right)$ 群体的生存产生负面影响。

(a) (b)

Figure 1. Population trajectories of system (1.1): with parameters (5.1), (5.2) and (5.3): (a) in regime 1; (b) in regime 2

图1. 在参数(5.1), (5.2)和(5.3)下，系统(1.1)的种群轨迹：(a) 机制切换1；(b) 机制切换2

(a) (b)

(c) (d)

Figure 2. Population trajectories of the system (1.1) with parameters (5.1), (5.2) and (5.3) in regime switching: (a) the trajectories of X₁; (b) the trajectories of X₂; (c) the joint density distributions of (X₁, X₂) without jumps; (d) the joint density distributions of (X₁, X₂) with jumps

图2. 在参数(5.1)，(5.2)和(5.3)下，系统(1.1)在制度转换中的轨迹：(a) X₁的轨迹；(b) X₂的轨迹；(c) 在不带跳跃的系统中(X₁, X₂)的联合密度分布；(d) 有跳跃的(X₁, X₂)的联合密度分布

例子2：为了探索白噪声强度如何影响系统(1.1)的种群动力学行为，我们将 ${\alpha }_1\left(2\right)$ 增加到1，同时保持(5.1)，(5.2)和(5.3)中的其他参数不变。经过计算，得到 ${\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_1\left(i\right)>0$ ， ${\displaystyle \underset{i\in \mathbb{S}}{\sum }{\theta }_i}{{\rm Y}}_2\left(i\right)<0$ 。进一步， ${\lambda }_1\approx 0.1777,{\lambda }_2\approx -0.1156$ 。根据定理4.1，食饵种群将灭绝，捕食者种群将弱收敛到平稳分布 $f_2^{*}$ ，如图3所示。观察图3(a)，由于食饵种群内在增长率 ${\alpha }_1\left(2\right)$ 的扰动强度过大，食饵种群在短暂的震荡之后灭绝。这表明白噪声过大将不利于种群生存。

(a) (b)

Figure 3. Population trajectories of the system (1.1) with α₁(2) = 1 and the other parameters of (5.1), (5.2) and (5.3) fixed in the regime switching: (a) the trajectories of X₁; (b) the trajectories of X₂

图3. 在α₁(2) = 1参数(5.1)，(5.2)和(5.3)下，系统(1.1)在制度转换中的轨迹：(a) X₁的轨迹；(b) X₂的轨迹

例子3：赋予 $\gamma$ 如下结果：

$\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(1,1\right)=-0.3,{\gamma }_1\left(1,2\right)=-0.7,{\gamma }_1\left(1,3\right)=-0.3,\\ {\gamma }_2\left(1,1\right)=-0.2,{\gamma }_2\left(1,2\right)=-0.3,{\gamma }_2\left(1,3\right)=-0.2,\\ {\gamma }_1\left(2,1\right)=-0.3,{\gamma }_1\left(2,2\right)=-0.7,{\gamma }_1\left(2,3\right)=-0.3,\\ {\gamma }_2\left(2,1\right)=-0.2,{\gamma }_2\left(2,1\right)=-0.7,{\gamma }_2\left(2,1\right)=-\mathrm{0.2.}\end{array}$ (5.4)

在这种情况下，我们有 ${\lambda }_1\approx -0.3261$ 和 ${\lambda }_2\approx -0.3104$ 。我们模拟了在参数(5.4)下，处于制度切换状态下的捕食者和食饵的种群数量随时间的变化，如图4所示，它描述了两个种群在短暂振荡后灭绝的情况，与定理4.2的结果一致。

(a) (b)

(c)

Figure 4. Population trajectories of the system (1.1) with parameters (5.1), (5.2) and (5.4) in the regime switching: (a) the trajectories of X₁; (b) the trajectories of X₂; (c) the joint density distributions of $\left(X_1,X_2\right)$ with jumps

图4. 在参数(5.1)，(5.2)和(5.4)下，系统(1.1)在制度转换中的轨迹：(a) $X_1$ 的轨迹；(b) $X_2$ 的轨迹；(c) 带有跳跃的 $\left(X_1,X_2\right)$ 的联合密度分布

6. 总结

本文研究的捕食者–食饵模型包括白噪声、Lévy跳跃和马尔科夫状态切换，这些扰动更具现实性。与现有方法相比，文本引入了更精确的阈值，并获得了充分且几乎必要的条件，用于判定随机捕食者–食饵系统的持久性和灭绝性。本文不仅利用数值模拟论证了理论结果，同时还强调了随机噪声在种群持久与灭绝中的复杂作用。未来的工作内容将研究在 $\lambda =0$ 时捕食者和食饵的动态行为，以填补我们工作中现有的空白。此外，概率密度函数的存在性已得到证明，我们未来的工作将集中于确定概率密度函数的显式表达式。带有不同类型功能反应函数随机捕食者–食饵模型[15] [16]将会产生不同的种群动力学行为，未来我们同样会考虑其他的功能反应函数。

致 谢

感谢审稿人对手稿的认真阅读以及有益的评价。