DOI: 10.12677/ssem.2025.141016, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 赵江东, 戴 韬^*：东华大学旭日工商管理学院，上海
关键词: 灵活抢占；顾客优先级；排队论；Flexible Preemption； Customer Priority； Queuing Theory

文章引用：赵江东, 戴韬. 灵活抢占策略下的顾客优先级排队模型研究[J]. 服务科学和管理, 2025, 14(1): 121-129. https://doi.org/10.12677/ssem.2025.141016

1. 引言

现实中，排队现象广泛存在于人们的日常生活中，但由于资源有限、需求不确定等因素，在高峰期，服务资源常常无法满足需求，导致顾客流失，服务商效益无法达到最优。但短期内，服务系统无法快速调整资源和能力以匹配需求。因此，很多服务商往往会通过优先级来区分顾客，并按照重要程度决定排队队列的先后顺序。通过让优先级更高的顾客优先享受服务资源，能够在无法避免顾客损失的前提下最大化系统效益，同时这种决策也能够刺激顾客的消费行为，让顾客更愿意为企业消费，增大用户黏性。

对于优先级较高的顾客来说，该优先级策略无疑进一步保证了其权益，获得了更高质量的服务，减少其等待时间。但是这种策略却也压缩了优先级较低顾客的服务质量，这样对于这类顾客是极其不公平的，并且从整体上的服务效益来看，该种策略对服务商整体效益的影响也是一个值得探讨的问题。

2. 文献综述

目前，已经有众多学者对带有优先级策略的排队系统进行深入研究。Takagi [1]对M/G/1型优先级排队系统进行了系统全面分析。Debo [2] [3]研究了一种带有推荐优先级的排队模型，即在该系统当中，顾客可以通过推荐顾客，让被推荐的顾客得到优先级。但通过研究分析，他们发现在系统较为拥挤，顾客流通缓慢时，该排队策略会大大降低顾客的服务体验，并减少系统的服务数量；相反在系统程度低时，却能显著提升该数据。

王喆[4]构建了一个融合多重休假、启动时间和不耐烦顾客策略的非抢占优先权排队模型，通过构建效益函数，讨论了非抢占优先权策略对排队指标所带来的影响，并找到系统性能指标的最优参数值，以优化医院排队系统。王哲和王文博[5] [6]都借助离散排队模型，讨论了非抢占优先权对于系统服务指标所带来的影响，Huang等[7]则针对具有传输优先级的计算机网络服务系统的网络拥塞风险问题，提出了一种非抢占式有限优先级M/M/n/m排队系统模型的求解方法。通过对模型三个指标分析：平均等待时间、平均停留时间和平均队列长度，并考虑不同优先级队列接收服务的顺序的公平性，表明该策略下系统可以大大减少网络系统中的数据服务风险，增强稳定性。

Daria Ivanova等[8]提出了一个通用的性能评估框架，利用定向天线阵列和传播型，评估了具有抢占性和非抢占性优先级的部分共享共存策略的性能。王玉[9]对带有优先权和负顾客的排队系统进行研究，建立了三个不同模型，通过对状态转移图和数值分析，讨论不同策略参数对于系统指标优化的影响，验证抢占优先权对系统效益如何改进。本文将侧重于灵活抢占策略在不同负载场景下以及抢占值发生改变时，对两类顾客指标影响的分析。

3. 模型建立

3.1. 基本假设

考虑两类顾客，一类为优先级顾客，在系统能够优先享受服务资源，另一类为普通顾客，该灵活抢占优先级M/M/m/K模型的基本假设为：

1) 系统中有m个服务台，且系统总容量为k (k > m)。

2) 各个服务台之间相互独立，且各个服务台的服务时间服从参数为 $1/\mu$ 的指数分布。

3) 顾客到达的时间间隔服从参数为 $1/\lambda$ 的指数分布。

4) 分别用 ${\theta }_1$ 、 ${\theta }_2$ 表示两类顾客的放弃速率。假定顾客到达系统后，若等待时间超过其耐心值就会放弃，顾客在服务过程中不会中途放弃。同时，为了更加符合现实情况，假定优先级顾客耐心时间更短，普通顾客耐心时间更长，即： ${\theta }_1$ 、 ${\theta }_2$ 。

5) 排队队列中，优先级顾客永远排在普通顾客之前。若高优先级进入系统时，服务队列已满，但有普通顾客在接受服务，系统会先对普通顾客的服务进度进行判断，若满足抢占要求则会立即中断普通顾客服务，让其重新排队，转而服务优先级顾客。

6) 同类型顾客之间遵循“FCFS”原则，即先到先服务。

将优先级无抢占模型作为对比模型，该模型中基本假设与灵活抢占策略模型中保持一致，但并不会发生抢占的行为，优先级顾客的唯一“特权”是在等待队列中，能够位于普通顾客之前排队等待。

在该灵活抢占策略模型当中，优先级顾客在成功进入系统之后并不会直接抢占服务队列中的普通顾客，而是会先对普通顾客的服务进度进行判定，当普通顾客已服务时间与期望服务时间的比值没有超过(小于等于)所设定的抢占值h时，优先级顾客才会立即抢占该顾客的服务台，否则不会抢占该顾客，并按照进入服务队列的先后顺序，对队列前方的普通顾客依次继续判定，直到抢占成功，若服务队列中的普通顾客都不满足抢占条件，则优先级顾客位于等待队列等待服务队列有空闲容量后再进入队列接受服务。模型的流程框图如图1所示：

Figure 1. Flexible preemption model flow chart

图1. 灵活抢占模型流程图

3.2. 评价指标设立

在构建灵活抢占策略排队模型时，评价指标的选择至关重要，因为它们直接关系到模型性能的评估和优化。为了方便描述，在各指标中分别用i = 1、2表示优先级顾客与普通顾客，本模型主要关注以下几个关键指标：

1) 顾客溢出率 $P\left(i\right)$ ：代表i类顾客由于系统容量已满无法进入的比例，能够直观反映系统的拥挤程度，以及优先进入系统产生交互行为的顾客数。

2) 顾客放弃率 $\theta \left(i\right)$ ：表示因等待时间过长而放弃服务的i类顾客比例，是衡量顾客满意度和系统设计合理性的重要指标。

3) 平均逗留时间 $T\left(i\right)$ 、平均等待时间 $W\left(i\right)$ ：分别代表所有i类顾客整体在系统内平均逗留和平均等待的时间，在整体上反映顾客的时间成本。

4) $TS\left(i\right)$ 、 $WS\left(i\right)$ ：分别代表通过接受服务后退出系统的i类顾客的平均逗留时间和平均等待时间。这两个指标针对的是能够为服务商产生效益的顾客，是评价顾客服务体验的重要指标，有着重要的参考意义。

5) $TA\left(i\right)$ ：表示通过中途放弃离开系统的i类顾客的平均逗留时间。该指标反映的是进入了系统但是没有为服务商产生效益的顾客，是选择排队策略时的重要参考依据。

通过这些指标的综合分析，可以对模型进行优化，以达到提升整体顾客满意度和服务效率的目的。在后续的仿真分析中，将通过调整模型参数和策略，观察这些指标的变化情况，从而找到最佳的服务策略。

3.3. 模型构建

仿真模型在Flexsim上进行实现，根据仿真模型的流程框图，使用对应功能的仿真模块模拟整个排队系统的过程。对于关键模块算法，顾客到达模块需要根据设定的到达率生成顾客，并为每个顾客分配标签，记录其到达时间、耐心值、优先级等信息。排队模块则需要维护一个队列，分辨每个顾客的优先级并按照到达时间顺序排队，并对每个顾客的排队等待时长实时记录，判断是否超过其耐心时间。服务模块负责处理顾客接受服务的过程，以及中断服务中的普通顾客。最后，所有的离开模块都需要记录顾客离开系统时的时间，计算总逗留时间。

在该模型中，系统总容量k = 35，其中服务台数量m = 5，排队空间容量为30。两类顾客的耐心时间仍分别服从参数为 $1/{\theta }_1=50$ 和参数 $1/{\theta }_1=100$ 的泊松分布，仿真时长为2000秒，取顾客记录求平均值。

设置模型中优先级顾客抢占的判定值h为0.8，即当优先级顾客进入系统时，若有普通顾客正在接受服务，且“已服务时间/需要服务时间<0.8”时，优先级顾客才会抢占该普通顾客，否则按照排队顺序判定前面的普通顾客，若都不满足抢占条件，优先级顾客位于排队队列等待。

每个服务台的服务时间为服从参数 $1/\mu =10$ 的指数分布，即单个服务台的服务速率 $\mu =0.1$ (单位：人/秒)，预估系统在规定时间内的服务能力为1000人次，以此为界限设置三个负载场景进行分析对比。

重负载情况下，优先级顾客到达率为 ${\lambda }_1=0.05$ ，即到达时间间隔服从参数为20的指数分布；普通顾客到达率为 ${\lambda }_2=0.8$ 。该到达率下，两类顾客在2000秒内的总到达量约为1700人次，大大超过系统的吞吐能力。

负载均衡情况下，优先级顾客到达率为 ${\lambda }_1=0.04$ ，即到达时间间隔服从参数为25的指数分布；普通顾客到达率为 ${\lambda }_2=0.5$ 。此时两类顾客的到达人次约为1080，符合系统最大服务人次。

轻负载情况下，优先级顾客到达率为 ${\lambda }_1=0.02$ ，即到达时间间隔服从参数为25的指数分布；普通顾客到达率为 ${\lambda }_2=0.4$ 。

4. 算例分析

4.1. 两种策略下顾客指标变化

1) 重负载场景(需求1700，服务能力1000)

重负载场景下，对比表1中数据结果可以看出，灵活抢占策略模型下优先级顾客的溢出率最低，只有11.9%，其他时间指标也低于优先级无抢占策略下的数据。同时，由于其溢出率降低，进入系统的顾客增多，因此该模型下获得服务的优先级顾客数量最多，为96人。

而该模型中的普通顾客溢出率为15.1%，同时该类顾客的各时间数据指标也高于优先级无抢占策略，意味着该模型下的普通顾客服务体验被进一步降低了。同时普通顾客中获得服务的人数为856人，也低于另一个策略，但从总服务人数来看与其差异不大。

因此，该场景下的灵活抢占策略改善了优先级顾客在系统中的服务体验，但是会加重系统的拥堵，导致普通顾客的平均逗留时间以及平均等待时间进一步延长。普通顾客的服务体验被进一步降低了，虽然优先级顾客服务人数略有提升，不过从系统整体人数来看，该模型并无太大改善。

Table 1. Data comparison of four strategy models under heavy load scenario

表1. 重负载场景下四种策略模型数据对比

策略		$P\left(i\right)$	$\theta \left(i\right)$	$T\left(i\right)$	$W\left(i\right)$	$TS\left(i\right)$	$WS\left(i\right)$	$TA\left(i\right)$	服务 人数
优先级无抢 占策略	优先级 顾客	15.6	4.3	12.3	2.4	12.7	2.4	2.4	88
	普通 顾客	14.2	36.7	42.1	35.5	53.6	43.2	22.1	867
灵活抢占 策略	优先级 顾客	11.9	0	10.4	0.05	10.4	0.05	0	96
	普通 顾客	15.1	37.0	43.3	36.8	55.4	45.0	22.8	856

2) 负载均衡场景(需求1080，服务能力1000)

Table 2. Comparison of data of four models in load balancing scenario

表2. 负载均衡场景下四类模型数据对比

策略		$P\left(i\right)$	$\theta \left(i\right)$	$T\left(i\right)$	$W\left(i\right)$	$TS\left(i\right)$	$WS\left(i\right)$	$TA\left(i\right)$	服务 人数
优先级无抢 占策略	优先级 顾客	0	5.8	11.8	1.8	12.4	1.7	1.9	81
	普通 顾客	0	17.3	23.5	15.0	25.9	15.7	12.0	838
灵活抢占 策略	优先级 顾客	0	0	9.2	0	9.2	0	0	84
	普通 顾客	0	17.9	24.3	15.8	27.0	16.6	12.3	833

表2中数据表明，在负载均衡场景下，优先级顾客在灵活抢占策略模型中各数据指标仍有良好的表现，其溢出率和放弃率仍为0，平均逗留时间也是两个策略当中最低的，尽管该类顾客中服务人数略有下降，但是差异不大，该场景下灵活抢占策略仍然优化了优先级顾客的各项数据指标。

3) 轻负载场景(需求840，服务能力1000)

跟负载均衡场景下一样，轻负载场景中由于系统本身流通较为顺畅，没有拥挤的情况产生，因此该抢占策略不会导致系统流通情况恶化。优先级顾客在该场景下的放弃率有了极大程度的降低，从10.5%降至0，这是由于优先级顾客本身耐心程度较低，在该策略下，其等待时间大大降低，因此其放弃率为0。同时普通顾客的放弃率也有所降低，导致其服务人数上升了一位，虽然其平均等待时间等指标有所上升，但程度不大，因此，从整体服务上来看，灵活抢占策略对模型指标的影响是可以接受的，数据结果见表3。

Table 3. Comparison of data of four types of models under light load scenario

表3. 轻负载场景下四类模型数据对比

策略		$P\left(i\right)$	$\theta \left(i\right)$	$T\left(i\right)$	$W\left(i\right)$	$TS\left(i\right)$	$WS\left(i\right)$	$TA\left(i\right)$	服务 人数
优先级无抢占 策略	优先级 顾客	0	10.5	9.5	1.3	10.2	1.1	3.4	34
	普通 顾客	0	5.3	14.3	4.7	14.7	4.6	6.0	773
灵活抢占 策略	优先级 顾客	0	0	8.7	0	8.7	0	0	38
	普通 顾客	0	5.1	14.6	5.0	15.0	4.9	6.0	774

4.2. 灵活抢占阈值计算

灵活抢占模型中，抢占值的高低也会对模型的服务过程产生极大的影响，它决定了系统在何种情况下允许优先级顾客抢占普通顾客的服务，通过调整h值，可以平衡优先级顾客和普通顾客的服务体验，以达到系统整体性能的最优化。

当h值较高时，优先级顾客抢占的机会增加，这可能会导致普通顾客的服务体验下降。相反，如果h值过低，虽然普通顾客的服务体验会有所提升，但优先级顾客的体验会无法受到保证。因此，找到一个合适的h值，使得系统在保证优先级顾客服务体验的同时，也能尽可能地减少对普通顾客的影响，是灵活抢占模型设计中的一个关键问题。

因此，本节针对灵活抢占阈值，从三种服务场景出发，分析阈值的变化对两类顾客服务指标的影响情况，仿真模型内其他参数设定仍与前文保持一致，评价指标采用两类顾客的服务人数以及平均逗留时间。

1) 重负载场景(需求1700，服务能力1000)

Table 4. Comparison of flexible preemption thresholds under heavy load scenarios

表4. 重负载场景下灵活抢占阈值对比

灵活抢占值h	优先级顾客		普通顾客
	服务人数	平均逗留时间	服务人数	平均逗留时间
0.8	96	10.4	856	55.4
0.6	90	10.9	866	54.7
0.5	91	10.3	861	54.1
0.3	96	11.3	855	54.9
0.2	90	11.3	856	54.6

在该场景下，随着h值的降低，优先级顾客服务人数出现了先减后增最后再减少的情况，同时其平均逗留时间总体上也维持着增多的趋势，分别在h = 0.8和h = 0.3时服务人数达到最多，在h = 0.5时平均逗留时间达到最少。普通顾客方面，分别当h = 0.6时服务人数最多，h = 0.5时得到服务顾客的平均逗留时间最少，数据结果见表4。

在重负载场景下，一味降低抢占值的设置不仅不能改善普通顾客的服务情况，反而有可能会导致系统拥挤，导致其平均逗留时间增加，从而降低普通顾客的服务体验以及服务人数。

通过对灵活抢占策略均衡场景下的阈值分析，发现当h值设置为0.5时，两类顾客的服务体验和总服务人数都表现较为良好，若想增加某一类顾客的服务数量，可按照数据的仿真结果适当增减h值的设定。

2) 负载均衡场景(需求1080，服务能力1000)

Table 5. Comparison of flexible preemption thresholds in load balancing scenarios

表5. 负载均衡场景下灵活抢占阈值对比

灵活抢占值h	优先级顾客		普通顾客
	服务人数	平均逗留时间	服务人数	平均逗留时间
0.8	84	9.2	833	27.0
0.6	86	11.0	829	27.9
0.5	86	11.2	829	27.7
0.3	86	11.5	830	27.5
0.2	85	11.7	834	27.0

负载均衡下，随着h值的调整，优先级顾客的服务人数变化不大，但其平均逗留时间会随着h值的增加而增加，显示出在负载均衡的场景下，灵活抢占策略模型对优先级顾客的影响主要集中于平均逗留时间。普通顾客方面，服务人数和平均逗留时间在h = 0.2时同时达到较为优异的情况，但与h = 0.8时没有较大差异，数据结果见表5。

该场景下，系统运行较为稳定，当h值较大时，能够在保证了优先级顾客服务体验的同时，对普通顾客的服务体验也没有太大的影响。

3) 轻负载场景(需求840，服务能力1000)

Table 6. Comparison of flexible preemption thresholds in light load scenarios

表6. 轻负载场景下灵活抢占阈值对比

灵活抢占值h	优先级顾客		普通顾客
	服务人数	平均逗留时间	服务人数	平均逗留时间
0.8	38	8.7	774	15.0
0.6	38	8.7	774	15.0
0.5	38	8.7	774	15.0
0.3	38	8.7	774	15.0
0.2	42	9.3	767	14.5

该场景下，服务系统内顾客数量较少，顾客受到h值的影响并不大，在0.3~0.8的范围内，两类顾客的各服务指标都没有出现变化，当h = 0.2时，系统内优先级顾客服务数量有所上升，但其发生抢占行为的难度增加，会增加其等候的概率，因此平均逗留时间上升，同时普通顾客中接受服务顾客的平均逗留时间和服务人数都发生了下降，数据结果见表6。

因此，轻负载场景下，两类顾客的总服务人数并未发生较大改变，服务商若想改善普通顾客的服务体验，可以适当降低h值的设定，但同时优先级顾客的平均逗留时间也有增加的可能。

4.3. 灵活抢占策略下的成本分析

1) 普通顾客等待时间分析

用 ${W^{\prime }}_{\text{2}}$ 表示灵活抢占策略中普通顾客的平均等待时间，用 $W_2$ 表示优先级无抢占策略中普通顾客的平均等待时间。普通顾客在完全抢占策略当中的等待时间变化可表示为： $\max \left({W^{\prime }}_{\text{2}}{{\lambda }^{\prime }}_{\text{2}}-W_2{\lambda }_2,0\right)$ 。

普通顾客在三种场景中的表现有所区别，重负载场景下，由于顾客到达速率较高，灵活抢占策略并没有改善系统的拥堵状况，反而进一步导致普通顾客时间指标上升，其在系统内的等待时间进一步升高；均衡场景下，系统运行平稳，灵活抢占策略能够在提升优先级顾客服务的同时，平衡普通顾客的服务体验；轻负载场景下，系统运行通畅，灵活抢占策略不会加重系统拥堵，反而降低两类顾客的溢出概率，提升了总服务人数。

2) 普通顾客放弃概率分析

普通顾客的放弃概率主要是受到等待时间所影响的，当等待时间上升时，普通顾客的放弃概率自然也会增加，因此普通顾客放弃概率在前两种场景下都会略微增加，但是在轻负载场景下，系统内顾客较少，顾客的流通更为顺畅，因此普通顾客的放弃率反而有所降低。

3) 两类顾客的溢出概率分析

两类顾客溢出概率的变化用 $\max \left({P^{″}}_1\left(k\right)-{P^{\prime }}_1\left(k\right),0\right)+\max \left({P^{″}}_{\text{2}}\left(k\right)-{P^{\prime }}_{\text{2}}\left(k\right),0\right)$ 表示，其中前半部分表示的是优先级顾客在灵活抢占策略模型与完全抢占策略模型中的变化情况，后半部分表示普通顾客的对应变化情况。

顾客的溢出概率主要受到系统拥挤程度的影响，在重负载场景中，相比完全抢占策略，灵活抢占策略反而会加重系统的拥堵，导致顾客流通缓慢，因此普通顾客的溢出概率会升高，但是对于优先级顾客来说，由于其到达率远低于普通顾客，总体数量小于普通顾客，因此并没有受到太大影响，反而略微有所降低；负载均衡以及轻负载场景下，由于系统本身运行流畅，没有顾客溢出，因此优先级策略的改变对溢出率没有产生影响。

5. 结语

本章构建了灵活抢占策略的排队模型，通过模型能够计算出该策略下两类顾客在三种负载场景中的指标变化情况，并借助抢占阈值分析和抢占成本分析，研究了顾客参数变化所带来的影响。总的来说，三种场景下，灵活抢占策略都能够改善优先级顾客的服务指标，但也会在一定程度上降低普通顾客的服务体验。该策略在重负载场景和负载均衡场景下都会略微降低系统服务总人数，但在轻负载场景下系统服务总人数有略微增加，这可能跟系统内顾客的拥挤程度有关。因此服务商在使用该抢占策略时，也要从所侧重的服务数据指标出发，灵活选择，必要时还可以根据灵活抢占阈值的计算，对抢占值做出灵活的调整，选择合适的策略。

同时，服务商在制定服务策略时，也应考虑以下几点：

1) 明确设定优先级的标准和范围。这有助于确保只有真正需要优先服务的顾客才能获得相应的待遇，避免滥用优先级导致服务不公平。例如，可以根据顾客的需求紧急性、历史消费记录或是对企业的价值贡献等因素来设定优先级。

2) 应关注普通顾客的服务体验。虽然抢占策略旨在提升特定顾客群体的服务效率，但管理者不应忽视普通顾客的需求和感受。可以通过提供额外的服务补偿、优化服务流程或加强员工培训等方式，来确保普通顾客在享受服务时也能获得良好的体验。

本文主要的研究方法是通过仿真模型对顾客的排队服务指标进行分析，未来的相关研究，可以侧重于对相关公式的推导，以此为企业的决策提供更高效的支持。在应用的场景方面，未来的工作可以进一步探讨不同服务抢占策略在更多场景下的适用性与效果。例如，可以考虑顾客到达时间的不确定性、服务时间的波动性以及顾客对服务时间的敏感度等因素，这些都可能对服务模型的性能产生影响。研究可以扩展到多优先级以及顾客行为动态变化等复杂场景，以更贴近现实的服务环境。同时，随着技术的发展，可以利用人工智能和机器学习技术来优化服务策略，实现更加智能化的排队管理。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

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