1. 介绍

数值微分问题是一个经典的不适定问题，我们在很多的关于不适定问题的著作里会提到它[1]-[3]。它是最基础的不适定问题，同时数值微分在科学研究和实际应用中也是非常重要的。例如图像处理[4]、Abel积分方程的求解[5]、求解Volterra积分方程[6]、识别问题[7]等都需要处理数值微分。对物理过程的分析可能需要计算测量数据的导数，可以使用的函数值包含误差，并且数量有限。数据的数值微分包含了复杂逆问题可能表现出的许多微妙之处和陷阱。众所周知，数值微分问题在某些意义下是不适定的，输入数据中的任意小的差异，可能导致所求近似导数中的任意大的误差。或者说，通过函数在有限个点的值来求其导数的问题是不适定的。为了克服反问题的不适定性，我们就需要运用正则化方法。正则化方法是一种求解不适定问题的近似方法，所以解决这个问题的一个关键是建立稳定的算法。对于数值微分这个问题的研究，过去几年中出现了许多计算方法，例如差分方法[7]-[9]、Tikhonov正则化方法[10] [11]、软化方法[12]。虽然关于数值微分问题有许多的研究成果，但是目前存在的研究主要针对的是一维情形，而在实际应用中，二维情形下的数值微分问题更具有实际意义。

在标准Tikhonov正则化方法下，为了能够得到更多近似解的细节，Klann等于2006年提出了分数次Tikhonov正则化方法[13]，来克服经典Tikhonov方法求得的近似解过度光滑的缺陷。2012年，Li等在考虑热传导问题时提出了一种新的分数次Tikhonov正则化方法[14]。在[15]中，作者应用这一方法求解Helmholtz方程的柯西问题。在本文中，我们使用分数次Tikhonov正则化方法来解决高阶数值微分问题。我们分析了数值微分问题的不适定性，然后提出了该方法(参照第2节)。在第3节中，我们给出了先验正则化参数选择规则下的收敛性估计。

2. 不适定性分析

这节我们考虑数值微分问题的不适定性并讨论如何稳定高阶数值导数，考虑函数$h\left(x\right)\in L^2\left(R\right)$ ，设$\widehat{h}$ 为h的傅里叶变换，即：

$\widehat{h}\left(\xi \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{R}h\left(x\right){\text{e}}^{-i\xi x}\text{d}x}$. (1)

现在我们考虑函数$h\left(x\right)$ 的k阶导数，$k=1,2,\cdots$ 并定义$h^{\left(k\right)}\left(x\right)=\frac{{\text{d}}^{k}h\left(x\right)}{\text{d}{x}^k}$ ，进行傅里叶变换，即：

$\widehat{h^{\left(k\right)}\left(x\right)}={\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right)$ , (2)

则：

$h^{\left(k\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\displaystyle {\int }_R{\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right){\text{e}}^{-i\xi x}\text{d}\xi }$, (3)

其中，${\left(i\xi \right)}^k$ 是从h到$h^{\left(k\right)}$ 的“核”。

当我们在$L^2\left(R\right)$ 中考虑问题时，由于输入数据h在实际中是由物理测量得到的，存在一定的误差，所以我们用$h_{\delta }\left(x\right)\in L^2\left(R\right)$ 表示误差数据，满足：

$\Vert h_{\delta }-h\Vert \le \delta$ , (4)

其中，$\Vert \cdot \Vert$ 表示$L^2$ 的范数，$\delta >0$ 表示数据的噪声水平。因此，如果我们试图获得高阶数值导数，那么误差中的高频成分会被放大，可能会破坏解，所以该问题是不适定的。在[16]中，将“核”${\left(i\xi \right)}^k$ 修改为$\frac{{\left(i\xi \right)}^k}{1+{\left(\mu \left|\xi \right|\right)}^{2k}}$ ，通过修正法稳定问题，并得到误差估计。在本文中，我们提出分数次Tikhonov正则化方法，处理该不适定问题。对确切的输入数据施加一个先验界，即：

${\Vert h\Vert }_p\le E,p\ge 0$ . (5)

其中，$E>0$ 为常数，${\Vert \cdot \Vert }_p$ 是Sobolev空间$H^P\left(R\right)$ 的范数，定义为：

${\Vert h(\cdot )\Vert }_p={\left({\displaystyle {\int }_R{\left(1+{\xi }^2\right)}^p}{\left|\widehat{h}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi \right)}^{\frac{1}{2}}$, (6)

即：

${\Vert h^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\Vert }_p={\left({\displaystyle {\int }_R{\left(1+{\xi }^2\right)}^p}{\left|\widehat{h}\left(\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi \right)}^{\frac{1}{2}}\le E$. (7)

我们引入如下定义的分数次Tikhonov正则化方法[17]：

${\left(A^{*}A+\mu I\right)}^{\gamma }{h}_{\mu ,\gamma }={\left(A^{*}A\right)}^{\gamma -1}{A}^{*}{h}_{\delta }.$ (8)

其中，$A:X\to Y$ 是有界线性算子，$A^{*}$ 是A的伴随算子，$X,Y$ 是Hilbert空间。$\frac{1}{2}<\gamma \le 1$ ，如果$\gamma =1$ 会得到标准的Tikhonov正则化方法，这里选择$\frac{1}{2}<\gamma <1$ ，来克服近似解的过度平滑效应并获得更多精确解的细节[17]。

分数次Tikhonov正则化方法是一种基于滤波器的滤子正则化方法，过滤子提供了对正则化方法性质的洞察。我们结合标准Tikhonov正则化方法的基本思想[18]，分数次Tikhonov正则化方法可用类似的方式给出[17]。假定A为紧算子，其奇异系统为$\left({\sigma }_j,x_j,y_j\right)$ ，$j>0$ ，其滤子函数为：

${\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \right)={\left(\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+\mu }\right)}^{\gamma }$ . (9)

式中，$\mu$ 作为正则化参数，$\frac{1}{2}<\gamma <1$ ，当$\gamma =1$ 时，恢复为标准的Tikhonov正则化滤子函数。

令$h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)$ 是分数次Tikhonov正则化方法的正则解，我们的主导思想是用$\frac{{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \right)}{\sigma }=\frac{{\left(i\xi \right)}^k}{{\left(1+\mu {\left|\xi \right|}^{2k}\right)}^{\gamma }}$ 代替$\frac{{\left(i\xi \right)}^k}{1+{\left(\mu \left|\xi \right|\right)}^{2k}}$ ，由式子(8)得到正则解：

$h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)={\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k{\widehat{h}}_{\delta }\left(\xi \right)$ . (10)

以便于用$h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}$ 来近似h，其中$\sigma \left(\xi \right)={\left|\xi \right|}^{-k}$ 。

3. 先验正则化参数选取及误差估计

我们首先证明一些引理。

引理3.1 对$\mu >0$ ，$\frac{1}{2}<\gamma <1$ ，$k>0$ ，有：

$\underset{\xi \in R}{\sup }{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left|i\xi \right|}^k\le \frac{c_1}{\sqrt{\mu }}$ . (11)

证明：由式(9)，我们得到：

$\underset{\xi \in R}{\sup }{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left|i\xi \right|}^k=\underset{\xi \in R}{\sup }{\left|\xi \right|}^k{\left(\frac{{\sigma }^2\left(\xi \right)}{{\sigma }^2\left(\xi \right)+\mu }\right)}^{\gamma }=\underset{\xi \in R}{\sup }\frac{{\left({\left|\xi \right|}^{-k}\right)}^{2\gamma -1}}{{\left({\left|\xi \right|}^{-2k}+\mu \right)}^{\gamma }}$ ,

引入变量$x={\left|\xi \right|}^{-k}$ ，令：

$M\left(x\right)=\frac{x^{2\gamma -1}}{{\left(\mu +x^2\right)}^{\gamma }}$ , (12)

$\gamma >\frac{1}{2}$ 时，函数$M\left(x\right)$ 是连续的，而$\underset{x\to \infty }{\lim }M\left(x\right)=0$ ，$\underset{x\to 0}{\lim }M\left(x\right)=0$ ，那么$M\left(x\right)$ 的最大值点$x_0$ 满足$M^{\prime }\left(x_0\right)=0$ ，对$M\left(x\right)$ 求导并令$M^{\prime }\left(x_0\right)=0$ ，我们得到：

$x_0=\sqrt{2\mu \gamma -\mu }$ .

将$x_0$ 代入$M\left(x\right)$ 中得到：

$M\left(x\right)\le M\left(x_0\right)=\frac{{\mu }^{\gamma -\frac{1}{2}}\left(2\gamma -1\right)\gamma -\frac{1}{2}}{2\mu \gamma }=\frac{{\left(2\gamma \right)}^{-\gamma }{\left(2\gamma -1\right)}^{\gamma -\frac{1}{2}}}{\sqrt{\mu }}=\frac{c_1}{\sqrt{\mu }}$ , (13)

令${\left(2\gamma \right)}^{-\gamma }{\left(2\gamma -1\right)}^{\gamma -\frac{1}{2}}=c_1$ 。由式(12)和(13)，我们有：

$\underset{\xi \in R}{\sup }{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left|i\xi \right|}^k\le \frac{c_1}{\sqrt{\mu }}$ .

引理3.2 对$\mu >0$ ，$\frac{1}{2}<\gamma <1$ ，$k>0$ ，有：

$\underset{\xi \in R}{\sup }\left(1-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\right){\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}\le \{\begin{array}{l}{c}_2\mu ,p\ge 2k,\\ c_3{\mu }^{\frac{p}{2k}},0<p<2k.\end{array}$ (14)

证明：标准的Tikhonov正则化方法的滤子函数为：

$F_{\mu ,1}\left(\sigma \left(\xi \right)\right)=\frac{{\sigma }^2\left(\xi \right)}{{\sigma }^2\left(\xi \right)+\mu }$ , (15)

根据[19]中的命题3.2，我们有：

$0<F_{\mu ,1}\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\le {\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right)$ , (16)

由式(15)和(16)，我们有：

$\begin{array}{l}\underset{\xi \in R}{\sup }\left(1-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\right){\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}\le \underset{\xi \in R}{\sup }\left(1-F_{\mu ,1}\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\right){\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}\\ =\underset{\xi \in R}{\sup }\left(\frac{\mu }{{\sigma }^2\left(\xi \right)+\mu }\right){\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}\le \underset{\xi \in R}{\sup }\left(\frac{\mu }{{\sigma }^2\left(\xi \right)+\mu }\right){\left|\xi \right|}^{-p}\\ =\underset{\xi \in R}{\sup }\left(\frac{\mu }{{\left|\xi \right|}^{-2k}+\mu }\right){\left|\xi \right|}^{-p}\\ =\underset{\xi \in R}{\sup }\frac{\mu {\left|\xi \right|}^{-p}}{{\left|\xi \right|}^{-2k}+\mu }\\ =\underset{\xi \in R}{\sup }\frac{\mu {\left|\xi \right|}^{2k-p}}{1+\mu {\left|\xi \right|}^{2k}}.\end{array}$

引入变量$y=\left|\xi \right|\ge {\lambda }_1$ ，${\lambda }_1$ 为常数。令：

$N\left(y\right)=\frac{\mu y^{2k-p}}{\mu y^{2k}+1}$ , (17)

若$2k-p\le 0$ ，即$p\ge 2k$ ，有：

$N\left(y\right)=\frac{\mu y^{2k-p}}{\mu y^{2k}+1}\le \mu y^{2k-p}=\mu \frac{1}{y^{p-2k}}\le \mu \frac{1}{{\lambda }_1{}^{p-2k}}=c_2\mu$ . (18)

令$\frac{1}{{\lambda }_1^{p-2k}}=c_2$ 。

若$2k-p>0$ ，即$0<p<2k$ ，函数$N\left(y\right)$ 是连续的，而$\underset{y\to \infty }{\lim }N\left(y\right)=0$ ，$\underset{y\to 0}{\lim }N\left(y\right)=0$ ，那么$N\left(y\right)$ 的最大值点$y_0$ 满足$N^{\prime }\left(y_0\right)=0$ ，对$N\left(y\right)$ 求导并令$N^{\prime }\left(y_0\right)=0$ ，我们得到：

$y_0=2k\sqrt{\frac{2k-p}{\mu p}}$ .

将$y_0$ 代入$N\left(y\right)$ 中得到：

$\begin{array}{c}N\left(y\right)\le N\left(y_0\right)\\ =\frac{\mu {\left[2k{\left(2k-p\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\mu p\right)}^{-\frac{1}{2}}\right]}^{2k-p}}{\mu {\left[2k{\left(2k-p\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\mu p\right)}^{-\frac{1}{2}}\right]}^{2k}+1}\\ =\frac{1}{2}{p}^{\frac{p}{2k}}{k}^{-1}{\left(2k-p\right)}^{1-\frac{p}{2k}}{\mu }^{\frac{p}{2k}}\\ =c_3{\mu }^{\frac{p}{2k}}.\end{array}$ (19)

令$\frac{1}{2}{p}^{\frac{p}{2k}}{k}^{-1}{\left(2k-p\right)}^{1-\frac{p}{2k}}=c_3$ ，结合式子(17)、(18)和(19)，我们有：

$\underset{\xi \in R}{\sup }\left(1-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\right){\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}\le \{\begin{array}{l}{c}_2\mu ,p\ge 2k,\\ c_3{\mu }^{\frac{p}{2k}},0<p<2k.\end{array}$

我们将会得到如下定理：

定理3.1 设$h^{\left(k\right)}\left(x\right)$ 是精确解，$h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)$ 是由式(8)确定的正则解，如果先验条件(7)和噪声水平估计(4)都满足，并假设引理3.1和引理3.2都成立，那么如下的收敛估计式成立：

1) 如果$p\ge 2k$ ，并选择正则化参数$\mu ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^{\frac{2}{3}}$ ，我们得到如下收敛估计：

$\Vert h^{\left(k\right)}\left(x\right)-h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \le \left(c_1+c_2\right){\delta }^{\frac{2}{3}}{E}^{\frac{1}{3}}$ . (20)

2) 如果$0<p<2k$ ，并选择正则化参数$\mu ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^{\frac{2k}{p+k}}$ ，我们得到如下收敛估计：

$\Vert h^{\left(k\right)}\left(x\right)-h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \le \left(c_1+c_3\right){\delta }^{\frac{p}{p+k}}{E}^{\frac{k}{p+k}}$ . (21)

证明：定义$h_{\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)$ 为：

$h_{\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)={\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right)$ . (22)

由Parseval关系式，并使用三角不等式，我们得到：

$\begin{array}{l}\Vert h^{\left(k\right)}\left(x\right)-h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \\ =\Vert {\widehat{h}}^{\left(k\right)}\left(x\right)-{\widehat{h}}_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \\ \le \Vert {\widehat{h}}^{\left(k\right)}\left(x\right)-{\widehat{h}}_{\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert +\Vert {\widehat{h}}_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)-{\widehat{h}}_{\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \\ =\Vert {\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right)-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right)\Vert +\Vert {\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k{\widehat{h}}_{\delta }\left(\xi \right)-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right)\Vert \\ ={\left({\displaystyle {\int }_R{\left|\left(1-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\right){\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right)\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left({\displaystyle {\int }_R{\left|{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k\left({\widehat{h}}_{\delta }\left(\xi \right)-\widehat{h}\left(\xi \right)\right)\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_R{\left|\left(1-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\right){\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}{\left(1+{\xi }^2\right)}^{\frac{p}{2}}{\left(i\xi \right)}^k\widehat{h}\left(\xi \right)\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}+\underset{\xi \in R}{\sup }\left|{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k\right|\delta \\ \le \underset{\xi \in R}{\sup }\left(1-{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right)\right){\left(1+{\xi }^2\right)}^{-\frac{p}{2}}E+\underset{\xi \in R}{\sup }\left|{\tilde{F}}_{\mu ,\gamma }\left(\sigma \left(\xi \right)\right){\left(i\xi \right)}^k\right|\delta \\ \le E\{\begin{array}{l}{c}_2\mu ,p\ge 2k\\ c_3{\mu }^{\frac{p}{2k}},0<p<2k\end{array}+\delta \frac{c_1}{\sqrt{\mu }},\end{array}$

选择正则化参数$\mu$ ，如下：

$\{\begin{array}{l}\mu ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^{\frac{2}{3}},p\ge 2k,\\ \mu ={\left(\frac{\delta }{E}\right)}^{\frac{2k}{p+k}},0<p<2k.\end{array}$

那么我们会得到：

$\Vert h^{\left(k\right)}\left(x\right)-h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert \le \{\begin{array}{l}\left(c_1+c_2\right){\delta }^{\frac{2}{3}}{E}^{\frac{1}{3}},p\ge 2k,\\ \left(c_1+c_3\right){\delta }^{\frac{p}{p+k}}{E}^{\frac{k}{p+k}},0<p<2k.\end{array}$

定理得证。

注解：由以上结果可以得到，当$\delta \to 0$ 时，精确解和正则化近似解很接近。以上结果还具有特殊意义，收敛估计是${\delta }^{\frac{2}{3}}$ ，满足$\Vert h_{\delta }-h\Vert \le \delta$ 的正则化解的误差估计$\Vert h^{\left(k\right)}\left(x\right)-h_{\delta ,\gamma }^{\left(k\right)}\left(x\right)\Vert$ 最好也只能达到${\delta }^{\frac{2}{3}}$ 。

4. 总结与展望

本文解决了一个不适定问题，即从一维噪声数据中计算高阶数值导数。本文先用Fourier变换推导出问题的精确解，再用分数阶Tikhonov正则化方法构造出问题的正则化解，最后给出了先验正则化参数选择规则下精确解与正则化近似解的误差估计。

需要指出，分数阶Tikhonov正则化方法虽然克服了经典Tikhonov正则化方法求得的近似解过度光滑的缺陷，但是对于分数阶Tikhonov正则化方法也无法克服经典Tikhonov正则化方法的饱和收敛结果。另外一方面，目前存在的研究主要针对的是一维情形，而在实际应用中，二维情形下的数值微分问题更具有实际意义。所以在接下来的研究中，进一步探究如何克服分数阶Tikhonov正则化方法求解数值微分问题的饱和收敛结果，以及考虑能否将同样的方法推广至高维情形。

参考文献