DOI:10.12677/PM.2018.86093,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1,184浏览: 3,378科研立项经费支持
作者:彭桐辉,王亚琳,徐玲芳,马冠忠：安阳师范学院数学与统计学院，河南 安阳
关键词:非一致扩张系统；渐近可加势；历史集；Non-Uniformly Expanding；Asymptotically Additive Potentials；Historic Set

文章引用：彭桐辉, 王亚琳, 徐玲芳, 马冠忠. 渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱[J]. 理论数学, 2018, 8(6): 688-698. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86093

1. 引言

本文研究了一类非一致扩张系统上渐近可加函数列的“历史集”的重分形分析，证明了渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱具有“择一性”。首先做一概述。

1.1. “历史集”

设 $\left(X\text{,}T\right)$为拓扑动力系统，即X为紧度量空间， $T:X\to X$为连续自映射， $C\left(X,ℝ\right)$表示从X到 $ℝ$的连续函数全体。给定 $\varphi \in C\left(X,ℝ\right)$，称 $S_n\varphi :={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}\varphi \circ T^i}$和 $A_n\varphi :=\frac{1}{n}{S}_n\varphi$分别为 $\varphi$的Birkhoff和与Birkhoff均值。若存在 $\varphi \in C\left(X,R\right)$，使得极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n\varphi \left(x\right)$不存在，则称点x的轨道

$\left\{x,Tx,T^{2}x,\cdots \right\}$

有“历史行为”。这个名称最早是Ruell在 [1] 中提出的，本文沿用Ruell的定义，把轨道具有“历史行为”的点的全体称为“历史集”。在 [2] 中Takens进一步研究了“历史集”，并提出了如下问题：是否存在一类光滑的动力系统，这类系统有“历史行为”的初始点集具有正测度的性质是稳定的。该问题被称为“Takens last problem”。到目前为止，有很多学者对“Takens last problem”进行了大量的研究并得到了一些深入的结果。如在 [3] 中，作者证明了闭曲面上r阶微分同胚中任一Newhouse开集都有稠子集，此稠子集中任一元都有一个压缩游荡域是“历史集”，从而部分回答了“Takens last problem”，更多有关“Takens last problem”的内容见文献 [4] 。

如果点x使得对每一个 $\varphi \in C\left(X,ℝ\right)$，极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n\varphi \left(x\right)$都存在，称点x为“通有点”。点x的Birkhoff均值的极限不存在，意味着当时间n趋向无穷时，点 $T^{n}x$对下一步要去哪里始终有新的“想法”。若点x为“通有点”，对每一个观察函数 $\varphi$来说，因 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n\varphi \left(x\right)$存在，所以“通有点”的轨道行为是完全可以预测的。因此“历史点”的轨道比“通有点”的轨道包含了更多的信息。Ruell和Takens认为“历史集”有更重要的研究意义。给定 $\varphi \in C\left(X,ℝ\right)$，称 $\text{H}\left(\varphi ;X,T\right):=\left\{x\in X:\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n\varphi \left(x\right)不存在\right\}$为关于 $\varphi$的“历史集”。易见 $\text{H}\left(\varphi ;X,T\right)$是“历史集”的一个子集，“历史集”是所有连续函数 $\varphi$的“历史集” $\text{H}\left(\varphi ;X,T\right)$的并集。为简化记号，以下简记 $\text{H}\left(\varphi ;X,T\right)$为 $\text{H}\left(\varphi \right)$。

近些年来，很多学者对“历史集”的结构和性质有浓厚的兴趣，对“历史集”进行了大量的研究，得到了很多深刻的结果，见 [1] - [15] 。由Birkhoff遍历定理知，对任一T-不变测度 $\mu$，都有 $\mu \left(\text{H}\left(\varphi \right)\right)=0$，这意味着从测度范畴看，“历史集”是可以忽略不计的，因此，在动力系统和几何测度论中，人们一直认为“历史集”没有包含系统的本质信息，没有进一步研究的必要。然而文献 [5] 的研究结论彻底颠覆了这个观点，在大多数的系统中，特别是一致双曲系统中，“历史集”或者具有满的拓扑熵，或者具有满的Hausdorff维数，这表明“历史集”是一个很大的集合，在某种程度上包含了系统的所有信息。文献 [6] 证明了在有限型子转称斥子中“历史集”若非空，就具有满的Hausdorff维数，D. Tompson在 [7] 中证明了若系统有某些弱的Specification性质，则该系统中的“历史集”若非空，就具有满的拓扑压力。Barreira等在 [8] 中从拓扑观点研究“历史集”，证明了若有限型子位移具有弱的Specification性质，则该系统中的“历史集”只要不是空集，就是剩余集。

以上的文章研究的都是一致双曲系统中的“历史集”，他们证明了一致双曲系统中的“历史集”的拓扑熵，Hausdorff维数都具有“择一性”，即非空即满。在非一致双曲系统中，因为非双曲周期点的出现，使得非一致双曲系统的动力学行为比一致双曲系统更加复杂，因此关于非一致双曲系统的“历史集”，到目前为止，研究结果还比较少。文献 [9] 得到了一类非一致双曲系统中“饱和集”的拓扑熵的变分公式，并证明了在该类系统中“历史集”具有满拓扑熵的性质是C¹稳定的。 [10] 中作者证明了在Lorenz流的一个俘获区中，“历史集”是剩余集。 [11] 中作者证明了在一类非一致扩张系统中，几乎可加势的“历史集”的Hausdorff维数具有“择一性”。

本文研究了一类一维非一致扩张系统中渐进可加势的“历史集”，证明了该类系统中渐进可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱也具有“择一性”。下面介绍本文要研究的非一致扩张系统。

1.2. 系统与符号

本文考虑如下模型，令 $T:{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}{I}_i}\to \left[0,1\right]$是分段 $C^{1+r}$映射，其中 $r>0$， $I_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$是 $\left[0,1\right]$的m个子区间，满足如下条件：

1、若 $i\ne j$，则 $\mathrm{int}\left(I_i\right)\cap \mathrm{int}\left(I_j\right)=\varnothing$，本文中 $\mathrm{int}\left(I_i\right)$指集合 $I_i$的内部；

2、对 $1\le i\le m$， $T{|}_{I_i}:I_i\to \left[0,1\right]$是 $C^{1+r}$的满射，且存在唯一 $x_i\in I_i$满足 $T\left(x_i\right)=x_i$且 $T^{\prime }\left(x_i\right)\ge 1$。若 $T^{\prime }\left(x_i\right)=1$，则称 $x_i$为抛物不动点，否则称 $x_i$为扩张不动点；

3、若 $x\notin \left\{x_1,x_2,\cdots ,x_m\right\}$，则 $T^{\prime }\left(x\right)>1$。

抛物不动点的出现使本文考虑的系统和一致双曲系统有很大不同，在抛物不动点附近，系统的动力行为变得异常复杂。下面定义不变吸引子，

$\Lambda :=\left\{x\in {\displaystyle {\cup }_{j=1}^m{I}_j}|T^n\left(x\right)\in I,对一切n\ge 0\right\}$.

这类非一致双曲映射包含著名的Manneville-Pomeau映射，即 $T:\left[0,1\right]\to \left[0,1\right]$， $Tx=x+x^{1+\beta }\mathrm{mod}1$，其中 $0<\beta <1$。

上述系统有一个自然的编码：对 $i=1,\cdots ,m$，令 $T_i$为 $T{|}_{I_i}:I_i\to \left[0,1\right]$的逆映射。令 $\sigma :\Sigma \to \Sigma$是左平映射，满足 $\sigma \left({\left({\omega }_n\right)}_{n\ge 1}\right)={\left({\omega }_n\right)}_{n\ge 2}$。定义编码映射 $\Pi :\Sigma \to I$如下：

$\Pi \left(\omega \right):=\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_{{\omega }_1}\circ T_{{\omega }_2}\cdots \circ T_{{\omega }_n}\left(\left[0,1\right]\right)$.

不难验证 $\Pi \left(\Sigma \right)=\Lambda$且 $\Pi \circ \sigma \left(\omega \right)=T\circ \Pi \left(\omega \right)$。特别指出编码映射 $\Pi$在除去至多可个点外是双射。

给定拓扑动力系统 $\left(X,T\right)$，本文用 $M\left(X,T\right)$和 $E\left(X,T\right)$分别表示X上T-不变Borel概率测度全体和遍历的T-不变Borel概率测度全体。下面介绍渐近可加势。

1.3. 渐近可加势

设 $\Phi ={\left({\varphi }_n\right)}_{n=1}^{\infty }$为一列定义在X上的连续函数，若对任意给定的 $\epsilon >0$，都存在 $g_{\epsilon }\in C\left(X,ℝ\right)$，使得

$\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{n}\Vert {\varphi }_n-S_n{g}_{\epsilon }\Vert <\epsilon$,

称 $\Phi$为渐近可加势，其中对给定的 $f\in C\left(X,ℝ\right)$， $\Vert f\Vert$是上确界范数。

若 $\Phi$满足下述条件，称 $\Phi$为可加势，对 $\forall n\ge 1$， $\forall m\ge 1$， $\forall x\in X$，都有 ${\varphi }_{n+m}\left(x\right)={\varphi }_n\left(x\right)+{\varphi }_m\left(T^{n}x\right)$。

易见，若 $\Phi$为可加势，则 ${\varphi }_n\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}{\varphi }_1\left(T^{i}x\right)}$。若 $\Phi$满足下述条件，称 $\Phi$为几乎可加势：

1、对每个 $n\ge 1$， ${\varphi }_n:X\to ℝ$连续；

2、存在正常数 $C\left(\Phi \right)$，对任意给定的 $n,p\in \mathbb{N}$和任意给定的 $x\in X$，有下式成立，

$\left|{\varphi }_{n+p}\left(x\right)-{\varphi }_n\left(x\right)-{\varphi }_p\left(T^{n}x\right)\right|\le C\left(\Phi \right)$.

其中 $C\left(\Phi \right)$为和 $\Phi$有关的常数。

对给定的渐进可加势 $\Phi ={\left({\varphi }_n\right)}_{n=1}^{\infty }$，令 ${\rm H}\left(\Phi \right):=\left\{x\in X:\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\varphi }_n\left(x\right)不存在\right\}$为 $\Phi$的“历史集”。令 ${\Phi }_{*}\left(\mu \right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_X{\varphi }_n}\text{d}\mu$，由渐进可加势的定义，易证上述极限是存在的。令 ${\Omega }_{\Phi }=\left\{{\Phi }_{*}\left(\mu \right):\mu \in M\left(X,T\right)\right\}$。

文献 [12] 中引理A.5证明了几乎可加势一定是渐近可加势，文献 [13] 中的例1给出了一个渐近可加势不是几乎可加势的例子，从而本文结论包含了文献 [11] 中的结果。

1.4. 主要结果

本文证明了如1.2节中定义的非一致扩张系统中渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数有“择一性”，依惯例用 ${\dim }_{H}A$表示集合A的Hausdorff维数。

定理2.1：吸引子 $\Lambda$和 $C^{1+\gamma }$映射 $T:\Lambda \to \Lambda$如1.2节中所定义， $\Phi$为渐近可加势，则下列情形有且仅有一个成立

1、 $\text{H}\left(\Phi \right)=\varnothing$当且仅当 ${\Omega }_{\Phi }$是单点集；

2、 $\text{H}\left(\Phi \right)\ne \varnothing$当且仅当 ${\dim }_H\text{H}\left(\Phi \right)={\dim }_H\Lambda$。

注1：在本文所研究的非一致扩张系统中，我们不确定T的 $C^{1+\gamma }$正则性假设是否可以减弱到C¹条件。这对应于动力系统中一个著名的问题：双曲测度的Hausdorff维数是否可以任意逼近吸引子的维数。文献 [16] 中定理4.6表明，在T的每个逆映射是 $C^{1+\gamma }$的条件下，再加上一些几何的假设，该问题的答案是肯定的。文献 [17] 中研究结果表明，对 $C^{1+\text{Lip}}$可扩系统的极限集和传递Markov系统的极限集，该问题的答案也是肯定的。然而在非一致扩张系统中，在T仅有C¹正则性的条件下，双曲测度的Hausdorff维数能否任意逼近吸引子的维数，仍然是动力系统的维数理论中一个开问题。文献 [18] 中提出在本文所考虑的非一致扩张系统中，T的C¹正则性足以建立定理2.1，但未给出证明。

2. 记号和预备知识

本节引入一些记号和必要的引理。

令 $A=\left\{1,2,\cdots ,m\right\}$， $\Sigma =A^{\mathbb{N}}$，令 ${\Sigma }_n:=\left\{w=w_1\cdots w_n|w_i\in A\right\}$是长为n的词的全体。 $\omega ={\left\{{\omega }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\in \Sigma$，记 $\omega {|}_n={\omega }_1\cdots {\omega }_n$。对词 $w\in {\Sigma }_n$，令 $\left[w\right]:=\left\{\omega \in \Sigma |\omega {|}_n=w\right\}$是由w确定的长为n的柱集。对给定的连续函数 $\varphi :\Sigma \to ℝ$，称

${\text{Var}}_n\varphi :=\underset{\omega {|}_n=\tau {|}_n}{\sup }\left|{\varphi }_n\left(\omega \right)-{\varphi }_n\left(\tau \right)\right|$

为 $\varphi$的n-级变差，同时令 $\Vert \varphi \Vert :=\underset{\tau \in \Pi }{\sup }\left|\varphi \left(\tau \right)\right|$。

用 $\hat{\Lambda }:=\left\{x\in \Lambda |\#\left\{{\Pi }^{-1}\left(x\right)\right\}=2\right\}$表示吸引子中有两个编码的点，其中 $\#A$表示集合A的元素个数。在本文条件下， $\hat{\Lambda }$和 ${\Pi }^{-1}\hat{\Lambda }$都是至多可数集， $\Pi :\Sigma \backslash {\Pi }^{-1}\hat{\Lambda }\to \Lambda \backslash \hat{\Lambda }$是双射。对长为n的词 $w=w_1{w}_2\cdots w_n$，记 $I_w=T_{w_1}\circ T_{w_2}\circ \cdots \circ T_{w_n}\left(I\right)$，对 $\omega \in \Sigma$，记 $I_n\left(\omega \right)=I_{\omega {|}_n}$。用 $D_n\left(\omega \right)$表示 $I_n\left(\omega \right)$的直径，同时令 $g_n\left(\omega \right):=-\log {T^{\prime }}_{{\omega }_1}\Pi \left(\sigma \omega \right)$，令

$A_{n}g\left(\omega \right):=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\sum }}g\left(T^i\left(\omega \right)\right)}$.

由文献 [16] 的引理2.1和文献 [18] 引理1可知， $A_{n}g\left(\omega \right)$可一致逼近 $D_n\left(\omega \right)$。

引理2.1：设T为1.2节所定义的非一致扩张映射，则 $D_n\left(\omega \right)$一致收敛到0，且

$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{\omega \in \Sigma }{\sup }\left\{\left|-\frac{1}{n}\log D_n\left(\omega \right)-A_{n}g\left(\omega \right)\right|\right\}=0$.

令 ${\hat{\lambda }}_n\left(\omega \right)=-\frac{1}{n}\log D_n\left(\omega \right)$，对给定的σ-不变测度 $\mu$，令 $\lambda \left(\mu ,\sigma \right):={\displaystyle {\int }_{\Sigma }g\text{d}\mu }$是 $\mu$的Lyapunov指数， ${\Pi }_{*}\mu :=\mu \circ {\Pi }^{-1}$是 $\mu$的像测度。下面引理组合了文献 [18] 中的引理2和引理3，在定理2.1的证明中起着本质作用。

引理2.2：对任意给定的σ-不变测度 $\mu$，都存在遍历的σ-不变测度序列 $\left\{{\mu }_n:n\ge 1\right\}$，使得 $\left\{{\mu }_n:n\ge 1\right\}$依弱星拓扑收敛到 $\mu$，且

$h\left({\mu }_n,\sigma \right)\to h\left(\mu ,\sigma \right)$, $\lambda \left({\mu }_n,\sigma \right)\to \lambda \left(\mu ,\sigma \right)$.

下面引理表明映射 ${\Phi }_{\text{*}}:M\left(\Sigma ,\sigma \right)\to ℝ$是连续的。

引理2.3：给定渐进可加势 $\Phi$， $\mu$为σ-不变测度， ${\left\{{\mu }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\subset M\left(\Sigma ,\sigma \right)$且在弱星拓扑下收敛到 $\mu$，则有

$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{m\to \infty }{\lim }\frac{1}{m}{\displaystyle \int {\varphi }_m\text{d}{\mu }_n}=\underset{m\to \infty }{\lim }\frac{1}{m}{\displaystyle \int {\varphi }_m\text{d}\mu }$.

即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\Phi }_{*}\left({\mu }_n\right)={\Phi }_{*}\left(\mu \right)$。

3. 定理2.1的证明

首先有下述结论，若 ${\rm H}\left(\Phi \right)\ne \varnothing$，则有 $\#{\Omega }_{\Phi }\ge 2$。事实上，若 ${\rm H}\left(\Phi \right)\ne \varnothing$，取 $x\in {\rm H}\left(\Phi \right)$，令 $\bar{\alpha }=\underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{{\varphi }_n\left(x\right)}{n}$， $\underset{\_}{\alpha }=\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{{\varphi }_n\left(x\right)}{n}$， $\epsilon =\frac{1}{6}\left(\bar{\alpha }-\underset{\_}{\alpha }\right)$，则 $\epsilon >0$，由渐进可加势定义，存在连续函数h和正整数K，使得对任意给定的 $n>K$，任意给定的 $x\in X$，有

$\frac{1}{n}\left|{\varphi }_n\left(x\right)-S_{n}h\left(x\right)\right|<\epsilon$,

存在自然数的子列 ${\left\{n_k\right\}}_{k=1}^{\infty }$，使得 $\bar{\alpha }=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{{\varphi }_{n_k}\left(x\right)}{n_k}$，不妨设 $\underset{k\to \infty }{\lim }{A}_{n_k}h\left(x\right)$存在，否则用上极限代替。令 $M\left(X\right)$为X上概率测度全体，因 $M\left(X\right)$在弱星拓扑下是紧的，取 $\mu$为概率测度序列 ${\left\{\frac{1}{n_k}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n_k-1}{\sum }}{\delta }_{T^{i}x}}\right\}}_{k=1}^{\infty }$的聚点，其中 ${\delta }_x$为Dirac测度，易证 $\mu \in M\left(X,T\right)$。则有

$\bar{\alpha }\le {\displaystyle {\int }_{X}h\text{d}\mu }+\epsilon \le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_X{\varphi }_n\text{d}\mu }+2\epsilon ={\Phi }_{*}\left(\mu \right)+2\epsilon$.

同理可证，存在 $\nu \in M\left(X,T\right)$，使得 ${\Phi }_{\text{*}}\left(\nu \right)\le \underset{\_}{\alpha }+2\epsilon$。故有

${\Phi }_{*}\left(\nu \right)\le \underset{\_}{\alpha }+2\epsilon <\bar{\alpha }-2\epsilon \le {\Phi }_{*}\left(\mu \right)$，即 ${\Phi }_{*}\left(\nu \right)\ne {\Phi }_{*}\left(\mu \right)$.

令 $\hat{\Phi }=\Phi \circ \Pi$，易证 ${\Omega }_{\Phi }={\Omega }_{\hat{\Phi }}$且 ${\rm H}\left(\Phi \right)=\Pi {\rm H}\left(\hat{\Phi }\right)$。则定理1是下述引理的直接推论。

引理3.1：对任意给定的σ-不变测度 $\mu$和 $\nu$满足 $\lambda \left(\mu ,\sigma \right)>0$， $\lambda \left(\nu ,\sigma \right)>0$，且 ${\hat{\Phi }}_{*}\left(\mu \right)\ne {\hat{\Phi }}_{*}\left(\nu \right)$，则有下式成立

${\dim }_{\text{H}}{\rm H}\left(\Phi \right)\ge \min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{h\left(\nu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\nu ,\sigma \right)}\right\}$.

因T是 $C^{1+\gamma }$连续，由文献 [16] 的定理4.6可知，

${\dim }_{\text{H}}\Lambda =\underset{\mu \in M\left(\Sigma ,\sigma \right)}{\sup }\left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)}\text{|}\lambda \left(\mu ,\sigma \right)>0\right\}$.

故对任意给定的 $\epsilon >0$，都存在σ-不变测度 $\mu$，满足 $h\left(\mu ,\sigma \right)/\lambda \left(\mu ,\sigma \right)\ge {\dim }_{\text{H}}\Lambda -\epsilon$。记 $\alpha ={\hat{\Phi }}_{*}\left(\mu \right)$，因 $\#{\Omega }_{\Phi }\ge 2$，故存在σ-不变测度 $\nu$满足 ${\hat{\Phi }}_{*}\left(\nu \right)=\beta \ne \alpha$。对 $0<s<1$，令 ${\mu }_s=s\mu +\left(1-s\right)\nu$，则 ${\hat{\Phi }}_{*}\left({\mu }_s\right)\ne \alpha$。 由引理5，对所有 $0<s<\text{1}$，下式成立，

$\begin{array}{l}{\dim }_{\text{H}}{\rm H}\left(\Phi \right)\ge \min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{h\left({\mu }_s,\sigma \right)}{\lambda \left({\mu }_s,\sigma \right)}\right\}\\ =\min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{sh\left(\mu ,\sigma \right)+\left(1-s\right)h\left(\nu ,\sigma \right)}{s\lambda \left(\mu ,\sigma \right)+\left(1-s\right)\lambda \left(\nu ,\sigma \right)}\right\}\end{array}$.

令 $s\to 1$，可得由 $\epsilon$的任意性，定理1得证。下面证明引理4。

引理3.1的证明融合了文献 [6] 中构造Moran集和文献 [18] 中拼接n级Bernoulli测度的方法。证明思路是在“历史集” ${\rm H}\left(\hat{\Phi }\right)$中构造一个Moran集M，使得渐进可加势的均值在Moran集的奇数层逼近 $\alpha$，偶数层逼近 $\beta$，而且Moran集M的投影 $\Pi M$的Hausdorff维数满足

${\dim }_{\text{H}}\Pi M\ge \min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{h\left(\nu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\nu ,\sigma \right)}\right\}$.

为清晰起见，证明分以下6步：

步一：在奇数层构造Moran块

由引理2.1的结论，可以取到递减到0的序列 ${\left({\epsilon }_i\right)}_{i\ge 1}$且满足对所有的 $n\ge 2i-1$，有下列结论，

$\{\begin{array}{l}{\mathrm{var}}_n{A}_{n}g<{\epsilon }_{2i-1},\\ \underset{\omega \in \Sigma }{\max }\left|{\hat{\lambda }}_n\left(\omega \right)-A_{n}g\left(\omega \right)\right|<{\epsilon }_{2i-1}.\end{array}$(1)

由引理2.2和引理2.3，可以选择一列σ-不变的遍历测度 ${\left({\mu }_{2i-1}\right)}_{i\ge 1}$，使得下式成立，

$\{\begin{array}{l}\left|h\left({\mu }_{2i-1},\sigma \right)-h\left(\mu ,\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i-1},\\ \left|{\hat{\Phi }}_{*}\left({\mu }_{2i-1}\right)-\alpha \right|<{\epsilon }_{2i-1},\\ \left|\lambda \left({\mu }_{2i-1},\sigma \right)-\lambda \left(\mu ,\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i-1}.\end{array}$(2)

记 ${\alpha }_{2i-1}={\hat{\Phi }}_{*}\left({\mu }_{2i-1}\right)$，注意到 ${\mu }_{2i-1}$的遍历性，由Birkhoff遍历定理和Shanon-Mcmillan-Breiman定理，对 ${\mu }_{2i-1}$a。e。的 $\omega \in \Sigma$，有下式成立，

$\{\begin{array}{l}\frac{{\hat{\varphi }}_n\left(\omega \right)}{n}\to \alpha ,\\ A_{n}g\left(\omega \right)\to \lambda \left({\mu }_{2i-1},\sigma \right),\\ -\frac{\log {\mu }_{2i-1}\left(\left[\omega {|}_n\right]\right)}{n}\to h\left({\mu }_{2i-1},\sigma \right).\end{array}$(3)

对任意给定的 $\delta >0$，由Egoroff定理，存在 ${\Omega }^{\prime }\left(2i-1\right)\subset \Sigma$满足 ${\mu }_{2i-1}\left({\Omega }^{\prime }\left(2i-1\right)\right)>1-\delta$且式(3)在 ${\Omega }^{\prime }\left(2i-1\right)$上一致成立。故存在 $l_{2i-1}\ge 2i-1$，使得对一切 $n\ge l_{2i\text{-}1}$和 $\omega \in {\Omega }^{\prime }\left(2i-1\right)$，有下式成立，

$\{\begin{array}{l}\left|\frac{1}{n}{\hat{\varphi }}_n\left(\omega \right)-{\alpha }_{2i-1}\right|<{\epsilon }_{2i-1},\\ \left|A_{n}g\left(\omega \right)-\lambda \left({\mu }_{2i-1},\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i-1},\\ \left|-\frac{\log {\mu }_{2i-1}\left(\left[\omega {|}_n\right]\right)}{n}-h\left({\mu }_{2i-1},\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i-1}.\end{array}$(4)

令 $\Sigma \left(2i-1\right)=\left\{\omega {|}_{l_{2i-1}}|\omega \in {\Omega }^{\prime }\left(2i-1\right)\right\}$，称 $$为(2i-1)-级Moran块， $\Sigma \left(2i-1\right)$是构造Moran集的基本模块。再令

$\Omega \left(2i-1\right)={\displaystyle \underset{\omega \in \Sigma \left(2i-1\right)}{\cup }\left[\omega \right]}$,

则有

$\begin{array}{l}{\mu }_{2i-1}\left(\Omega \left(2i-1\right)\right)\ge {\mu }_{2i-1}\left({\Omega }^{\prime }\left(2i-1\right)\right)\\ \ge 1-\delta \end{array}$.

步二：在偶数层构造Moran块

此步完全类似于步一，为方便读者，给出完整步骤。对一切 $n\ge 2i$，有下式成立，

$\{\begin{array}{l}{\mathrm{var}}_n{A}_{n}g<{\epsilon }_{2i},\\ \underset{\omega \in \Sigma }{\max }\left|{\hat{\lambda }}_n\left(\omega \right)-A_{n}g\left(\omega \right)\right|<{\epsilon }_{2i}.\end{array}$(5)

由引理2.2和引理 2.3，可选择一列σ-不变的遍历测度 ${\left({\nu }_{2i}\right)}_{i\ge 1}$，使得下式成立，

$\{\begin{array}{l}\left|h\left({\nu }_{2i},\sigma \right)-h\left(\nu ,\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i},\\ \left|{\hat{\Phi }}_{*}\left({\nu }_{2i}\right)-\beta \right|<{\epsilon }_{2i},\\ \left|\lambda \left({\nu }_{2i},\sigma \right)-\lambda \left(\nu ,\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i}.\end{array}$(6)

记 ${\hat{\Phi }}_{\text{*}}\left({\nu }_{2i}\right)={\beta }_{2i}$，由 ${\nu }_{2i}$的遍历性可知，对 ${\nu }_{2i}$a..e.的 $\omega \in \Sigma$有下列结果，

$\{\begin{array}{l}\frac{{\hat{\varphi }}_n\left(\omega \right)}{n}\to {\beta }_{2i},\\ A_{n}g\left(\omega \right)\to \lambda \left({\nu }_{2i},\sigma \right),\\ -\frac{\log {\nu }_{2i}\left(\left[\omega {|}_n\right]\right)}{n}\to h\left({\nu }_{2i},\sigma \right).\end{array}$(7)

对任意给定的 $\delta >0$，存在 ${\Omega }^{\prime }\left(2i\right)\subset \Sigma$满足 ${\nu }_{2i}\left({\Omega }^{\prime }\left(2i\right)\right)>1-\delta$，而且存在 $l_{2i}\ge 2i$，使得对一切 $n\ge l_{2i}$和 $\omega \in {\Omega }^{\prime }\left(2i\right)$，有下述结论，

$\{\begin{array}{l}\left|\frac{1}{n}{\hat{\varphi }}_n\left(\omega \right)-{\beta }_{2i}\right|<{\epsilon }_{2i},\\ \left|A_{n}g\left(\omega \right)-\lambda \left({\nu }_{2i},\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i},\\ \left|-\frac{\log {\nu }_{2i}\left(\left[\omega {|}_n\right]\right)}{n}-h\left({\nu }_{2i},\sigma \right)\right|<{\epsilon }_{2i}.\end{array}$(8)

令

$\begin{array}{l}\Sigma \left(2i\right)=\left\{\omega {|}_{l_{2i}}|\omega \in {\Omega }^{\prime }\left(2i\right)\right\},\\ \Omega \left(2i\right)={\displaystyle \underset{w\in \Sigma \left(2i\right)}{\cup }\left[w\right]}\end{array}$

则有 ${\nu }_{2i}\left(\Omega \left(2i\right)\right)\ge {\nu }_{2i}\left({\Omega }^{\prime }\left(2i\right)\right)\ge 1-\delta$。式(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)在下面的证明中是必要的，第4步中证明Moran集在编码映射 $\Pi$下的投影含于“历史集” ${\rm H}\left(\Phi \right)$和第6步中估计Moran测度的Hausdorff维数下界时将要用到这些式子。

步三：拼接Moran集

取 $N_0=1$，对 $i\ge 1$，令 $N_i=2^{l_{i+2}+N_{i-1}}$。 $N_i$是在第i层把Moran块重复拼砌的次数。令Moran集M为下述集合，

$\stackrel{{}_{N_1}}{{\displaystyle \stackrel{︹}{\Sigma \left(1\right)\cdots \Sigma \left(1\right)}}}\cdots \stackrel{N_i}{{\displaystyle \stackrel{︹}{\Sigma \left(i\right)\cdots \Sigma \left(i\right)}}}\cdots$.

$N_i$的选择在估计Moran集的Hausdorff维数时是至关重要的。

步四：Moran集包含在“历史集”中

本步证明Moran集M的投影 $\Pi M$落在“历史集” ${\rm H}\left(\Phi \right)$中。

对 $j\ge \text{1}$，令 $n_j={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{j}{\sum }}{l}_i{N}_i}$，固定 $\omega \in M$，注意到

$\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{l_2{N}_2+l_4{N}_4+\cdots +l_{2j}{N}_{2j}}{n_{2j+1}}=0$.

利用式(1)，(2)，(4)，(5)，(6)，(8)，直接计算可得下面结论，

$\begin{array}{l}\underset{j\to \infty }{\lim }\frac{{\hat{\varphi }}_{n_{2j+1}}\left(\omega \right)}{n_{2j+1}}=\alpha ,\\ \underset{j\to \infty }{\lim }\frac{{\hat{\varphi }}_{n_{2j}}\left(\omega \right)}{n_{2j}}=\beta \end{array}$

这表明 $\Pi M\subset {\rm H}\left(\Phi \right)$。

步五：构造Moran测度

为简单起见，把Moran块 $\Sigma \left(i\right)$重新编号，构造测度 $\eta$，称 $\eta$为Moran测度，同时得到两个重要的关系式(9)，(10)，这两个式子在第六步中估计Moran测度 $\eta$的Hausdorff维数时是必要的。

为便于计算，当i为奇数时，令 ${\eta }_i={\mu }_i$，当i为偶数时，令 ${\eta }_i={\nu }_i$。把如下整数序列

$\stackrel{{}_{N_1}}{{\displaystyle \stackrel{︹}{l_1\cdots l_1}}}\cdots \stackrel{N_i}{{\displaystyle \stackrel{︹}{l_i\cdots l_i}}}\cdots$

重新记为 ${\left(l_i^{*}\right)}_{i\ge 1}$。把如下Moran块序列

$\stackrel{{}_{N_1}}{{\displaystyle \stackrel{︹}{\Sigma \left(1\right)\cdots \Sigma \left(1\right)}}}\cdots \stackrel{N_i}{{\displaystyle \stackrel{︹}{\Sigma \left(i\right)\cdots \Sigma \left(i\right)}}}\cdots$

重新记为 $\left\{{\Sigma }^{*}\left(i\right)|i\ge 1\right\}$。同样地，可得到如下序列 $\left\{{{\Omega }^{\prime }}^{*}\left(i\right)|i\ge 1\right\}$， $\left\{{\Omega }^{*}\left(i\right)|i\ge 1\right\}$， $\left\{{\eta }_i^{*}|i\ge 1\right\}$， $\left\{{\epsilon }_i^{*}|i\ge 1\right\}$。 对任意给定的 $n\ge 1$，存在唯一正整数 $J\left(n\right)$，使得

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}}\le n<{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)+1}{\sum }}{l}_i^{*}}$;

同样存在唯一正整数 $r\left(n\right)$，使得

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r\left(n\right)}{\sum }}{N}_i}\le J\left(n\right)<{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{r\left(n\right)+1}{\sum }}{N}_i}$.

这里， $J\left(n\right)$表示n在序列 ${\left(l_i^{*}\right)}_{i\ge 1}$中位于哪一层， $r\left(n\right)$表示 $$在序列 ${\left(N_i\right)}_{i\ge 1}$中位于哪一层，同时 $r\left(n\right)$也表明n位于Moran集M的第 $r\left(n\right)$层和第 $r\left(n\right)+1$层之间。由 $J\left(n\right)$的定义，可知下式成立，

$J\left(n\right)\le J\left(n+1\right)\le J\left(n\right)+1,l_{J\left(n\right)+1}^{*}=l_{r\left(n\right)+1}且l_{J\left(n\right)+2}^{*}\le l_{r\left(n\right)+2}$9)

对 $j=1,2$，有

$\frac{l_{J\left(n\right)+j}^{*}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}}}\le \frac{l_{r\left(n\right)+j}}{N_{r\left(n\right)}{l}_{r\left(n\right)}}$,

注意到对 $i\ge 1,N_i=2^{l_{i+2}+N_{i-1}}$，可知下式成立，

$\frac{l_{J\left(n\right)+j}^{*}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}}}\to 0,且\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)+1}{\sum }}{l}_i^{*}}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}}}\to 1$(10)

现在定义Moran测度。对 $\omega \in {\sum }^{\text{*}}\left(i\right)$，令

${\rho }_{\omega }^i=\frac{{\eta }_i^{*}\left[\omega \right]}{{\eta }_i^{*}\left({\Omega }^{*}\left(i\right)\right)}$.

易见 ${\sum }_{\omega \in {\sum }^{\text{*}}\left(i\right)}{\rho }_{\omega }^i=1$。记 $C_n:=\left\{\left[\omega \right]:\omega \in {\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{\sum }^{*}\left(i\right)}\right\}$，其中 ${\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{\sum }^{\text{*}}\left(i\right)}$表示 ${\sum }^{\text{*}}\left(i\right)$的拼接。记 $\sigma \left(\left\{C_n:n\ge 1\right\}\right)$是 $\left\{C_n:n\ge 1\right\}$生成的σ-代数。对 $\left[w\right]=\left[w_1\cdots w_n\right]\in C_n$，令

$\hat{\eta }\left(\left[w\right]\right):={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\rho }_{w_i}^i}$,

其中 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\rho }_{w_i}^i}$表示 ${\rho }_{w_i}^i$的乘积。记 $\eta$为 $\hat{\eta }$到M的所有Borel子集的Kolmogrov扩张。 $\eta$自然是 $\Sigma$上的测度，由 $\eta$的构造可知 $\eta$支撑在M上。

步六：估计Moran测度的Hausdorff维数下界

本步证明下式成立，对一切 $x\in \Pi M$，有

$\underset{r\downarrow 0}{{\displaystyle \lim \inf }}\frac{\log {\Pi }_{*}\eta B\left(x,r\right)}{\log r}\ge \min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{h\left(\nu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\nu ,\sigma \right)}\right\}$(11)

由(11)式可知， ${\dim }_{\text{H}}{\Pi }_{*}\eta \ge \min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{h\left(\nu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\nu ,\sigma \right)}\right\}$，其中 $\underset{r\downarrow 0}{{\displaystyle \lim \inf }}\frac{\log {\Pi }_{*}\eta B\left(x,r\right)}{\log r}$是测度 ${\Pi }_{*}\eta$在点x的下局部维数，

${\dim }_{\text{H}}{\Pi }_{*}\eta :=\sup \left\{s\ge 0|\underset{r\downarrow 0}{{\displaystyle \lim \inf }}\frac{\log {\Pi }_{*}\eta B\left(x,r\right)}{\log r}\ge s对{\Pi }_{*}\eta \text{a}\text{.e}\text{.}x\in \Lambda \right\}$

是测度 ${\Pi }_{*}\eta$的Hausdorff维数，这部分内容读者可参看Falconer的专著 [19] 的第10章。注意到 ${\rm H}\left(\Phi \right)\supseteq \Pi M$且 $\eta$支撑在M上，故有

${\dim }_{\text{H}}{\rm H}\left(\Phi \right)\ge {\dim }_{\text{H}}\Pi M\ge {\dim }_{\text{H}}{\Pi }_{*}\eta \ge \min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{h\left(\nu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\nu ,\sigma \right)}\right\}$.

引理5得证。下面证明式(11)成立。

固定 $\omega \in M$，先估计 $D_n\left(\omega \right)$的下界。当i为奇数时，令 ${\tau }_i=\mu$，当i为偶数时，令 ${\tau }_i=\nu$。注意到 $D_n\left(\omega \right)={\text{e}}^{-n{\hat{\lambda }}_n\left(\omega \right)}$，下面估计 ${\hat{\lambda }}_n\left(\omega \right)$。利用式(1)，(4)，(2)和(5)，(6)，(8)，直接计算可得

$n{\hat{\lambda }}_n\left(\omega \right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(\lambda \left({\tau }_i,\sigma \right)+4{\epsilon }_i^{*}\right)}+l_{J\left(n\right)+1}^{*}\left(\Vert g\Vert +{\epsilon }_{J\left(n\right)}^{*}\right):=\rho \left(n\right)$.

易见 $\rho \left(n\right)$是单调递增的，而且有 $D_n\left(\omega \right)\ge {\text{e}}^{-\rho \left(n\right)}$。

现在固定 $x\in \Pi M$和小的实数 $r>0$，则存在唯一 $n=n\left(r\right)$，使得

${\text{e}}^{-\rho \left(n+1\right)}\le r<{\text{e}}^{-\rho \left(n\right)}$(12)

回顾对 $\omega \in \Sigma$， $I_n\left(\omega \right)=T_{{\omega }_1}\circ T_{{\omega }_2}\circ \cdots \circ T_{{\omega }_n}\left(I\right)$，令

$C:=\left\{I_n\left(\omega \right)|\omega \in M且I_n\left(\omega \right)\cap B\left(x,r\right)\ne \varnothing \right\}$.

由 $D_n\left(\omega \right)\ge {\text{e}}^{-\rho \left(n\right)}$可知C至多含有3个元素。任取 $\omega \in M$满足 $I_n\left(\omega \right)\in C$，则 $\omega {|}_n=w_1{w}_2\cdots w_{J\left(n\right)}v$，其中，v是 ${\Sigma }^{*}\left(J\left(n\right)+1\right)$中元素 $\hat{v}$的前缀，则有

$\begin{array}{c}{\Pi }_{*}\eta \left(I_n\left(\omega \right)\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\prod }}\frac{{\eta }_i^{*}\left(\left[w_i\right]\right)}{{\eta }_i^{*}\left({\Omega }^{*}\left(i\right)\right)}\cdot \frac{{\eta }_{J\left(n\right)+1}^{*}\left(\left[v\right]\right)}{{\eta }_{J\left(n\right)+1}^{*}\left({\Omega }^{*}\left(J\left(n\right)+1\right)\right)}}\\ \le {\left(1-\delta \right)}^{-J\left(n\right)-1}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\prod }}{\eta }_i^{*}\left(\left[w_i\right]\right)}\end{array}$.

故有

$\begin{array}{c}\log {\Pi }_{*}\eta \left(B\left(x,r\right)\right)\le -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(-\frac{\log {\eta }_i^{*}\left(\left[w_i\right]\right)}{l_i^{*}}\right)}-\left(J\left(n\right)+1\right)\log \left(1-\delta \right)+\log 3\\ \le -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(h\left({\tau }_i,\sigma \right)-2{\epsilon }_i^{*}\right)}-\left(J\left(n\right)+1\right)\log \left(1-\delta \right)+\log 3\end{array}$.

其中第2个不等式利用了(2)，(4)和(6)，(8)。由(12)式，同时注意到 $r\to 0$当且仅当 $n\to \infty$，则有

$\begin{array}{c}\underset{r\downarrow 0}{\lim \inf }\frac{\log {\Pi }_{*}\eta \left(B\left(x,r\right)\right)}{\log r}\ge \underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(h\left({\tau }_i,\sigma \right)-2{\epsilon }_i^{*}\right)+\left(J\left(n\right)+1\right)\log \left(1-\delta \right)-\log 3}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n+1\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(\lambda \left({\tau }_i,\sigma \right)+4{\epsilon }_i^{*}\right)}+l_{J\left(n+1\right)+1}^{*}\left(\Vert g\Vert +{\epsilon }_{J\left(n+1\right)+1}^{*}\right)}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(h\left({\tau }_i,\sigma \right)-2{\epsilon }_i^{*}\right)}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(\lambda \left({\tau }_i,\sigma \right)+4{\epsilon }_i^{*}\right)}}\\ \ge \underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(\lambda \left({\tau }_i,\sigma \right)+4{\epsilon }_i^{*}\right)\min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)-2{\epsilon }_i^{*}}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)+4{\epsilon }_i^{*}},\frac{h\left(\nu ,\sigma \right)-2{\epsilon }_i^{*}}{\lambda \left(\nu ,\sigma \right)+4{\epsilon }_i^{*}}\right\}}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{J\left(n\right)}{\sum }}{l}_i^{*}\left(\lambda \left({\tau }_i,\sigma \right)+4{\epsilon }_i^{*}\right)}}\\ \ge \min \left\{\frac{h\left(\mu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\mu ,\sigma \right)},\frac{h\left(\nu ,\sigma \right)}{\lambda \left(\nu ,\sigma \right)}\right\}\end{array}$

其中等号利用了式(9)和(10)，最后一个不等式利用了下述事实：

设 ${\left(a_n\right)}_{n=1}^{\infty }$， ${\left(b_n\right)}_{n=1}^{\infty }$和是两个正实数序列，则有

$\underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_k}}{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{b}_k}}\ge \underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{a_n}{b_n}$.

(11)式得证。

基金项目

河南省高等学校重点科研项目，项目编号：18A110007；安阳师范学院科研培育基金，项目编号：AYNUKP-2017-B21。

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