DOI:10.12677/pm.2024.147266,PDF,HTML,XML,被引量下载: 44浏览: 106国家自然科学基金支持
作者:周丽娟：内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特；黄月梅^*：内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特；内蒙古自治区应用数学中心，内蒙古 呼和浩特
关键词:广义完美差族；广义完美差填充；几何正交码；半完美可分组设计；Generalized Perfect Difference Family；Generalized Perfect Difference Packing；Geometric Orthogonal Code；Semi-Perfect Group Divisible Design

文章引用：周丽娟, 黄月梅. 广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$完美差族及相关几何正交码[J]. 理论数学, 2024, 14(7): 15-22. https://doi.org/10.12677/pm.2024.147266

1. 引言

纳米材料在信息、能源、医药、航空航天等领域具有广阔的应用前景。纳米材料的性能取决于它的结构。DNA折纸术是一种全新的DNA自组装方法，在构造纳米材料方面发挥着重要的作用，通过在DNA折纸技术中放置平头钝端，可以迫使一组DNA折纸通过碱基堆叠粘合以形成预期的排列。如果DNA折纸技术中的宏键组出现错位，将严重影响纳米材料的结构特性。Doty和Winslow[1]在2017年提出几何正交码的概念，介绍了如何使用这类编码设计DNA折纸技术，以此降低宏键组偏差带来的影响，并给出了一类几何正交码码字个数的上下界。Chee等[2]建立了几何正交码与光正交签名码之间的联系，改进了 $n=m$时几何正交码码字个数的上界，给出了 $k\le 5$时几类最优几何正交码码字容量的精确值。Wang等[3]进一步研究了 $n\ne m,k=3$时几何正交码的容量，首次提出可以借助广义完美差填充对几何正交码进行构造。因此，研究广义完美差填充的存在性问题，对几何正交码进行进一步探究有理论意义。本文从 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$完美差族的存在性问题入手，并借助辅助设计与递归构造，确定了部分广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$完美差族的存在条件。再根据几何正交码与广义完美差族之间的等价关系，给出了变重量的完美几何正交码的几个存在条件。

2. 预备知识

本节主要介绍广义完美差填充、广义完美差族的定义以及一些已知结果。

定义2.1令N和M为两个包含0的整数集，且 $a\in N$(或 $a\in M$)时， $-a\in N$(或 $-a\in M$)。令K为给定的正整数集。对于 $N\times M$中的任意k元子集B， $k\in K$，定义B的差集为：

$\Delta \left(B\right)=\left\{\left(x_1-x_2,y_1-y_2\right):\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\in B,\left(x_1,y_1\right)\ne \left(x_2,y_2\right)\right\}$.

定义2.2令 $ℬ$为 $N\times M$中的一些大小为 $k\left(k\in K\right)$的子集(称为基区组)族，若 $\Delta ℬ={\displaystyle \underset{B\in ℬ}{\cup }\Delta B}$包含 $N\times M$中的每个元素至多一次，则称 $\left(N\times M,ℬ\right)$为广义 $\left(N\times M,K,1\right)$-完美差填充(perfect difference packings)，记作广义 $\left(N\times M,K,1\right)$-PDP。称 $\left(N\times M\right)\backslash \Delta ℬ$为这个差填充的差剩余。若差剩余仅包含 $\left(0,0\right)$，则称 $\left(N\times M,ℬ\right)$为广义 $\left(N\times M,K,1\right)$-完美差族(perfect difference family)，记作广义 $\left(N\times M,K,1\right)$-PDF。

设 $a,b$均为整数，且 $a<b$，规定 $\left[a,b\right]=\left\{a,a+1,\cdots ,b\right\}$。对于任意的奇数n，记 $\left[n\right]=\left[-\frac{n-1}{2},\frac{n-1}{2}\right]$。通常将广义 $\left(\left[n\right]\times \left[m\right],K,1\right)$-PDP (或PDF)记为广义 $\left(n\times m,K,1\right)$-PDP (或PDF)。当 $m=1$时，一个广义 $(n\times m,K,1)$-PDP (或PDF)记为 $\left(n,K,1\right)$-PDP (或PDF)。

$\left(n,K,1\right)$-PDP的存在性问题最早由Bermond等[4]在可移动天线的问题中提出，并确定了 $\left(n,3,1\right)$-PDP的存在条件与 $k=4,5$时， $\left(n,k,1\right)$-PDP不存在的若干条件。文献[5][6]给出了 $\left(n,3,1\right)$-PDF存在的充要条件与 $k\ge 3$时， $\left(n,k,1\right)$-PDF不存在的条件。文献[7][8]利用加法置换序列与完美差矩阵，给出了 $n\equiv 1\left(\mathrm{mod}12\right)$时， $\left(n,4,1\right)$-PDF的存在条件与 $t\le 1000$且 $t\ne 2,3$时， $\left(12t+1,4,1\right)$-PDF的存在条件。Wu等[9][10]利用Langford序列讨论了 $(n,K,1)$-PDF不存在的条件及 $K=\left\{3,s^{*}\right\},\left\{3,s_1^{*},s_2^{*}\right\}$时， $\left(n,K,1\right)$-PDF的存在条件，其中 $s_i^{*}(i=1,2)$表示 $(n,\{k,s_1^{*},s_2^{*}\},1)$-PDF中恰好有一个大小为 $s_i\left(i=1,2\right)$的基区组，且大小为k的基区组的数量大于0。

下面列出几个完美差族的已知结果。

引理2.3[5][11]

1) $\left(n,3,1\right)$-PDF存在当且仅当 $n\equiv 1,7\left(\mathrm{mod}24\right)$；

2) 当 $t=6,8,10$时， $\left(20t+1,5,1\right)$-PDF存在；

3) 当 $n\equiv 21\left(\mathrm{mod}40\right)$或 $n=41,81$时， $\left(n,5,1\right)$-PDF不存在。

引理2.4[9] $\left(n,\left\{3,5^{*}\right\},1\right)$-PDF存在当且仅当 $n\equiv 9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n\ge 33$。

引理2.5[3] $\left(n\times m,3,1\right)$-PDF存在当且仅当 $nm\equiv 1\left(\mathrm{mod}6\right)$且 $n,m\equiv 1,7,17,23\left(\mathrm{mod}24\right)$。

2.1. 辅助设计

本节介绍了构造广义完美差族用到的辅助设计。

定义2.1.1令K为给定的正整数集，若三元组 $\left(X,\mathcal{G},ℬ\right)$满足：1)X是一个有限点集，X中的元素称为点；2) $\mathcal{G}$是X的一种划分， $\mathcal{G}$中的元素称为组；3) $ℬ$是X的子集(称为区组)族， $ℬ$中每个区组的大小均属于K，X中属于不同组的任意元素对恰好属于 $ℬ$的唯一一个区组中，而属于同一个组的任意元素对不属于任何区组，则称 $\left(X,\mathcal{G},ℬ\right)$是一个可分组设计(group divisible design)，记作K-GDD。当 $K=\left\{k\right\}$时，简写为K-GDD。若组集 $\mathcal{G}$有 $u_i$个大小为 $g_i$的组，其中 $1\le i\le s$，且 $\left|X\right|={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{s}{\sum }}{u}_i{g}_i}$，则称 $g_1^{u_1}{g}_2^{u_2}\cdots g_s^{u_s}$为该可分组设计的型。

定义2.1.2令S是n阶整数集合， $X=S\times \left[m\right]$， $\mathcal{G}=\left\{\left\{i\right\}\times \left[m\right]:i\in S\right\}$。令 $ℱ$为 $S\times \left[m\right]$的子集(称为基区组)族。对于任意 $i,j\in S$， $B\in ℱ$，定义差集：

${\Delta }_{ij}\left(B\right)=\left\{x-y:\left(i,x\right),\left(j,y\right)\in B,\left(i,x\right)\ne \left(j,y\right)\right\}$.

若对于任意 $i,j\in S$，

${\Delta }_{ij}\left(ℱ\right)={\displaystyle \underset{B\in ℱ}{\cup }{\Delta }_{ij}\left(B\right)}=\{\begin{array}{ll}\left[m\right],\hfill & i\ne j\hfill \\ \varnothing ,\hfill & i=j\hfill \end{array}$,

则一个点集为 $X^{*}=S\times \left[0,m-1\right]$，组集为 ${\mathcal{G}}^{*}=\left\{\left\{i\right\}\times \left[0,m-1\right]:i\in S\right\}$，且型为 $m^n$的K-GDD可以由 $ℱ$生成，其中 $K=\left\{\left|B\right|:B\in ℱ\right\}$。对 $ℱ$中每个基区组中元素的第二个分量 $+1\left(\mathrm{mod}m\right)$可得到上述型为 $m^n$的K-GDD的区组集。称这样的设计 $ℱ$是一个型为 $m^n$的半完美可分组设计(semi-perfect group divisible design)，记作型为 $m^n$的K-SPGDD。

定义2.1.3令K为给定的正整数集，m、n为正整数。若四元组 $\left(X,\mathscr{H},\mathcal{G},ℬ\right)$满足：1)X是有mn个点的有限点集，X中的元素称为点；2) $\mathcal{G}$是X的一种划分，将X划分为n个大小为m的子集， $\mathcal{G}$中的元素称为组；3) $\mathscr{H}$是X的另一种划分，将X划分为m个大小为n的子集， $\mathscr{H}$中的元素称为洞，使得对任意的 $H\in \mathscr{H}$， $G\in \mathcal{G}$，满足 $\left|H\cap G\right|=1$；4) $ℬ$是X的子集(称为区组)族， $ℬ$中每个区组的大小均属于K，使得X中取自同组或同洞的点对不出现在 $ℬ$的任意区组中，X的其他点对恰好出现在 $ℬ$的唯一一个区组中，则称 $\left(X,\mathscr{H},\mathcal{G},ℬ\right)$是一个型为 $m^n$的改进可分组设计(modified group divisible design)，简记为型为 $m^n$的K-MGDD。

文献[12]-[14]中给出了部分MGDD的如下存在条件。

引理2.1.4[12]-[14]

1) 型为 $m^n$的3-MGDD存在当且仅当 $n,m\ge 3$， $\left(n-1\right)\left(m-1\right)\equiv 0\left(\mathrm{mod}2\right)$，且 $mn\left(n-1\right)\left(m-1\right)\equiv 0\left(\mathrm{mod}6\right)$；

2) 型为 $m^n$的4-MGDD存在当且仅当 $n,m\ge 4$， $\left(n-1\right)\left(m-1\right)\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)$，且 $\left(n,m\right)\ne \left(4,6\right)$；

3) 型为5⁵的5-MGDD存在。

定义2.1.5令S为有n个点的整数集合， $X=S\times \left[m\right]$, $\mathcal{G}=\left\{\left\{i\right\}\times \left[m\right]:i\in S\right\}$， $\mathscr{H}=\left\{S\times \left\{x\right\}:x\in \left[m\right]\right\}$。令 $ℱ$为 $S\times \left[m\right]$的子集(称为基区组)族。对于任意 $i,j\in S$， $B\in ℱ$，定义：

${\Delta }_{ij}\left(B\right)=\left\{x-y:\left(i,x\right),\left(j,y\right)\in B,\left(i,x\right)\ne \left(j,y\right)\right\}$.

若对于任意 $i,j\in S$，有：

${\Delta }_{ij}\left(ℱ\right)={\displaystyle \underset{B\in ℱ}{\cup }{\Delta }_{ij}\left(B\right)}=\{\begin{array}{ll}\left[m\right]\backslash \left\{0\right\},\hfill & i\ne j\hfill \\ \varnothing ,\hfill & i=j\hfill \end{array}$,

那么一个点集为 $X^{*}=S\times \left[0,m-1\right]$，组集为 ${\mathcal{G}}^{*}=\left\{\left\{i\right\}\times \left[0,m-1\right]:i\in S\right\}$，洞为 ${\mathscr{H}}^{*}=\{S\times \left[x\right]:x\in \left[m\right]\}$的型为 $m^n$的K-MGDD可以由 $ℱ$生成。对 $ℱ$的每个基区组中元素的第二个分量 $+1\left(\mathrm{mod}m\right)$可得到上述型为 $m^n$的K-MGDD的区组集。其中， $K=\left\{\left|B\right|:B\in ℱ\right\}$。称 $ℱ$为型为 $m^n$的半完美改进可分组设计(semi-perfect modified group divisible design)，简记为型为 $m^n$的K-SPMGDD。

若 $ℱ$是 $S\times \left[m\right]$上型为 $m^n$的K-SPMGDD，那么 $ℱ\cup \left(S\times \left\{0\right\}\right)$是一个型为 $m^n$的 $\left(K\cup \left\{n\right\}\right)$-SPGDD。

2.2. 递归构造

基于以上辅助设计，本节介绍了广义完美差族的主要构造方法。

定义2.2.1令H₁和H₂为两个整数集合。对于任意的正整数r₁和r₂，定义：

$H_1^{r_1}\times H_2^{r_2}=\left\{\left(r_1{h}_1,r_2{h}_2\right):\left(h_1,h_2\right)\in H_1\times H_2\right\}$.

对于某些奇正整数 $h_i$，当 $H_i=\left[h_i\right]$时，通常将 $H_i^{r_i}$写作 ${\left[h_i\right]}^{r_i}$， $i=1,2$。一个广义 $\left(N\times M,K,1\right)$-PDF可以看作是一个差剩余为 ${\left[1\right]}^{r_1}\times {\left[1\right]}^{r_2}$的广义 $\left(N\times M,K,1\right)$-PDP，其中 $r_1,r_2$为任意正整数。若存在一个差剩余为 $H_1^{r_1}\times H_2^{r_2}$的广义 $\left(N\times M,K,1\right)$-PDP，则 $H_i$中包含0，并且若 $a\in H_i$，那么 $-a\in H_i,i=1,2$。

构造2.2.2[3]如果存在一个差剩余为 $H_1^{r_1}\times H_2^{r_2}$的广义 $\left(n\times m,K,1\right)$-PDP与一个差剩余为 $T_1^{s_1}\times T_2^{s_2}$的广义 $\left(H_1\times H_2,L,1\right)$-PDP，那么存在一个差剩余为 $T_1^{r_1{s}_1}\times T_2^{r_2{s}_2}$的广义 $\left(n\times m,K\cup L,1\right)$-PDP。并且，若广义 $\left(n\times m,K,1\right)$-PDP为PDF，则广义 $\left(n\times m,K\cup L,1\right)$-PDP是一个广义 $\left(n\times m,K\cup L,1\right)$-PDF。

构造2.2.3[15]如果存在一个差剩余为 $H^r$的 $\left(n,K,1\right)$-PDP与一个型为 $m^k$的L-SPGDD，其中每一个 $k\in K$，存在一个差剩余为 $H^r\times \left[m\right]$的广义 $\left(n\times m,L,1\right)$-PDP。若 $\left(n,K,1\right)$-PDP为PDF，那么 $\left(n\times m,L,1\right)$-PDP的差剩余为 $\left\{0\right\}\times \left[m\right]$。

构造2.2.4[15]如果存在一个 $\left(m,K,1\right)$-PDF与一个型为 $k^h$的L-MGDD，其中 $k\in K$，那么存在一个型为 $m^h$的L-SPMGDD。

3. $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDFs

本节将探究广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDFs的存在条件。首先考虑 $m=1$的情况，那么 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDFs可以由 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDFs得到。显然，一个广义 $\left(n\times m,3,1\right)$-PDF是一个广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。

引理3.1若存在一个 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF，则 $n\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$且 $n\notin \left\{3,5,9,11,15,17,23,29,35\right\}$。

证令 $\mathcal{A}$为一个 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF的区组集， $\mathcal{A}$中区组长为3和5的区组的个数分别为x和y。则有：

$6x+20y=n-1.$(1)

由此得 $n\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$。当 $n\in \left\{3,5,9,11,15,17,23,29,35\right\}$时，(1)式无非负整数解，对应的 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF不存在。而对于其余情况，等式(1)均存在非负整数解。综上，结论得证。

引理3.2当 $n\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n\notin \left\{3,5,9,11,13,15,17,19,21,23,27,29,35,37,41,43\right\}$时， $(n,\left\{3,5\right\},1)$-PDF存在。

证由引理2.3，当 $n\equiv 1,7\left(\mathrm{mod}24\right)$时， $\left(n,3,1\right)$-PDF存在，因此 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF也存在。再由引理2.4知，当 $n\equiv 9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n\ge 33$时， $\left(n,\left\{3,5^{*}\right\},1\right)$-PDF存在，因此 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF也存在。当 $n\in \left\{13,19,37,43\right\}$时，由引理3.1，(1)式都有唯一非负整数解，分别为 $\left(2,0\right),\left(3,0\right),\left(6,0\right),\left(7,0\right)$。而由引理2.3， $\left(13,3,1\right)$-PDF、 $\left(19,3,1\right)$-PDF、 $\left(37,3,1\right)$-PDF、 $\left(43,3,1\right)$-PDF均不存在；当 $n=21,41$时，等式(1)有唯一非负整数解，分别为 $\left(0,1\right)$和 $\left(0,2\right)$，但 $\left(21,5,1\right)$-PDF、 $\left(41,5,1\right)$-PDF均不存在。当 $n=27$时，等式(1)有唯一非负整数解 $\left(1,1\right)$，但由引理2.4， $\left(27,\left\{3,5^{*}\right\},1\right)$-PDF不存在。故结论得证。

在下文讨论中，令 $Q=\{3,5,9,11,13,15,17,19,21,23,27,29,35,37,41,43\}$。

引理3.3当 $m\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $m\notin Q$时，型为 $m^3$和型为 $m^5$的 $\left\{3,5\right\}$-SPGDD存在。

证由引理3.2， $m\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $m\notin Q$时， $\left(m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF存在。由引理2.1.4， $k\in \left\{3,5\right\}$时，型为 $k^3$的 $\left\{3,5\right\}$-MGDD与型为 $k^5$的 $\left\{3,5\right\}$-MGDD存在。

令 $\mathcal{A}$为 $\left[m\right]$上给定的 $\left(m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。对于 $\mathcal{A}$的每一个基区组 $A=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_k\right\}$，令 ${ℬ}_A$为 $\left[0,h-1\right]\times A$上的型为 $k^h$的 $\left\{3,5\right\}$-MGDD，组集为 $\left\{\left\{i\right\}\times A:i\in \left[0,h-1\right]\right\}$，其中 $k,h\in \left\{3,5\right\}$。对于每个 $B\in {ℬ}_A$，令：

${\Delta }_{ij}\left(B\right)=\left\{x-y:\left(i,x\right),\left(j,y\right)\in B,i,j\in \left[0,h-1\right],i\ne j\right\}.$

记 $ℬ={\displaystyle \underset{A\in \mathcal{A}}{\cup }{ℬ}_A}$，则有：

${\Delta }_{ij}\left(ℬ\right)={\displaystyle \underset{A\in \mathcal{A}}{\cup }{\Delta }_{ij}}\left({ℬ}_A\right)={\displaystyle \underset{A\in \mathcal{A}}{\cup }{\displaystyle \underset{B\in ℬ}{\cup }{\Delta }_{ij}\left(B\right)}=\left[m\right]\backslash \left\{0\right\}},$

其中， $i,j\in \left[0,h-1\right]$且 $i\ne j$。显然， $ℬ$是 $\left[0,h-1\right]\times \left[m\right]$上的型为 $m^h$的 $\left\{3,5\right\}$-SPMGDD，那么 $ℬ\cup \left\{\left[0,h-1\right]\times \left\{0\right\}\right\}$是一个型为 $m^h$的 $\left\{3,5\right\}$-SPGDD， $h\in \left\{3,5\right\}$。

引理3.4当 $n,m\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n,m\notin Q$时，差剩余为 $\left\{\left\{0\right\}\times \left[m\right]\right\}$的广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDP存在。

证由引理3.2，当 $n\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n\notin Q$时， $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF存在；当 $m\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $m\notin Q$时，由引理3.3可知，型为 $m^3$与 $m^5$的 $\left\{3,5\right\}$-SPGDD存在。

令 $\mathcal{A}$为 $\left[n\right]$上给定的 $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。对于 $\mathcal{A}$中任意一个基区组A，可以构造一个 $A\times \left[m\right]$上的型为 $m^k$的 $\left\{3,5\right\}$-SPGDD，组集为 $\left\{\left\{i\right\}\times \left[m\right]:i\in A\right\}$，基区组集为 ${ℬ}_A$，其中 $k\in \left\{3,5\right\}$。记 $ℬ={\displaystyle \underset{A\in \mathcal{A}}{\cup }{ℬ}_A}$，那么：

$\Delta ℬ={\displaystyle \underset{A\in \mathcal{A}}{\cup }\Delta \left({ℬ}_A\right)}={\displaystyle \underset{A\in \mathcal{A}}{\cup }\left(\Delta A\times \left[m\right]\right)}=\left(\left[n\right]\backslash \left\{0\right\}\right)\times \left[m\right]=\left(\left[n\right]\times \left[m\right]\right)\backslash \left(\left\{0\right\}\times \left[m\right]\right)$.

因此， $ℬ$是一个差剩余为 $\left\{0\right\}\times \left[m\right]$的广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDP。

定理3.5当 $n,m\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n,m\notin Q$时，广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF存在。

证由引理3.2，当 $n,m\equiv 1,7,9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n,m\notin Q$时， $\left(m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF存在；由引理3.4，差剩余为 $\left\{\left\{0\right\}\times \left[m\right]\right\}$的广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDP存在。

令 $\mathcal{A}$为 $\left[n\right]\times \left[m\right]$上差剩余为 $\left\{\left\{0\right\}\times \left[m\right]\right\}$的广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDP， $ℬ$为给定的 $\left(m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。对于 $ℬ$中的每一个基区组 $B=\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots ,\left(x_i,y_i\right)\right\},i\in \left\{3,5\right\}$，构造一个集合：

$C_B=\left\{\left(r_1{x}_1,r_2{y}_1\right),\left(r_1{x}_2,r_2{y}_2\right),\cdots ,\left(r_1{x}_i,r_2{y}_i\right)\right\}$.

令 $\mathcal{C}=\left\{C_B:B\in ℬ\right\}$，则：

$\Delta \mathcal{C}={\displaystyle \underset{B\in ℬ}{\cup }\Delta \left(C_B\right)}=\left[m\right]\backslash \left\{0\right\}$,

$\Delta \left(\mathcal{A}\cup \mathcal{C}\right)=\left(\Delta \mathcal{A}\cup \Delta \mathcal{C}\right)=\left\{\left(\left[n\right]\times \left[m\right]\right)\backslash \left(\left\{0\right\}\times \left[m\right]\right)\right\}\cup \left(\left[m\right]\backslash \left\{0\right\}\right)=\left(\left[n\right]\times \left[m\right]\right)\backslash \left\{\left(0,0\right)\right\}$.

显然， $\mathcal{A}\cup \mathcal{C}$是一个广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。

定理3.6当 $n,m\equiv 9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n,m\ge 33$时，存在一个广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。

证由引理2.4，当 $n,m\equiv 9,15\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n,m\ge 33$时， $\left(n,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF与 $(m,\left\{3,5\right\},1)$-PDF存在。由引理3.3，型为 $m^3$的 $\left\{3,5\right\}$-SPGDD与型为 $m^5$的 $\left\{3,5\right\}$-SPGDD存在。由引理3.4，差剩余为 $\left\{\left\{0\right\}\times \left[m\right]\right\}$的广义 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDP存在。再结合构造2.2.2，结论得证。

推论3.7当 $m\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$时，广义 $\left(3\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF不存在。

证令 $m=2t+1$，t是整数且 $t\ge 1$。设一个广义 $\left(3\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF的基区组集为 $ℬ$。记 $ℬ$中大小为3的基区组集为 ${ℬ}_3$，大小为5的基区组集为 ${ℬ}_5$，且 $\left|{ℬ}_3\right|=x_3$， $\left|{ℬ}_5\right|=x_5$。那么有：

$6x_3+20x_5=6t+2$。(2)

对每个 $B\in ℬ$，令 $\Delta \left(B_0\right)=\left\{b:\left(0,b\right)\in \Delta B,b>0\right\}$。列举基区组的所有可能形式，当 $B\in {ℬ}_3$时， $\left|\Delta \left(B_0\right)\right|=1$或3；当 $B\in {ℬ}_5$时， $\left|\Delta \left(B_0\right)\right|=4,6$或10。记 $\Delta \left({ℬ}_0\right)={\displaystyle \underset{B\in ℬ}{\cup }\Delta \left(B_0\right)}$，那么 $\left|\Delta \left({ℬ}_0\right)\right|=t$。

当且仅当 $x_5=1+3k,k\ge 0$时，等式(2)有非负整数解 $\left(x_3,x_5\right)$。等式(2)有解时，其形式为 $\left(x_3,x_5\right)=\left(\delta ,x_5\right)$，其中 $\delta =\frac{6t+2-20x_5}{6}$。因为 $B\in {ℬ}_3$时， $\left|\Delta \left(B_0\right)\right|\ge 1$； $B\in {ℬ}_5$时， $\left|\Delta \left(B_0\right)\right|\ge 4$，所以有：

$\left|\Delta \left({ℬ}_0\right)\right|\ge \delta \cdot 1+x_5\cdot 4=\frac{6t+2-20x_5}{6}+\frac{24x_5}{6}=t+\frac{1+2x_5}{3}>t$,

与 $\left|\Delta \left({ℬ}_0\right)\right|=t$矛盾。因此，当 $m\equiv 1\left(\mathrm{mod}2\right)$时，广义 $\left(3\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF不存在。

推论3.8当 $m\in \left\{5,7,9,11\right\}$时，广义 $\left(5\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF不存在。

证若存在一个广义 $\left(n\times m,K,1\right)$-PDP，则 $\left(nm,K,1\right)$-PDP也存在。但由引理2.3，不存在 $\left(35,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF，故而也不存在广义 $\left(5\times 7,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。

假设存在一个广义 $\left(5\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF， $m\in \left\{5,11\right\}$，基区组集为 $ℬ$。记 $ℬ$中大小为3和5的基区组集分别记为 ${ℬ}_3$和 ${ℬ}_5$，且 $\left|{ℬ}_3\right|=x_3$， $\left|{ℬ}_5\right|=x_5$。那么 $6x_3+20x_5=5m-1$存在非负整数解 $\left(x_3,x_5\right)$。当 $m\in \left\{5,11\right\}$时，唯一非负整数解分别为 $\left(4,0\right),\left(9,0\right)$。由引理2.5可知， $\left(5\times 5,3,1\right)$-PDF与 $\left(5\times 11,3,1\right)$-PDF不存在，因此当 $m\in \left\{5,11\right\}$时，广义 $\left(5\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF不存在。

假设当 $m=9$时存在一个广义 $\left(5\times 9,\left\{3,5\right\},1\right)$-PDF。定义：

$\Delta \left(B_{i,0}\right)=\left\{\left(0,y\right)\in \Delta B:B\in {ℬ}_i,y>0\right\},i=3,5$;

$\Delta \left(B_{i,j}\right)=\left\{\left(j,y\right)\in \Delta B:B\in {ℬ}_i\right\},i=3,5,j=1,2$;

$\Delta \left({ℱ}_j\right)={\displaystyle \underset{B\in ℬ}{\cup }\Delta }\left(B_{i,j}\right),i=3,5,j=0,1,2$.

则有 $\left|\Delta {\left(ℱ\right)}_0\right|=4$， $\left|\Delta {\left(ℱ\right)}_1\right|=\left|\Delta \left({ℱ}_2\right)\right|=9$。

通过列举基区组的所有可能形式，有 $\left(\left|\Delta \left(B_{3,0}\right)\right|,\left|\Delta \left(B_{3,1}\right)\right|,\left|\Delta \left(B_{3,2}\right)\right|\right)=\left(3,0,0\right)$或 $\left(1,2,0\right)$或 $\left(1,0,2\right)$或 $\left(0,2,1\right)$， $\left(\left|\Delta \left(B_{5,0}\right)\right|,\left|\Delta \left(B_{5,1}\right)\right|,\left|\Delta \left(B_{5,2}\right)\right|\right)=\left(10,0,0\right)$或 $\left(6,4,0\right)$或 $\left(4,6,0\right)$或 $\left(4,0,6\right)$或 $\left(3,4,3\right)$或 $\left(3,6,1\right)$或 $\left(2,6,2\right)$或 $\left(2,4,4\right)$。因为 $\Delta ℬ=6x_3+20x_5=44$，有唯一整数解 $\left(x_3,x_5\right)=\left(4,1\right)$。又因为 $\left|\Delta \left({ℬ}_{3,1}\right)\right|$与 $\left|\Delta \left({ℬ}_{5,1}\right)\right|$均为偶数，与 $\left|\Delta \left({ℱ}_1\right)\right|=9$矛盾，即整数解 $\left(4,1\right)$不存在，因此不存在广义 $(5\times 9,\left\{3,5\right\},1)$-PDF。

4. 完美 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$几何正交码

定义4.1设Z为整数集合，令 $n,m,{\lambda }_a,{\lambda }_c$为正整数。一个 $\left(n\times m,K,{\lambda }_a,{\lambda }_c\right)$-几何正交码 $\mathcal{C}$，是 $\left[0,n-1\right]\times \left[0,m-1\right]$上的组长取自正整数集K的子集(称为码字)族，且满足如下条件：

1) (非周期自相关性)：对任意 $B\in \mathcal{C}$和每个 $\left(s,t\right)\in Z\times Z\backslash \left\{\left(0,0\right)\right\}$， $\left|B\cap \left(B+\left(s,t\right)\right)\right|\le {\lambda }_a$；

2) (非周期互相关性)：对任意 $A,B\in \mathcal{C},A\ne B$和每个 $\left(s,t\right)\in Z\times Z$， $\left|A\cap \left(B+\left(s,t\right)\right)\right|\le {\lambda }_c$，

其中， $B+\left(s,t\right)=\left\{\left(x+s,y+t\right):\left(x,y\right)\in B\right\}$。

定义4.2当 ${\lambda }_a={\lambda }_c=\lambda$时，一个 $\left(n\times m,K,{\lambda }_a,{\lambda }_c\right)$-几何正交码(geometric orthogonal codes)，记作 $\left(n\times m,K,\lambda \right)$-GOC。当 $\left|K\right|=1$时，称其为常重量的几何正交码；当 $\left|K\right|>1$时，称其为变重量的几何正交码。

定义4.3令 $\mathcal{C}$为 $\left[0,n-1\right]\times \left[0,m-1\right]$上 $k\left(k\in K\right)$长的子集族。对于任意的 $B\in \mathcal{C}$，令 $\Delta \mathcal{C}={\displaystyle \underset{B\in \mathcal{C}}{\cup }\Delta B}$。若 $\Delta \mathcal{C}$包含 $\left[2n-1\right]\times \left[2m-1\right]$中每个元素至多一次，则称 $\mathcal{C}$为一个 $\left(n\times m,K,1\right)$-GOC。当 $\Delta \mathcal{C}=\left[2n-1\right]\times \left[2m-1\right]\backslash \left\{\left(0,0\right)\right\}$时，则称 $\mathcal{C}$为一个完美 $\left(n\times m,K,1\right)$-GOC。

Wang等[3]首次提出了广义 $\left(n\times m,k,1\right)$-PDP的概念，借助辅助设计完美差矩阵与幂等正交阵列，确定了 $n,m\equiv 17,23\left(\mathrm{mod}24\right)$时，广义 $\left(n\times m,3,1\right)$-PDF的存在性。Su等[15]借助半完美可分组设计与半完美改进可分组设计，除部分例外值，确定了 $K=\left\{3,4\right\},\left\{3,4,5\right\}$时，广义 $\left(n\times m,K,1\right)$-PDF存在的充要条件，同时给出了广义完美差族与完美几何正交码之间的等价关系。

引理4.4[15]一个完美 $\left(n\times m,K,1\right)$-GOC等价于一个广义 $\left(\left(2n-1\right)\times \left(2m-1\right),K,1\right)$-PDF。

由定理3.5~3.6，推论3.7~3.8及引理4.4，可以得到以下结论。

定理4.5当 $n,m\equiv 1,4,5,8,13,16,17,20\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n,m\notin \left\{2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,14,18,19,21,22\right\}$时，存在一个完美 $\left(n\times m,\left\{3,5\right\},1\right)$-GOC。

定理4.6当 $n,m\equiv 5,8,17,20\left(\mathrm{mod}24\right)$且 $n,m\ge 17$时，存在一个完美 $(n\times m,\left\{3,5\right\},1)$-GOC。

定理4.7当 $m\equiv 0,1\left(\mathrm{mod}2\right)$时，完美 $(2\times m,\left\{3,5\right\},1)$-GOC不存在。

定理4.8当 $m\in \left\{3,4,5,6\right\}$时，完美 $(3\times m,\left\{3,5\right\},1)$-GOC不存在。

基金项目

国家自然科学基金青年基金项目(11401326)；无穷维哈密顿系统及其算法应用教育部重点实验室开放课(2023KFZR03)；内蒙古自治区高等学校科学研究项目(NJZY19021, NJZY22599, NJZY22600)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

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