DOI:10.12677/pm.2024.147270,PDF,HTML,XML,被引量下载: 23浏览: 41科研立项经费支持
作者:赵 佳：西华师范大学数学与信息学院，四川 南充
关键词:c-可补充性质；c-可补充子群；对称群；c-Supplemented Properties；c-Supplemented Subgroups；Symmetry Groups

文章引用：赵佳. 对称群 S ₃和 S ₄的 c-可补充子群[J]. 理论数学, 2024, 14(7): 48-52. https://doi.org/10.12677/pm.2024.147270

1. 引言

本文中所有的群皆为有限群，相关术语和符号以文献[1]-[3]为标准。设H是群G的子群，称H在G中有补充，如果存在G的子群K使 $G=HK$，这时K叫作H在G中的补充子群。特别地，当 $H\cap K\le H_G$时，称H在G中是c-可补充的，K是H在G中的c-可补充子群。这里，H_G是H在G中的柱心，即包含在H中G的最大正规子群。

子群的c-可补充性质与群结构有着紧密的联系，国内外群论学者对相关课题进行了深入研究，并利用它考察了有限群的结构。例如，2000年，Wang[4]利用了子群的c-可补充的相关性质，得到了群G是可解的充要条件。2012年，Asaad[5]考察了c-可补充性质与Sylow子群之间的联系，发现了其对p-幂零群的影响。2021年，在群G为CN-群的条件下，Li等[6]等揭示了c-可补充性质对超可解群的影响。进一步的研究可参考文献[7]-[10]。为了加深对c-可补充性质这一抽象性质的理解，本文在一些具体的群中，即在3次对称群S₃和4次对称群S₄中，分析了其子群的c-可补充性质，并完全确定了它们的c-可补充子群。

2. 基本引理

定义1[4]称子群H在G中是c-可补充的，如果存在G的子群K使得 $G=HK$， $H\cap K\le H_G$，这里，H_G是H在G中的柱心，即包含在H中G的最大正规子群。

引理1[1](拉格朗日定理)设G是有限群， $H\le G$，则 $\left|G\right|=\left|H\right|\left|G:H\right|$。其中， $\left|G:H\right|$表示有限群G的子群H在G中的指数。

引理2[1]设G是有限群，H和K是G的有限子群，则 $\left|HK\right|=\frac{\left|H\right|\left|K\right|}{\left|H\cap K\right|}$。

引理3[11]3次对称群S₃一共有6个子群，其中除去两个平凡子群外，有3个2阶子群和1个正规子群。具体如下：

1) 2个平凡子群： $\left\{\left(1\right)\right\}$；S₃。

2) 3个2阶子群： $H_3=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\right\}$； $H_4=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\right\}$； $H_{\text{5}}=\left\{\left(1\right),\left(\text{2}3\right)\right\}$。

3) 1个3阶子群： $H_6=\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$，且 $H_6⊴S_3$。

引理4[12]4次对称群S₄一共有30个子群，其中除去两个平凡子群之外，有9个2阶循环子群、4个3阶循环子群、7个4阶子群、4个6阶子群、3个8阶子群以及1个12阶子群。具体如下：

1) 两个平凡子群： $\left\{\left(1\right)\right\}$；S₄。

2) 2阶子群： $H_3=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\right\}$； $H_4=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\right\}$； $H_5=\left\{\left(1\right),\left(14\right)\right\}$； $H_6=\left\{\left(1\right),\left(23\right)\right\}$； $H_7=\left\{\left(1\right),\left(24\right)\right\}$； $H_8=\left\{\left(1\right),\left(34\right)\right\}$； $H_9=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right)\right\}$； $H_{10}=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\left(24\right)\right\}$； $H_{11}=\left\{\left(1\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$。

3) 3阶子群：

$H_{12}=\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$； $H_{13}=\left\{\left(1\right),\left(124\right),\left(142\right)\right\}$；

$H_{14}=\left\{\left(1\right),\left(134\right),\left(143\right)\right\}$； $H_{15}=\left\{\left(1\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$。

4) 4阶子群：

$H_{16}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$； $H_{17}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(34\right),\left(12\right)\left(34\right)\right\}$； $H_{18}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(24\right),\left(13\right)\left(24\right)\right\}$； $H_{19}=\left\{\left(1\right),\left(14\right),\left(23\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$； $H_{20}=\left\{\left(1\right),\left(1234\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1432\right)\right\}$； $H_{21}=\left\{\left(1\right),\left(1243\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(1342\right)\right\}$； $H_{22}=\left\{\left(1\right),\left(1324\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(1423\right)\right\}$。

其中，H₁₆是克莱因4元群K₄。

5) 6阶子群：

$H_{23}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$；

$H_{24}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(14\right),\left(24\right),\left(124\right),\left(142\right)\right\}$；

$H_{25}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(14\right),\left(34\right),\left(134\right),\left(143\right)\right\}$；

$H_{26}=\left\{\left(1\right),\left(23\right),\left(24\right),\left(34\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$。

6) 8阶子群：

$H_{27}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(24\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1234\right),\left(1432\right)\right\}$；

$H_{28}=\left\{\left(1\right),\left(14\right),\left(23\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1243\right),\left(1342\right)\right\}$；

$H_{29}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(34\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1423\right),\left(1324\right)\right\}$。

7) 12阶子群

$H_{30}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(123\right),\left(124\right),\left(132\right),\left(134\right),\left(142\right),\left(143\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$，其中 $H_{30}=A_4$是4次交错群。

3. 主要结果

结论1S₃的所有子群都是c-可补充的。

证明：设H是S₃的子群。根据定义1和引理3，我们进行以下讨论：

1) 对于两个平凡子群 $\left\{\left(1\right)\right\}$和S₃：

当 $H=\left\{\left(1\right)\right\}$时，显然在S₃中是c-可补充的；

当 $H=S_3$时，取 $K=\left\{\left(1\right)\right\}$，显然在S₃中也是c-可补充的。

2) 对于2阶子群 $H_i\left(i=3,4,5\right)$：

当 $H=H_i$时，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$。取 $K=H_6$， $S_3=H_i{H}_6$，且 $H_i\cap H_6=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故 $H_i\left(i=3,4,5\right)$在S₃中是的c-可补充的。

3) 对于3阶子群H₆：

当 $H=H_6$时，其柱心 $H_G=H_6$。取 $K=H_j\left(j=3,4,5\right)$，有 $S_3=H_6{H}_j$，且 $H_6\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故H₆在S₃中是的c-可补充的。

结论2S₄的c-可补充子群：

1) 1阶子群 $H=\left\{\left(1\right)\right\}$和24阶子群S₄在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群分别为S₄和 $\left\{\left(1\right)\right\}$；

2) 2阶子群 $H_i\left(i=3,\cdots ,8\right)$在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是 $A_4$；

3) 3阶子群 $H_i\left(i=12,\cdots ,15\right)$在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是8阶子群 $H_j\left(j=27,28,29\right)$；

4) 4阶子群H₁₆和 $H_i\left(i=20,\cdots ,22\right)$在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是 $H_j\left(j=23,\cdots ,26\right)$；

5) 6阶子群 $H_i\left(i=23,\cdots ,26\right)$在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是4阶子群H₁₆和 $H_j\left(j=20,21,22\right)$；

6) 8阶子群 $H_i\left(i=27,28,29\right)$在S₄中是c-可补充的，其c-可补充子群是 $H_i\left(i=12,\cdots ,15\right)$；

7) 12阶子群 $H=A_4$在S₄中是c-可补充的，其c-可补充的子群是 $H_j\left(j=3,\cdots ,8\right)$。

证明：设H是S₄的子群。根据定义1和引理4，我们进行以下分析：

1) 两个平凡子群 $\left\{\left(1\right)\right\}$和S₄：

当 $H=\left\{\left(1\right)\right\}$时，显然在S₄中是c-可补充的；

当 $H=S_4$时，取 $K=\left\{\left(1\right)\right\}$，其柱心 $H_G=S_4$，有 $S_4=HK$， $H\cap K=\left\{\left(1\right)\right\}\le S_4$。于是，H在S₄中是c-可补充的，故结论(1)成立。

2) 2阶子群 $H_i\left(i=3,\cdots ,\text{11}\right)$：

① 当 $H=H_i\left(i=3,\cdots ,8\right)$时，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$，由引理2，取 $K=A_4$，有 $S_4=H_i{A}_4$， $H_i\cap A_4=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故结论(2)成立；

② 当 $H=H_i\left(i=9,10,11\right)$时，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$。因为 $H_i\le A_4$，所以 $S_4\ne H_i{A}_4$，4次对称群S₄不能分解成 $H_i$与S₄的真子群的乘积。但若 $K=S_4$，有 $S_4=H_i{S}_4$， $H_i\cap S_4=H_i>H_G$，不满足定义，故 $H_i\left(i=9,10,11\right)$在S₄中不是的c-可补充的。

3) 3阶子群 $H_i\left(i=12,\cdots ,\text{15}\right)$：

当 $H=H_i$，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$。因为 $H_i\le A_4$，所以 $S_4\ne H_i{A}_4$；由引理1可知，S₄可以分解成3阶子群和8阶子群 $H_j\left(j=27,28,29\right)$的乘积，又因为 $H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}$( $i=12,\cdots ,15$； $j=27,28,29$)，所以由引理2有， $S_4=H_i{H}_j$， $H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故 $H_i$在S₄中是c-可补充的。

4) 4阶子群 $H_i\left(i=16,\cdots ,\text{22}\right)$：

① 当 $H=H_{16}$时，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$，取 $K=H_j\left(j=23,\cdots ,26\right)$，有 $S_4=H_{16}{H}_j$， $H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故H₁₆在S₄中是c-可补充的。

② 当 $H=H_i\left(i=17,18,19\right)$时，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$，但 $S_4\ne H_i{H}_j\left(i=17,18,19;j=23,\cdots ,26\right)$，故 $H_i\left(i=17,18,19\right)$在S₄中不是c-可补充的。

③ 当 $H=H_i\left(i=20,21,22\right)$时，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$，先考虑将S₄分解为4阶与6阶子群的乘积，由于 $H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}$，其中 $j=23,\cdots ,26$，由引理2，取 $K=H_j\left(j=23,\cdots ,26\right)$，有 $S_4=H_i{H}_j$， $H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故 $H_i\left(i=20,21,22\right)$在S₄中是c-可补充的。

5) 6阶子群 $H_i\left(i=23,\cdots ,26\right)$：

当 $H=H_i$，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$，由4)中的分析，取 $K=H_j\left(j=16,20,21,22\right)$，有 $S_4=H_i{H}_j\left(i=23,\cdots ,26;j=16,20,21,22\right)$， $H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故 $H_i\left(i=23,\cdots ,26\right)$在S₄中是c-可补充的。

6) 8阶子群 $H_i\left(i=27,\cdots ,29\right)$：

当 $H=H_i$，其柱心 $H_G=\left\{\left(1\right)\right\}$，取 $K=H_j\left(j=12,\cdots ,15\right)$， $S_4=H_i{H}_j\left(i=27,28,29;j=12,\cdots ,15\right)$， $H_i\cap H_j=\left\{\left(1\right)\right\}\le H_G$，故 $H_i\left(i=27,28,29\right)$在S₄中是c-可补充的。

7) 12阶子群A₄：

当 $H=A_4$，其柱心 $H_G=A_4$，取 $K=H_j\left(j=3,\cdots ,8\right)$，有 $S_4=A_4{H}_j$， $A_4\cap H_j\le H_G$，故A₄在S₄中是c-可补充的。

4. 总结

本文完全确定了三次对称群S₃和四次对称群S₄中的c-可补充的子群。这有助于加深理解c-可补充子群的定义和相关性质，也为后续研究其对有限群结构的影响提供了例子支撑。

基金项目

四川省自然科学基金项目(2022NSFSC1843)。

参考文献

[1]	徐明曜. 有限群导引(上) [M]. 北京: 科学出版社, 2007.
[2]	徐明曜, 黄建华, 李慧陵, 等. 有限群导引(下) [M]. 北京: 科学出版社, 1999.
[3]	Guo, W.B. (2000) The Theory of Classes of Groups. Science Press-Kluwer Academic Publishers.
[4]	Wang, Y. (2000) Finite Groups with Some Subgroups of Sylow Subgroupsc-Supplemented.Journal of Algebra, 224, 467-478. https://doi.org/10.1006/jabr.1999.8079
[5]	Asaad, M. (2012) Onc-Supplemented Subgroups of Finite Groups.Journal of Algebra, 362, 1-11. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2012.03.041
[6]	李样明, 赵立博. 有限CN-群与有限c-可补群[J]. 数学年刊A辑(中文版), 2021, 42(4): 379-392.
[7]	Ballester-Bolinches, A., Wang, Y. and Xiuyun, G. (2000)c-Supplemented Subgroups of Finite Groups.Glasgow Mathematical Journal, 42, 383-389.
[8]	Heliel, A.A. (2014) A Note onc-Supplemented Subgroups of Finite Groups.Communications in Algebra, 42, 2319-2330.
[9]	Hall, P. (1937) A Characteristic Property of Soluble Groups.Journal of the London Mathematical Society, 1, 198-200. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-12.2.198
[10]	鲍宏伟, 张佳, 缪龙. 有限群的可补的Sylow子群[J]. 中国科学技术大学学报, 2018, 48(11): 898-901.
[11]	韩士安, 林磊. 近世代数[M]. 第2版. 北京: 科学出版社, 2009.
[12]	郑伟. 论4次对称群的子群[J]. 科技信息, 2014(2): 69-70.