DOI: 10.12677/aam.2025.142082, PDF, HTML, XML,  被引量    科研立项经费支持
作者: 廖雪娇, 王梦丹^*, 唐耀平：湖南科技学院理学院，湖南 永州
关键词: 时空演变趋势；农作物种植结构；线性规划模型；Temporal and Spatial Evolution Trend； Crop Planting Structure； Linear Programming Model

文章引用：廖雪娇, 王梦丹, 唐耀平. 华北山区农作物种植结构的时空分布研究[J]. 应用数学进展, 2025, 14(2): 418-429. https://doi.org/10.12677/aam.2025.142082

1. 引言

农业是我国的立国之本、民生之源。我国华北地区的农村山区面积广大，山地农业在全国农业中有着重要的地位[1]，山地丘陵区粮食作物的种植对保障我国粮食安全具有十分重要的作用，如何在有限的土地资源充分发挥农作物的种植潜力仍存在很多挑战。由于华北山区耕地类型多样且分布零散，农作物种植种类也相当丰富。因此，选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。所以根据乡村的实际情况，传统的种植方式在面对自然因素及社会因素的影响下难以充分利用土地资源，而有效地利用农作物种植的空间格局和空间动态变化，因地制宜地利用自然资源进行农业生产的需求十分重要[2]。农作物种植结构是农作物收入与土地资源开发利用的基础，农业土地利用的变化是不同尺度下自然、社会和经济因素共同驱动的结果，作物种植面积变化是作物选择行为的直接反映。随着对精确、及时地获取作物种植信息的需求愈发强烈，目前，已经有大量的研究应用于农作物的种植结构分布中。例如：刘珍环[3]等综合运用时序变化趋势、空间集聚分析等方法分析近30年中国农作物种植结构时空变化；为考虑因子交互作用对种植结构空间分异，张红梅[4]等以1 km²地理网格为研究单元，运用分区统计法、空间自相关分析法及地理探测器法分析黑龙江省典型县耕地种植结构空间分异特征；Massey等[5]通过分析MODIS NDVI时间序列曲线下不同农作物的特征，运用决策树分类方法成功地获取了美国本土农作物的空间分布和种植面积数据；Grifths [6]等研究者结合了Sentinel-2和Landsat的数据集，通过应用随机森林算法，成功地绘制了德国农作物的空间分布图。鉴于此，针对华北山区的独特地理特征，合理地规划农作物的种植结构能够实现农业生产利益的最大化，也避免了由于单一物种造成的暂时性失业(农闲失业)情况，同时有利于农户的风险规避[7]，解决农民生计问题。本文以山西省大同市灵丘县车河村1201亩露天耕地为研究区，当地农民根据农作物的生长规律采取“小而全”的多样化种植经营方式[8]，从一个曾经的贫困小山村，如今发展成为面貌一新的美丽乡村，现已成为国家乡村振兴计划的先进典例。利用2024年“高教杯”全国大学生数学建模大赛C 题中附件给出的耕地和农作物的基本情况和2023年的农作物种植和相关统计数据，通过建立线性规划模型，求解预测出未来几年的最优农作物种植方案，为当地农作物种植结构调整优化提供参考。

2. 区域地块种植结构分布可视化

本文主要研究华北某乡村不同类型山区的农作物种植，以给出最优种植方案。赛题的附件中给出了此地区现有耕地和农作物的基本情况，例如：该乡村现有露天耕地1201亩，分散为34个地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地四个类型，另有16个普通大棚和4个智慧大棚，每个大棚耕地面积为0.6亩；因其独特的地理位置，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物；而大棚通过人工调节温度、光照和湿度等环境因素，能够在不适宜的季节提供适宜的生长条件，从而实现两季种植等等。本文分析整理了这些农作物信息，为了更直观化，用关系图表示了各类型不同农作物的种植条件(如图1)。

(a) (b)

Figure 1. Planting conditions of different crops

图1. 不同农作物的种植条件

为明确华北某山区34个大小不一的干旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚和智慧大棚在该村的时空分布情况，满足农作物每季的种植地不能太分散以及各农作物在单个地块(含大棚)种植的面积不宜太小的要求，本文首先对各区域的面积占比关系利用树状图进行可视化(如图2)。为减少外界因素影响简化模型，假设该村产量稳定，即2024年至2030年的预期销售量均与2023年产量持平，将收集的数据预处理，得到了未来预期销售量中单位利润排在前十的农作物及其预期销售量(如图3)。

Figure 2. Distribution of plot types in mountainous areas of north China villages

图2. 华北乡村山区各地块类型的分布

进一步，我们将销量较多的部分农作物数据进行整理，计算得到了其预期销售量及其不同季度的销售单价(如表1)。

Figure 3. Top 10 crops in unit profit and their profits

图3. 单位利润前十位的农作物及其利润

Table 1. Expected future sales volume and unit selling price

表1. 未来预期销售量及销售单价

农作物名称	预期销售量	销售单价	农作物名称	预期销售量	销售单价
黄豆	57,000	3.25	黑豆	21,850	7.5
红豆	22,400	8.25	绿豆	33,040	7
爬豆	9875	6.75	小麦	170,840	3.5
玉米	132,750	3	谷子	71,400	6.75
高粱	30,000	6	黍子	12,500	7.5
荞麦	1500	40	南瓜	35,100	1.5
红薯	36,000	3.25	筱麦	14,000	5.5
大麦	10,000	3.5	水稻	21,000	5.5
缸豆	36,480	8或9.6	刀豆	26,880	6.75或8.1
芸豆	6480	6.5或7.8	土豆	30,000	3.75或4.5
西红柿	36,210	6.25或7.5	茄子	38,400	5.5或6.6
菠菜	900	5.75或6.9	青椒	1200	5.25或6.8
菜花	2400	5.5或6.6	包菜	2700	6.5或7.8
油麦菜	4500	5或6	小青菜	32,000	5.75或6.9
黄瓜	2100	7或7.05	生菜	600	5.25或6.3
辣椒	1200	7.25或8.7	空心菜	3600	4.5或5.4
黄心菜	1800	4.5或5.4	芹菜	1800	4或4.8
大白菜	60,000	2.5	白萝卜	12,500	2.5
红萝卜	6000	3.25	榆黄菇	9000	57.5
香菇	7200	19	白灵菇	18,000	16
羊肚菌	4200	100

3. 最优种植结构分布模型

由于该村每季的总产量超过相应预期销售量时，超过的部分无法正常销售，会造成浪费。所以，首先计算每种类型地块的销售收入和其对应的种植成本，然后建立以最大化销售总利润为目标，以农作物的生长规律要求和方便田间管理等为约束条件的线性规划模型，求解即可得到种植的最优方案(如图4)。

Figure 4. Flowchart for solving the optimal planting plan

图4. 最优种植方案求解流程图

在最大化销售总利润的目标下，使得能够满足农作物的生长规律，方便耕种作业和田间管理，再建立相关模型。此规划模型需要考虑农作物的销售总利润、种植方式、农作物单个地块种植面积、农作物种植总面积、豆类植物的时间、农作物种植类型等，下面进行模型的符号说明。

1) 目标：农作物的销售总利润Q

销售总利润是指在不同类型地块上的销售利润之和，在不考虑销售费用的情况下，农作物销售总利润等于销售收入减去销售成本，当销售总利润越大，代表该地区的农作物种植结构分布方案越好。

① 当未来的产量小于等于其销售量时，即：

$Q=A+B+C+D+E+F$

② 当未来的产量大于其销售量时分两种情况：

第一种情况为：滞销的产物均被浪费无法进行售卖。即：

$Q=Y_j\cdot M_j-\left(a+b+c+d+e+f\right)$

第二种情况为：滞销的产物均以半价进行售卖。即：

$Q=Y_j\cdot M_j+q-\left(a+b+c+d+e+f\right)$

式中 $A,B,C,D,E,F$ 分别表示平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚和智慧大棚。 $M_j$ 表示第种农作物的销售单价， $Y_j$ 表示第j种农作物的实际销售量， $a,b,c,d,e,f$ 分别表示在各类型地块上的种植成本，q表示超出部分的销售收入。

2) 约束条件：种植方式限制

联系生活实际可知连续重茬种植会导致土壤中养分不平衡，作物根系分泌毒素，不能被同一类作物继续吸收利用，且连续种植该种农作物会让植物缺少其所必需的某种元素而导致减产。

$A_{ijt}\ne A_{ijt+1}$

式中 $A_{ijt}$ 表示在第i块平旱地上第j种作物在第t年的第一季的种植面积。同理可得其他类型的地块种植方式与平旱地一致。

3) 约束条件：农作物的单个地块种植面积的限制

山区各类型的地块较为分散，不利于农民对农作物的田间管理，但当每种作物在单个地块的种植面积

不小于该块耕地的 $\frac{2}{5}$ 时，作物的管理更方便。即：

$A_{ijt}\ge \frac{2}{5}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}{A}_{ijt}}$

同理可知在梯田、山坡地、水浇地、普通和智慧大棚的单地块种植面积的约束与在平旱地时相似。

4) 约束条件：农作物种植总面积限制

农作物种植总面积指能够使用的面积，所有农作物的种植面积不能超过该村能够使用的面积。即：

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{15}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}{A}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{15}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{14}{\sum }}{B}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{15}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}{C}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=16}{\overset{34}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{8}{\sum }}{D}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=138}{\overset{41}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{E}_{ijt}}}+{\displaystyle \underset{j=17}{\overset{34}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{A}_{ijt}}}=R\\ R\le S\end{array}$

式中S表示该乡村的1210亩耕地，R表示所有地块上农作物的种植面积。

5) 约束条件：豆类植物的种植时间限制

为了确保大豆的健康生长和高产，土壤养分的恢复和病虫害防范，种植后的地块需间隔三年以上方可再次种植。即：

式中T取2024年和2027年。

6) 约束条件：农作物种植类型限制

在平旱地、梯田、山坡地和水浇地每年种植一季粮食作物(水稻除外)，在水浇地每年种植一季水稻或两季蔬菜；普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌，智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。

下面建立以农作物销售总利润为目标函数，以种植方式、农作物单个地块种植面积、农作物种植总面积、豆类植物的时间、农作物种植类型为约束条件的线性规划模型。

在满足约束条件下，找到满足目标函数的最大值，由此可得到2024年至2030年的最优种植方案。

4. 线性规划模型求解

作物最优种植面积优化模型可以使用Excel中规划求解功能求解。规划求解的计算原理主要是依靠单纯形法[9]。通常，Excel中提供的“规划求解”优化工具也可用于求解一定限制条件下目标单元的最大值、最小值及其相应的可变单元(决策变量)值，其中对非线性问题的求解采用广义简约梯度法，对线性规划问题的求解采用单纯形法。

在求解研究农业种植结构中，采用线性规划方法求出的最优方案，既能满足诸多约束条件并且收益最大，又能提高计划工作的科学性且简便容易实现。近年来我国在自然资源调查和农业综合区划方面展开了大量工作，为运用线性规划方法来研究农业生产结构问题提供可靠的基础[10]。

通常，各类农作物的种类可分为粮食类、蔬菜类和食用菌类，所以我们分别整理统计出这三类农作物的情况。通过计算机程序求解，得到粮食类：蔬菜类：食用菌类农作物的利润占比情况为36.44:46.72:17.29，各类农作物的利润占比如图5所示；粮食类：蔬菜类：食用菌类农作物的种植面积情况为79:1:20，各类作物种植面积占比如图6所示。

Figure 5. Profit proportion of different types of crops

图5. 各类农作物的利润占比

Figure 6. Area proportion of different types of crops

图6. 各类农作物的面积占比

再利用Excel计算出未来2024年至2030年的最优种植方案和及其对应的年利润。当生产过剩时，若超出部分停滞浪费，最优种植方案的年平均利润为7520795.75元；若超出部分半价销售，最优种植方案的年平均利润为7956625.625元，对比结果可得滞销浪费最优方案的年平均利润小于滞销半价销售的年平均利润。

5. 模型改进

5.1. 作物种植风险

根据实际情况，农作物的未来预期销售量时常会发生变化，亩产量往往会受气候等因素的影响，每年也会有± 10%的变化；受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长5%左右；国家不断完善体制机制，推动粮食价格保持合理水平，粮食类作物的销售价格基本稳定，蔬菜类作物销售价格有增长的趋势，食用菌的销售价格稳中有降。

综合考虑农作物预期销售量变动的风险、亩产量变动的风险、销售价格变动的风险、种植成本变动的风险、不确定因素潜在种植风险的影响，采用蒙特卡洛模拟处理农作物销售时的产量、销售价格和种植成本的波动，例如：利用蒙特卡洛随机模拟数据，得到2024年预期销售量变化箱线图(如图7)。

Figure 7. Box plot of expected sales volume changes in 2024

图7. 2024年预期销售量的变化箱线图

在与产量稳定状态下的模型约束条件一致的情况下，以不同种植风险下的最大化利润为目标，利用遗传算法求得多种情境下的最优种植方案的年平均利润为8071476.25元。

5.2. 农作物之间的替代性、互补性和相关性分析

从经济学和种植学角度考虑，农作物种植不仅会有种植风险，各农作物之间还可能存在一定的可替代性和互补性，预期销售量与销售价格、种植成本之间存在一定的相关性。根据作物之间的联系，合理搭配不同的轮作顺序和间隔，调节土壤中各种养分元素的平衡、增加土壤有机质含量、改善养分利用效率等方式，农作物轮作可以有效提高土壤的肥力和健康状况，可以最大限度提高土壤养分的利用效率，不仅有助于优化农业生产方式，提高农作物产量和质量，还能够为农业可持续发展提供重要的理论和实践指导[11]。

可替代性和互补性量化：

本文用交叉价格弹性为量化可替代性以及互补性。交叉价格弹性是衡量一种商品需求对另一种商品价格变化的敏感度[12]。其计算公式为：

$E_{xy}=\frac{△Q_{xd}}{△P_y}\times \frac{P_y}{Q_{xd}}$

其中， $E_{xy}$ 是商品x对商品y的交叉价格弹性。 $△Q_{xd}$ 表示商品x的需求变量， $△P_y$ 表示商品y的需求变量， $P_y$ 表示商品y的价格， $Q_{xd}$ 表示商品x的价格。

对收集到的所有数据中各农作物间的交叉价格弹性进行计算，结果如表2所示。

Table 2. The cross-price elasticity among various crops

表2. 各农作物间的交叉价格弹性

农作物	农作物	交叉价格弹性	相关性	农作物	农作物	交叉价格弹性	相关性
黄豆	黑豆	0.8932	可替代性	黄豆	爬豆	−0.9096	互补性
水稻	香菇	0.9986	可替代性	水稻	包菜	−0.9494	互补性
榆黄菇	香菇	0.8081	可替代性	香菇	白灵菇	−0.6231	互补性
芸豆	油麦菜	0.9349	可替代性	芸豆	土豆	−0.9687	互补性
…				…

如果 $E_{xy}>0$ ，表示这两种商品是可替代的，且替代性强，例如黄豆和黑豆的交叉价格弹性为0.8932；如果 $E_{xy}<0$ ，表示这两种商品是不可替代的，例如黄豆和爬豆的交叉价格弹性为−0.9096，具有较强的互补性。

相关性分析：

为了度量两个变量X和Y之间线性相关程度的统计指标，引入皮卡尔逊相关系数，计算预期销售量与销售价格、种植成本之间的皮尔逊相关系数，公式为：

$r=\frac{{\displaystyle \sum \left(X_i-\bar{X}\right)}\left(Y_i-\bar{Y}\right)}{\sqrt{{\displaystyle \sum {\left(X_i-\bar{X}\right)}^2}}\sqrt{{\displaystyle \sum {\left(Y_i-\bar{Y}\right)}^2}}}$

其中，X代表预期销售量，Y表示销售价格或种植成本，r值在−1到1之间，接近1表示强正相关，接近−1表示强负相关，接近0表示无相关性。

利用蒙特卡洛模拟得到的数据，计算预期销售量与销售价格、种植成本之间的皮尔逊相关系数(见表3)，进而得出三者间的热力分析图(见图8)。

由于作物之间的相互关系，在考虑种植风险的基础上，增加作物之间的替代性、互补性和预期销售量与销售价格、种植成本之间相关性的约束条件。

替代性约束：

$X_{ijt}+Y_{ijt}\le H_{ijt}$

Table 3. Correlation analysis among expected sales volume, sales price, and planting cost

表3. 预期销售量与销售价格、种植成本之间的相关性分析

相关性	皮卡尔逊相关系数
预期销售量和销售价格	−0.1911616628
预期销售量和种植成本	0.09450317231
销售价格和种植成本	−0.1325035091

Figure 8. Heatmap of the relationship between expected sales volume, sales price and planting cost

图8. 预期销售量与销售价格、种植成本之间的热力分析图

互补性约束：

预期销售量与销售价格为负相关：

$Y_{jt}=Y_{jt-1}\cdot \left[1+r_1\left(U_{jt}-U_{jt-1}\right)\right]$

预期销售量与种植陈本为正相关：

$Y_{jt}=Y_{jt-1}\cdot \left[1+r_2\left(P_{jt}-P_{jt-1}\right)\right]$

销售价格和种植成本为负相关：

$U_{jt}=U_{jt-1}\cdot \left[1+r_3\left(P_{jt}-P_{jt-1}\right)\right]$

$r_1$ 表示预期销售量与销售价格的皮尔逊系数， $r_2$ 表示预期销售量与种植成本的皮尔逊系数， $r_3$ 表示销售价格和种植成本的皮尔逊系数，H表示地块类型， $H\in \left\{A,B,C,\cdots ,F\right\}$ 。

运用线性规划求解出结果，将两种情况下最优种植方案的利益进行对比，如图9所示。

Figure 9. Comparison of profits in two cases

图9. 两种情况下的利益对比图

对比两种情况下的利益情况，由图9可知在增加对种植风险的考虑后，未来几年的销售利润总体比较稳定；继续增加农作物之间的相关联系等条件后，总体利益有所上升，最大的销售利润也有所提升。

6. 结语

本文主要以各类型地块上农作物的销售总利润为目标函数，根据农作物的生长习性、种植区域面积限制等情况优化耕作流程和田间管理，建立了线性规划模型，利用Excel进行求解，得到了2024年至2030年各类农作物的最优种植面积及利润。进一步地，对模型进行改进，考虑农作物的种植风险，采用蒙特卡洛随机模拟，得到未来预期销售量等情况，运用遗传算法求得多种情境下的最优种植方案；继而考虑农作物之间的替代性、互补性等情况，增加线性规划模型的约束条件，最后对比求解两种情况下种植方案的利润。本模型考虑多方面的影响因素，符合生活实际情况，有助于当地依据市场及政策条件进行调节，有效规避多种风险，实现利益最大化。

线性规划能用于系统研究资源的合理利用，线性规划的可行方案都在各个限制因素组成的可行区域内，只要约束条件能正确地反映农业生产实际情况，即可保证其最佳方案是现实可行的。

基金项目

湖南省教育厅优秀青年科学研究项目“DC复合拟凸规划近似对偶理论的研究”(项目编号：24B0743)，湖南省普通本科高校教学改革重点研究项目“新工科背景下大学数学课程‘课程思政’教学模式研究与实践”(项目编号：202401001372)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

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