文章引用：王睿为. 导曲线分担超平面的正规定则[J]. 理论数学, 2024, 14(6): 341-350. https://doi.org/10.12677/pm.2024.146254

1. 问题的提出

Bloch原理是复分析中一个非常重要的发现，它揭示了正规族理论和值分布理论之间的深刻联系。这一原理由Andrey Bloch[1]提出，Bloch原理表明，如果一个亚纯函数具有某个性质P，使得它在整个复平面上是常数，那么在任何区域D上具有性质P的亚纯函数族都是正规的。这个原理的重要性在于，它提供了一种判断亚纯函数族正规性的方法。通过分析函数的性质，而不仅仅是函数族的结构，研究者可以更深入地了解函数族的正规性。

正规定则的研究是正规族理论的核心。在1975年，Zalcman[2]发现了亚纯函数族不正规的充分必要条件，这个发现为Bloch原理成立的性质提供了一个刻画，被称为Zalcman引理。Zalcman引理的提出是正规族理论发展史上的一个重要里程碑，它不仅为判断亚纯函数族的正规性提供了新的工具，而且为后续的研究指明了方向。

对于全纯曲线族的正规定则研究，杨刘、方彩云和庞学诚[3]做出了重要贡献。他们考虑了全纯曲线族与超平面之间的关系，并提出了如下定理来描述这种关系。

定理1设 $ℱ\subset \mathscr{H}\left(D;{\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)\right)$是从区域 $D\subset ℂ$到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的全纯曲线族， $H_1,H_2,\cdots ,H_p$是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$上p个处于一般位置的超平面 $\left(p\ge 2N+1\right)$。如果对于任意的 $f,g\in ℱ$,有f与g在D上分担 $H_j$，其中 $j=1,2,\cdots ,p$，则有 $ℱ$在D上正规。

2015年，叶亚盛、庞学诚和杨刘[4]引入导曲线 $\nabla f$，考虑全纯曲线f与其导曲线 $\nabla f$“强分担”超平面的情形，证明了下面定理。

定理2设 $ℱ\subset \mathscr{H}\left(D;{\mathbb{P}}^N(ℂ)\right)$是一族从区域 $D\subset ℂ$到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的全纯曲线， $H_1,H_2,\cdots ,H_{2N+1}$是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中的 $2N+1$个处于一般位置的超平面， $\delta$是一个实数， $0<\delta <1$。若对于任意的 $f\in ℱ$，满足下列条件：

(1) $f\left(z\right)$与 $\nabla f\left(z\right)$在D上“强分担” $H_j$，其中 $j=1,\cdots ,2N+1$；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{j=1}^{2N+1}{H}_j}$，那么 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$，其中 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$是一个坐标超平面。

则 $ℱ$在D上正规。

这里的“强分担”意味着 $f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$，且满足 $f^{-1}\left(H\right)=\nabla f^{-1}\left(H\right)$的点上有 $f\left(z\right)=\nabla f\left(z\right)$。

刘晓俊、庞学诚和杨锦华[5]对于首项系数非零的超平面，将定理1中的“强分担”减弱为“分担”，得到了下面定理。

定理3设 $ℱ$是一族从区域 $D\subset ℂ$到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的全纯曲线， $H_j=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_j\rangle =0\right\}$是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中处于一般位置的超平面，这里 ${\alpha }_j={\left(a_{j0},\cdots ,a_{jN}\right)}^{\text{T}}$且 $a_{j0}\ne 0$， $j=1,\cdots ,2N+1$。若对于任意的 $f\in ℱ$，满足下列两个条件：

(1) 若 $f\left(z\right)\in H_j$，则 $\nabla f\left(z\right)\in H_j$，其中 $j=1,\cdots ,2N+1$；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{j=1}^{2N+1}{H}_j}$，那么 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$，其中 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$， $0<\delta <1$是一个常数。

则 $ℱ$在D上正规。

去掉了超平面首项系数非零的限制，在 $N=2$的情况下，刘晓俊与庞学诚[6]得到下面的定理。

定理4设 $ℱ$是一族从区域 $D\subset ℂ$到 ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$的全纯曲线，令 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$， $H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$是 ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$中处于一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},a_{l2}\right)}^{\text{T}}$， $l=1,\cdots ,5$。假设对任意的 $f\in ℱ$，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$当且仅当 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$，其中 $l=1,\cdots ,5$；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^5{H}_l}$，那么 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$，其中 $0<\delta <1$是一个常数。

则 $ℱ$在D上正规。

随后，郑晓杰和刘晓俊[7]考虑了 $N=3$的情形，在额外增加一个超平面的情况下，证明了如下定理：

定理5设 $ℱ$是一族从区域 $D\subset ℂ$到 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$的全纯曲线，令 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$， $H_l=\left\{x\in P^3\left(C\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$是 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$中处于一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},{\alpha }_{l2},{\alpha }_{l3}\right)}^{\text{T}}$， $l=1,2,\cdots ,8$，假设对任意的 $f\in ℱ$，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$当且仅当 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$，其中 $l=1,2,\cdots ,8$；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^8{H}_l}$，则 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$，其中 $0<\delta <1$是一个常数。

则 $ℱ$在D上正规。

范楚君和刘晓俊[8]又考虑了当 $N=3$时，分担处于t次一般位置的超平面的正规定则，对于 $t=3,4,5$的情形，得到了如下定理。

定理6设 $ℱ$是一族从区域 $D\subset ℂ$到 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$的全纯曲线，令 $H_0=\left\{x_0=0\right\}$， $H_l=\left\{x\in P^3\left(C\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$是 ${\mathbb{P}}^3\left(ℂ\right)$中处于t次一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},{\alpha }_{l2},{\alpha }_{l3}\right)}^{\text{T}}$， $l=1,2,\cdots ,2t+3$，如果对任意的 $f\in ℱ$，满足下列两个条件：

(1) $f\left(z\right)\in H_l$当且仅当 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$，其中 $l=1,2,\cdots ,2t+3$；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2t+3}{H}_l}$，则 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\Vert f\left(z\right)\Vert \cdot \Vert H_0\Vert }\ge \delta$，其中 $0<\delta <1$是一个常数。

则当 $t=3,4,5$时， $ℱ$在D上正规。

本文继续研究上述相关问题，通过增加条件若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2N+1}{H}_l}$，则 $\frac{\left|\langle \nabla f\left(z\right),H_l\rangle \right|}{{\left|f_0\left(z\right)\right|}^2}\le \frac{1}{\delta }$，降低了对面的

数量的需求，得到如下定理。

定理7设 $ℱ$是一族从区域 $D\subset ℂ$到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的全纯曲线， $H_l=\left\{x\in P^N\left(\text{C}\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}\ne H_0$是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中处于一般位置的超平面，其中 ${\alpha }_l={\left({\alpha }_{l0},{\alpha }_{l1},\cdots ,{\alpha }_{lN}\right)}^{\text{T}}$， $l=1,2,\cdots ,2N+1$， $H_0=\left\{x_0=0\right\}$。如果对任意的 $f\in ℱ$，满足：

(1) 若 $\nabla f\left(z\right)\in H_l$，则 $f\left(z\right)\in H_l$；

(2) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2N+1}{H}_l}$，那么 $\frac{\left|\langle f\left(z\right),H_0\rangle \right|}{\left|\left|f\left(z\right)\right|\cdot \left|H_0\right|\right|}\ge \delta$；

(3) 若 $f\left(z\right)\in {\displaystyle {\cup }_{l=1}^{2N+1}{H}_l}$，则 $\frac{\left|\langle \nabla f\left(z\right),H_l\rangle \right|}{{\left|f_0\left(z\right)\right|}^2}\le \frac{1}{\delta }$。

其中 $0<\delta <1$是一个常数。

则 $ℱ$在D上正规。

2. 符号与定义

首先介绍N维复射影空间的相关概念，也就是复空间 ${ℂ}^N$的紧化。

在集合 ${ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}$中引入关系~，对于其中任意两个元素 $x=\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)$， $y=\left(y_0,y_1,\cdots ,y_N\right)$，规定 $x~y$当且仅当存在 $\lambda \in ℂ$，使得

$\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)=\lambda \left(y_0,y_1,\cdots ,y_N\right),$

记 $\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)$的等价定义为 $\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]$，则有

$\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]=\left[y_0,y_1,\cdots ,y_N\right],$

当且仅当存在 $\lambda \in ℂ\backslash \left\{0\right\}$，使得 $x_i=\lambda y_i\left(0\le i\le N\right)$。

记所有等价类的集合为 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$，即

${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)=\left\{x=\left[x_0:x_1:\cdots :x_N\right]:x=\left(x_0,x_1,\cdots ,x_N\right)\in {ℂ}^{N+1}\backslash \left\{0\right\}\right\},$

如此便在 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$上定义了一个复结构，则 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$为N维复流形，称为N维复射影空间，我们仍把它记为 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$。

根据全纯映射的定义有：

命题1设D为 ${ℂ}^m$中的一个区域，映射 $f=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right):D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$，如果此映射的任意分量 $f_i,0\le i\le N$在D内全纯，则f全纯。

定义1设 $U\subset D$为开集，若满足

(1) $f_0,f_1,\cdots ,f_N$均为U上的全纯函数；

(2) 在U上有映射

$\Pi \left(\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)-\left\{0\right\}\right)=\left[f_0,f_1,\cdots ,f_N\right];$

那么可以把映射 $\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right):U\to {ℂ}^{N+1}$称为f在U上的表示。

如果还满足

(3) $f_0,f_1,\cdots ,f_N$在U上无公共零点。

则把 $\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$称为f在U上的既约表示。

注1既约表示并不唯一，且满足如下关系

设 $\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$为f在U上的既约表示；

(1) 对于U中任意不取0的全纯函数h， $h\tilde{f}=\left(h{f}_0,h{f}_1,\cdots ,h{f}_N\right)$也是f在U上的既约表示；

(2) 反之，如果 $\tilde{g}=\left(g_0,g_1,\cdots ,g_N\right)$为f在U上的既约表示，那么U中一定存在一个不取0的全纯函数h，使得 $g_i=h{f}_i,0\le i\le N$。

对于 $\forall a\in D$，由f全纯可知，存在a的一个邻域U，满足 $f\left(U\right)$含于 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的开子集 $U_k$中，则f在U上有既约表示

$\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_{k-1},1,f_{k+1},\cdots ,f_N\right),$

也就是说f在D上每个点附近都有既约表示，相应的，我们有命题2。

命题2每个全纯映射 $f:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$都有整体既约表示。如此，后边可以直接设 $f=\left[f_0,f_1,\cdots ,f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$是全纯映射。

对全纯曲线f的每个既约表示 $\tilde{f}$，定义全纯函数

$\langle f\left(z\right),H\rangle =\langle \tilde{f},\alpha \rangle ={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N}{\sum }}{a}_i{f}_i}\left(z\right),$

再取

$\Vert \tilde{f}\left(z\right)\Vert ={\left\{\underset{i=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}{\left|f_i\left(z\right)\right|}^2\right\}}^{1/2}.$

定义2设 $f=\left[f_0:f_1:\cdots :f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$是一条全纯曲线， $z\in D$， $\tilde{f}$是f在z处的任意一个即约表示，记

$f^{\#}=\frac{\left|f\wedge f^{\prime }\right|}{{\Vert f\Vert }^2}=\frac{\sqrt{{{\displaystyle \sum }}_{0\le i\le j\le N}{\left|f_i{f^{\prime }}_j-f_j{f^{\prime }}_i\right|}^2}}{{{\displaystyle \sum }}_{i=0}^N{\left|f_i\right|}^2}$

为f在z处的Fubini-Study导数，简记为F-S导数，其中 ${\tilde{f}}^{\prime }=\left({{\tilde{f}}^{\prime }}_0,{{\tilde{f}}^{\prime }}_1,\cdots ,{{\tilde{f}}^{\prime }}_N\right).$

注2特别的，当 $N=1$时， $f=f_1/f_0=\left[f_0:f_1\right]:D\to {\mathbb{P}}^1\left(ℂ\right)$为亚纯函数，则有

$f^{\text{\#}}=\frac{\left|{f^{\prime }}_1{f}_0-{f^{\prime }}_0{f}_1\right|}{{\left|f_0\right|}^2+{\left|f_1\right|}^2}=\frac{\left|f^{\prime }\right|}{1+{\left|f\right|}^2},$

也就是球面导数。

设 $H=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,\alpha \rangle =0\right\}$为一个超平面，记 $\Vert H\Vert =\Vert \alpha \Vert ={\max }_{0\le i\le N}\left|a_i\right|$。在本文中，我们只考虑 $\Vert H\Vert =1$的标准化超平面。

定义3：设 $f=\left[f_0:f_1:\cdots :f_N\right]:D\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$是一条全纯曲线， $\tilde{f}$是f在z处的任意一个即约表示，若

${\rho }_f=\underset{r\to +\infty }{\lim }\frac{\log T_f\left(r\right)}{\log r}<+\infty$

其中， $T_f\left(r\right)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\log \Vert \tilde{f}\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\Vert \frac{\text{d}\theta }{2\pi }}-\log \Vert \tilde{f}\left(0\right)\Vert$为f的特征函数，则称f为有穷级的。

设 $H_1,H_2,\cdots ,H_q$为 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中的超平面，则：

$H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =a_{l0}{x}_0+a_{l1}{x}_1+\cdots +a_{lN}{x}_N=0\right\}$，其中 ${\alpha }_l={\left(a_{l0},a_{l1},\cdots ,a_{lN}\right)}^{\text{T}}$是模为1的法向量， $l=1,2,\cdots ,q$。

根据文献[9]有下面关于次一般位置的定义。

定义4设 $N,t,q$均为正整数，且有 $t\ge N$， $q\ge 2t-N+1$，若对任意集合 $P\subseteq \left\{1,2,3,\cdots ,q\right\}$， $\text{\#}P=t+1$，存在单射 $\mu :\left\{1,2,3,\cdots ,N\right\}\to P$，使得 $H_{\mu \left(0\right)},H_{\mu \left(1\right)},\cdots ,H_{\mu \left(N\right)}$处于一般位置，则称 $H_1,H_2,\cdots ,H_q\subseteq {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$处于

t次一般位置。

根据文献[10]对于超曲面的次一般位置，有下面定义：

定义5设 $M\subseteq {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$是一个非空闭子集，t为正整数， $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_q$是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中q个超平面， $q\ge t+1$，如果对任意的 $\left\{i_0,i_1,\cdots ,i_t\right\}\subseteq \left\{1,2,3,\cdots ,q\right\}$，有

$M\cap \left({\displaystyle {\cap }_{j=i_0}^{i_t}{Q}_j}\right)=\varnothing$

则称他们关于M处于t次一般位置，当 $M={\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$，即超曲面关于 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$处于t次一般位置。

特别地，当 $t=N$时，称为处于一般位置。

下面我们回顾Wronskian行列式的相关概念。

定义6设 $f_1,f_2,\cdots ,f_k$是区域D上一组亚纯函数，定义它们的Wronskian行列式如下

$\left|\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& \cdots & f_k\\ {f^{\prime }}_1& {f^{\prime }}_2& \cdots & {f^{\prime }}_k\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{\left(k-1\right)}& f_2^{\left(k-1\right)}& \cdots & f_k^{\left(k-1\right)}\end{array}\right|,$

记作 $W\left(f_1,f_2,\cdots ,f_k\right)$, 不引起误会时，记为W。

显然 $W=W\left(f_1,f_2,\cdots ,f_k\right)$是D上的亚纯函数。

最后，根据文献[4]中导曲线的定义，有如下定义：

定义7设f是从区域D到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的全纯曲线， $\tilde{f}=\left(f_0,f_1,\cdots ,f_N\right)$是f在D上满足 $f_{\mu }\left(z\right)\cancel{\equiv }0$的即约表示， $\mu =1,2,3,\cdots ,N$，则称

${\nabla }_{\mu }f\left(z\right)=\left[\frac{W\left(f_{\mu },f_0\right)}{d}:\cdots :\frac{W\left(f_{\mu },f_{\mu -1}\right)}{d}:\frac{f_{\mu }^2}{d}:\frac{W\left(f_{\mu },f_{\mu +1}\right)}{d}:\cdots :\frac{W\left(f_{\mu },f_N\right)}{d}\right]$

为f关于第 $\mu$个分量的全纯导曲线，其中 $d\left(z\right)$为全纯函数，使得 $\frac{f_{\mu }^2}{d}$与 $\frac{W\left(f_{\mu },f_i\right)}{d}$没有公共零点， $i=1,2,3,\cdots ,\mu -1,\mu +1,\cdots ,N$。

简单起见，将 ${\nabla }_{0}f$记为 $\nabla f$，显然有 ${\nabla }_{\mu }f$的定义与f的既约表示的选取无关。

3. 主要引理及其证明

从比较直观的角度讲，函数族的不正规，其实就是在局部较小的定义区域上，族中函数的象的变化幅度过大。因此，可以设法把它的定义区域“摊平”，使它的象的变化幅度一致的较小，这就是Zalcman借助Marty定则证明函数族不正规的方法，即Zalcman引理。Zalcman引理在正规族理论中有举足轻重的地位，也在本文正规性的证明中起着核心作用。

首先，我们给出从区域 ${ℂ}^m$到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$上的全纯映射族的Zalcman引理的推广，此引理也是我们证明的核心。

引理1[11]设 $ℱ$是一族从双曲区域 $\Omega \subseteq {ℂ}^m$映到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的全纯映射。若 $ℱ$在Ω上不正规，则存在子列 $\left\{f_n\right\}\subset ℱ$，点列 $\left\{z_n\right\}\subset \Omega$满足 $z_n\to z_0\in \Omega$，正数列 $\left\{{\rho }_n\right\}$满足 ${\rho }_n\to 0^{+}$，使得

$g_n\left(\xi \right):=f_n\left(z_n+{\rho }_n\xi \right)$

在 ${ℂ}^m$上内闭一致收敛于从 ${ℂ}^m$映到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的非常值全纯映射 $g\left(\xi \right)$。

在主要定理的证明过程中，还需要如下形式的Hurwitz引理。

引理2(Hurwitz 引理)[5]设 $\left\{f_n\left(z\right)\right\}$是定义在区域 $D\subseteq ℂ$内的一列全纯函数， $a\in ℂ$是任意一个复数，且设 $\left\{f_n\left(z\right)\right\}$在D的任意一个紧子集上一致收敛于非常值的全纯函数 $f\left(z\right)$。若存在点 $z_0\in D$，使得 $f\left(z_0\right)=a$，则对于每一个充分大的n，方程 $f_n\left(z\right)=a$在D内有根。此外，存在 $z_0$的某邻域U，使得 $f\left(z\right)-a$在U内根的总数与在 $f_n\left(z\right)-a$内根的总数相同(计重数)。

证明由于 $f\left(z\right)$非常值且 $f\left(z_0\right)=a$，根据零点孤立性，存在 ${\delta }_0>0$，使得对任意 $\delta$， $0<\delta <{\delta }_0$，以及任意z，有 $0<\left|z-z_0\right|\le \delta$， $f\left(z\right)-a\ne 0$。

再令 $m={\min }_{\left|z-z_0\right|=\delta }\left|f\left(z\right)-a\right|>0$，显然 $f_n\left(z\right)$在 $\left\{z:\left|z-z_0\right|=\delta \right\}$上一致收敛到 $f\left(z\right)$。则存在整数 $N>0$，使得对于任意 $n>N$， $z\in \left\{z:\left|z-z_0\right|=\delta \right\}$

$\left|f_n\left(z\right)-f\left(z\right)\right|<m\text{.}$

则对上述，

$\left|f_n\left(z\right)-f\left(z\right)\right|<\left|f\left(z\right)-a\right|,$

则 $f\left(z\right)-a$在 $U=\left\{z:\left|z-z_0\right|<\delta \right\}$内的零点数与

$f_n\left(z\right)-f\left(z\right)+f\left(z\right)-a=f_n\left(z\right)-a,$

在U内零点数相同，证毕。

引理3(Picard 型定理)[12]设 $f:ℂ\to X$是一条全纯曲线，其中X是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中的一个闭子集。再设 $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_{2t+1}$是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中的超曲面，关于X处于t次一般位置。若f不取 $Q_i$，即 $\langle f,Q_i\rangle \ne 0$， $i=1,2,\cdots ,2t+1$，则f必为常值曲线。

为了方便利用上述引理辅助证明，得到了如下推论。

引理4[10]设 $f:ℂ\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$是一条全纯曲线， $H_1,H_2,\cdots ,H_q$均是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中处于t次一般位置的超平面，其中 $q\ge 2t+1$， $t\ge N$，若对每个 $i=1,2,3,\cdots ,q$，f不取 $H_i$，或者 $f\left(ℂ\right)\subseteq H_i$，则f必为常值曲线。

引理5[6]设 $g=\left[g_0,g_1,\cdots ,g_N\right]:ℂ\to {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$是有穷级的全纯曲线， $g_0\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$， $N\ge 2$为整数。 $H_l=\left\{x\in {\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right):\langle x,{\alpha }_l\rangle =0\right\}$是 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$中处于一般位置的超平面，且其第一系数 $a_{l_0}$均不为零， $l=0,1,\cdots ,N+1$。 $\tilde{g}=\left(g_0,g_1,\cdots ,g_N\right)\left(\zeta \right)$是g的任意即约表示，令

$G_l\left(\zeta \right)=a_{l_0}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{a}_{l_i}}\frac{g_i\left(\zeta \right)}{g_0\left(\zeta \right)},l=0,1,\cdots ,N+1$

若 $G_l\left(\zeta \right)\ne 0$，且 ${G^{\prime }}_l\left(\zeta \right)\ne 0$， $\zeta \in ℂ$则g是线性退化的。

4. 定理的证明

首先假设 $ℱ$在D上不正规，则由引理1可得，存在点列 $\left\{z_n\right\}\subset D$满足 $z_n\to z_0\in D$，全纯曲线列 $\left\{f_n\right\}\subset ℱ$，正数列 $\left\{{\rho }_n\right\}$满足 ${\rho }_n\to 0^{+}$，使得

$g_n\left(\zeta \right):=f_n\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)\Rightarrow g\left(\zeta \right)$

其中，g是从 $ℂ$到 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$的有穷级的非常值全纯曲线。

由引理4及g非常值知，存在某个 $i\in \left\{1,2,3\cdots ,2N+1\right\}$，不失一般性，假定 $i=1$，以及某个 ${\zeta }_0\in ℂ$， $\langle g,H_1\rangle \left({\zeta }_0\right)=0$，但 $\langle g,H_1\rangle \left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0$。

由命题知，存在 ${\zeta }_0$的邻域 $U_0$，及 $g_n$在此邻域上的一个即约表示

$\begin{array}{c}{g}_n\left(\zeta \right)=\left(g_{n0},g_{n1},\cdots ,g_{nN}\right)\left(\zeta \right)\\ =\left(f_{n0}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right),\cdots ,f_{nN}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)\right)\end{array}$

g在 $ℂ$上的某个既约表示

$g\left(\zeta \right)=\left(g_0,g_1,\cdots ,g_N\right)\left(\zeta \right)$

使得 ${\left\{g_{ni}\right\}}_{n=1}^{\infty }$在 $U_0$上一致收敛到 $g_i\left(1\le i\le N\right)$。则有 ${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{g}_{n_i}\left(\zeta \right)}$在 $U_0$上一致收敛到 ${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{g}_i\left(\zeta \right)}$。由Hurwitz定理，存在 ${\left\{{\zeta }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\subset U_0$，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\zeta }_n={\zeta }_0$

且当n充分大时有，

${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{g}_{n_i}\left({\zeta }_n\right)}=0$

即

${\displaystyle {\sum }_{i=0}^N{a}_i^1{f}_{ni}\left(z_n+{\rho }_n{\zeta }_n\right)}=0$

由上式以及定理条件(2)有，

$\left|g_{n0}\left({\zeta }_n\right)\right|\ge \delta \Vert g_n\left({\zeta }_n\right)\Vert$

令 $n\to \infty$，有

$\left|g_0\left({\zeta }_0\right)\right|\ge \delta \Vert g\left({\zeta }_0\right)\Vert >0$

因此 $g_0\left({\zeta }_0\right)\ne 0$。

适当缩小 $U_0$，当n充分大时有 $g_{n0}\left(\zeta \right)\ne 0$，故

$\left(g_{n0}^2\left(\zeta \right),W\left(g_{n0},g_{n1}\right)\left(\zeta \right),\cdots ,W\left(g_{n0},g_{nN}\right)\left(\zeta \right)\right)$

为 $\nabla g_n\left(\zeta \right)$在 $U_0$上的一个即约表示，注意到对 $i=0,1,2,\cdots ,N$

${g^{\prime }}_{ni}\left(\zeta \right):={\rho }_n{f^{\prime }}_{ni}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)$

由上式以及定理条件(3)有如下不等式，

$\left|a_0^k+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\frac{W\left(g_{n0},g_{ni}\right)\left({\zeta }_n\right)}{{\rho }_n{g}_{n0}^2\left({\zeta }_n\right)}}\right|\le \frac{1}{\delta }$

从而对 $k=2,3,\cdots ,2N+1$有

$\left|{\rho }_n{a}_0^k+{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\frac{W\left(g_{n0},g_{ni}\right)\left({\zeta }_n\right)}{g_{n0}^2\left({\zeta }_n\right)}}\right|\le \frac{{\rho }_n}{\delta }$

令

${\phi }_k\left(\zeta \right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_i^k}\frac{W\left(g_0,g_i\right)\left(\zeta \right)}{g_0^2\left({\zeta }_n\right)},\zeta \in U_0$

令 $n\to \infty$，有

${\phi }_k\left({\zeta }_0\right)=0,k=2,3,\cdots ,2N+1$

断言：在 $U_0$上的全纯函数 ${\phi }_2,{\phi }_3,\cdots ,{\phi }_{2N+1}$中，至多存在N个恒为0，

否则，不失一般性，我们设

${\phi }_2\left(\zeta \right)\equiv {\phi }_3\left(\zeta \right)\equiv \cdots \equiv {\phi }_{N+2}\left(\zeta \right)\equiv 0$

由于

${\phi }_j\left(\zeta \right)={\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i^j}\frac{g_i}{g_0}\right)}^{\prime }\equiv 0$

存在常数 $c_j\left(j=2,3,\cdots ,N+2\right)$有

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i^j\frac{g_i}{g_0}}\equiv c_j$

由超平面处于一般位置知，线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_1^2{x}_1+a_2^2{x}_2+\cdots +a_N^2{x}_N=c_2\\ a_1^3{x}_1+a_2^3{x}_2+\cdots +a_N^3{x}_N=c_3\\ ⋮\\ a_1^{N+2}{x}_1+a_2^{N+2}{x}_2+\cdots +a_N^{N+2}{x}_N=c_{N+2}\end{array}$

要么无解，要么有唯一解。因此由线性方程组，g为常映射，矛盾，故断言得证。

由断言，我们有

${\phi }_k\left(\zeta \right)\cancel{\equiv }0,k=2,3,\cdots ,N+1$

因为对每个k都有

${\rho }_n{a}_0^k+{\rho }_n{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i^k}\frac{W\left(f_{n0},f_{ni}\right)}{f_{n0}^2}\left(z_n+{\rho }_n\zeta \right)$

在 $U_0$上一致收敛于 ${\phi }_k\left(\zeta \right)$。

然后根据Hurwitz定理，存在 ${\zeta }_n^{*}\to {\zeta }_0$，使得

$\langle f_n\left(z_n+{\rho }_n{\zeta }_n^{*}\right),H_k\rangle =0$

令 $n\to \infty$，有

$\langle g\left({\zeta }_0\right),H_k\rangle =0$

这与超平面处于一般位置矛盾。因此 $ℱ$在D上正规，证毕。

5. 小结

本文深入探讨了分担超平面的全纯曲线族的正规定则问题，通过结合值分布理论和正规族理论，取得了一定的研究成果，本文从前人的证明中得到灵感，通过增加一个条件，进一步限制了全纯曲线族，得到了一个一般性结论，对所有 ${\mathbb{P}}^N\left(ℂ\right)$，均只需 $2N+1$个超平面，即可得到 $ℱ$在D上正规。

尽管本文在全纯曲线族的正规性研究方面取得了一定的进展，但仍存在一些值得进一步探讨的问题和可能的研究方向。下面是文梳理的比较有价值的正规性课题。

众所周知，超平面就是一种特殊的子流形，可以很自然地想到，如果把超平面换成更一般的除子的话，相应的正规性问题会是怎样的。通过对比可以发现，二者有很多相似之处，从基本概念、分担条件到对于映射的要求等等。实际上，分担超平面的课题和分担一般除子的课题确实有很多相似之处。在学习和研究分担一般除子的正规性问题时，这种相似性允许我们把超平面的定理当作一种特殊情况，这或许对未来的研究有帮助。

正规族理论还有很多推广与深化的空间，本文的研究成果可以推广到移动超平面上，这个问题和分担超平面的正规定则有很多相通的地方，在这方面也已经有了一些研究，但是那些研究多集中在 ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$上，亦或是对超平面的要求过高，例如要求强分担等等。

另外本文结论是否可以推广到亚纯映射族上，也是值得进一步研究的问题。关于这方面的结论也有一些经典结果，但是大都限制过多，在减弱限制条件，同时增加超平面个数的情况下，应该会有更多的结果。

总的来说，更一般的正规定则依然有广阔的研究空间，有很多不同方向的有价值的课题，依然值得我们去深入探讨。并且已经有很多学者将经典的值分布理论同相关学科知识结合起来，并取得了丰硕的成果，这激励着我们对于正规性理论及相关交叉方向的进一步研究。通过对上述问题的深入研究，不仅可以推动复分析领域的发展，也可能为相关数学分支和实际应用领域带来新的启示和进步。

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