1. 引言

Liouville-Bratu-Gelfand方程的边界值问题(BVP)的一维问题被称作Bratu问题[1]。通常，Bratu问题涉及以下形式的微分方程：

$\frac{d^{2}u}{d{x}^2}+\lambda e^u=0$ (1)

其中u = u(x)是未知函数，λ是一个正常数。边界条件通常为：

$u\left(0\right)=u\left(1\right)=0$ (2)

2. 对数据集的贝叶斯推断原理

在热传导领域，准确预测材料内部的温度分布对于设计有效的热管理系统至关重要。本研究采用N个高精度传感器，对一维稳态热传导过程中的温度分布u(x)进行数据采集。这些传感器被部署在热传导路径上，以监测不同位置的温度变化。每个传感器的测量精度 ${\sigma }^{\left(i\right)}$ ， $i=1,2,\cdots ,\text{ N}$ ，是预先确定的，反映了在理想条件下传感器的最大不确定性。

在实际的数据采集过程中，每个传感器会产生独立的测量误差 ${ϵ}^{\left(i\right)}$ ， $i=1,2,\cdots ,\text{ N}$ 。这些误差可能源于传感器的固有不准确性、环境变化、外部干扰等因素。我们假设这些测量误差是独立同分布的(i.i.d.)，即它们不仅相互独立，而且遵循相同的统计分布。例如，若误差服从正态分布，则可表示为 ${ϵ}^{\left(i\right)}\sim \mathcal{N}\left(0,{\sigma }^2\right)$ ，其中 ${\sigma }^2$ 代表误差的方差。

在Bratu方程的背景下，这种数据采集方法的应用涉及到对非线性偏微分方程的数值解进行不确定性量化。Bratu方程在热传导问题中有广泛的应用，如在描述固体推进剂放热反应和宇宙膨胀过程等物理现象。通过在特定点x处观测u(x)的值，我们可以对解的不确定性进行量化，这对于理解和预测Bratu方程在实际应用中的行为至关重要。

我们把相关数据采集通过数学描述为：传感器采集得到的数据集u构成的集合D具有噪声，即

$D={\left\{\left(x^{\left(i\right)},{\bar{u}}^{\left(i\right)}\right)|{\bar{u}}^{\left(i\right)}=u\left(x^{\left(i\right)}\right)+{ϵ}^{\left(i\right)}\right\}}_{i=1}^N$ (3)

这里 ${ϵ}^{\left(i\right)}\sim \mathcal{N}\left(0,{\sigma }^{\left(i\right){ }^2}\right)$ 且i.i.d.。

我们计划通过贝叶斯神经网络来对材料内部的温度进行整体不确定量化，假设用贝叶斯神经网络来得到的数值为 ${\tilde{u}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta \right)$ ，其中 $\theta$ 为贝叶斯网络中的权重，偏置等参数，它们服从先验概率 $P\left(\theta \right)$ 。那么相应的似然函数为

$P\left(D|\theta \right)={\displaystyle {\prod }_{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^{{\left(i\right)}^2}}}}\text{exp}\left(-\frac{{\left({\tilde{u}}^i\left(x,\theta \right)-{\bar{u}}^{\left(i\right)}\right)}^2}{2{\sigma }^{{\left(i\right)}^2}}\right)$ (4)

根据贝叶斯定理，有

$P\left(\theta |D\right)=\frac{P\left(D|\theta \right)P\left(\theta \right)}{P\left(D\right)}$ (5)

这里 $P\left(\theta |D\right)$ 可以看成是通过数据得到参数的概率，即后验概率。在求解后验概率(5)的过程中，由于 $P\left(\theta \right)$ 为先验概率，可以事先给定，而 $P\left(D|\theta \right)$ 则可以通过方程(4)计算得到，那么难度就集中在边缘分布 $P\left(D\right)$ 上。幸运的是在测量数据给定的情况下 $P\left(D\right)$ 可看作是一个定值，那么就有

$P\left(\theta |D\right)\propto P\left(D|\theta \right)P\left(\theta \right)$

我们对 $P\left(\theta |D\right)$ 中的θ进行抽样得到 ${\left\{{\theta }^{\left(i\right)}\right\}}_{i=1}^M$ ，进而得到相应的贝叶斯神经网络值 $\left\{{\tilde{u}}^{\left(i\right)}{\left(x,\theta \right)}_{i=1}^M\right\}$ ，从而可以得到整体对于u(x)的贝叶斯推断，推断的统计特性用均值和方差来显示，以便用来评估贝叶斯神经网络求解的预测值和不确定量化。

3. 基于Bratu方程数据集的贝叶斯推断

我们构造含有噪声的测试数据集D，进而进行贝叶斯推断。

3.1. 含有噪声数据集D

我们首先给出Bratu方程的数学特征，进而给出相应的测试数据集。

3.1.1. Bartu方程的数学特征

Bratu问题的解析解为以下形式的函数：

$u\left(x\right)=2\ln \left(\frac{\cosh \left(\alpha \right)}{\cosh \left(\alpha \left(1-2x\right)\right)}\right)$ (6)

其中α满足的超越方程

$\text{cosh}\left(\alpha \right)=\frac{4}{\sqrt{2\lambda }}\alpha$ (7)

通过数值方法[2]求解超越方程(7)可得，如果 ${\lambda }_c=3.513830719$ ，则当

$\lambda >{\lambda }_c$ , $\lambda ={\lambda }_c$ , $\lambda <{\lambda }_c$ ，

方程(7)分别有0, 1, 2个解。有关超越方程(7)的图形可见图1(a)，图1(b)和图1(c)。由图1(b)可以看得出来，当 $\lambda ={\lambda }_c$ 时， $\text{cosh}\left(\alpha \right)$ 的图形和 $\frac{4}{\sqrt{2\lambda }}\alpha$ 的图形相切于一点，即超越方程(7)有唯一解，此时可以唯一确定α = 1.195298433303833。

把唯一确定的α的值带入Bratu方程解(6)，即可得到完整的 $\left(x,u\left(x\right)\right)$ 相图，见图2。

Figure 1. Graphical representation of the transcendental equation (7) for various values of λ

图1. λ取不同数值时超越方程(7)的图形

Figure 2. The graph of $u\left(x\right)$ when $\lambda ={\lambda }_c$

图2. $\lambda ={\lambda }_c$ 时， $u\left(x\right)$ 的图形

3.1.2. 测试数据集的构成

我们根据Bratu方程的解析解(6)，在区间 $\left[0.1,0.3\right]\cup \left[0.6,0.8\right]$ 均匀采集32个点，并对相应的 $u\left(x^{\left(i\right)}\right)$ 根据方程(3)进行加噪，进而构建测试数据集D，其中噪声 ${ϵ}_u$ 分别为N(0, 0.1²)，N(0, 0.2²)，N(0, 0.3²)和N(0, 0.4²)。具体的数据集形式可见图3。

(a) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.1}^2\right)$ (b) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.2}^2\right)$

(c) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.3}^2\right)$ (d) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.4}^2\right)$

Figure 3. The dataset of $u\left(x^{\left(i\right)}\right)$ and $\overline{u^{\left(i\right)}}$ for different values of ${ϵ}_u$

图3. 取值不同的 ${ϵ}_u$ 下 $u\left(x^{\left(i\right)}\right)$ 和 $\overline{u^{\left(i\right)}}$ 数据集

3.2. Bartu方程数据集的贝叶斯推断

我们构建贝叶斯神经网络的具体框架为1 × 16 × 16 × 1，激活函数采用tanh，采样方法为HMC。

3.2.1. 单纯数据集D的贝叶斯推断

直接对数据集D进行贝叶斯推断，此时损失函数为贝叶斯网络生成的数据集的值同含有噪声数据集的值之差，即

$Loss={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N\frac{1}{2{\sigma }^{{\left(i\right)}^2}}}{\left({\tilde{u}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta \right)-{\bar{u}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta \right)\right)}^2$

我们给出函数真实值，推断的均值以及二倍标准差，图形可见图4。

从图4可以观察到，基于测试数据的贝叶斯推断基本上能够捕捉到温度的变化趋势。在导体边缘未进行测量的区域，两端的温度偏差较为显著；而在数据密集的区域，推断结果与实际数据的吻合度较高。通过对比图4(a)至图4(d)，我们可以发现，随着传感器精度的降低，贝叶斯推断的不确定性范围(带宽)变得更为宽广，这反映出整个监测系统的可靠性有所下降。

(a) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.1}^2\right)$ (b) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.2}^2\right)$

(c) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.3}^2\right)$ (d) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.4}^2\right)$

Figure 4. Bayesian Inference based on the dataset

图4. 基于数据集的贝叶斯推断

3.2.2. 基于Bartu数据集和方程的贝叶斯推断

在上一节中，我们通过采样方法成功获取了数据集D，并直接对变量u进行了贝叶斯推断。这种推断完全依赖于所采集的数据，而没有充分考虑传热的特性，也就是说，没有将Bratu方程(见公式(1))纳入考虑。现在，我们将在不增加额外检测点的前提下，结合Bratu方程(见公式(1))来进行贝叶斯推断。

假设贝叶斯神经网络得到的数据为 ${\tilde{u}}^{\left(i\right)}:={\tilde{u}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta \right)$ ， $i=1,\cdots ,N$ ，则我们希望这个数据满足

$\frac{d^2{\tilde{u}}^{\left(i\right)}}{d{x}^2}+\lambda e^{{\tilde{u}}^{\left(i\right)}}=0,i=1,\cdots ,N$ (8)

此时，损失函数定义为[3]-[5]

$Loss={\displaystyle {\sum }_{i=1}^N\frac{1}{2{\sigma }^{{\left(i\right)}^2}}}\left({\left({\tilde{u}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta \right)-{\bar{u}}^{\left(i\right)}\left(x,\theta \right)\right)}^2+{\left(\frac{d^2\widetilde{u^{\left(i\right)}}}{d{x}^2}+\lambda e^{\widetilde{u^{\left(i\right)}}}\right)}^2\right)$

我们给出函数真实值，推断的均值以及二倍标准差，图形可见图5。

(a) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.1}^2\right)$ (b) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.2}^2\right)$

(c) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.3}^2\right)$ (d) ${ϵ}_u\sim \text{N}\left(0,{0.4}^2\right)$

Figure 5. Bayesian Inference based on the dataset and Bratu equation

图5. 基于数据集和Bratu方程的贝叶斯推断

观察图5可以发现，结合测试数据和Bratu方程进行的贝叶斯推断能够较为准确地捕捉温度变化的趋势。在导体边缘未布置测量点的区域，两端的温度偏差已经显著降低；而在数据较为集中的区域，推断结果与实际观测数据的一致性较高。通过对比图5(a)至图5(d)，我们注意到，随着传感器精度的降低，贝叶斯推断的不确定性范围(即带宽)变得更加宽广，这表明监测系统的可靠性有所减弱。进一步比较图5与图4，我们可以看出，借助热传导模型，贝叶斯推断在预测温度分布方面能够实现更高的精确度。

4. 结论

我们的研究通过采集含有噪声的数据集，并结合热传导特性，构建了一个基于Bartu方程的贝叶斯神经网络模型来进行推断。数值仿真结果表明，虽然仅基于数据集的推断能够在一定程度上捕捉到一维温度分布的特征，但将热传导特性纳入考虑的贝叶斯推断能够更准确地模拟出整体的温度分布。展望未来，我们的研究方向将聚焦于：进一步优化贝叶斯神经网络算法，提高其在处理复杂热传导问题时的准确性和效率，特别是在处理高噪声数据时的表现，以及探索如何在微观和宏观尺度之间建立桥梁，实现跨尺度的热传导模拟，以更全面地理解和预测材料在不同尺度下的行为。通过这些研究方向的深入探索，我们期望能够进一步提升贝叶斯推断在热传导分析中的应用潜力，为相关领域的研究和工程实践提供更有力的支持。我们相信，通过不断的技术创新和跨学科合作，我们能够开发出更高效、更精确的热传导模拟工具，为能源、材料科学、航空航天等领域的发展做出重要贡献。

致 谢

感谢张立溥教授的指导和鼓励。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献