本研究的重点是优化地铁轴辐式配送网络中的关键节点。这些节点的主要职责是中转应急物资，因此必须具备较高的转运能力。为此，我们设计了一个评价模型，旨在从城市现有的地铁站点中挑选出转运能力较强的站点，作为候选轴点，并将其应用于模型的求解过程中。

在地铁网络构建中，我们将物资枢纽点和地铁站点定义为网络的节点，而相邻两地铁站点之间的线路则构成了网络中的边。网络本身被抽象为一个无向图模型，用 $G=\left\{R,I,L,E,A\right\}$表示。其中：R表示网络中物资枢纽点的集合，r表示物资枢纽点， $r=1,2,\cdots ,M$；I表示网络中地铁站点的集合，i表示地铁站点， $i=1,2,\cdots ,N$；L表示网络中地铁线路的集合， $l_i$示地铁站点i拥有的地铁线路；E表示网络中边的集合， $e_{ij}$表示相邻节站点i和j之间的边， $i\ne j$； $A={\left(a_{ij}\right)}_{N\times N}$表示网络的邻接矩阵，如果地铁站点i和j相连，则 $a_{ij}=1$，否则 $a_{ij}=0$。

本研究的重点是优化地铁轴辐式配送网络中的关键节点。这些节点的主要职责是中转应急物资，因此必须具备较高的转运能力。为此，我们设计了一个评价模型，旨在从城市现有的地铁站点中挑选出转运能力较强的站点，作为候选轴点，并将其应用于模型的求解过程中。

本文主要选用度中心性、迭代因子以及局部聚集系数三个节点转运能力评价指标。

(1) 度中心性

度中心性 $D{C}_i$是体现节点重要性的最直观指标，可以定义为地铁节点 $v_i$的实际度值与其可能存在的最大度值的比值。 $D{C}_i$越大，意味着地铁节点 $v_i$对外有连接关系的节点越多，因而就越重要。若以 $d_i$表示地铁拓扑网络 $G=\left\{V,E,A\right\}$中节点 $v_i$的度值，则

$D{C}_i=\frac{d_i}{\left(N-1\right)}$(1)

(2) 迭代因子

相较于K-shell，用迭代因子对节点进行分层能够使得网络层次更加清晰。通过设置迭代因子的初始值IT = 1，将度数最小的节点从网络中移除，这些被移除的节点属于图结构的第一层，然后在本次迭代中被删除节点的迭代因子IT = 1。随后IT值增加1，再次删除图中度最小节点，将在本次迭代中被删除节点的IT = 2。重复这个过程，直到图中没有剩余节点。在每次迭代中，IT的值都会加1并分配给在此阶段中被删除的节点。

IT值指标对网络中的节点进行了层次划分，IT值越大表明节点越靠近网络中心，节点失效时对网络造成影响程度越大。

(3) 局部聚集系数

一个顶点 $v_i$的局部集聚系数 $C\left(i\right)$等于所有与它相连的顶点之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。

一个顶点 $v_i$的局部集聚系数 $C\left(i\right)$等于所有与它相连的顶点之间所连的边的数量，除以这些顶点之间可以连出的最大边数。

本文采用改进的基于熵权TOPSIS方法考虑上面提到的四个评价指标对地铁站的转运能力进行综合评价和排序。TOPSIS模型称为“逼近理想解排序方法”，可根据目标与理想解的接近程度对目标重要性进行评价：若目标最接近正理想解而最远离负理想解，则该目标为最优目标，反之亦然。具体步骤如下：

(1) 构建标准化决策矩阵

假设有N个评价对象和K个评价指标。评价对象集合为 $V=\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_N\right\}$，评价指标集合为 $F=\left\{f_1,f_2,\cdots ,f_K\right\}$， $v_i\left(f_k\right)$表示第i个站点的第k个指标值，构建的决策矩阵可以表示为：

$P=\left[\begin{array}{cccc}{v}_1\left(f_1\right)& v_1\left(f_2\right)& \cdots & v_1\left(f_K\right)\\ v_2\left(f_1\right)& v_2\left(f_2\right)& \cdots & v_2\left(f_K\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ v_N\left(f_1\right)& v_N\left(f_2\right)& \cdots & v_N\left(f_K\right)\end{array}\right]$(2)

对矩阵进行标准化处理：

$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1K}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2K}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{N1}& z_{N2}& \cdots & z_{NK}\end{array}\right]$(3)

此时，

$z_{ik}=\frac{v_i\left(f_k\right)}{\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{v}_i{\left(f_k\right)}^2}}}$(4)

(2) 熵权法确定指标权重

首先计算指标的熵权值。

$E_k=-\frac{1}{{\ln }_n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_{ik}\ln p_{ik}},k=1,2,\cdots ,K$(5)

其中，

$p_{ik}=\frac{z_{ik}}{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{z}_{ik}}}$(6)

指标的权重值可以表示为：

$w_k=\frac{1-E_k}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^K\left(1-E_k\right)}}$(7)

最后定义标准化的加权决策矩阵：

$R=r_{ik}=w_k{z}_{ik}=\left[\begin{array}{cccc}{w}_1{z}_{11}& w_2{z}_{12}& \cdots & w_K{z}_{{}_{1K}}\\ w_1{z}_{21}& w_2{z}_{22}& \cdots & w_K{z}_{2K}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w_1{z}_{N1}& w_2{z}_{N2}& \cdots & w_K{z}_{NK}\end{array}\right]$(8)

(3) 根据加权决策矩阵，确定正理想解和负理想解。

$V^{+}=\left(r_1^{+},\cdots ,r_k^{+},\cdots ,r_K^{+}\right)$(9)

$V^{-}=\left(r_1^{-},\cdots ,r_k^{-},\cdots ,r_K^{-}\right)$(10)

其中 $V^{+}$是正理想解集合， $V^{-}$是负理想解的集合。 $v_k^{+}=\max \left\{r_{ik}|1\le i\le N\right\}$， $v_k^{-}=\min \left\{r_{ik}|1\le i\le N\right\}$。

(4) 度量站点到正负理想解的距离。

$S_i^{+}=\sqrt{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{\left(r_{ik}-r_k^{+}\right)}^2}}$(11)

$S_i^{-}=\sqrt{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{\left(r_{ik}-r_k^{-}\right)}^2}}$(12)

(5) 根据评价对象到正负理想解的距离，计算评价对象与理想方案的接近程度。

$C_{}^{\ast }=\frac{S_i^{-}}{S_i^{+}+S_i^{-}},i=1,2,\cdots ,n$(13)

$C_{}^{\ast }$的值在0到1之间，其值越接近1，与正理想解的距离越近，说明站点i转运能力越强。

针对城市地铁站点的服务半径及承载能力，在进行辐点布局时，需要同时兼顾容量与距离两方面的限制。在建立最大辐点覆盖模型前，为确保该模型的合理性与有效性，我们将对该模型进行如下假定：

(1) 利用街道人口资料，推算需求点的需求，并求出应急物资包数量。

(2) 对于由评估结果所决定的候选轴点以及枢纽点，并未将其视为候选辐点。

(3) 辐点仅为需要点提供服务。

表1 总结了最大覆盖模型中所用到的符号及其定义。

建立考虑容量约束和距离约束的最大覆盖模型：

$\max {\displaystyle \underset{s\in S}{\sum }{\displaystyle \underset{r\in R}{\sum }{Q}_r{v}_{sr}}}$(14)

$s.t.{\displaystyle \underset{s\in S}{\sum }{v}_{sr}\le 1,\forall r\in R}$(15)

${\displaystyle \underset{s\in S}{\sum }{w}_s=n}$(16)

$v_{sr}\le w_s,\forall s\in S,r\in R$(17)

$d_{rs}\le D,\forall s\in S,r\in R$(18)

${\displaystyle \underset{r\in R}{\sum }{Q}_r{v}_{sr}\le Q_s^{cap}},\forall s\in S$(19)

$v_{sr}\in \left\{0,1\right\},\forall s\in S,r\in R$(20)

$w_s\in \left\{0,1\right\},s\in S$(21)

目标函数(14)表示最大化辐点能够满足的需求量。约束(15)确保每个需求点只能分配给一个辐点。约束(16)表示计划选择的辐点数量。约束(17)表示需求点只能由被选择的辐点服务。约束(18)表示辐点只能服务其覆盖半径内的需求点。约束(19)表示辐点服务的需求点的需求量不能超过辐点的最大处理能力。约束(20)和约束(21)表示决策变量为0~1变量。

本部分的研究目标是通过合理的轴点选址和路径优化相结合，利用现有的地铁网络资源，构建一个既快速又高效的应急物资配送模型，该模型将充分考虑地铁网络的特性，优化物资配送路径，以最小化总配送时间和辐点物资需求最大化最小满足率为双目标，确保在紧急情况下能够迅速地将应急物资送达到每一个需要的人手中，最终得出城市地铁系统的轴辐式配送网络优化设计方案。

表2 总结了双目标模型中所用到的符号及其定义：

最小化总配送时间：

$\min T={\displaystyle \underset{d\in D}{\sum }\left[{\displaystyle \underset{e\in E}{\sum }{Y}_{ed}{T}_e+{\displaystyle \underset{a\in A}{\sum }{\displaystyle \underset{i,j\in L}{\sum }{X}_{ad}{Z}_{l_{i}a{l}_j}\frac{{\displaystyle \underset{p\in P}{\sum }{q}_{pa}}}{T_t}}}}\right]}$(22)

辐点物资需求最大化最小满足率：

$\underset{q_{ad}}{\max }\left\{\underset{d}{\min }\left[\frac{{\displaystyle \underset{a\in A}{\sum }{q}_{ad}}}{V_d}\right]\right\},d\in D$(23)

约束：

${\displaystyle \underset{p\in P}{\sum }{q}_{pa}}\le ca{p}_a,p\in P,a\in A$(24)

${\displaystyle \underset{a\in A}{\sum }{q}_{ad}}\le V_d,d\in D,a\in A$(25)

${\displaystyle \underset{p\in P}{\sum }{q}_{pa}={\displaystyle \underset{d\in D}{\sum }{q}_{ad}}},a\in A$(26)

$Y_{ed},X_{ad},Z_{iaj}\in \left\{0,1\right\},\forall a,d,e,i,j$(27)

目标函数(22)表示应急物资从枢纽点出发，通过轴点至辐点的最小化总配送时间。该目标反映了对应急响应时间敏感性的考量，意图通过优化物资配送路径，减少物资在传输过程中的时间消耗，包括地铁网络内的配送时间以及站内的中转时间。此目标凸显了快速响应在应急物资配送中的核心价值。目标函数(23)第二目标函数旨在优化辐点的物资需求满足程度，通过最大化最小满足率确保所有辐点在紧急情况下至少获得基本需求量的物资配送。该目标体现了公平性原则，旨在保障资源在各辐点间的合理分配，特别是在资源紧张的应急情况下。约束(24)保证每个轴点通过的物资总量不超过其预设的容量限制，以避免超负荷运营，确保物资配送系统的稳定性和可靠性。约束(25)确保每个辐点接收的物资量至少能满足其最基本的需求，同时不造成辐点对物资需求的溢出，以实现对受影响区域有效支援，确保应急响应的有效性。约束(26)确保每个轴点的物资量进出相等，即从枢纽点运输到该轴点的物资量等于从该轴点运输到辐点的物资量。约束(27)表示决策变量为0~1变量。

在进行应急物资配送轴点选址和路径优化的研究中，本文利用第三代非支配排序遗传算法(NSGA-III)探索了双目标函数的帕累托最优解集，以达到优化地铁物流配送路径和应急物资分配的目的。本研究不仅优化了地铁物流的配送路径和应急物资的分配问题，而且在选择候选中转轴点方面也取得了显著的成效。NSGA-III的应用不仅证明了其在处理复杂优化问题方面的有效性，同时也为地铁物流系统的优化提供了有力的支持。

首先，研究区域包括上海292个地铁站。各个地铁站点评价对象的集合为 $U=\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_{292}\right\}$。为了全面衡量这些地铁站的转运能力，本文引入了3项评价指标构成的评价指标集合为 $F=\left\{f_1,f_2,f_3\right\}=\left\{DC,IT,C\left(i\right)\right\}$。接下来，利用Python计算每个地铁站在各个中心性评价指标上的数值，并采用基于熵权法的TOPSIS方法确定各评价指标的权重值 $W=\left[W_{DC\left(i\right)},W_{IT\left(i\right)},W_{C\left(i\right)},\right]=\left[0.231,0.692,0.077\right]$，进而依据 $C_{}^{\ast }$值对地铁站点进行排序。

图2 展示了地铁站点 $C_{}^{\ast }$值与其前41个排名之间的关系，表明排名越靠前的站点其转运能力越强。从 图2 中可以观察到，相较于其他站点，被红色框标注的12个站点的值分布更分散，并且这些站点之间的差距大于其他节点之间的差距。由于这12个站点展现出更强的转运能力，因此，这些站点最适合作为中转轴点进行应急物资转运工作。基于此，本研究选定这12个站点作为候选轴点，并在模型求解的后续过程中对其进行进一步分析。 表3 列出了这些候选轴点及其相应的评价指标值，为后续模型求解提供了基础数据。

在本研究中，需求数据的估算基于上海伴城数据科技有限公司提供的居民人口信息。根据上海市统计局2023年发布的数据，上海市外环以内的常住人口为1188.12万。假设一件标准应急物资包能够满足一户三口之家的需求，由此推算，上海市的应急物资包需求总量约为396.04万件。需求点为街道的地理坐标，需求量根据各街道的人口数据计算，可通过地图服务查询到各街道的具体位置，共计107个需求点。

通过上海市数字地图及ArcGIS 10.6软件中的网络分析模块，本文详细计算了地铁站与需求点之间、以及各地铁站点间的实际运输距离，并基于上海地铁的实际线路网络数据进行分析。为了准确估计地铁节点间的配送时间，地铁运行速度设定为80 km/小时。此外，为合理确定辐点的最大覆盖半径，本研究将107个需求点分配至就近的地铁站点，其中需求点至其分配地铁站的最大距离为2.98 km，据此将辐点的最大覆盖半径设定为3 km。为了确保地铁辐点能够均衡服务需求点，并平衡轴点的转运能力，本研究定义了轴点与辐点的最大处理能力。通过需求点的就近分配，共确定了90个地铁站点能够覆盖所有需求点，并计算出各站点所需配送的应急物资包数量，选择其中的最大值作为辐点的最大处理能力标准。轴点的最大处理能力则基于地铁站点的最大度值计算得出。

利用Python软件，本研究求解了辐点最大覆盖模型，并在特定容量与距离约束条件下，比较了不同数量辐点的需求点覆盖率。 表4 详细记录了在最大覆盖情况下，覆盖需求点的应急物资包数量及覆盖率，为评估上海地铁网络在应急物资配送方面的潜力提供了科学依据。

根据 表4 所展示的数据分析结果，选取的辐点数量在29至36个范围内时，覆盖的总物资量随辐点数量的增加而显著提升。当辐点数量调整至36个时，可实现对需求点的全覆盖，覆盖率达到了100%。这一结果表明，选定36个辐点作为地铁网络内的末端运输站点，能够确保所有需求点都能被有效服务，实现了应急物资配送网络的最大化覆盖。本研究最终确定以36个辐点构建上海地铁网络的末端运输站。

在有容量约束和距离约束的情况下，通过最大覆盖模型求得的36个辐点位置与107个需求点的分配关系如 图3 所示。

在进行应急物资配送轴点选址和路径优化的研究中，本文利用第三代非支配排序遗传算法(NSGA-III)探索了双目标函数的帕累托最优解集，帕累托最优解集如 图4 所示。

在双目标函数求解的过程中，通过改变参数轴点中转能力和轴点容量的值，分析这两个方面在地铁轴辐式应急配送网络中对双目标函数变化的敏感性。

(1) 调整参数轴点中转能力：本研究的中转能力为每小时中转40万件物资，对中转能力另取九个值进行对比分析，分别为每小时中转20万件、25万件、30万件、35万件、45万件、50万件、55万件、60万件、65万件物资。

从 图5 可知，随着转运能力的增强，配送时间普遍显示出下降的趋势，这一规律在各个满足率阶段均表现明显，凸显了提高转运能力在缩短配送时间方面的关键作用。尤其在低至中等满足率区间，配送时间随着转运能力的提升而降低的现象更为一致和显著。然而，在满足率最高达到81%的情形下，尽管配送时间随转运能力提高而减少的总体趋势保持不变，与低满足率相比，其下降速率呈现出轻微的变化。这一差异暗示在面临高需求时，配送时间可能受到其他因素如路线优化和配送方式选择的更为显著影响。进一步观察发现，在转运能力从500,000提升至650,000的区间，配送时间的减少幅度呈现出减缓趋势，这一现象揭示了边际效益递减的规律。这表明，尽管提升转运能力能有效缩短配送时间，但当转运能力提高至某一阶段后，其带来的额外收益将会逐步降低。

(2) 调整参数轴点容量：本研究的轴点容量为40万件物资，对轴点容量另取四个值进行对比分析，分别为20万件、25万件、30万件、35万件物资。

从 图6 可知，在较低的满足率67%、71%、77%阶段，配送时间随轴点容量的增加无变化，说明在这些特定的满足率水平下，提升轴点容量对于缩短总体配送时间的贡献有限。然而，在满足率达到最高值81%的情形下，随着轴点容量的扩增，配送时间呈现出下降趋势。这一现象揭示，在较高需求水平下，增加轴点容量能显著地减少配送时间。这种差异可能源于在高满足率条件下，轴点容量的增加直接影响配送效率，成为制约因素之一；而在较低满足率条件下，轴点容量的影响则较为有限。