一类虚拟纽结的Affine Index多项式

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一类虚拟纽结的Affine Index多项式
The Affine Index Polynomials of Class of Virtual Knot

DOI: 10.12677/aam.2025.141045, PDF, HTML, XML,
作者: 郭兴博：辽宁师范大学数学学院，辽宁大连
关键词: 虚拟纽结；Affine Index多项式；Cheng着色；纽结不变量；Virtual Knot； Affine Index Polynomial； Cheng Coloring； Knot Invariant

摘要: 纽结理论是拓扑学的一个重要分支，虚拟纽结理论是经典纽结理论的推广，对它的研究是通过一种图解理论来展开的。虚拟纽结多项式是一类以多项式表达的虚拟纽结不变量，例如Arrow多项式和Wriggle多项式。Affine index多项式是以虚拟纽结图的整数标记定义的单变量多项式。本文主要计算一类特殊虚拟纽结的Affine index多项式。按照Cheng着色的规则，对虚拟纽结图的每一段弧进行整数标记，计算每个经典交叉点的指标值，进而得到这类特殊虚拟纽结的Affine index多项式的表达式。

Abstract: Knot theory is an important branch of topology. Virtual knot theory is a generalization of classical knot theory, and its research is carried out through a graphic theory. The virtual knot polynomial refers to a class of virtual knot invariant expressed by polynomials, such as the Arrow polynomial and the Wriggle polynomial. The affine index polynomial is a univariate polynomial defined by the integer label of a virtual knot graph. In this paper, we mainly calculate affine index polynomials for a special class of virtual knots. According to the rules of Cheng coloring, we will integer label each arc of the virtual knot graph and calculate the index value of each classical crossings, and then get the expression of the affine index polynomial of this special virtual knot.

文章引用：郭兴博. 一类虚拟纽结的Affine Index多项式[J]. 应用数学进展, 2025, 14(1): 462-468. https://doi.org/10.12677/aam.2025.141045

1. 引言

纽结理论是拓扑学中的一个不可或缺的领域分支。虚拟纽结理论是经典纽结理论的推广，有一种图解理论用于研究虚拟纽结和链环，这种图解理论适合于构造虚拟纽结许多新的不变量以及拓展已知的不变量。已知有很多不变量可以区分两个虚拟纽结，近年来对于多项式不变量广泛受到学者们的关注，引入了许多虚拟纽结的多项式不变量。

1996年Kauffman对经典纽结理论进行推广，正式提出了虚拟纽结理论。2000年Goussarov，Polyak和Viro获得一项重大的成就，他们证明了经典纽结的有限型不变量的整个理论可以拓展到虚拟纽结的范畴内，如：纽结多项式等。Kauffman证明了经典纽结Bracket多项式不变量可以拓展为包含经典纽结所有的拓扑信息的虚拟纽结的不变量，进而他利用Bracket多项式将经典纽结理论中的Jones多项式推广到虚拟纽结理论中的f-多项式，根据虚拟纽结图经典交叉点处的整数标记和所分配权重定义了Affine Index多项式。虚拟纽结多项式不变量的发现，使虚拟纽结领域取得重大的突破。随后，许多新的纽结多项式不变量陆续被发现。

本文的组织结构为：在第2节中，回顾了一些关于虚拟纽结理论的基本知识、Cheng着色的规则、经典交叉点指标值的内容，同时还简单介绍了Affine index多项式的定义和性质。在第3节中，构造一类特殊的虚拟纽结，按照Cheng着色的规则，对虚拟纽结图的每一弧进行整数标记，计算每个经典交叉点的指标值，将所得数值代入Affine index多项式的定义，进而得到这类特殊虚拟纽结的Affine index多项式的表达式。第4节中，对本文的主要研究结果进行总结。

2. 预备知识

2.1. 虚拟纽结理论[1]

虚拟纽结理论作为经典纽结理论的推广，是将圆嵌入到亏格可能大于零的加厚可定向的曲面上，而经典纽结理论则是亏格为零的情况。虚拟纽结图是一个由经典交叉点和虚拟交叉点共同构成的4价的平面图，如图1为经典交叉点和虚拟交叉点。

Figure 1. Classical and virtual crossings

图1. 经典交叉点和虚拟交叉点

2.2. Virtual Reidemeister Move (虚拟纽结R变换) [2]

R变换是虚拟纽结理论中最基本的变换，这三种变换形式具体为 $v R_{1}$ 变换、 $v R_{2}$ 变换、 $v R_{3}$ 变换。虚拟纽结借助经典R变换和虚拟R变换确定两个虚拟纽结图的等价性。Virtual Reidemeister变换的具体变换形式如图2所示。

Figure 2. Reidemeister moves

图2. Reidemeister变换

2.3. 经典交叉点的符号

设K是一个有向的虚拟纽结，D为虚拟纽结图。设 $C (D)$ 为虚拟纽结图D中所有经典交叉点的集合。任意的经典交叉点 $c \in C (D)$ 的符号如图3所示，记为 $sgn (c)$ 。

Figure 3. Crossing signs

图3. 交叉点的符号

2.4. Cheng着色[3]

沿虚拟纽结图D方向的两个连续经典交叉点之间的边称为弧，弧上有可能包含许多虚拟交叉点。给定一个整数值，对于D中每个经典交叉点和虚拟交叉点周围的弧按照图4所示进行整数标记，称为Cheng着色。

Figure 4. Labeling around crossing

图4. 交叉点周围的标记

2.5. 经典交叉点的指标值[4]

对虚拟纽结图D中每个经典交叉点 $c \in C (D)$ 分配权重，称为经典交叉点的指标值，记为 $W_{D} (c)$ ，满足：

$W_{D} (c) = sgn (c) (a - b - 1)$ (2.1)

2.6. Affine Index多项式[3]

2.6.1. Affine Index多项式的定义

虚拟纽结图D的Affine index多项式定义为：

$P_{D} (t) = \sum_{c \in C (D)} sgn (c) (t^{W_{D} (c)} - 1)$ (2.2)

2.6.2. Affine Index多项式的性质

通过反转有向虚拟纽结图D的方向得到D的逆，记为 $\bar{D}$ ；通过转换所有经典交叉点的上下信息得到D的镜像，记为 $D^{*}$ 。

性质1 D和 $\bar{D}$ 的Affine index多项式满足： $P_{\bar{D}} (t) = P_{D} (t^{- 1})$ 。

性质2 D和 $D^{*}$ 的Affine index多项式满足： $P_{D^{*}} (t) = - P_{D} (t)$ 。

性质3 若D是经典纽结的投影图，则 $P_{D} (t) = 0$ 。

3. 一类虚拟纽结的Affine Index多项式

3.1. 一类虚拟纽结 $v K_{n}$

对于任意的正整数 $n (n \geq 1)$ ，设 $v K_{n}$ 为图5所示的虚拟纽结，由n个块组成。

Figure 5. Virtual knot $v K_{n}$

图5. 虚拟纽结 $v K_{n}$

3.2. $v K_{n}$ 的Affine Index多项式

定理3.1 虚拟纽结 $v K_{n}$ 的Affine index多项式的表达式为：

$P_{v K_{n}} (t) = (1 - 3 n) t^{- 1} + t^{- 2} + (n - 1) t^{- 3} + 2 n - 1$

证明将 $v K_{n}$ 的每一块记为 $C_{i} (0 \leq i \leq n - 1)$ ，并且 $C_{i}^{k}$ 表示第i块的第k个经典交叉点。对 $v K_{n}$ 的经典交叉点按照图4所示规则进行整数标记，首先选择某一弧段标记为整数a，按照Cheng着色的规则，将 $v K_{n}$ 的其余弧段表示出来。首先对 $C_{0}$ 的整数标记如图6所示。

Figure 6. Cheng coloring of $C_{0}$

图6. $C_{0}$ 的Cheng着色

根据图6所示的标记，进一步得到经典交叉点 $C_{0}^{k} (1 \leq k \leq 5)$ 的指标值 $W_{v K_{n}} (C_{0}^{k})$ 如表1所示：

Table 1. sgn and $W_{v K_{n}}$ values of $C_{0}^{k}$

表1. $C_{0}^{k}$ 的sgn值和 $W_{v K_{n}}$ 值

$C_{0}^{k} (1 \leq k \leq 5)$	$C_{0}^{1}$	$C_{0}^{2}$	$C_{0}^{3}$	$C_{0}^{4}$	$C_{0}^{5}$
$sgn (C_{0}^{k})$	−1	−1	−1	+1	+1
$W_{v K_{n}} (C_{0}^{k})$	0	−1	−1	−2	0

其次对 $C_{1} - C_{n - 1}$ 的每个经典交叉点的整数标记如图7所示。

通过图7得出经典交叉点 $C_{i}^{k} (1 \leq i \leq n - 1; 1 \leq k \leq 6)$ 周围弧段的整数标记如图8所示。

进一步得到经典交叉点 $C_{i}^{k} (1 \leq i \leq n - 1; 1 \leq k \leq 6)$ 的指标值 $W_{v K_{n}} (C_{i}^{k})$ 如表2所示：

根据 $v K_{n}$ 所有经典交叉点的sgn值和 $W_{v K_{n}} (C_{i}^{k})$ 值得到其Affine Index多项式 $P_{v K_{n}} (t)$ 为：

$\begin{matrix} P_{v K_{n}} (t) = \sum_{i = 1}^{5} sgn (C_{0}^{i}) (t^{W_{K n} (C_{0}^{i})} - 1) + \sum_{\begin{array}{l} 1 \leq i \leq n - 1 \\ 1 \leq j \leq 6 \end{array}} sgn (C_{i}^{j}) (t^{W_{K n} (C_{i}^{j})} - 1) \\ = - 2 t^{- 1} + t^{- 2} + 1 + \sum_{1 \leq i \leq n - 1} [3 sgn (C_{i}^{4}) (t^{W_{K n} (C_{i}^{4})} - 1) + sgn (C_{i}^{5}) (t^{W_{K_{n}} (C_{i}^{5})} - 1)] \\ = - 2 t^{- 1} + t^{- 2} + 1 + (n - 1) (- 3 t^{- 1} + t^{- 3} + 2) \\ = (1 - 3 n) t^{- 1} + t^{- 2} + (n - 1) t^{- 3} + 2 n - 1 \end{matrix}$

Figure 7. Cheng coloring of $C_{0} - C_{n - 1}$

图7. $C_{0} - C_{n - 1}$ 的Cheng着色

Figure 8. Cheng coloring of $C_{i}^{1}$ , $C_{i}^{2}$ , $C_{i}^{3}$ , $C_{i}^{4}$ , $C_{i}^{5}$ , $C_{i}^{6} (1 \leq i \leq n - 1)$

图8. $C_{i}^{1}$ 、 $C_{i}^{2}$ 、 $C_{i}^{3}$ 、 $C_{i}^{4}$ 、 $C_{i}^{5}$ 、 $C_{i}^{6} (1 \leq i \leq n - 1)$ 的Cheng着色

Table 2. sgn and $W_{v K_{n}}$ values of $C_{i}^{1}$ , $C_{i}^{2}$ , $C_{i}^{3}$ , $C_{i}^{4}$ , $C_{i}^{5}$ , $C_{i}^{6} (1 \leq i \leq n - 1)$

表2. $C_{i}^{1}$ 、 $C_{i}^{2}$ 、 $C_{i}^{3}$ 、 $C_{i}^{4}$ 、 $C_{i}^{5}$ 、 $C_{i}^{6} (1 \leq i \leq n - 1)$ 的sgn值和 $W_{v K_{n}}$ 值

$C_{i}^{k} (1 \leq k \leq 6)$	$C_{i}^{1}$	$C_{i}^{2}$	$C_{i}^{3}$	$C_{0}^{4}$	$C_{i}^{5}$	$C_{i}^{6}$
$sgn (C_{i}^{k})$	−1	−1	+1	−1	+1	+1
$W_{v K_{n}} (C_{i}^{k})$	0	−1	−1	−1	−3	0

4. 结语

本文主要研究一类特殊的虚拟纽结 $v K_{n}$ ，通过Cheng着色的规则对虚拟纽结图的每一段弧进行整数标记，进而计算出这类特殊虚拟纽结的Affine Index多项式。通过图解理论简化了计算这类特殊虚拟纽结多项式的复杂程度。研究结果有利于更加全面的认识这类特殊虚拟纽结的特点，可以丰富这类特殊虚拟纽结的多项式不变量的研究。

参考文献

[1]	Kauffman, L. (1998) Virtual Knot Theory. November 1998-math.GT/9811028.
[2]	Jeong, M. (2015) Reidemeister Moves and a Polynomial of Virtual Knot Diagrams. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 24, 1550010. https://doi.org/10.1142/s0218216515500108
[3]	Kauffman, L.H. (2013) An Affine Index Polynomial Invariant of Virtual Knots. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 22, 1340007. https://doi.org/10.1142/s0218216513400075
[4]	Cheng, Z. and Gao, H. (2013) A Polynomial Invariant of Virtual Links. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 22, 1341002. https://doi.org/10.1142/s0218216513410022

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