1. 引言

齿轮传动具有传动平稳、工作可靠、使用寿命长、适用范围广，传递效率高等特点，被广泛地应用于各种机械产品和设备中 [1] 。齿轮传动过程中由于轮齿之间交替接触、啮合点位置和齿间载荷分配不断改变等原因，齿轮啮合瞬间发生应力变化。因此，研究齿轮啮合及有限元分析对于提高齿轮设计和优化水平、减少实验和成本、提高安全性和可靠性等方面具有重要意义。

国内外学者对齿轮啮合方面做了大量研究。胡建成 [2] 等人对直齿圆柱齿轮传动系统进行了公差规范和分析，改进了雅可比旋量模型，引入齿轮侧隙，建立了综合、合理、有效的装配体公差设计模型。Chen Hua [3] 等提出了一种新的齿轮公差分析方法，通过研究模量偏差和压力角偏差的影响。郭恒 [4] 等基于有限元建立了齿轮温度场和传动误差模型，为齿轮传动性能分析提供了依据。张磊 [5] 等研究了含有齿廓总偏差的齿轮模型建立方法。钱露露 [6] 等采用节点法建立了三维有限元模态分析模型，实现了齿轮实验减振避振。邱林 [7] 等对渐开线弧齿圆柱齿轮进行了模态分析，为齿轮优化提供了参考依据。王彦军 [8] 等通过有限元导入进行了模态分析，为动态分析提供依据。刘荫荫 [9] 等利用有限元对齿轮传动系统进行了模态分析，验证了设计的准确性。Agrawal Anant Prakash [10] 等对齿轮在循环载荷作用下进行了有限元分析，优化了齿轮设计，提高了寿命。王红香 [11] 等基于接触赫兹理论进行了接触应力分析。林支慨 [12] 等基于有限元法对圆柱接触和齿轮接触进行了静力学分析，提高了分析精度。Shashi Kumar G [13] 等进行了斜齿轮的数值分析，验证了设计的合理性。周海燕 [14] 等通过动力学接触分析改进了齿轮接触载荷分布。邱水才 [15] 等利用KISSsoft建立了齿轮副模型，提高了传动性能。

本文以某二级减速器中标准直齿圆柱齿轮啮合为研究对象，研究不同网格划分对齿轮啮合分析的影响。采用ANSYS Workbench对齿轮进行了模态分析，对齿轮啮合进行瞬态结构分析，并采用赫兹理论进行齿面接触应力计算对比，从而为齿轮传动动态设计提供依据。

2. 齿轮建模与网格划分

齿轮材料参数和基本几何参数分别如表1、表2所示。以表1中参数为依据，在SolidWorks中用方程式驱动绘制每个轮齿齿廓，建立齿厚为10 mm的齿轮三维模型。装配使之啮合传动。将模型导入Workbench中，建立相应模态分析和瞬态结构模块，设定工程数据源中的材料，对两个啮合齿轮进行材料赋值，选用结构钢为分析目标材料。外部载荷设定时，模拟的是齿轮啮合过程中轮齿之间接触的变化。分别采用四面体网格划分和多区域网格划分，对啮合区域再细化划分网格，如图1。

3. 模态分析

3.1. 模态理论

模拟分析可以确定结构的自振周期和结构特性，从而制定合理的瞬态分析时间步长。有利于提高瞬态分析的准确性。

在模态分析中，无阻尼模态分析是经典的特征值问题，此时的运动方程为：

$M{x}^{″}+K{x}^{\prime }=0$(1)

其对应的特征方程为：

$\left(K-{\omega }^{2}M\right)x=0$(2)

式中： $M$是质量矩阵； $K$是刚度矩阵； $x$是位移矢量； $x^{\prime }$是速度矢量； $x^{″}$是加速度矢量。方程的特征值为 ${\omega }^2$。将模型材料弹性模量、泊松比、密度等定义好，才能精确求解。模态求解图示例如图2、图3。

3.2. 具体分析

将模型导入模态分析中，通过分析其每个单一齿轮模态，得到其固有频率和振型。设置分析齿轮材料为结构钢，小齿轮网格划分为1 mm，16,590个单元，77,257个节点，大齿轮网格划分为1 mm，36,570个单元，165,571个节点。对相应的齿轮轴施加固定约束。提取前10阶模态，求解其固有频率。大小齿轮前10阶频率如下表3、表4。

模态分析可得到不同振型的位移。振型可分为对折振、扭转振、径向振、圆周振、伞形振、弯曲振。通过上表数据横向来看，小齿轮的固有频率明显比大齿轮的固有频率大。纵向来看，小齿轮的第2、3、5、6、7、8、9和10阶的相对位移比较大，并且都表现为对折振。其中第1阶为圆周振，第2、3、7、8阶为一阶对折振，第5、6阶为二阶对折振，第9、10阶为三阶对折振，第4阶为伞形振。大齿轮的各阶振型与小齿轮振型一致。由此可以得出对折振对齿轮传动的影响较大，在传动中应该避免此类振型对齿轮的影响，见下图4~7。对振动影响较大的主要是低阶的模态。

通过振型图可以直观地分析齿轮传动的动态特性，找出齿轮的薄弱环节。作为对照，将赋值材料为灰铸铁，网格划分和结构钢一致，发现灰铸铁的各阶频率较结构钢低，但振型与上述一致。说明材料相差不大的情况下，齿轮的振型变化没有显著影响，进行后续的瞬态动力学分析。

4. 基于赫兹理论的齿面强度理论计算

齿轮啮合时，轮齿在靠近节线处的相对滑动速度较低，润滑不良，摩擦力较大，易出现点蚀，所以需要考虑此处理论上的应力强度。外齿轮齿面最大接触应力可以用赫兹理论公式来计算，公式相关参数如下：

${\sigma }_H=\sqrt{\frac{F_n\left(\frac{1}{{\rho }_1}+\frac{1}{{\rho }_2}\right)}{\text{π}\left(\frac{1-{\mu }_1^2}{E_1}+\frac{1-{\mu }_2^2}{E_2}\right)L}}$(3)

式中： ${\sigma }_H$为接触应力； $F_n$为法向力， $F_n=\frac{2T}{d\cos \alpha }$； ${\rho }_1$、 ${\rho }_2$两齿廓在节点处的曲率半径； ${\mu }_1$、 ${\mu }_2$为泊松比； $E_1$、 $E_2$为两齿轮的弹性模量； $L$为接触线长度， $L=\frac{3b}{4-{\epsilon }_{\alpha }}$； ${\epsilon }_{\alpha }$为端面重合度。

取上述例子中齿轮厚度 $b=10$mm， $T=1000$N为例，经查标准外啮合圆柱齿轮的端面重合度表计算 [1] ， ${\epsilon }_{\alpha }=1.597$，接触线长度 $L=12.245$mm，将 $E_1=E_2=2.06\times {10}^5$MPa，代入式(3)，经计算得出接触应力大小为： ${\sigma }_H=61.168$MPa。

5. 齿轮啮合瞬态动力学分析

5.1. 动力学理论

由经典力学理论可知，物体的动力学通用方程为：

$M{x}^{″}+C{x}^{\prime }+Kx=F\left(t\right)$(4)

式中， $M$是质量矩阵； $C$是阻尼矩阵； $K$是刚度矩阵； $x$是位移矢量； $F\left(t\right)$是力矢量； $x^{\prime }$是速度矢量； $x^{″}$是加速度矢量。

在齿轮啮合中，通过瞬态动力学分析结果，可模拟出位移、应力节点云图，从中可以非常直观的看到在载荷的作用下，位移变形情况及最大的位移变形量、齿轮各部位所受应力状态分布以及所受最大的应力等情况，预测齿轮的动态性能，避免冲击、不稳定的运动，为热分析、疲劳分析等分析提供基础。

5.2. 具体分析

将大小齿轮的材料设置为结构钢。将小齿轮齿廓面设置为接触面，将大齿轮齿廓设置为目标面。划分齿面，对轮齿受力部分进行细化网格。分别采用四面体网格划分和多区域网格划分2种方式对齿轮进行网格划分，进行分析比较。细化啮合轮齿部分都划分成1 mm网格，分别为四面体节点65,811个，单元数36,450个和多区域节点225,653个，单元48,930个。如图8、图9。

接触方式为摩擦，选择0.15的摩擦系数，法向刚度因数为0.01。分析设置计算总时长为1 s，设置初始子步为25，最小子步为20，最大子步为250。对小齿轮施加360˚的旋转副，对大齿轮施加一个1000 N的扭矩。

5.3. 瞬态动力学后处理与分析

通过对直齿轮副进行瞬态动力学分析求解，得出其在不同状况下的总变形图和等效应力图，如图10~12。

根据图11、图12的分析及统计结果，可发现：

1) 四面体网格单元和多区域网格单元对分析效率有影响，四面体网格划分单元节点少，分析处理快。多区域网格划分更为细致，分析接触结果均匀，分析时间长，但对模型分析的精确性更高。故宜采用多区域划分进行瞬态动力学分析。

2) 通过对齿轮啮合过程中，最大等效应力值随时间变化的数据进行统计后，得出结论。主动轮与从动轮刚接触啮合的时候，所产生的等效应力最大，应力值波动范围较大。但随着时间的推移，应力值趋向于稳定，这是因为在开始啮合转动过程中，主动轮具有一定的冲击力，导致齿轮啮合产生的等效应力值较大，但随着啮合的稳定进行，齿轮啮合等效应力趋向于稳定。

3) 最大的接触应力出现在轮齿啮合的齿顶的节线处和轮齿中间处(即齿轮啮合瞬间的位置)，如图13。齿轮啮合发生点蚀，应力集中于此并向四周逐渐减小。

文中第3节采用赫兹理论计算出的最大接触应力理论数值为61.168 MPa，而采用四面体网格划分仿真得出的最大接触应力为52.241 MPa (图11)，多区域网格划分仿真计算出的最大接触应力为61.152 MPa (图13)。这三者比较，采用四面体网格划分仿真得出最大接触应力与理论计算值相差较大，而多区域网格划分仿真得出的最大接触应力更接近理论计算值。

6. 结语

本文以某二级减速器中标准直齿齿轮啮合部分为案例，采用有限元分析方法进行了深入探究。主要包括以下几个方面：1) 进行了模态分析，确定了齿轮在不同频率下的振动模式和振型图。2) 通过对齿轮啮合的瞬态结构进行分析，发现了应力主要集中的区域，并评估了齿轮的变形程度。3) 将有限元分析结果与赫兹公式计算的理论接触应力值进行了对比，发现在多区域网格划分下，仿真得出的最大接触应力更接近理论计算值。研究结果为后续的齿轮啮合设计优化提供了重要的参考依依据。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献