1. 引言

随着人类对宇宙探索的加深，2016年由中国自主建造的特大型球面射电望远镜——FAST正式建成。它是迄今为止世界上最大单口径、最灵敏的射电望远镜。“FAST”由主动反射面、信号接收系统(馈源舱)及相关的控制、测量和支承系统组成，其中主动反射面系统是一个可调节的球面，称为基准球面。工作态时反射面的形状被调节为一个300米口径的工作抛物面，工作抛物面的形成是通过调节促动器的主锁点的径向伸缩来实现的。

目前，罗平杰[1]通过主反射面控制系统控制策略，建立自适应、自学习机制节点位移控制模型，采用开闭环结合控制策略实现反射面高精度实时成型；王鸿飞、张权[2][3]基于反射面单元动态面形精度分析研究FAST瞬时抛物面的拟合精度；沙毅[4]根据促动器支撑节点位置，确定该点促动器所在点的法线方向及促动器所在直线方程，计算出面向抛物面的大型天线主动面促动器最佳调整量；李同英等[5]研究了一种确定网状反射面天线原理误差计算的方法；志远、王杨等[6][7]利用迭代学习理论建立三维仿真系统对节点进行计算和不断优化，相比传统算法有了更高的稳健性和求解效率。

以上研究对于垂直方向上的研究已经很成熟，主要是利用仿真、自学习机制等。本文基于现有研究，依据FAST射电望远镜的主动反射面相关结构和其主动反射面工作原理，已知天体在工作抛物面的垂直方向上为前提的条件下，给出一般角度下的简单、有效解决方案。

2. 特殊角度问题的解决——待测天体在正上方 $\alpha =0^{\circ },\beta =90^{\circ }$

2.1. 工作抛物面的计算

待观测天体位于基准球面正上方，即 $\alpha =0^{\circ },\beta ={90}^{\circ }$时，及待观测天体在Z轴的正上方，结合反射面板调节因素，确定工作抛物面，具体的图形见图1。

Figure1."FAST" sectional view when the observed celestial body is directly above the reference sphere

图1.当待观测天体位于基准球面正上方时“FAST”剖面图

当方位角 $\alpha =0^{\circ },\beta ={90}^{\circ }$，观测天体S在Z轴上，馈源舱接收平面的中心被移动到直线SC与焦面的交点P处，调节基准球面上的部分反射面板形成以直线为对称轴、以P为焦点的近似旋转抛物面，延长SC使其交基准球面于A。以C点为坐标原点 $C:\left(0,0,0\right)$，则此时，工作抛物面是一个以P为焦点的近似旋转抛物面，由旋转抛物面定义我们可以在XOZ面抛物线旋转后得到旋转抛物面，具体的计算过程如下：

在XOZ面上的以P为焦点的理想抛物线为 $C:x^2=2p\left(z+z_0\right)$。

理想抛物线绕Z轴得到的工作抛物面 $D:{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2=2p\left(z+z_0\right)$， $D:x^2+y^2=2p\left(z+z_0\right)$。

此时， $2p=562.37$， $z_0=-300.7$ $D:x^2+y^2=562.37\left(z+300.72\right)$。

2.2. 锁点的选取

对于主锁点的选取是以B点为中心半径为150米的范围内进行选取，

$CB=CD\cos {30}^{\circ }=300\times \frac{\sqrt{3}}{2}=259.8076$

所以B点的坐标为 $B:\left(0,0,259.8076\right)$，以150为距离对主锁点进行搜素，设主锁点的坐标为Q，即 $\left|BQ\right|\le 150$，筛选出706个主索点。下面为部分寻找到的主锁点及它搜索到的点的俯视图及正视图，详见图2、图3。

Figure2.Top view of main lock point

图2.主锁点俯视图

Figure3.Front view of main lock point

图3.主锁点正视图

2.3. 主锁点的平移

2.3.1. 主锁点的寻找

由于每一个主锁点是由10米长的三角形面板连接，故采取的方式是按照每10米为一个层级进行平移，在已知的706个主锁点中寻找到主锁点第i层级到第 $i+1$层级 $\left(i=0,1,2,\cdots ,14\right)$的距离为10米的所有主锁点。其中，记第i层这些点的空间坐标 $Z_i\left(x_i,y_i,z_i\right)$ $\left(i=1,2,\cdots ,15\right)$。实际计算中，考虑到坐标的测量误差，层级从i到 $i+1$层的距离为 $\left|d_{i+1}-d_i\right|<10+\epsilon$。

2.3.2. 平移距离的选定

第i层的平移距离为 $\Delta d_i=Z_i^D-Z_i$，其中 $Z_i^D$为工作抛物面在 $\left(x_i,y_j\right)$处的取值。平移的方向与SA平行，即Z轴的方向，且 $\Delta d<0$，沿Z轴正方向，且 $\Delta d>0$，沿Z轴负方向，具体的平移结果详见图4(注：图中*为原来的坐标，o为移动后坐标)。

Figure4.Original coordinates and translation coordinates of main lock point

图4.主锁点的原坐标与平移坐标

3. 一般角度问题的解决

针对一般角度的问题，详见图5、图6，我们采取计算空间直线与球面的交点的方法计算顶点，之后利用情形一对问题的解决方法，推广到一般情形。

Figure5.Front view of any angle

图5.一般角度正视图

Figure6.Angle of depression and elevation

图6.俯角与仰角

3.1. 确定任意角工作抛物面的顶点 $A\left(x,y,z\right)$的坐标

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=r^2\\ y=k_{1}x=\tan \alpha \cdot x\\ z=k_2\sqrt{x^2+y^2}=k_2\sqrt{1+k_1^2}x=\tan \beta \sqrt{1+{\tan }^2\alpha }x\end{array}$，其中 $z<0$。

3.2. 确定任意角工作抛物面的中心坐标点 $B\left(x,y,z\right)$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=\left(r{\frac{\sqrt{3}}{2}}^2\right)\\ y=k_{1}x=\tan \alpha \cdot x\\ z=k_2\sqrt{x^2+y^2}=k_2\sqrt{1+k_1^2}x=\tan \beta \sqrt{1+{\tan }^2\alpha }x\end{array}$

3.3. 主锁点的选取

以B点为中心，以150米为距离对主锁点进行搜素，确定需要移动的主锁点。

3.4. 主锁点的平移

3.4.1. 坐标点移动距离的选定

第i层的平移距离为 $\Delta d_i$，与第一问中 $\alpha =0^{\circ },\beta ={90}^{\circ }$的移动距离相同。

3.4.2. 移动的方向

与SA平行， $\Delta d>0$，沿AS正方向，且 $\Delta d<0$，沿SA轴负方向。

3.4.3. 得到的新的工作抛物面的坐标

设工作抛物面的第i层的坐标为 $Z_i^D\left(x_i^D,y_i^D,z_i^D\right)$，则：

$\{\begin{array}{l}{x}_i^D=\Delta d\cdot \cos \beta \cdot \cos \alpha \\ y_i^D=\Delta d\cdot \cos \beta \cdot \cos \left({90}^{\circ }-\alpha \right)\\ z_i^D=\Delta d\cdot \sin \beta \end{array}$

3.4.4. 利用新的工作抛物面的坐标 $Z_i^D\left(x_i^D,y_i^D,z_i^D\right)$，求工作抛物面的方程

考虑到抛物面为斜二次曲面，计算比较困难，故采用多元线性回归的方式来计算以上方程，具体的想法为二次曲面的一般方程为：

$Z=A{x}^2+Bx+Cxy+D{y}^2+Ey+Fyz+G{z}^2+Hyz$

通过利用多元线性回归对 $x^2、xy、y^2、yz、z^2、yz$进行线性化处理，可以计算得到抛物面的方程。

3.4.5. 计算促动器上下连接点所在的直线与工作抛物面的交点

$\{\begin{array}{l}Z=A{x}^2+Bx+Cxy+D{y}^2+Ey+Fyz+G{z}^2+Hyz\\ \frac{x-x_j}{X_j-x_j}=\frac{y-y_j}{Y_j-y_j}=\frac{z-z_j}{Z_j-z_j}\end{array}$

其中， $\left(X_j,Y_j,Z_j\right)$表示促动器上端点的坐标， $\left(x_j,y_j,z_j\right)$代表促动器下端点的坐标。

3.4.6. 实际当中的促动器的上下连接点的实际距离

$d=\sqrt{{\left(x-X_j\right)}^2+{\left(y-Y_j\right)}^2+{\left(z-Z_j\right)}^2}$

当 $\alpha ={36.795}^{\circ },\beta ={78.169}^{\circ }$时，计算得到A、B点的坐标分别为：

$A:\left(-49.3200,-36.8894,-294.0185\right)$， $B:\left(-42.7140,-31.9484,-254.6372\right)$

$Z=0x^2-0.1509x+0xy-0.1130y+0y^2+0yz+-0.0011z^2-197.1562$

回归分析统计量结果见表1。

Table 1.Multiple regression statistics

表1.多元回归统计量

Figure 7.Top view

图7.俯视图

Figure 8.Front view

图8.正视图

由表1的统计量结果可知，抛物面的拟合效果非常好。得到主锁点移动前后的俯视图与正视图(图7、图8)。

通过以上的计算，得到了对固定角度的计算。实际上对于一般角度的计算，只是将向量中的计算公式的角度进行修改即可，从而解决了在可旋转范围内任意角度的计算。

4. 结语

本文利用了直角坐标系的平移、利用向量的方向角、方向余弦的方法进行对FAST反射面的计算，方法简单易行。通过由特殊情形到一般情形的推广，简化了问题，尤其是在移动距离上极大的简化了计算，通过成熟的多元线性回归的方法，准确地给出了一般情况下的光滑的抛物面方程，通过对相关系数等参数的检验，对结果的正确性进行分析。通过验证，得到所建立的模型较为合理，也具有一定的创新性，模型的结果也比较有说服力，有一定的推广价值。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献