DOI:10.12677/PM.2023.1312387,PDF,HTML,XML,被引量下载: 276浏览: 377
作者:温佳乐,马晓艳^*：浙江理工大学理学院，浙江 杭州
关键词:Gauss超几何函数；单调性；参数；Gaussian Hypergeometric Function；Monotonicity；Parameter

文章引用：温佳乐, 马晓艳. Gauss超几何函数关于参数的单调性[J]. 理论数学, 2023, 13(12): 3742-3748. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1312387

1. 引言

令 ${\mathbb{N}}_0=\mathbb{N}\cup \left\{0\right\}$，其中 $\mathbb{N}$是正整数的集合。对任意的 $a,b,c\in ℝ$并且 $c\ne 0,-1,-2,\cdots$，Gauss超几何函数 $F\left(a,b;c;x\right)$定义为 [1] ：

$F\left(a,b;c;x\right)={}_{2}F{}_1\left(a,b;c;x\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(a,n\right)\left(b,n\right)}{\left(c,n\right)n!}{x}^n}\left(\left|x\right|<1\right)$(1.1)

其中 $\left(a,n\right)$是升阶乘多项式，定义为：

$\left(a,n\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\cdots \left(a+n-1\right)=\frac{\Gamma \left(a+n\right)}{\Gamma \left(a\right)}$， $n\in {\mathbb{N}}_0$(1.2)

当 $a\ne 0$时，有 $\left(a,0\right)=1$。当 $a+b=c$时，称 $F\left(a,b;c;x\right)$为零平衡的。

Gauss超几何函数与经典的Gamma函数 $\Gamma \left(x\right)$，Psi函数 $\psi \left(x\right)$和Beta函数 $B\left(x,y\right)$紧密相关。令 $\mathrm{Re}x>0$和 $\mathrm{Re}y>0$，其定义分别为 [1] ：

$\Gamma \left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{\text{e}}^{-t}\text{d}t}$， $B\left(x,y\right)=\frac{\Gamma \left(x\right)\Gamma \left(y\right)}{\Gamma \left(x+y\right)}$， $\psi \left(x\right)=\frac{{\Gamma }^{\prime }\left(x\right)}{\Gamma \left(x\right)}$，

并且以上三类函数具有很多著名的性质如下式，见参考文献 [1] [2] ：

$\Gamma \left(a\right)\Gamma \left(1-a\right)=\frac{\pi }{\sin \left(\pi a\right)}$(1.3)

$\Gamma \left(x+1\right)=x\Gamma \left(x\right)$(1.4)

$\psi \left(x+1\right)=\psi \left(x\right)+\frac{1}{x}$(1.5)

$F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma \left(c\right)\Gamma \left(c-a-b\right)}{\Gamma \left(c-a\right)\Gamma \left(c-b\right)}$， $a+b<c$(1.6)

$F\left(a,b;a+b;x\right)~-\frac{1}{B\left(a,b\right)}\log \left(1-x\right)$， $x\to 1$(1.7)

Gauss超几何函数在数学领域的几何函数论、数论、拟共形理论等诸多分支中都起着重要的作用，另外它在物理学、工程技术等其他学科领域中也具有广泛的应用。最近，Gauss超几何函数关于参数性质的研究已取得一些成果，见参考文献 [3] [4] [5] [6] 。2022年鲍琪等在文献 [7] 中研究了Gauss超几何函数 $F\left(a,c-a;c;x\right)$和 $F\left(a-1,c-a;c;x\right)$与初等函数适当组合的四个函数关于参数a的单调性，并给出了单调的充分必要条件。接着，在文献 [8] 中又证明了零平衡的Gauss超几何函数 $F\left(a,b;a+b;r\right)$与初等函数组合函数关于参数a的单调性，得到了零平衡的Gauss超几何函数 $F\left(a,b;a+b;r\right)$关于参数a的性质。

受这些研究结果启发，本文研究了在拟共形理论以及物理学等领域出现的Gauss超几何函数的单调性质以及不等式性质，给出Gauss超几何函数新的单调定理和相关不等式(见如下定理1.1.)，这些结果推广和改进了原有结果。

为了方便叙述，引入以下记号：

$\begin{array}{l}{P}_n\left(x\right)={\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{x^{k+1}}{k}},\\ P_{1,n}\left(a,x\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left(a,k\right)\left(c-a,k+1\right)}{\left(c,k+1\right)k!}{x}^{k+1}},\\ P_{2,n}\left(\lambda ,c,x\right)={\left(\frac{2}{c}\right)}^{\lambda }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(c/2,n+1+k\right)\left(c/2,n+2+k\right)}{\left(c,n+2+k\right)\left(n+1+k\right)!}{x}^{n+2+k}},\\ {\bar{P}}_{2,n}\left(c,x\right)=P_{2,n}\left(0,c,x\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(c/2,n+1+k\right)\left(c/2,n+2+k\right)}{\left(c,n+2+k\right)\left(n+1+k\right)!}{x}^{n+2+k}}.\end{array}$

定理1.1 对于常数 $c\in \left(0,\infty \right)$， $a\in \left(0,c/2\right]$， $\lambda \in ℝ$以及 $x\in \left(0,1\right)$，函数

$f_{\lambda }\left(a\right)=\frac{F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)}{a^{\lambda }}$

在 $\left(0,c/2\right]$上严格单调上升(下降)当且仅当 $\lambda \le -c/\left(2n+2+c\right)$(若 $c\in \left(0,1\right]$, $\lambda \ge 1$；若 $c\in \left(1,\infty \right)$, $\lambda \ge {\lambda }^{\ast }$, ${\lambda }^{\ast }$见引理5)，并且有

$\begin{array}{l}{f}_{\lambda }\left(0^{+}\right)=\{\begin{array}{l}0,\lambda <1,\\ P_n\left(x\right),\lambda =1,\\ \infty ,\lambda >1,\end{array}\\ f_{\lambda }\left(\frac{c}{2}\right)=P_{2,n}\left(\lambda ,c,x\right)={\left(\frac{2}{c}\right)}^{\lambda }{\bar{P}}_{2,n}\left(\lambda ,c,x\right).\end{array}$

特别地，满足如下不等式

当 $c\in \left(0,1\right]$， $a\in \left(0,c/2\right]$， $\lambda \ge 1$以及 $x\in \left(0,1\right)$，有

$\left(2a/c\right){\bar{P}}_{2,n}\left(c,x\right)\le F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)\le a{P}_n\left(x\right)$(1.8)

当 $c\in \left(0,\infty \right)$， $a\in \left(0,c/2\right]$， $\lambda \le -c/\left(2n+2+c\right)$以及 $x\in \left(0,1\right)$，有

$0\le F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)\le {\left(2a/c\right)}^{\lambda }{\bar{P}}_{2,n}\left(c,x\right)$(1.9)

当 $c\in \left(1,\infty \right)$， $a\in \left(0,c/2\right]$， $\lambda \ge {\lambda }^{\ast }$以及 $x\in \left(0,1\right)$，有

$F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)\ge {\left(2a/c\right)}^{\lambda }{\bar{P}}_{2,n}\left(c,x\right)$(1.10)

不等式(1.8)，(1.9)，(1.10)中等号成立当且仅当 $a=c/2$。

2. 预备知识

引理2.1 [9] 令 $-\infty <a<b<\infty$时，定义函数 $f,g:\left[a,b\right]\to ℝ$在 $\left[a,b\right]$上连续，在 $\left(a,b\right)$上可微，且有 $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$。若函数 $f^{\prime }\left(x\right)/g^{\prime }\left(x\right)$在 $\left(a,b\right)$上单调上升(下降)，那么函数

$\left[f\left(x\right)-f\left(a\right)\right]/\left[g\left(x\right)-g\left(a\right)\right]$和 $\left[f\left(x\right)-f\left(b\right)\right]/\left[g\left(x\right)-g\left(b\right)\right]$

在 $\left(a,b\right)$上单调上升(下降)；若 $f^{\prime }\left(x\right)/g^{\prime }\left(x\right)$为严格单调，那么该函数也为严格单调。

引理2.2 [10] 对于 $n\in {\mathbb{N}}_0$时，令 $r_n$和 $s_n$都为实数， $R\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{r}_n{x}^n}$和 $S\left(x\right)={\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{s}_n}{x}^n$为 $\left|x\right|<1$时的收敛级数。若 $s_n\ge 0$且不全为零， $r_n/s_n$关于 $n\in {\mathbb{N}}_0$严格单调上升(下降)，那么函数 $x\mapsto R\left(x\right)/S\left(x\right)$在 $\left(0,1\right)$上严格单调上升(下降)。

引理2.3 [7] 对于实数 $c\in \left(0,\infty \right)$，令 $a\in \left(0,c/2\right]$且 $n\in {\mathbb{N}}_0$，定义 $a_n=\psi \left(n+a\right)-\psi \left(n+c-a\right)$，则有数列 $\left\{a_n\right\}$在 $n\in {\mathbb{N}}_0$上严格单调上升且有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$。

引理2.4 [7] 对于实数 $c\in \left(0,\infty \right)$，令 $a\in \left(0,c/2\right]$且 $n\in {\mathbb{N}}_0$，定义 $g_n\left(a\right)=\left(a,n\right)\left(c-a,n+1\right)$，则有数列 $\left\{{g^{\prime }}_n\left(a\right)/g_n\left(a\right)\right\}$在 $n\in {\mathbb{N}}_0$上严格单调上升且有

$\frac{{g^{\prime }}_n\left(a\right)}{g_n\left(a\right)}=a_{n+1}-a_0-\frac{1}{n+a}$.

引理2.5 [7] 对于实数 $c\in \left(0,\infty \right)$，令 $a\in \left(0,c/2\right]$，定义函数 $\lambda \left(a\right)=a\left[\psi \left(c-a\right)-\psi \left(a\right)\right]$，则有

$\bar{\lambda }:=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\sup }\left\{\lambda \left(a\right)\right\}=\{\begin{array}{l}1,c\in \left(0,1\right],\\ {\lambda }^{\ast },c\in \left(1,\infty \right),\end{array}$

其中 ${\lambda }^{\ast }\ge 1$。

引理2.6 对于实数 $c\in \left(0,\infty \right)$， $a\in \left(0,c/2\right]$且 $n\in {\mathbb{N}}_0$，令

${\lambda }_1\left(a,n\right)=a\left(a_{n+1}-a_0-\frac{1}{n+1+c-a}\right)$，

则有 ${\tilde{\lambda }}_1:=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\inf }\left\{{\lambda }_1\left(a,n\right)\right\}=-c/\left(2n+2+c\right)$。

证明：首先，根据引理2.3可以得到

$\begin{array}{c}{\lambda }_1\left(a,n\right)\ge a\left(a_1-a_0-\frac{1}{n+1+c-a}\right)\\ =a\left(\psi \left(1+a\right)-\psi \left(1+c-a\right)+\psi \left(c-a\right)-\psi \left(a\right)-\frac{1}{n+1+c-a}\right)\\ =a\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{c-a}-\frac{1}{n+1+c-a}\right)=1-a\left(\frac{1}{c-a}+\frac{1}{n+1+c-a}\right),\end{array}$

当 $n\in {\mathbb{N}}_0$时，函数 $a\mapsto a\left[1/\left(c-a\right)+1/\left(n+1+c-a\right)\right]$在 $\left(0,c/2\right]$上严格单调上升，并且对任意的 $a\in \left(0,c/2\right]$满足

$a\left(\frac{1}{c-a}+\frac{1}{n+1+c-a}\right)\le 1+\frac{c}{2n+2+c}$，

从而有 ${\lambda }_1\left(a,n\right)\ge -c/\left(2n+2+c\right)$，即

${\tilde{\lambda }}_1=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\inf }\left\{{\lambda }_1\left(a,n\right)\right\}\ge -\frac{c}{2n+2+c}$.(2.1)

其次，证明 ${\tilde{\lambda }}_1=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\inf }\left\{{\lambda }_1\left(a,n\right)\right\}\le -c/\left(2n+2+c\right)$。

由于 ${\lambda }_1\left(c/2\right)=-c/\left(2n+2+c\right)$，所以有

${\tilde{\lambda }}_1=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\inf }\left\{{\lambda }_1\left(a,n\right)\right\}\le -\frac{c}{2n+2+c}$.(2.2)

从而由式(2.1)和式(2.2)综合可得， ${\tilde{\lambda }}_1=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\inf }\left\{{\lambda }_1\left(a,n\right)\right\}=-c/\left(2n+2+c\right)$。

3. 主要定理的证明

证明：首先，根据式(1.1)定义表示，将函数 $f_{\lambda }$级数展开，得

$\begin{array}{c}{f}_{\lambda }\left(a\right)=a^{-\lambda }{\displaystyle \underset{k=n+1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(a,k\right)\left(c-a,k+1\right)}{\left(c,k+1\right)k!}{x}^{k+1}}\\ =a^{-\lambda }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(a,n+1+k\right)\left(c-a,n+2+k\right)}{\left(c,n+2+k\right)\left(n+1+k\right)!}{x}^{n+2+k}}\end{array}$(3.1)

由式(3.1)可知，当 $a=c/2$时，

$f_{\lambda }\left(\frac{c}{2}\right)={\left(\frac{2}{c}\right)}^{\lambda }{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(c/2,n+1+k\right)\left(c/2,n+2+k\right)}{\left(c,n+2+k\right)\left(n+1+k\right)!}{x}^{n+2+k}}=P_{2,n}\left(\lambda ,c,x\right)$.

对式(3.1)利用式(1.2)可得

$f_{\lambda }\left(a\right)=\frac{\Gamma \left(c\right)a^{1-\lambda }}{\Gamma \left(c-a\right)\Gamma \left(a+1\right)}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\Gamma \left(a+n+1+k\right)\Gamma \left(c-a+n+2+k\right)}{\Gamma \left(c+n+2+k\right)\Gamma \left(n+2+k\right)}{x}^{n+2+k}}$.

显然，当 $\lambda <1$时， $f_{\lambda }\left(0^{+}\right)=0$；当 $\lambda =1$时， $f_{\lambda }\left(0^{+}\right)=P_n\left(x\right)$；当 $\lambda >1$时， $f_{\lambda }\left(0^{+}\right)=\infty$.

其次，函数 $f_{\lambda }\left(a\right)$对数求导，得

$a\frac{{f^{\prime }}_{\lambda }\left(a\right)}{f_{\lambda }\left(a\right)}=F_a\left(x\right)-\lambda$(3.2)

其中

$F_a\left(x\right)=\frac{a\frac{\partial }{\partial a}\left(F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)}=a\frac{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{A}_k{x}^k}}{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{B}_k{x}^k}}$(3.3)

这里 $k,n\in {\mathbb{N}}_0$，且

$A_k=\frac{{g^{\prime }}_{n+1+k}\left(a\right)}{\left(c,n+2+k\right)\left(n+1+k\right)!}$， $B_k=\frac{g_{n+1+k}\left(a\right)}{\left(c,n+2+k\right)\left(n+1+k\right)!}$.

由于 $B_k>0$，结合引理2.4，可以得到 $A_k/B_k$严格单调上升，从而根据引理2.2，得到 $F_a\left(x\right)$在 $\left(0,1\right)$上严格单调上升，并且有

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{F}_a\left(x\right)=a\frac{{g^{\prime }}_{n+1}\left(a\right)}{g_{n+1}\left(a\right)}=a\left(a_{n+2}-a_0-\frac{1}{n+1+a}\right)$.

结合引理2.3和引理2.6，得到

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{F}_a\left(x\right)=a\left(a_{n+1}-a_0-\frac{1}{n+1+c-a}\right)={\lambda }_1\left(a,n\right)$.

同时，由式(3.3)有

$F_a\left(x\right)=\frac{1}{1-\frac{F\left(a-1,c-a;c;x\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}-\frac{P_{1,n}\left(a,x\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}}\cdot F_{1,a}\left(x\right)$(3.4)

其中

$\begin{array}{c}{F}_{1,a}\left(x\right)=a\frac{\frac{\partial }{\partial a}F\left(a,c-a;c;x\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}-a\frac{\frac{\partial }{\partial a}F\left(a-1,c-a;c;x\right)}{F\left(a-1,c-a;c;x\right)}\cdot \frac{F\left(a-1,c-a;c;x\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}-a\frac{\frac{\partial }{\partial a}{P}_{1,n}\left(a,x\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}\\ =F_{2,a}\left(x\right)-F_{3,a}\left(x\right)\cdot \frac{F(a-1,c-a;c;x)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}-F_{4,a}\left(x\right)\end{array}$(3.5)

显然，由式(1.6)和式(1.7)有

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{F\left(a-1,c-a;c;x\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{P_{1,n}\left(a,x\right)}{F\left(a,c-a;c;x\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{F}_{4,a}\left(x\right)=0$(3.6)

根据文章 [7] 中的式(2.28)，(2.35)，(2.37)及(2.38)，有：

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{F}_{2,a}\left(x\right)=a\left[\psi \left(c-a\right)-\psi \left(a\right)\right]=\lambda \left(a\right)$(3.7)

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{F}_{3,a}\left(x\right)=a\left[\psi \left(c-a+1\right)-\psi \left(a\right)\right]$(3.8)

所以根据式(3.4)~(3.8)，有 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{F}_a\left(x\right)=\lambda \left(a\right)$.

因此， $F_a\left(x\right)$从 $\left(0,1\right)$到 $\left({\lambda }_1,\lambda \right)$严格单调上升，结合引理2.5，引理2.6，根据式(3.2)，有

${f^{\prime }}_{\lambda }\left(a\right)\ge 0\iff \lambda \le \underset{\underset{x\in \left(0,1\right)}{a\in \left(0,c/2\right]}}{\inf }\left\{F_a\left(x\right)\right\}=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\inf }\left\{{\lambda }_1\left(a,n\right)\right\}={\tilde{\lambda }}_1=\frac{-c}{2n+2+c}$，

${f^{\prime }}_{\lambda }\left(a\right)\le 0\iff \lambda \ge \underset{\underset{x\in \left(0,1\right)}{a\in \left(0,c/2\right]}}{\sup }\left\{F_a\left(x\right)\right\}=\underset{a\in \left(0,c/2\right]}{\sup }\left\{\lambda \left(a\right)\right\}=\bar{\lambda }=\{\begin{array}{l}1,c\in \left(0,1\right],\\ {\lambda }^{\ast },c\in \left(1,\infty \right).\end{array}$( ${\lambda }^{\ast }\ge 1$).

综上即得 $f_{\lambda }\left(a\right)$在 $\left(0,c/2\right]$上的单调性。

下面证明不等式(1.8)，(1.9)，(1.10)成立。

1) 当 $\lambda =1$时， $c\in \left(0,1\right]$， $f_{\lambda }\left(a\right)$在 $\left(0,c/2\right]$上严格单调下降，则有

$\left(2a/c\right)\cdot {\bar{P}}_{2,n}\le F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)\le a{P}_n\left(x\right)$(3.9)

2) 当 $\lambda >1$时， $c\in \left(0,1\right]$， $f_{\lambda }\left(a\right)$在 $\left(0,c/2\right]$上严格单调下降，则有

$F\left(a,c-a;c;x\right)-F\left(a-1,c-a;c;x\right)-P_{1,n}\left(a,x\right)\ge {\left(2a/c\right)}^{\lambda }\cdot {\bar{P}}_{2,n}\left(c,x\right)$(3.10)

由于 $a\in \left(0,c/2\right]$，函数 $\lambda \mapsto {\left(2a/c\right)}^{\lambda }$在 $\lambda \ge 1$上严格单调下降，因此， ${\left(2a/c\right)}^{\lambda }\le 2a/c$，故当 $\lambda \ge 1$， $c\in \left(0,1\right]$时，结合式(3.9)和式(3.10)，可以得到式(1.8)。

3)当 $\lambda \le -c/\left(2n+2+c\right)$时， $c\in \left(0,\infty \right)$， $f_{\lambda }\left(a\right)$在 $\left(0,c/2\right]$上严格单调上升，则有 $0\le f_{\lambda }\left(a\right)\le {\left(2/c\right)}^{\lambda }{\bar{P}}_{2,n}\left(c,x\right)$，即得式(1.9)。

4) 当 $\lambda \ge {\lambda }^{\ast }$时， $c\in \left(1,\infty \right)$， $f_{\lambda }\left(a\right)$在 $\left(0,c/2\right]$上严格单调下降，则有 $f_{\lambda }\left(a\right)\ge {\left(2/c\right)}^{\lambda }{\bar{P}}_{2,n}\left(c,x\right)$，则得式(1.10)。

4. 说明

定理1是本文的主要结果，推广了文献 [6] 中的定理1.2(3)及文献 [7] 中的定理3.1(1)，具体如下：

1) 在定理1中，取 $n=0$， $x=r^2$，则 $P_{1,0}\left(a,r^2\right)=\left(1-a\right)r^2$。令 $c=1$，则

$f_{\lambda }\left(a\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{K_a\left(r\right)-E_a\left(r\right)-\left(1-a\right)r^2}{a^{\lambda }}$，

即得文献 [6] 中定理1.2(3)中结论。

2) 在定理1中，取 $c=1$， $x=r^2$，则

$f_{\lambda }\left(a\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{K_a\left(r\right)-E_a\left(r\right)-\frac{\pi }{2}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{\left(a,k\right)\left(1-a,k+1\right)}{k!\left(k+1\right)}{r}^{2\left(k+1\right)}}}{a^{\lambda }}$，

即得文献 [7] 中定理3.1(1)中结论。

本文所用方法可用于研究其他Gauss超几何函数与初等函数的组合函数的单调性质以及不等式性质，从而推广和改进原有结果。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

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