四元数Segal-Bargmann变换的 L p 映射性质

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四元数Segal-Bargmann变换的 $L^{p}$ 映射性质
The Mapping Properties of the Quaternionic Segal-Bargmann Transform on

L^{p}

DOI:10.12677/pm.2024.146253,PDF,HTML,XML,下载: 83浏览: 147科研立项经费支持
作者:韩媛媛：天津师范大学数学科学学院，天津
关键词:Fock空间；四元数；Segal-Bargmann变换；切片正则函数；Fock Space；Quaternion；Segal-Bargmann Transform；Slice Regular Function

摘要:本文研究了四元数Segal-Bargmann变换的Lp映射性质。具体来说，当2 < p≤∞时，该变换是从四元数值函数空间Lp(ℝ;ℍ)到四元数Bargmann-Fock空间ℱslicep,ν(ℍ)的有界线性算子并且是单射；当1≤p < 2时，该变换是从Lp(ℝ;ℍ)到ℱslicep′,ν(ℍ)的有界算子但不是Lp(ℝ;ℍ)到ℱslicep,ν(ℍ)的有界算子，其中1/p+1/p′=1。

Abstract:In this paper, we study the mapping properties of the quaternionic Segal-Bargmann transform onLp. To be specific, when2 < p≤∞, the transform is a bounded operator from quaternionic numerical function spaceLp(ℝ;ℍ)to the quaternionic Bargmann-Fock spaceℱslicep,ν(ℍ), and this operator is injective. When1≤p < 2, the transform is a bounded operator fromLp(ℝ;ℍ)toℱslicep′,ν(ℍ)but it not mapsLp(ℝ;ℍ)boundedly into theℱslicep,ν(ℍ), where1/p+1/p′=1.

文章引用：韩媛媛. 四元数Segal-Bargmann变换的

L^{p}

映射性质[J]. 理论数学, 2024, 14(6): 331-340. https://doi.org/10.12677/pm.2024.146253

1. 引言

Fock空间又称为Segal-Bargmann空间，是研究经典量子力学的一个非常重要的工具。近年来，将经典量子力学推广到四元数上引起了很多人的兴趣。在2004年，Alder证明了四元数量子场论可以被表述出来，参见文献[1]。从数学的角度来看，Fock空间可以看作是Hilbert空间的对称或反对称或全张量幂的直和的结果。2014年，Alpay，Colombo Sabadini和Salomon在文献[2]中定义并研究了切片超全纯背景下Fock空间，并证明了该空间与虚单位I的选取无关，并且是一个再生核Hilbert空间。超全纯的Fock空间为描述四元数量子场激发态提供了数学框架。

众所周知，Segal-Bargmann变换是从 $L^{2}$ 到Fock空间的一个酉变换，它将量子力学中的相干态与复分析中的整函数联系了起来，从而为处理相干态提供了一个更加优雅和便利的数学框架。Diki和Ghanmi在文献[3]中引入和研究了四元数Segal-Bargmann变换，并给出了该变换逆的显式表达式以及该变换与四元数Fourier变换之间的关系。文献[3]中也研究了四元数Segal-Bargmann变换的 $L^{2}$ 映射性质。对于经典Bargmann变换，文献[4]中已经研究了它的 $L^{p} (ℝ)$ 映射性质。而四元数Segal-Bargmann变换的 $L^{p}$ 映射尚未研究，本文将对此展开研究。具体来说，文章将详细地介绍和研究在 $p = 2$ 的时候，该变换是否是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 的有界算子。

本文将采用如下的结构安排：第二节中介绍了四元数和切片正则函数的理论，并且给出了四元数Segal-Bargmann变换的定义。第三节中利用定义证明了 $p = 2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换的 $L^{p}$ 映射性质，得到了该变换的有界性。第四节中给出了四元数Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系，并利用这个关系证明文章的主要结论。

2. 预备知识

2.1. 四元数和切片正则函数

本节将介绍一些四元数和切片正则函数的基本概念与结果。关于切片正则函数的理论参见文献[3][4]。

四元数是由 $ℝ$ 和三个虚数单位 $i, j, k$ 组成的结合代数。四元数代数用 $ℍ$ 来表示，即

四元数是非交换的，其中虚数单位满足Hamilton乘法法则

$i^{2} = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1, i j = - j i = k, j k = - k j = i, k i = - i k = j$

四元数 $q \in ℍ$ 的共轭和模分别定义为

$\bar{q} = Re (q) - Im (q)$ ，其中 $Re (q) = x_{0}, Im (q) = x_{1} i + x_{2} j + x_{3} k$ ，

和 $| q | = \sqrt{q \bar{q}} = \sqrt{x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}$ 。那么对于 $\forall p, q \in ℍ$ ，四元数共轭满足 $\bar{p q} = \bar{q} \bar{p}$ 。

四元数中虚数单位组成的集合为 $S = {q \in ℍ; q^{2} = - 1}$ ，因此 $S$ 是一个二维单位球面。每个非实数的四元数都可以表示为 $q = x + I y$ ，其中 $x, y$ 为实数且 $I \in S$ 。具体来说，

$q = x_{0} + \frac{x_{1} i + x_{2} j + x_{3} k}{| x_{1} i + x_{2} j + x_{3} k |} | x_{1} i + x_{2} j + x_{3} k |$

对于 $\forall I \in S$ ，切片 $ℂ_{I}$ 定义为包含虚数单位I的复平面

$ℂ_{I} : = ℝ + ℝ I$ .

因此可以认为切片 $ℂ_{I}$ 是 $ℍ$ 经过的0，1和I复平面。其中半切片 $ℂ_{I}^{+}$ 定义为 ${x + I y; x, y \in ℝ, y \geq 0}$ 。如果 $q = x_{0} \in ℝ$ ，那么对于 $\forall I \in S$ 都有 $q \in ℂ_{I}$ ，并称

$ℍ = \underset{I \in S}{\cup} ℂ_{I}$

为四元数切片结构。

Gentili和Struppa在文献[5]中将经典全纯函数理论从复平面推广到四元数上。他们在四元数上定义了切片正则函数：

定义2.1[5]设 $f : Ω \to ℍ$ 是定义域 $Ω \in ℍ$ 上的一个实可微函数，若对于 $\forall I \in S$ ，函数 $f_{I}$ 是f在切片 $ℂ_{I}$ 上的限制并且在 $Ω_{I}$ 上满足

${\bar{\partial}}_{I} f (x + I y) : = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} + I \frac{\partial}{\partial y}) f_{I} (x + I y) = 0,$

则称函数f为四元数(左)切片正则函数，简称切片正则函数。

注2.2切片正则函数组成的空间是非交换代数 $ℍ$ 上的一个右线性空间。为了方便起见，用 $S ℛ (ℍ)$ 表示所有切片正则函数组成的空间。

对 $\forall I \in S$ ，存在 $J \in S$ ， $I ⊥ J$ ，四元数可分解为如下形式：

$ℍ = ℂ_{I} + ℂ_{I} J$

Colombo，Sabadini和Struppa在文献[4]中给出了切片正则函数的相关理论：

引理2.3(分裂引理)[6]设f是域Ω上的切片正则函数，对 $\forall I \in S$ ，存在 $J \in S$ 且 $I ⊥ J$ ，同时存在两个全纯函数 $F, G : Ω_{I} \to ℂ_{I}$ ，使得对所有 $z = x + I y \in Ω_{I}$ 有

$f_{I} (z) = F (z) + G (z) J$

定理2.4(泰勒级数)[6]设f是一个 $ℍ$ -值函数且 $B (0, R) = {q \in ℍ; | q | < R}$ 。如果f在 $B (0, R) \subset ℍ$ 上是

切片正则函数当且仅当它具有如下形式的级数展开：

$f (q) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} q^{n} \frac{f^{n} (0)}{n!}, q \in B (0, R)$

定义2.5[6]设Ω为 $ℍ$ 中的域。如果 $Ω \cap ℝ$ 是非空的，满足对 $\forall I \in S$ ，域 $Ω_{I}$ 仍为 $ℂ_{I}$ 中的域，则称 $Ω \subset ℍ$ 为切片域(或称为Slice域)。该域 $Ω_{I} = Ω \cap ℂ_{I}$ 是复平面 $ℂ_{I}$ 的域。如果Ω满足对任意的 $q = x + I y \in Ω$ ，其中 $x, y \in ℝ$ ， $I \in S$ 均有 $x + y S \in Ω$ ，则称Ω为轴对称切片域。

定理2.6(表示公式)[6]设 $Ω \subset ℍ$ 是轴对称切片域，函数f是域Ω上的切片正则函数，则对于 $\forall I, J \in S$ ，有

$f (x + J y) = \frac{1}{2} (1 - J I) f_{I} (x + I y) + \frac{1}{2} (1 + J I) f_{I} (x - I y),$

其中 $q = x + J y \in Ω$ 。

定理2.7(唯一性定理)[6]设f和g是定义在切片域Ω上的两个切片正则函数，如果对于某个 $I \in S$ ，在 $Ω_{I}$ 的子集上f和g重合，并且在该子集上有一个聚点，那么在切片域Ω上有 $f \equiv g$ 。

引理2.8(延拓引理)[6]设 $Ω_{I}$ 是 $ℂ_{I}$ 中一个关于实轴对称的域，并且有 $Ω_{I} \cap ℝ \neq \emptyset$ 。设 $h : Ω_{I} \to ℍ$ 是全纯函数，对于 $\forall I, J \in S$ ，那么函数 $e x t (h)$ 满足

$e x t (h) (x + J y) = \frac{1}{2} [h (x + I y) + h (x - I y)] + \frac{J I}{2} [h (x - I y) - h (x + I y)]$

其中在 $\tilde{Ω} = \underset{x + J y \in Ω}{\cup} x + I y$ 上将h延拓为一个切片正则函数 $e x t (h)$ 。此外， $e x t (h)$ 是h的唯一切片正则延拓。

2.2. 四元数Segal-Bergmann变换

文献[2]引入了切片超全纯四元数Fock空间，Diki和Ghanmi继续考虑了该空间，并在文献[3]中定义了如下四元数Bargmann-Fock空间。给定 $I \in S$ ， $q = x + y I \in ℍ$ 和实数 $ν > 0$ 有

$ℱ_{I}^{2, ν} = {f \in S ℛ (ℍ); \int_{ℂ_{I}} {| f_{I} (q) |}^{2} e^{- ν {| q |}^{2}} d λ_{I} (q) < \infty},$

其中 $f_{I} = {f |}_{ℂ_{I}}$ 且 $d λ_{I} (q) = d x d y$ 。为了方便，四元数Bargmann-Fock空间简写为 $ℱ_{I}^{2, ν}$ 。对于 $ℱ_{I}^{2, ν} (ℍ)$ 的内积和范数定义如下：

$〈 f, g 〉 = \int_{ℂ_{I}} \bar{g_{I} (q)} f_{I} (q) e^{- ν {| q |}^{2}} d λ_{I} (q),$

和

${‖ f ‖}_{ℱ_{I}^{2, ν}}^{2} = \int_{ℂ_{I}} {| f_{I} (q) |}^{2} e^{- ν {| q |}^{2}} d λ_{I} (q),$

其中 $f, g \in ℱ_{I}^{2, ν} (ℍ)$ 。

引进四元数Segal-Bargmann变换的核函数

(1)

文献[7]中定义了如下四元数Segal-Bargmann变换：

定义2.9(四元数Segal-Bargmann变换)设函数 $ψ : ℝ \to ℍ$ ，结合(1)给出的核函数 $K (q, x)$ ，定义如下积分变换

$\begin{array}{l} ℬ_{ν} (ψ) (q) : = \int_{ℝ} K (q, x) ψ (x) d x \\ = {(\frac{ν}{π})}^{\frac{3}{4}} \int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} (q^{2} + x^{2}) + ν \sqrt{2} q x} ψ (x) d x, ν > 0, q \in ℍ \end{array}$ (2)

如果积分存在，则称该积分变换为四元数Segal-Bargmann变换，简称Segal-Bargmann变换。为了方便起见用 $ℬ_{ν}$ 表示该变换。

性质2.10四元数Segal-Bargmann变换是Hilbert空间 $L^{2} (ℝ; ℍ)$ 到切片超全纯Bargmann-Fock空间的满射同构。

此外，在 $L^{2} (ℝ; ℍ)$ 上的实Hermite函数定义为：

$h_{ν}^{n} (x) : = {(- 1)}^{n} e^{^{\frac{ν}{2} x^{2}}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{- ν x^{2}}),$

并且Hermite函数 $h_{ν}^{n} (x)$ 构成了 $L^{2} (ℝ; ℍ)$ 的正交基。对于该函数的 $L^{2} (ℝ; ℍ)$ 范数定义为：

${‖ h_{ν}^{n} (x) ‖}_{L^{2} (ℝ; ℍ)}^{2} = 2^{n} ν^{n} n! {(\frac{π}{ν})}^{1 / 2}$

3. Segal-Bargmann变换的有界性

文献[4]中研究了经典Bargmann变换的 $L^{p} (ℝ)$ 映射性质。本节致力于将该变换从复平面推广到四元数上。文献[3]中已经得到当 $p = 2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换 $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{2} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{2, ν} (ℍ)$ 的等距映射。然而，当 $p \neq 2$ 时，该变换在 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 空间上有怎样的映射性质是一个值得考虑的问题。详细地说，当 $p \neq 2$ 时，该变换是否将 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 有界映射到 $ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 上。接下来根据这个问题展开研究。

当 $1 \leq p \leq \infty$ 时，对于 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 上的每一个函数 $ψ$ ，四元数Segal-Bargmann变换都是定义良好的，这一点与其他的积分变换不同。令 $q = u + v I_{q} \in ℂ_{I_{q}}$ ，其中 $u, v \in ℝ$ ， $I_{q} \in S$ ，将其代入到等式(2)则很容易得出

$ℬ_{ν} (ψ) (q) = {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} \int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} {(x - \sqrt{2} u)}^{2} + ν v I_{q} (\sqrt{2} x - u)} ψ (x) d x$ (3)

通过等式(3)可以得到如下不等式

$| ℬ_{ν} (ψ) (q) | \leq {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} \int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} {(x - \sqrt{2} u)}^{2}} | ψ (x) | d x$ (4)

如果 $ψ (x) \in L^{p} (ℝ; ℍ)$ ，其中 $1 < p < \infty$ 且 $1 / p + 1 / p^{'} = 1$ 。那么对 $\forall q \in ℍ$ ，根据不等式(4)和Hölder不等式有

$\begin{array}{l} | ℬ_{ν} (ψ) (q) | \leq {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} {[\int_{ℝ} {| ψ (x) |}^{p} d x]}^{\frac{1}{p}} {[\int_{ℝ} e^{\frac{- ν p^{'}}{2} {(x - \sqrt{2} u)}^{2}} d x]}^{\frac{1}{p^{'}}} \\ = {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} {[\int_{ℝ} e^{\frac{- ν p^{'}}{2} x^{2}} d x]}^{\frac{1}{p^{'}}} {‖ ψ ‖}_{p} \\ = {(\frac{4 ν}{π})}^{1 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} {‖ ψ ‖}_{p} \end{array}$

四元数值函数空间 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 不是自然有序的。换句话说，对于两个不同的 $0 < p, p^{'} < \infty$ ，空间 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 和空间 $L^{p^{'}} (ℝ; ℍ)$ 之间不存在包含关系。这是研究许多积分变换的映射性质比较复杂的原因之一。

接下来根据上述问题给出本篇文章的主要结论：

定理3.1当 $p \neq 2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换 $ℬ_{ν}$ 的 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 映射性质如下：

$ℬ_{ν} : {\begin{cases} L^{p} (ℝ; ℍ) \to ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ) 是有界映射, 2 < p \leq \infty, \\ L^{p} (ℝ; ℍ) \to ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ) 是有界映射, 1 \leq p < 2 其中 1 / p + 1 / p^{'} = 1 \end{cases}$

并且，当 $2 < p \leq \infty$ 时，算子 $ℬ_{ν} : L^{p} (ℝ; ℍ) \to ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 是单射但不是满射；当 $1 \leq p < 2$ 时，算子 $ℬ_{ν} : L^{p} (ℝ; ℍ) \to ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)$ 是单射但不是满射，其中 $1 / p + 1 / p^{'} = 1$ 。

证明首先证明 $2 < p \leq \infty$ 时的情况。如果 $ψ \in L^{\infty} (ℝ; ℍ)$ ，对 $\forall q \in ℍ$ 我们通过(4)得到

$\begin{array}{l} | ℬ_{ν} (ψ) (q) | \leq {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} \int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} {(x - \sqrt{2} u)}^{2}} d x {‖ ψ ‖}_{\infty} \\ = {(\frac{4 ν}{π})}^{1 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} {‖ ψ ‖}_{\infty} \end{array}$

通过上式可得到 $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{\infty} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{\infty, ν} (ℍ)$ 的有界映射。

此外，我们知道该变换是从 $L^{2} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{2, ν} (ℍ)$ 的酉算子。因此，通过内插定理得出，当 $2 < p \leq \infty$ 时， $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 的有界映射。

对于 $ℬ_{ν}$ 是单射但不是满射的证明，这里假设 $ℬ_{ν} (ψ) = 0$ ，即

$\int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} {(x - \sqrt{2} u)}^{2}} ψ (x) d x = 0, q \in ℍ$

在积分内部对q进行微分，并设 $q = 0$ ，得到

$\int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} x^{2}} x^{k} ψ (x) d x = 0, k \geq 0$

通过Hermite函数的性质得出 $ψ (x) = 0$ 在 $ℝ$ 上几乎处处成立，从而得出 $ℬ_{ν}$ 是单射。

下面取 $p_{0} \in (2, p)$ ，可以找到函数 $ψ (x) \in L^{p_{0}} (ℝ; ℍ) \ L^{p} (ℝ; ℍ)$ ，则有 $ℬ_{ν} ψ \in ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, ν} (ℍ) \subset ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 。如果 $ℬ_{ν} : L^{p} (ℝ; ℍ) \to ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 是满射，则存在函数 $ϕ \in L^{p} (ℝ; ℍ)$ ，使得 $ℬ_{ν} (ψ) = ℬ_{ν} (ϕ)$ ，即 $ℬ_{ν} (ψ - ϕ) = 0$ 。通过上述可得 $ψ - ϕ = 0$ 在 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 上几乎处处成立，这与 $ψ (x) \notin L^{p} (ℝ; ℍ)$ 矛盾，说明 $ℬ_{ν}$ 不是满射。

接下来证明 $1 \leq p < 2$ 时的情况。 $1 \leq p < 2$ 的情况与 $2 < p \leq \infty$ 的情况大不相同。首先可以得到如下Hausdorff-Young型结果。如果 $ψ (x) \in L^{1} (ℝ; ℍ)$ ，对 $\forall q \in ℍ$ 我们根据(4)有

$\begin{array}{l} | ℬ_{ν} (ψ) (q) | \leq {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} \int_{ℝ} | ψ (x) | d x \\ = {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} e^{\frac{ν}{2} {| q |}^{2}} {‖ ψ ‖}_{1} \end{array}$

通过上式可得到 $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{1} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{\infty, ν} (ℍ)$ 的有界映射。

众所周知，该变换是从 $L^{2} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{2, ν} (ℍ)$ 的等距映射。同理，可以通过内插定理得出，当 $1 \leq p < 2$ 时， $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)$ 的有界映射，其中 $1 / p + 1 / p^{'} = 1$ 。

对于 $ℬ_{ν}$ 是单射但不是满射，可以利用 $2 < p \leq \infty$ 情况的类似证明方法，因此这里省略证明细节，证毕。

当 $1 \leq p < 2$ 时，四元数Segal-Bargmann变换还有如下性质：

定理3.2当 $1 \leq p < 2$ 时，有

(a) 存在函数 $ψ (x) \in L^{p} (ℝ; ℍ)$ ，使得 $ℬ_{ν} ψ \notin ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 。

(b) 不存在正整数 $C > 0$ ，使得 ${‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} \leq C {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}$ 。

(c) 不存在右线性子空间 $X \subset L^{p} (ℝ; ℍ)$ ，使得 ${‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} \leq C {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}$ ，其中函数 $ψ \in X$ ，实数 $C > 0$ 。

证明存在函数 $ψ (x) \in L^{p} (ℝ; ℍ) \ L^{2} (ℝ; ℍ)$ ，则有 $ℬ_{ν} ψ \in ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ) \subset ℱ_{s l i c e}^{2, ν} (ℍ)$ ，那么

${‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{2, ν} (ℍ)} = C {‖ ψ ‖}_{L^{2} (ℝ; ℍ)} < \infty$

这与 $ψ (x) \notin L^{2} (ℝ; ℍ)$ 矛盾。因此(a)成立，同时也说明了(b)成立。

对于(c)的证明利用反证法。对于 $\forall ψ \in X$ 且常数 $C > 0$ ，如果存在右线性子空间 $X \subset L^{p} (ℝ; ℍ)$ ，使得 ${‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} \leq C {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}$ 成立。那么固定函数 $ψ \in L^{p} (ℝ; ℍ)$ ，选择序列 ${ψ_{n}} \subset X$ ，使得当 $n \to \infty$ 时， ${‖ ψ_{n} - ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)} \to 0$ 。由于X是右线性子空间，则有

${‖ ℬ_{ν} (ψ_{n}) - ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} = {‖ ℬ_{ν} (ψ_{n} - ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} \leq C {‖ ψ_{n} - ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}$

因此 ${ℬ_{ν} (ψ_{n})}$ 是 $ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 的Cauchy序列。由于 $ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 是Banach空间，存在函数 $ϕ \in ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 使得当 $n \to \infty$ 时，有 ${‖ ℬ_{ν} (ψ_{n}) - ϕ ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} \to 0$ 。特别地，

$\lim_{n \to \infty} ℬ_{ν} (ψ_{n}) (q) = ϕ (q), q \in ℍ$

由于当 $n \to \infty$ 时，有

${‖ ℬ_{ν} (ψ_{n}) (q) - ℬ_{ν} (ψ) (q) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} \leq C^{'} {‖ ψ_{n} - ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)} e^{\frac{ν {| q |}^{2}}{2}} \to 0, q \in ℍ$

其中 $C^{'}$ 是常数。因为 $\lim_{n \to \infty} ℬ_{ν} (ψ_{n}) (q) = ℬ_{ν} (ψ) (q)$ ， $q \in ℍ$ 。那么可以得到 $ℬ_{ν} (ψ) = ϕ \in ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ ，由于 $ψ$ 是任意的，得到该结果与(a)矛盾。这个矛盾也说明了(c)成立，证毕。

注3.3定理3.2中(c)的证明采用了反证法，但是反证后的内容与复分析中的结论相矛盾[5]。由于四元数中包含了复数，该有界性在复分析中不成立，那么在四元数中也不成立，否则出现矛盾。

上述主要讨论了当 $1 \leq p \leq \infty$ 时，四元数Segal-Bargmann变换的 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 映射性质。对此，我们很自然地想到在 $0 < p < 1$ 时，该变换的 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 映射性质。当 $0 < p < 1$ 时，没有合理的方法将 $ℬ_{ν}$ 延拓到 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 。取任意有限区间 $(a, b)$ 很容易找到函数 $ψ \in L^{p} [a, b] \ L^{1} [a, b]$ 。那么，对任意区间 $(a, b)$ 存在函数 $ψ \in L^{p} [a, b]$ 使得积分变换

$\int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} {(x - \sqrt{2} q)}^{2}} ψ (x) d x, q \in ℍ$

没有良好定义。因此，当 $0 < p < 1$ 时，对于 $ψ \in L^{p} [a, b]$ ，我们不能给出 $ℬ_{ν}$ 的积分定义。并且，定义在 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 上的四元数Segal-Bargmann变换是稠密的，从而给出下面的定理：

定理3.4线性空间 $X_{p} = L^{p} (ℝ; ℍ) \cap L^{1} (ℝ; ℍ)$ 在 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 上是稠密的并且 $ℬ_{ν} ψ$ 是定义良好的切片正则函数，其中 $ψ \in X_{p}$ 。当 $0 < p < 1$ 时不存在正整数C使得

${‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)} \leq C {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}, ψ \in X_{p}$ (5)

证明假设存在正常数C满足不等式(5)，则对 $\forall ψ \in X_{p}$ 有 $ℬ_{ν} ψ \in ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ) \subset ℱ_{s l i c e}^{2, ν} (ℍ)$ 。由于 ${‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{2, ν} (ℍ)} = {‖ ψ ‖}_{L^{2} (ℝ; ℍ)} < \infty$ ，这意味着 $L^{p} (ℝ; ℍ) \cap L^{1} (ℝ; ℍ) \subset L^{2} (ℝ; ℍ)$ ，这个结果显然错误，因此假设不成立，证毕。

注3.5定理3.4中采用反证法，反证后的内容与复分析中 $0 < p < 1$ 的结论相矛盾[4]，该矛盾也直接说明该定理的内容成立。

4. Fourier方法证明Segal-Bargmann变换的有界性

第三节主要介绍了用定义证明四元数Segal-Bargmann变换的 $L^{p}$ 映射性质。本节将利用Segal-Bargmann变换与Fourier变换之间的关系证明 $ℬ_{ν}$ 的 $L^{p}$ 映射性质。该节内容使用了Fourier变换的映射性质，避免了使用内插定理。

我们用 $ℱ$ 表示Fourier变换，用 $ℱ [ψ (x + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} x^{2}}] (v)$ 表示 $ψ (x + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} x^{2}}$ 的Fourier变换，其中 $q = u + v I$ ，则有

$\begin{matrix} ℬ_{ν} (ψ) (q) e^{\frac{- ν}{2} {| q |}^{2}} e^{- ν I u v} = {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} \int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} x^{2}} e^{\sqrt{2} ν I x v} ψ (x + \sqrt{2} u) d x \\ = {(\frac{ν}{π})}^{3 / 4} ℱ [ψ (x + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} x^{2}}] (v) \end{matrix}$ (6)

下面是利用 $ℬ_{ν}$ 与Fourier变换的关系对 $1 \leq p < 2$ 情况的再次证明。

定理4.1设 $1 \leq p < 2$ 时， $1 / p + 1 / p^{'} = 1$ 且 $p_{0} < p^{'}$ ，则 $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)$ 的有界映射但不是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, ν} (ℍ)$ 的有界映射。

证首先证明 $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)$ 的有界映射。为了方便计算，设 $c = {(\frac{v}{π})}^{3 / 4}$ 。当 $1 \leq p < 2$ 时，根据Fourier变换和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{matrix} {‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)}^{p^{'}} = {\int_{ℂ_{I}} | ℬ_{ν} (ψ) e^{\frac{- ν}{2} {| q |}^{2}} |}^{p^{'}} d λ (q) \\ = c^{p^{'}} \int_{ℝ} d u \int_{ℝ} {| ℱ [ψ (x + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} x^{2}}] (v) |}^{p^{'}} d v \\ \leq c^{p^{'}} {\int_{ℝ} [\int_{ℝ} {| ψ (v + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} v^{2}} |}^{^{p}} d v]}^{\frac{p^{'}}{p}} d u, \end{matrix}$ (7)

改写 $p^{'} / p$ 为

$\frac{p^{'}}{p} = 1 + \frac{p^{'} - p}{p}$

代入不等式(7)得

$\begin{matrix} {‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)}^{p^{'}} \leq c^{p^{'}} \int_{ℝ} [\int_{ℝ} {| ψ (v + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} v^{2}} |}^{p} d v] {[\int_{ℝ} {| ψ (v + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} v^{2}} |}^{p} d v]}^{\frac{p^{'} - p}{p}} d u \\ \leq c^{p^{'}} {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}^{p - p^{'}} \int_{ℝ} d u \int_{ℝ} {| ψ (v + \sqrt{2} u) |}^{p} e^{\frac{- ν}{2} p v^{2}} d v \\ \leq c^{p^{'}} {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}^{p - p^{'}} \int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} p v^{2}} d v \int_{ℝ} {| ψ (v + \sqrt{2} u) |}^{p} d u \\ \leq C {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}^{p^{'}}, \end{matrix}$

其中

$C = c^{p^{'}} \int_{ℝ} e^{\frac{- ν}{2} p v^{2}} d v$

当 $p = 1$ 时，设函数 $ψ (x) \in L^{1} (ℝ; ℍ)$ ，对 $\forall u \in ℝ$ 有不等式

$\int_{ℝ} {| ψ (x + \sqrt{2} u) e^{\frac{- ν}{2} x^{2}} |}^{p} d x \leq \int_{ℝ} | ψ (x) | d x$

通过等式(6)和Hausdorff-Young不等式得

$\begin{matrix} {‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)} = \sup_{q \in ℍ} | ℬ_{ν} [ψ] (q) | e^{\frac{- ν}{2} {| q |}^{2}} \\ \leq c \sup_{u \in ℝ} {‖ ψ (x + \sqrt{2} u) ‖}_{L^{1} (ℝ; ℍ)} \\ \leq c {‖ ψ ‖}_{L^{1} (ℝ; ℍ)} \end{matrix}$

因此证明了当 $1 \leq p < 2$ 时， $ℬ_{ν}$ 是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, v} (ℍ)$ 的有界映射。

下面利用反证法证明在 $1 \leq p < 2$ 时， $ℬ_{ν}$ 不是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, v} (ℍ)$ 的有界映射。如果该变换是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, v} (ℍ)$ 的有界映射，则存在一个常数 $M > 0$ 满足对 $\forall ψ \in L^{p} (ℝ; ℍ)$ 有 ${‖ ℬ_{ν} (ψ) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, v} (ℍ)} \leq M {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}$ 。设 $X_{p}$ 是 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 中所有具有紧支集的函数组成的子集。对于 $\forall ψ \in X_{p}$ ，设 $ψ_{r} (x) = ψ (r x)$ ，其中 $r \in (1, \infty)$ 。由于 $ψ_{r} (x) \in X_{p}$ ，则

${‖ ℬ_{ν} [ψ_{r}] ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, v} (ℍ)}^{p} \leq M^{p} \int_{ℝ} {| ψ (r x) |}^{p} d x = \frac{M^{p}}{r} {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}^{p}$ (8)

对等式(3)进行变量变换，令 $x = t / r$ 得到

${| ℬ_{ν} [ψ_{r}] (q) e^{\frac{- ν}{2} {| q |}^{2}} |}^{p_{0}} = \frac{c^{p_{0}}}{r^{p_{0}}} {| ℱ [ψ (t) e^{- \frac{ν t^{2}}{2 r^{2}} + \sqrt{2} ν \frac{t}{r} u}] (\frac{v}{r}) |}^{p_{0}} e^{- ν p_{0} u^{2}}$

再进行一次简单的变量变换得到

${‖ ℬ_{ν} [ψ_{r}] ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, v} (ℍ)}^{p_{0}} = \frac{c^{p_{0}}}{r^{p_{0} - 1}} {\int_{ℝ} \int_{ℝ} | ℱ [ψ (t) e^{- \frac{ν t^{2}}{2 r^{2}} + \sqrt{2} ν \frac{t}{r} u}] (v) |}^{p_{0}} e^{- ν p_{0} u^{2}} d v d u$

结合不等式(8)使得

${[{\int_{ℝ} \int_{ℝ} | ℱ [ψ (t) e^{- \frac{ν t^{2}}{2 r^{2}} + \sqrt{2} ν \frac{t}{r} u}] (v) |}^{p_{0}} e^{- ν p_{0} u^{2}} d v d u]}^{\frac{1}{p_{0}}} \leq N {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)},$ (9)

其中正常数 $N = \frac{M}{c} r^{1 - \frac{1}{p_{0}} - \frac{1}{p}}$ 。由于 $p_{0} < p^{'}$ 且 $r > 1$ ，则对于常数 $C > 0$ 有

${[{\int_{ℝ} \int_{ℝ} | ℱ [ψ (t) e^{- ν u^{2}}] (v) |}^{p_{0}} d v d u]}^{\frac{1}{p_{0}}} = C {‖ ℱ (ψ) ‖}_{L^{p_{0}} (ℝ; ℍ)}$ (10)

由于 $ψ$ 具有紧支集则

$\lim_{r \to \infty} ℱ [ψ (t) e^{- \frac{ν t^{2}}{2 r^{2}} + \sqrt{2} ν \frac{t}{r} u}] (v) e^{- ν u^{2}} = ℱ [ψ] (v) e^{- ν u^{2}}$

由不等式(9)和等式(10)以及Fatou引理得

$\begin{matrix} {‖ ℱ (ψ) ‖}_{L^{p_{0}} (ℝ; ℍ)} \leq C^{- 1} \underset{r \to \infty}{\lim \inf} {[{\int_{ℝ} \int_{ℝ} | ℱ [ψ (t) e^{- \frac{ν t^{2}}{2 r^{2}} + \sqrt{2} ν \frac{t}{r} u}] (v) |}^{p_{0}} e^{- ν p_{0} u^{2}} d v d u]}^{\frac{1}{p_{0}}} \\ \leq M^{'} {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}, \end{matrix}$

其中 $M^{'}$ 是正常数。通过Hausdorff-Young不等式发现这个结果和我们所熟知的Fourier变换的映射性质相矛盾。因此当 $1 \leq p < 2$ 时， $ℬ_{ν}$ 不是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, ν} (ℍ)$ 的有界映射。

注4.2定理4.1中采用反证法，如果在 $1 \leq p < 2$ 时，存在一个常数 $M > 0$ ，满足对 $\forall ψ \in L^{p} (ℝ; ℍ)$ 有 ${‖ ℬ_{ν} (ψ_{r}) ‖}_{ℱ_{s l i c e}^{p_{0}, ν} (ℍ)} \leq M {‖ ψ ‖}_{L^{p} (ℝ; ℍ)}$ 。但这与复分析中的有界性相矛盾[4]，该矛盾也直接说明定理的内容成立。

5. 总结

本文主要研究了切片超全纯Bargmann-Fock空间中的四元数Segal-Bargmann变换的 $L^{p}$ 映射性质。具体来说，当 $2 < p < \infty$ 时，该变换是从四元数值函数空间 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到四元数Bargmann-Fock空间 $ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 的有界算子并且是单射；当 $1 \leq p < 2$ 时，该变换是从 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p^{'}, ν} (ℍ)$ 的有界算子但不是 $L^{p} (ℝ; ℍ)$ 到 $ℱ_{s l i c e}^{p, ν} (ℍ)$ 的有界算子，其中 $1 / p + 1 / p^{'} = 1$ 。并且给出了两种不同证明办法。这些有界性为进一步研究四元数Segal-Bargmann变换的分析性质，建立熵测不准原理等打下了良好的基础。

基金项目

天津市自然科学基金No. 22JCQNJC00470。

参考文献

[1]	Alder, S.L. (1986) Quaternionic Quantum Field Theory.Communications in Mathematical Physics, 104, 611-656. https://doi.org/10.1007/bf01211069
[2]	Alpay, D., Colombo, F., Sabadini, I. and Salomon, G. (2014) The Fock Space in the Slice Hyperholomorphic Setting. In: Bernstein, S., Kähler, U., Sabadini, I., Sommen, F., Eds.,Hypercomplex Analysis:New Perspectives and Applications, Trends in Mathematics, 43-59.
[3]	Diki, K. and Ghanmi, A. (2016) A Quaternionic Analogue of the Segal-Bargmann Transform.Complex Analysis and Operator Theory, 11, 457-473. https://doi.org/10.1007/s11785-016-0609-5
[4]	Cao, G., He, L. and Hou, S. (2018) The Bargmann Transform on .Journal of Mathematical Analysis and Applications, 468, 642-649. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.08.031
[5]	Gentili, G. and Struppa, D.C. (2007) A New Theory of Regular Functions of a Quaternionic Variable.Advances in Mathematics, 216, 279-301. https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.05.010
[6]	Colombo, F., Sabadini, I. and Struppa, D.C. (2016) Entire Slice Regular Functions. Springer.
[7]	Colombo, F., Gentili, G., Sabadini, I. and Struppa, D. (2009) Extension Results for Slice Regular Functions of a Quaternionic Variable.Advances in Mathematics, 222, 1793-1808. https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.06.015

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