DOI: 10.12677/iae.2024.124090, PDF, HTML, XML,  被引量    国家自然科学基金支持
作者: 廖进蔚, 洪 滨, 陈泓宇：长江大学电子信息与电气工程学院，湖北 荆州
关键词: 滚动轴承；故障诊断；复合多尺度气泡熵；美洲狮算法；极限学习机；奇异谱分析；Rolling Bearing； Fault Diagnosis； Composite Multi-Scale Bubble Entropy； Puma Optimization Algorithm； Extreme Learning Machine； Singular Spectrum Analysis

文章引用：廖进蔚, 洪滨, 陈泓宇. 基于SSA-CMBE和PO-ELM的滚动轴承故障诊断方法[J]. 仪器与设备, 2024, 12(4): 678-691. https://doi.org/10.12677/iae.2024.124090

1. 引言

随着国家工业化日益发展，越来越多的使用场景对机械故障的监控和诊断提出了更高要求[1]。轴承作为制造业的关键部件，往往容易出现故障，约有40%的旋转机械故障是由于滚动轴承的问题引起的[2]。因此，为确保旋转机械平稳有效的运行，就必须保证滚动轴承的准确诊断[3]。

当滚动轴承的运行状态发生变化时，会在监测到的振动信号中反应出来。通过采集故障信号，可以对故障问题进行诊断，但故障信号中往往含有强噪声和非线性特征，对于信号的特征提取带来了困难和挑战[4]。所以，必须采用一种先进的信号处理技术来实现对信号特征的提取。国内外很多学者致力于去除原始振动信号中的噪声分量。相较于小波变换，Huang N.E.等[5]提出的经验模态分解(EMD)无需设定基函数，将复杂信号分解为多个信号分量。但EMD在分解过程中存在端点效应、模态混叠等问题，可能会导致分解结果产生错误[6]。王海龙等[7]提出一种改进的互补聚合经验模态分解(CEEMDAN)有效地解决了EMD所存在的部分问题，但也存在计算量过大的问题。Dragomiretskiy等[8]人提出的变分模态分解(VMD)算法则有效地避免了传统方法中常见的端点效应和模态混叠问题。此外，VMD的分解效果受到惩罚因子和模态层等核心参数的影响，需要人为设定模态个数，缺乏自适应性。奇异谱分析(SSA)能够有效分离信号中的噪声，且不需要对信号进行预设模型假设，具有良好的自适应性，使得SSA在处理强噪声和非线性的信号时表现尤为出色。Liu T. [9]将SSA应用于滚动轴承的故障诊断取得了良好的效果。

选取合适的特征向量是特征提取的关键。自信息论提出以来，熵值的应用场景日益广泛，如今也广泛地应用于故障的特征提取[10]。封成东等[11]提出一种基于样本熵的滚动轴承诊断模型，但样本熵(SE)存在运算速度慢参数设置复杂的问题。相较于样本熵，排列熵(PE)具有运算速度快，参数设置少的优点。郭跃楠等[12]通过排列熵提取了轴承的早期微弱故障特征。但排列熵在处理短的时间序列或数据分布不均匀的情况下，会面临较大的误差。针对上述问题，陈剑等[13]将气泡熵与支持向量机相结合，提高了故障诊断的准确度。针对气泡熵在时间序列的复杂性分析中存在不足的问题，提出了复合多尺度气泡熵(CMBE)，提高了轴承故障诊断的准确性和稳定性。

随着计算机技术的日益发展，滚动轴承的识别技术也愈发成熟。常见的分类模型有随机森林(RF)、支持向量机(SVM)和极限学习机(ELM)等。ELM与传统神经网络相比，在学习效率方面表现优异，具有较快的学习速度[14]。此外，ELM结构简洁、预测精度高，因而被广泛应用于多个领域[15] [16]。但ELM模型中的阈值与权重是随机生成的[17]，泛化性不足，可能会影响识别的准确率。本文采用美洲狮算法(PO)对ELM的输入层节点权重和隐藏层节点阈值进行优化，以提高模型对故障的识别能力。PO优化算法采用了一种新的机制来改变勘探和开发的阶段，实验表明PO的优化效果相较于WOA、PSO、DE等算法都具有更出色的性能。

综合上述内容，本文提出了一种基于SSA-CMBE和PO-ELM的滚动轴承故障诊断方法。首先，使用SSA对故障信号进行分解与重构；接着，运用CMBE提取重构信号的特征；然后，通过PO算法对ELM进行优化，建立PO-ELM模型；最后，通过PO-ELM模型对CMAE特征向量进行故障类型的识别与分类。实验结果表明，PO-ELM模型的故障识别准确率高达99.17%。

2. 信号处理与特征提取

2.1. 奇异谱分析

奇异谱分析(Singular Spectrum Analysis, SSA)是一种处理非线性时间序列数据的方法。近年来常应用于信号处理领域，通过对所要研究的故障信号进行分解、重构等操作得到多个更加准确的IMF分量。奇异谱分析的具体步骤如下。

第一步，需要选择合适的窗口长度L将原始时间序列进行滞后排列得到轨迹矩阵：

$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_{N-L+1}\\ x_2& x_3& \cdots & x_{N-L+2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_L& x_{L+1}& \cdots & x_N\end{array}\right]$ (1)

通常情况下取 $L<N/2$ 。令 $K=N-L+1$ ，则轨迹矩阵X为 $L\times K$ 的矩阵为：

$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_k\\ x_2& x_3& \cdots & x_{k+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_L& x_{L+1}& \cdots & x_N\end{array}\right]$ (2)

第二步，对轨迹矩阵进行奇异值分解，具体来说就是将X分解为以下形式：

$X=U\Sigma V^{\text{T}}$ (3)

其中U称为左矩阵；Σ仅在主对角线上有值，就是奇异值，其他元素均为零；V称为右矩阵。此外U、V均为单位正交阵，满足 $U{U}^{\text{T}}=I$ ， $V{V}^{\text{T}}=I$ 。

由于直接分解轨迹矩阵较为复杂，因此首先需要计算轨迹矩阵的协方差矩阵：

$S=X{X}^{\text{T}}$ (4)

接下来对S进行特征值分解得到特征值 ${\lambda }_1>{\lambda }_2>\cdots >{\lambda }_L\ge 0$ 和对应的特征向量 $U_1,U_2,\cdots ,U_L$ 。此时 $U=\left[U_1,U_2,\cdots ,U_L\right]$ ， $\sqrt{{\lambda }_1}>\sqrt{{\lambda }_2}>\cdots >\sqrt{{\lambda }_L}\ge 0$ 为原序列的奇异谱。并且有：

$X={\displaystyle \underset{m=1}{\overset{L}{\sum }}\sqrt{{\lambda }_m}}{U}_m{V}_m^{\text{T}},V_m=X^{\text{T}}{U}_m/\sqrt{{\lambda }_m},m=1,2,\cdots ,L$ (5)

这里 ${\lambda }_i$ 对应的特征向量 $U_i$ 反映了时间序列的演变型，称为时间经验正交函数(T-EOF)。

将具有相似信号特征的子序列进行叠加，生成表示趋势、周期、半周期和噪声等信号的特定序列，从而完成对原始序列的分解。其重构原理可以通过以下公式表示：

$x_i^k=\{\begin{array}{l}\frac{1}{i}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{i}{\sum }}{a}_{i-j}^k{U}_{k,j}},1\le i\le L-1\hfill \\ \frac{1}{L}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{L}{\sum }}{a}_{i-j}^k{U}_{k,j}},L\le i\le N-L+1\hfill \\ \frac{1}{N-i+1}{\displaystyle \underset{j=i-N+L}{\overset{L}{\sum }}{a}_{i-j}^k{E}_{k,j}},N-L+2\le i\le N\hfill \end{array}$ (6)

分组重构的关键在于区分同类信号，在提取特定序列时依据各分量的皮尔逊系数进行划分，并根据贡献度进行重构，贡献度低的子序列认为是噪声，在重构的时候去除这部分子序列。

利用SSA方法对滚动轴承的故障信号进行重构，以提高信噪比，从而更有效地提取其趋势特性和故障特征。

2.2. 皮尔逊相关系数

相关关系指的是两个或多个变量之间的取值存在一定的规律或联系，其目的是揭示数据中的潜在关系网。通过SSA对故障信号进行分解得到若干IMF分量，计算各分量与原始信号的皮尔逊相关系数，计算公式如下：

$\gamma =\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}}{\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}}\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2}}}$ (7)

其中： $x_i$ 为原始信号； $y_i$ 为各个IMF分量； $\bar{x},\bar{y}$ 分别为数据平均值；n为数据总长度。根据计算的皮尔逊系数，对信号进行重构。

2.3. 复合多尺度气泡熵

2.3.1. 气泡熵

气泡熵(BE)是一种几乎不需要进行参数选择的方法，其具体步骤如下[18]。

1) 对时间序列 $s=s_1,s_2,\cdots ,s_N$ 进行相空间重构，得到m维重构矩阵S，即：

$S=\left\{S\left(1\right),S\left(2\right),\cdots ,S\left(N-m+1\right)\right\}$ (8)

$S\left(i\right)=\left\{s\left(i\right),s\left(i+1\right),\cdots ,s\left(m\right)\right\}$ (9)

2) 对每个重构分量的元素，从左到右依次按照下面方法进行：左边元素小于右边元素位置不变，反之则交换位置。

3) 画一个关于n (n为交换次数) ( $n\in \left[0,m\left(m-1\right)/2\right]$ )的直方图，归一化计算得到概率p，求出2阶瑞丽熵，其公式如下：

$p=\frac{n}{N-m+1}$ (10)

$H_2^m\left(X\right)=\log {\displaystyle \underset{0}{\overset{m\left(m-1\right)/2}{\sum }}{p}^2}$ (11)

4) 将嵌入维数m增加1，重复以上3个步骤，得到 $H_2^{m+1}$ ，计算得到BE，其公式如下：

$b=\left(H_2^{m+1}-H_2^m\right)/\log \left(m+1/m-1\right)$ (12)

2.3.2. 复合多尺度气泡熵

多尺度熵是一种在数据分析中广泛应用的工具，特别是用来衡量时间序列的复杂性。它通过在不同时间尺度上计算熵值，刻画出数据在各个尺度上的复杂性特征，从而揭示出隐藏在数据中的信息。时间尺度的变化有助于我们捕捉数据在不同细节层次上的模式，从而更加全面地理解时间序列的特性。复合多尺度熵在此基础上进一步拓展，通过对粗粒序列的处理，能够更精确地刻画出时间序列的多重复杂性。

通过对粗粒序列的分析，复合多尺度熵可以揭示系统内部不同子系统之间的耦合关系，帮助分析这些子系统在不同时间尺度上的互动模式。这种分析方法不仅可以评估系统的复杂性，还能有效地揭示其同步性，为故障预测和健康监测提供了重要依据。

图1展示了对于红噪声信号在不同尺度下MBE和CMBE值的分布情况。

Figure 1. Distribution of red noise signal

图1. 红噪声信号的分布情况

由图片可以看出，与MBE方法相比，CMBE值变化幅度更小，总体更为平稳，CMBE定量提取特征的稳定性更好。

3. PO-ELM模型

3.1. 美洲狮优化算法

美洲狮优化算法(Puma Optimizer, PO)是一种全新的元启发式算法，其设计灵感来源于美洲狮的生存智慧与行为模式[19]。其算法主要包含无经验阶段、有经验阶段、勘探阶段和开发阶段4部分。

1) 无经验阶段是在算法的前三次迭代中，同时执行探索操作和开发操作，直到在相变阶段完成初始化。在第三次迭代结束后，则只选择勘探和开发阶段的其中一个。主要计算公式如下：

$Scor{e}_{Explore}=P{F}_1\times f_{1Explor}+P{F}_2\times f_{2Explor}$ (13)

$Scor{e}_{Exploit}=P{F}_1\times f_{1Exploit}+P{F}_2\times f_{2Exploit}$ (14)

在计算 $Scor{e}_{Explore}$ 和 $Scor{e}_{Exploit}$ 的值后，比较大小，如果 $Scor{e}_{Exploit}$ 大于等于 $Scor{e}_{Explore}$ ，则进入开发阶段，否则进入探索步骤。

2) 有经验阶段，美洲狮算法积累了足够的经验来判断是否需要改变阶段。在此阶段，算法只需选择一个阶段来进行优化操作。

$F_t^{exploit}={\alpha }_t^{exploit}\times f_{1_t^{exploit}}+{\alpha }_t^{exploit}\times f_{2_t^{exploit}}+{\delta }_t^{exploit}\left(lc\times f_{3_t^{exploit}}\right)$ (15)

$F_t^{explore}={\alpha }_t^{explore}\times f_{1_t^{expoit}}+{\alpha }_t^{explore}\times f_{2_t^{expoit}}+{\delta }_t^{explore}\left(lc\times f_{3_t^{expoit}}\right)$ (16)

上式用于计算每个开采和勘探阶段的最终成本，勘探和开采阶段的参数 $\alpha$ 和 $\delta$ 分别根据每个阶段的结果获得。如果勘探阶段函数的成本大于开采函数，则开采函数的参数 $\alpha$ 的值将以0.01的值线性惩罚，另一方面，开采阶段的参数 $\alpha$ 值将具有接近1的最大值。但是，如果开采阶段函数的成本高于勘探函数，则上述过程将相反。

3) 勘探阶段，整个种群按升序排序，首先放置高质量的解决方案。在每次迭代中，被新方案替换的维度数量都会增加，如果新的解决方案具有比当前解决方案更好的成本，则它将取代当前解决方案。

4) 在开发阶段，PO算法通过两种不同的算子来优化解，这两种算子分别模拟了美洲狮的两种典型行为：伏击狩猎和快速冲刺。这些行为为算法提供了多样化的改进机制。

$X_{new}=\{\begin{array}{l}\text{if}ran{d}_4\ge 0.5,X_{new}=\frac{\frac{mean\left(So{l}_{total}\right)}{Npop}{X}_1^{\text{T}}-{\left(-1\right)}^{\beta }\times X_i}{1+\alpha \times ran{d}_5}\\ \text{otherwise},\text{if}ran{d}_6\ge L,X_{New}=Pum{a}_{male}+2ran{d}_7\exp \left(rand{n}_1\right)X_2^{\gamma }-X_i\\ \text{otherwise},X_{new}=2ran{d}_8\times \frac{F_{1}RX\left(i\right)+F_2\left(1-R\right)Pum{a}_{male}}{2ran{d}_9-1+rand{n}_2}-Pum{a}_{male}\end{array}$ (17)

等式(17)显示了PO中使用的两种策略。考虑到在美洲狮中，为了在第一种模式下狩猎，在开发阶段，为了奔跑和伏击策略，使用了等式(17)中的情况1。如果随机生成的rand5值(在0到1之间均匀分布)大于0.5，则采用快速奔跑策略；否则，选择伏击策略。

为了验证PO算法的性能，将PO算法分别与WOA、PSO、DE、GA进行对比，使用几种标准测试函数进行测试，设置迭代次数设为1000，种群数量设为30，得到不同测试函数的收敛曲线如图2所示。可以看到PO相较于其他算法收敛速度更快，并且有更高的优化精度。算法的执行流程如图3所示。

3.2. 极限学习机

ELM (极限学习机)是一种前馈神经网络模型，通过随机初始化输入权值和阈值，进而计算得到相应的输出权值。ELM的输出表达式为：

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l}{\sum }}{\beta }_{j}g\left({\omega }_j{x}_q+h_j\right)}=Y_m$ (18)

式中， $g\left(x\right)$ 为隐藏层的激活函数， $w_j={\left(w_{1j},w_{2j},\cdots ,w_{qj}\right)}^{\text{T}}$ 为第j个输入层的权值向量； ${\beta }_j={\left({\beta }_{j1},{\beta }_{j2},\cdots ,{\beta }_{jl}\right)}^{\text{T}}$ 为第j个隐藏层的权值向量； $h_j$ 为第j个隐藏层节点阈值。

4. 基于SSA-CMBE和PO-ELM的故障诊断流程

基于SSA-CMBE和PO-ELM的故障诊断流程如下：

Figure 2. Iteration curves for different standardized test functions

图2. 不同标准测试函数的迭代曲线

Figure 3. PO algorithm flow chart

图3. PO算法流程图

1) 选取转速为1797的4种故障作为输入设备的故障信号。

2) 通过SSA对输入信号进行奇异值分解，得到多个IMF分量，并计算各个分量的皮尔逊相关系数，筛选出相关系数较大的IMF分量进行重构。

3) 计算重构信号的复合多尺度气泡熵，构造CMBE特征。每种故障的CMBE特征120组，4种故障类型，共480组CMBE特征。每种故障类型选取90组CMBE特征作为训练集，其余30组作为测试集，并对其使用标签标记。

4) 采用PO算法优化ELM模型中的输入层到隐藏层的权重w以及隐藏层的偏移值b。设置最大迭代次数T以及种群数量pop，将训练集的错误率作为适应度函数。

5) 设置PO的初始化参数以及加权因子PF用于控制探索和开发之间的平衡。计算种群个体的初始适应度值并进行排序。根据公式计算探索和开发的评分，比较二者值的大小，选择进入开发或者探索阶段，并更新相应的参数和最优解。在每次迭代结束后，重新计算探索和开发阶段的评分。通过对探索和开发两个阶段的动态调整，逐步逼近最优解。

6) 将含有CMBE值特征的训练集导入经过PO算法优化相关参数的ELM模型中进行训练，并使用测试集预测轴承的故障情况，进行分类，最后根据标签验证分类的准确率。基于SSA-CMBE和PO-ELM故障诊断的流程图如图4所示。

5. 实验分析

5.1. 滚动轴承数据集获取

本文实验数据集选用美国凯斯西储大学轴承数据中心实验室[20]采集的滚动轴承信号用来进行算法的搭建以及模型验证。

5.2. 故障特征提取

通过SSA方法对内圈故障、滚动体故障、外圈故障三种故障信号以及正常信号进行奇异值分解得到多个IMF分量，图5为内圈故障信号的分解得到的八个分解信号图。

Figure 4. Fault diagnosis flowchart

图4. 故障诊断流程图

Figure 5. Inner ring fault SVD decomposition signal time-domain waveform

图5. 内圈故障SVD分解信号时域波形

计算每个IMF分量与原始信号的皮尔逊相关系数，内圈故障、滚动体故障、外圈故障的皮尔逊相关系数如表1所示。

Table 1. Pearson correlation coefficients of each component

表1. 各分量皮尔逊相关系数

	IMF1	IMF2	IMF3	IMF4	IMF5	IMF6	IMF7	IMF8
内圈故障	0.8542	0.8629	0.6905	0.8465	0.5639	0.3771	0.2759	0.0880
滚动体故障	0.9298	0.9496	0.3236	0.6116	0.4388	0.2972	0.1629	0.0502
外圈故障	0.9708	0.9870	0.6892	0.6119	0.1475	0.0910	0.1310	0.0947

对每种故障分量的相关系数值进行排序，可以观察到每组排名前六分量的皮尔逊系数值明显高于后两个分量，因此选取排名前六的IMF分量作为有效分量。计算每组有效分量的MBE和CMBE，其熵值分布图如图6所示，并将复合多尺度气泡熵作为特征向量。与MBE相比，生成多个粗粒序列再计算多个序列多尺度熵的CMBE更能体现出故障信号间的差异，从而更好地区分不同的故障类型。

Figure 6. Entropy distribution of different vibration signals

图6. 不同振动信号的熵值分布情况

5.3. 算法寻优比较

探讨了PO-ELM模型在诊断效果中的应用，重点比较了PO、WOA、PSO和DE四种优化算法在ELM模型的权值和阈值优化中的表现。实验表明，PO算法在适应度曲线的收敛速度和最小值方面表现最优，明显优于其他三种算法(WOA、PSO和DE)。这一结果验证了PO-ELM模型在提升诊断效果方面的显著优势，指出了PO算法在优化过程中相对于其他寻优算法的优势。各优化算法的适应度曲线如图7所示。

5.4. 故障诊断结果分析

首先，通过SSA对内圈故障、滚动体故障、外圈故障三种故障信号以及正常信号进行重构，再计算重构信号的气泡熵、MBE和CMBE作为特征向量，对于每种特征向量，每种信号分别选择90组作为训练集，30组作为测试集，样本的具体分布情况如表2所示。

将带有标签的以气泡熵、MBE和CMBE作为特征向量的训练集导入PO-ELM模型进行训练，并通过测试集验证结果，四种故障类型下的平均准确率分别为95%、98.33%和99.17%，PO-ELM模型的诊断结果分别如图8的(a)~(c)所示。因此，CMBE作为特征向量的特征提取效果要优于MBE和BE。

Figure 7. Fitness curves of different optimization algorithms

图7. 不同优化算法的适应度曲线

Table 2. Fault code and sample size distribution

表2. 故障编码及样本数分布

故障编码	故障类型	训练集样本数	测试集样本数
1	正常状态	90	30
2	内圈故障	90	30
3	滚动体故障	90	30
4	外圈故障	90	30

为了进一步验证PO-ELM模型特征提取的性能，将常见的故障诊断优化模型与之进行对比，选取WOA-ELM、PSO-ELM和DE-ELM模型三种优化模型。将带有标签的CMBE特征数据集分别导入PSO-ELM、WOA-ELM和DE-ELM模型进行故障诊断，四种故障类型下的平均准确率分别为94.17%、95.83%和94.17%。三种模型的诊断结果如图9所示。

为保证模型的预测准确率，将以上六种方法多次实验求平均值，并对测试结果的准确率进行汇总，如表3所示。由图可知，CMBE相较于MBE和BE有更好的特征提取性能，对于后续导入模型进行训练和诊断，其在故障识别的准确率方面有明显的提高。此外，将CMBE作为特征向量导入ELM时，使用PO算法优化ELM的识别准确度相较于PSO、WOA和DE算法更高。结果显示，采用SSA-CMBE方法进行特征提取，并利用PO算法优化ELM的权值和阈值，所构建的综合故障诊断模型在识别滚动轴承

Figure 8. PO-ELM model diagnosis results

图8. PO-ELM模型诊断结果

故障时展现出更高的精度和有效性。

6. 结论

针对滚动轴承特征提取效果不佳以及故障诊断精度不足的问题，提出了基于SSA-CMBE和PO-ELM的故障诊断方法。得到的结论如下：

1) 通过SSA算法对故障信号进行重构，提升振动信号的信噪比，并将重构后的信号计算其CMBE值，作为信号的特征向量，相比较于传统的熵值，CMBE可以更精准地提取滚动轴承的故障特征。

2) 选择PO算法优化极限学习机，解决了ELM权值和阈值的随机生成问题从而提高了分类的精度，构建了PO-ELM的故障诊断模型。

3) 将带有CMBE特征向量的训练集导入诊断模型进行训练和测试，分别与PSO、WOA和DE算法

Figure 9. Diagnosis results of three fault diagnosis models

图9. 三种故障诊断模型诊断结果

Table 3. Comparison of results from different fault diagnosis algorithms

表3. 不同故障诊断算法结果对比

故障状态	故障 标签	测试集识别数量
		BE-PO-ELM	MBE-PO-ELM	CMBE-PO-ELM	CMBE-PSO-ELM	CMBE-WOA-ELM	CMBE-DE-ELM
正常状态	1	29	30	30	29	29	29
内圈故障	2	30	30	29	30	30	30
滚动体故障	3	24	28	30	25	27	24
外圈故障	4	30	30	30	30	30	30
诊断准确率(%)		94.17%	98.33%	99.17%	95%	96.67%	94.17%

优化ELM的模型结果相对比，实验结果表明本文提出的基于SSA-CMBE和PO-ELM的故障诊断模型有更高的识别准确度，可更为精确地监测滚动轴承存在的故障，并保证轴承的平稳运行。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(42174189, 61572084)。

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