1. 引言

社交媒体和数字技术的快速发展使个人在日常社交互动中接触到前所未有的多样性和大量的观点信息。这种信息超载不仅增加了观点传播的复杂性而且加剧了舆论的动态特性。社交媒体是一种将信息发送者和接收者连接在一起的网络媒介，其特征是通过人际关系产生互动来传播信息，近年来基于主体社会互动模型引起广大物理学家兴趣，更为复杂还原的信息传播网络拓扑结构成了聚焦的热点，复杂网络观点动力学的研究有助于理解社会系统中信息的传播以及个体观点的交互过程。在当今社会，人们通过各种社交平台进行交流互动，形成了复杂的社交网络。在这些网络中，个体的观点会受到邻居节点的影响而发生改变。通过研究观点动力学，可以深入了解信息在网络中的传播规律，以及个体观点如何在交互中逐渐演化。

意见动力学作为表征相互作用主体集体社会行为的跨学科课题之一，在过去二十年中受到了广泛关注[1]-[5]。共识、极化和碎片化的演变过程和意见形成已经被提出了许多模型和机制[6]-[11]。特别是，网络结构可以提供一个重要的视角来研究智能体之间的相互作用，以探索社会系统中的无序–有序转换、尺度和普遍性[12]-[15]。本文的主要贡献如下：

(1) 提出一种相互依存的网络结构，一个网络中的智能体可能与另外一个网络中的相应智能体连接，因此相互依存网络中的动态行为比孤立的单个网络更符合真实场景。在这种具有独立性的系统中，意见动态尚未被探索，在此基础上引入可控耦合强度，并以概率参数p，q进行控制，揭示此网络下意见动态传播特性。

(2) 给智能体加入适应度特性，每个智能体被赋予一个适应度参数k，它允许异质性作为代理之间相互作用的结果动态发展，随着演化进行，异质性随着种群中不同的k值分布而发展，且模型可以在扩展的(s, k)状态空间中明显地以马尔可夫方式表示，由于过渡率通过k值依赖于过去的历史，因此使得意见群交互动态具有记忆性。

(3) 通过Matlab完成网络模型构建及大量仿真实验，实验结果验证了本文方法于传统模型方法更高层次贴近现实环境。

2. 国内外研究现状

统计物理学中对自旋系统的正式分析可以追溯到1920年，当时威廉·伦茨和恩斯特统计物理学·伊辛建立了第一个铁磁性[16]的数学模型。今天，我们可以正确地称之为多智能体模型[17] [18]。这些实体，即原子或介质，具有一定的自由度，它们的自旋 $s_i\left(t\right)\in \left\{-1,+1\right\}$ ，这是一个离散变量，表示磁偶极矩的方向。由于代理之间的相互作用，s_i(t)可以随时间而变化，这种相互作用由耦合常数J_ij表示。两个代理i和j是否可以相互作用是由底层拓扑定义的，例如，在原始的Ising-Lenz模型中，是一个一维或二维规则晶格。为了计算宏观状态，假设动力学可以分解为任意两个智能体i和j之间的成对相互作用，如果这两个智能体不是邻居，则J_ij = 0。

复杂网络中的观点动力学是近年来研究的热点领域，主要关注在网络结构上，个体如何通过交互传播与更新自己的观点，从而实现群体共识或分歧。在国内，研究主要集中在基于经典的Deffuant-Weisbuch模型、Voter模型等的扩展，探讨了群体规模异质性、网络拓扑、容忍度等因素对观点传播的影响。近年来，国内研究还着重于引入多重网络、超图、社交媒体等复杂网络结构，以更好地模拟现实中的信息传播与群体行为。例如，基于社会网络的情感分析、信息传播模型等在国内取得了显著的进展。

国际上，观点动力学的研究更注重理论的多样化与模型的复杂性，尤其是在考虑异质化群体、意见极化和回声室效应等现象方面。许多研究采用多维度的网络模型，如加权网络、层次网络、以及引入时间演化的模型，来刻画更为精细的社会动态。此外，国际研究也更加重视实验与实证分析，结合大规模社交平台数据，探讨真实网络中的观点演化机制。同时，跨学科的研究趋势愈加明显，融合了物理学、计算社会学以及人工智能等领域的方法和思想，为观点动力学的研究开辟了新的方向。

近年来相互依存网络的研究已然成为热点，学者们已经建立了一系列用于描述和分析相互依存网络的理论模型和方法。例如，双重网络模型(Bipartite Network Model) [19]和互惠网络模型(Reciprocal Network Model) [20]是常用于研究不同类型相互依存关系的基本框架。相互依存网络的研究在生态学、经济学、社会学等多个领域都有广泛应用。学者们关注网络中节点间的资源交换、信息传递和协同行为等现象，以及这些现象对网络稳定性和韧性的影响。相互依存网络在供应链管理、生态系统保护和社会协同等领域的应用逐渐增多。学者们关注网络结构、节点行为和系统韧性等方面的问题，以提高网络效率和稳定性。

3. 整体设计

3.1. 模型架构

将适应度参数引入双层方格网络模型介绍。

基于双层方格网络引入适应度参数k，将k值分布的演化和意见动态耦合在一起，每个代理有+1，−1两种观点，以及一个适应度参数k，在概率h下，具有较低k值的代理人会采纳具有较高k值的代理人的观点，而在概率h下，情况正好相反。保持其观点的代理(获胜代理)将其k值递增1，双层方格网络仍保留连接概率p，交流概率q来控制网络间的耦合强度(如图1所示)。

Figure 1. The schematic diagram of model architecture

图1. 模型架构示意图

3.2. 交互规则

1. 网络初始化：在相互依存的方格网络上，以d和1-d的占比随机每个节点随机分配+1，−1，连接概率p，q两种观点以及适应度参数k，起始每个节点的适应度参数k都为0，网络规模大小为N。

2. 在单个时间步长t = 2/N中，随机选择两个节点。如左图所示在连接概率p下，以概率q选择下X1的邻居节点X2 (从另一层的邻居节点中选出，对应的节点)，其余情况下在同层选出两相邻节点(如图1右图所示)。

3. 如果两节点观点值不同，它们的相互作用如下：两节点比较各自的k值。对于概率h，k值较低的代理人会采纳k值较高的代理人的意见。在概率为1−h的情况下，情况正好相反，k值较高的智能体会采纳k值较低的智能体的意见。如果两个k值相等，则一个主体以相等的概率1/2采纳另一个主体的意见。获胜的智能体然后将其k值递增1。

If k₁ > k₂ then：

$\left(s_1,k_1\right)\oplus \left(s_2,k_2\right)\to \{\begin{array}{l}\left(s_1,k_1+1\right)\oplus \left(s_2,k_2\right),\text{Pro}.h,\\ \left(s_2,k_2+1\right)\oplus \left(s_2,k_2+1\right),\text{Pro}.1-h,\end{array}$ (1)

If k₁ = k₂ then：

$\left(s_1,k_1\right)\oplus \left(s_2,k_2\right)\to \{\begin{array}{l}\left(s_1,k_1+1\right)\oplus \left(s_2,k_2\right),1/2,\\ \left(s_2,k_2+1\right)\oplus \left(s_2,k_2+1\right),1/2,\end{array}$ (2)

4. 当达到共识或者规定时间步数时停止演化，达到共识所需时间记为 $\tau$ 。

3.3. 衡量参数及评估指标

序参量(Order Parameter)是用来描述系统宏观状态的关键变量，通常用于研究从无序到有序的相变过程。它定量表征系统在对称性破缺、集体行为或相变过程中状态的变化。例如，在磁性材料中，序参量可以是自发磁化强度；在超导中，则是能隙函数。序参量通常随外部条件(如温度、压力)的变化而变化，是揭示系统动力学特性的重要工具。本模型采用序参量来作为衡量系统一致性的指标计算公式如下：

$m=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{s}_i$ (3)

其中 $s_i$ 代表节点i的意见状态，分为+1，−1两种， $m$ 表示整个系统的序参量，当 $\left|m\right|=1$ 时，代表整个系统达成了完全一致的状态。

为了更好的在微观层研究系统随时间演化情况，我们统计了+1节点占比情况，并在Anthony等人的基础上，同样得到了振荡收敛的现象。其中 $f_k^{+}$ 表示+节点数，此处统计正负状态节点比例分数ρ + (t)为：

${\rho }_{\pm }\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{f}_k^{\pm }$ (4)

完全图下可通过微分方程求得系统出现阻尼振荡现象，其中各参数满足以下速率方程：

$\frac{\text{d}{\rho }_{+}}{\text{d}t}=\left(2h-1\right)\underset{k=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\left(f_k^{+}{F}_k^{-}-f_k^{-}{F}_k^{+}\right),$ (5)

$\frac{\text{d}{\rho }_{-}}{\text{d}t}=\left[+\leftrightarrow -\right]$ (6)

$F_k^{\pm }=\underset{i=0}{\overset{k-1}{{\displaystyle \sum }}}{f}_i^{\pm }$ (7)

在此基础上本模型在相互依存网络上加以验证，发现在连接概率和交流概率的作用下，通过可控耦合强度，系统的阻尼振荡现象得到消除，并引发了一系列有趣的连锁效应。

4. 实验设计与验证

4.1. 系统规模与收敛时间关系

Figure 2. The relationship between system scale L and convergence time τ

图2. 系统规模L与收敛时间τ关系图

文章在不同大小N的相互依存网络和区间[0, 1]内的几个h值上对模型中定义的动力学进行了蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟，并测量了达成意见一致的时间。最初，每个智能体以相同的1/2概率选择意见+或−，并且所有智能体的适应度k = 0。结果如图2(a)(b)所示。随着系统规模的增加即lattice网络边长L从10增至50，收敛时间τ呈线性递增，仿真拟合结果可得出当h < 0.5时，系统收敛速度显著高于h > 0.5的系统，且随着h的增加系统达到一致性的阻碍越小，这是因为当h < 0.5时，智能体更倾向于采取适应度更高的邻居，以此能使系统减少意见的振荡持续时间，使得系统能较快稳定。

我们发现h以0.5为分界点，系统的收敛时间与系统规模呈现一种线性关系，即系统规模越大系统收敛时间越长，当h < 0.5时，在相同系统规模下，增加h可大幅缩短平均收敛时间，h > 0.5时，结果正好相反，随着h的增大，系统收敛时间反而增长。为了更直观地观察这一现象，通过大量仿真，每个节点取100次独立实验的平均，并绘制了如图3所示的关系图，从三维角度更直观地得到，存在一个最优值h = 0.4，使得在同条件下，系统能以最短的时间步达成一致。

Figure 3. The relationship between system scale L, convergence time τ and different h

图3. 系统规模L、收敛时间τ和参数h对应关系三维图

Figure 4. The evolution of magnetic susceptibility over time under different h

图4. 不同参数h下磁化率随时间演化关系图

磁化率作为衡量系统一致性的重要指标是意见动力学的一个关键点，相互依存网络上的磁化率又与传统模型不同，为此，我们引入全局磁化率作为两个系统间统一的标准，如图4所示，我们分别绘制了h从0~1下的磁化率随时间演化关系图，结果证明在h = 0和h = 1的情况下系统都不能达成一致，h = 0时，磁化率先进行衰减，随后在−0.5处持续振荡，其对应着现实社交网络中，智能体缺乏信任机制，对适应度敏感性几乎为零，致使整个系统在演化初期先出现阻尼振荡，随着时间的衰减，后期由于信任度机制的失效，磁化率水平趋于稳定。但此时系统并不稳定，意见处于一个极化分裂状态，h = 1表示系统中出现了狂热者，只要一出现适应度高的邻居节点便无条件进行跟随，使得系统一直处于混乱的无序态。

4.2. 可控耦合与去极化

Figure 5. The relationship among connection probability p, communication probability q

图5. 连接概率p，通信概率q与收敛时间关系图

Figure 6. Heat map of the distribution of k-value under different coupling strengths

图6. 不同耦合强度下k值分布热图

耦合强度是相互依存网络研究的焦点，模型通过引入连接和通信概率来研究层间网络对意见动态的影响，经过仿真数据分析与合理界定，模型以p = 0.2、q = 0.5，作为阈值，当概率参数大于这一值时，视为耦合状态，相反低于这一阈值的情况视为弱耦合甚至解耦状态。我们选在最优值h = 0.4的条件下进行研究，如图5所示在不同耦合强度下分别固定q = 0.5，p = 0.5的系统下，我们发现增强耦合强度能显著促进系统收敛速度，不同连接概率p下，当p增至0.1时收敛时间迎来跳变。对于交流概率p而言，当有连接概率p = 0.5做前提下，当交流率达到0.01时，系统便能达成一致。

模型引入的适应度参数使得网络中的智能体具有记忆特性，那耦合强度机制如何作用影响k值分布必然是研究的一大重点，于是我们分别在强耦合，弱耦合及解耦的条件下对于节点k值分布进行了深入剖析，我们固定q = 0.5，从平均100次的实验中随机采样出p = 0，p = 0.1，p = 0.5下适应度k值分布的热图，如图6所示，我们在带有周期边界条件且规模N = 2500，h = 0.4的相互依存网络下进行仿真。由图中明显的对应关系可看出，Net A与Net B在强耦合状态下(p = 0.5)，群体适应度分布高度一致。且出现以高度集中的环状带，其特征为保持高适应度的集中群体，当系统达到一致时可看出以此环状带以向外扩撒的趋势辐射提高周围群体适应度。这也印证在现实网络与社交媒体中，相互关联强度高的网络往往是高一致性，且信息观点等的传播往往是以一个影响力高的群体向周围扩散，具有一定的对抗性。

当p = 0，即解耦状态时，k值分布处于一个杂乱无序的状态，此时系统也不能达成一致，磁化率对应一个振荡态。此时增加耦合可消除这一现象，如图6所示虽然Net A与Net B并不能保持高度的一致但k值的分布也是以集群的形式形成，适应度高的群体与低适应度的群体保持较高的极化属性。由此得出相互依存的网络架构下，增加网络间的耦合强度可以保持网络间的一致性，减弱耦合强度可以弱化适应度k分布的极化特性。

对于系统振荡与衰减的原因研究，我们通过推理与计算正负状态节点比例分数ρ + (t)来探讨，如图7所示我们对双层网络上的+1节点占比进行采样，(a) 表示在弱耦合强度下Net A与Net B ρ + (t)随时间变化关系，弱耦合下使得同步频率降低，类似信号延迟，这也使得出现其中某层网络达到了一致，但另一层网络并没达到一致，从而引发另一层达到稳定的网络继发性的出现振荡。(b) 中在强耦合情况下，Net A与Net B ρ + (t)保持高度一致，即两层网络间保持类谐振振荡，但随着耦合强度的增强收敛时间显著增加，这是因为耦合强的增加，使得网络间智能体纠缠加剧，直到两层网络都达成高度一致，此外初始节点状态+，−两极的分布d由0.5变为0.6，会影响最终收敛态，实验结果还证明当h > 0.5时，初始d > 0.5时最终ρ + (t)会收敛到−1，h < 0.5时，若初始d > 0.5，则最终ρ + (t)会收敛到+1，否则收敛方向相反。

Figure 7. The evolution of ρ + (t) over time under different coupling strengths

图7. 不同耦合强度下ρ + (t)随时间演化关系图

5. 结束语

本文提出一种相互依存的网络结构，在传统意见模型基础上研究了一种变体，每个代理除了其意见变量外，还被赋予适应度参数k，智能体是成对交互的，k值在网络中的分布与意见共同演变，因此意见变化的速度取决于行为主体过去的历史，智能体由此具有记忆特性。我们通过大量仿真模拟及数学推论，研究了影响系统收敛时间的影响因素，以及耦合强度对相互依存网络中适应度分布以及同步性的影响。

研究结果表明，在融合适应度特性与可控耦合机制的相互依存网络上，系统的平均收敛时间与参数h密切相关，且与系统规模呈线性关系。当h < 0.5时，收敛时间随着h值增加减小，h > 0.5时则相反，并且存在最优值h = 0.4，使得系统以最快速达到收敛。系统在h = 0、1，将无法达到一致状态，最终意见值处于一种极化状态，这也映射着在真实社交网络中，无论各智能体对适应度敏感度较低还是出现了大量狂热者(对应h = 1的情况)都不利于系统一致性的达成。此外，文章研究了三种耦合强度下收敛时间、适应度分布、及双层网络间ρ + (t)随时间演化的同步性，在解耦状态下适应度k值分布较为混乱呈现极化态，当耦合强度增加，k值分布出现聚类性，p = 0.5时，分布出现环状带，且呈一种辐射态演化。此外耦合强度的增加能使网络间的ρ + (t)保持高度一致，但随着耦合强度的增强，网络间意见演化的振荡与纠缠加剧，使得系统收敛时间加长。

本文的模型可探讨的参数及理论研究还有很多可以深入的地方，后续的工作将继续聚焦于将各项参数研究细化，此模型的耦合机制还有待复杂化，简化的概率参数并不能很好地还原现实网络中的交互过程。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献