SK-means算法思想是：首先构造包含所有样本点的最小d维多面体，记该多面体体积为 $V_S$，用一个体积为 $V_S/k$(k为类簇数)的d维正多面体从包含所有样本点的最小d维多面体的一角出发，以一定步长遍历上述d维多面体，在各个较小的正多面体中找出k个密度最大的初始点作为初始簇心。

设 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$为一组d维数据集，样本 $x_i=\left(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{id}\right)$，记 ${\alpha }_i=\inf \left\{x_{1i},x_{2i},\cdots ,x_{ni}\right\}$， ${\beta }_i=\sup \left\{x_{1i},x_{2i},\cdots ,x_{ni}\right\}$。称包含数据集X中所有样本的最小d维多面体

$S=\left[{\alpha }_1,{\beta }_1\right]\times \left[{\alpha }_2,{\beta }_2\right]\times \cdots \times \left[{\alpha }_d,{\beta }_d\right]=\underset{i=1}{\overset{d}{\times }}\left[{\alpha }_i,{\beta }_i\right]$(4)

为容纳空间，则容纳空间体积 $V_S={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{d}{\prod }}\left({\beta }_i-{\alpha }_i\right)}$。

定义2 设 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$为一组维度为d的数据集，数据集X的容纳空间 $S=\underset{i=1}{\overset{d}{\times }}\left[{\alpha }_i,{\beta }_i\right]$，称 $S\left(l_1,l_2,\cdots ,l_d\right)=\underset{i=1}{\overset{d}{\times }}\left[{\alpha }_i+l_{i}b,{\alpha }_i+l_{i}b+a\right)$是索引指标为 $\left(l_1,l_2,\cdots ,l_d\right)$的棱空间，其中棱长 $a=\sqrt[d]{V_S/k}$，k为类簇数，步长 $b=\frac{a}{2}$， $l_i\in \left\{0,1,2,\cdots ,m_i\right\}$， $m_i=\left[\frac{{\beta }_i-{\alpha }_i}{b}\right]$。

例1 考虑一组2维数据集 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_{16}\right\}$(见 表1 )，类簇数 $k=4$。显然 ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$， ${\beta }_1={\beta }_2=10$，容纳空间 $S=\left[0,10\right]\times \left[0,10\right]$且 $V_S=100$，边长 $a=\sqrt{V_S/k}=5$，步长 $b=2.5$，所有的棱空间见 表2 。

由于各棱空间的位置明确，易得各棱空间所包含的样本点及包含的样本点数量。记 $S\left(l_1,l_2,\cdots ,l_d\right)$包含的样本点数量为 $n\left(l_1,l_2,\cdots ,l_d\right)$，包含样本点数量最多的棱空间的索引指标集合为 $M_p=\arg \underset{\begin{array}{c}{l}_i\in \left\{0,1,2,\cdots ,m_i\right\}\\ i=1,2,\cdots ,d\end{array}}{\max }\left(n\left(l_1,l_2,\cdots ,l_d\right)\right)$，显然 $\left|M_p\right|\ge 1$。只需找到索引指标在 $M_p$的棱空间中密度最大的样本点即可，样本点密度定义为一定范围内样本点的个数与数据集大小的比值。

定义3 设 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$为一组d维的数据集，样本 $x_i=\left(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{id}\right)\in S\left(\gamma \right)$， $n\left(\gamma \right)$为 $S\left(\gamma \right)$的样本数量， $M_p$为包含样本点数量最多的棱空间的索引指标集合，阈值半径为

$R=\frac{1}{\left|M_p\right|}{\displaystyle \underset{\gamma \in M_p}{\sum }\frac{1}{C_{n\left(\gamma \right)}^2}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}{x}_i,x_j\in S\left(\gamma \right)\\ 0\le i<j\le n\left(\gamma \right)\end{array}}{\sum }dist\left(x_i,x_j\right)}}$，(5)

样本 $x_i$在 $S\left(\gamma \right)$中的R邻域样本集为

$U\left(x_i,R|S\left(\gamma \right)\right)=\left\{x_j\in S\left(\gamma \right)|dist\left(x_i,x_j\right)\le R\right\}$，(6)

样本 $x_i$在 $S\left(\gamma \right)$中的密度为

$\rho \left(x_i|S\left(\gamma \right)\right)=\frac{\left|U\left(x_i,R|S\left(\gamma \right)\right)\right|}{\left|X\right|}$。(7)

在得到包含样本点数量最多的棱空间后，需要在这些棱空间中找到密度最大的点。设 $\gamma$为棱空间索引指标，记 $S\left(\gamma \right)$中密度最大的样本点集合为 $M_a\left(\gamma \right)=\arg \underset{x_i\in S\left(\gamma \right)}{\max }\left(\rho \left(x_i|S\left(\gamma \right)\right)\right)$，则 $\left|M_a\left(\gamma \right)\right|\ge 1$。考虑到 $\left|M_p\right|\ge 1$， $\left|M_a\left(\gamma \right)\right|\ge 1$，即密度最大的样本点可能不唯一。需要进一步细化算法，挑选出更为紧凑的样本点。

定义4 设 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$为一组维度为d的数据集， $M_p$为包含样本点数量最多的棱空间的索引指标集合， $U\left(x,R|\gamma \right)$为x在 $S\left(\gamma \right)$中的R邻域样本集。 $\forall \gamma \in M_p$， $\forall x\in S\left(\gamma \right)$，x在 $S\left(\gamma \right)$中的紧凑度为

$com\left(x|\gamma \right)=\frac{{\displaystyle \underset{x_i\in U\left(x,R|\gamma \right)\backslash \left\{x\right\}}{\sum }dist\left(x_i,x\right)}}{\left|U\left(x,R|\gamma \right)\right|-1}$(8)

紧凑度定义为样本周围的点到自身距离的平均值，紧凑度越小，反映了周围点到该点的距离越小，该点越紧凑。记 ${\mu }_i^0=\arg \underset{\begin{array}{c}x\in M_a\left(\gamma \right)\\ \gamma \in M_p\end{array}}{\min }com\left(x|\gamma \right)$为挑选出的第i个初始簇心，为了使得第 $i+1$个初始簇心不在已经挑选出的簇心周围，需要对样本点进行剔除。在挑选出样本点后，将 $U\left({\mu }_i^0,R|S\left(\gamma \right)\right)$从X中剔除，从 $X\backslash U\left({\mu }_i^0,R|S\left(\gamma \right)\right)$中重复统计棱空间样本点数量、计算样本点密度、挑选初始点及剔除样本点，直至选出k个初始簇心。

SK-means算法避开了计算所有样本点两两之间的距离，只在个别棱空间计算部分样本点的密度。在降低计算量的同时，又细化了算法，解决了密度最大的样本点同时存在只能随机挑选的问题。下面给出SK-means初始簇心选取算法的具体步骤。在已经挑选出的簇心周围，需要对样本点进行剔除。在挑选出样本点后，将 $U\left({\mu }_i^0,R|S\left(\gamma \right)\right)$从X中剔除，从 $X\backslash U\left({\mu }_i^0,R|S\left(\gamma \right)\right)$中重复统计棱空间样本点数量、计算样本点密度、挑选初始点及剔除样本点，直至选出k个初始簇心。

实验设备的处理器是12th Gen Intel(R) Core(TM) i5-12450H 2.00 GHz，内存为16.0 GB，Microsoft Windows11的操作系统，系统类型为64位操作系统，基于x64的处理器，算法编写和编译是在Python3.12.2环境下实现的。

为了验证本文算法对降低聚类迭代次数的有效性，本文选取了UCI数据库中的Iris等十二个数据集来进行实验分析。这些数据集的维度从几维到十几维不等，数据量也比较广泛，从而反映出SK-means算法有一定的适用性。具体数据集及基本信息见 表3 。

为了验证所提算法在聚类分析上的有效性，采用三个指标来评价算法，分别为准确率(ACC)、平方误差(SSE)、轮廓指数 [30] (SI)。准确率是指预测正确的样本个数与总个数的比值，其值位于[0, 1]，值越大则表示聚类效果越接近真实聚类结果。平方误差为各点到所属簇簇心的距离平方和，值越小反映出簇越集中。若某个样本 $x_i\in C_j$，则 $x_i$的轮廓系数为

$S\left(x_i\right)=\frac{b\left(x_i\right)-a\left(x_i\right)}{\max \left\{a\left(x_i\right),b\left(x_i\right)\right\}}$(9)

其中 $a\left(x_i\right)=\frac{1}{\left|C_j\right|-1}{\displaystyle \underset{x_l\in C_j,l\ne i}{\sum }dist\left(x_i,x_l\right)}$， $b\left(x_i\right)=\underset{t\ne j}{\min }\frac{1}{\left|C_t\right|}{\displaystyle \underset{x_l\in C_t}{\sum }dist\left(x_i,x_l\right)}$。则整个聚类结果的轮廓指数为

$\text{SI}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}s\left(x_i\right)}$(10)

轮廓指数的取值范围为 $\left[-1,1\right]$，取值越大聚类结果越紧凑，聚类效果越好。

为了验证SK-means算法在降低迭代次数和提高聚类准确性方面是否有效，本文将SK-means算法与传统K-means、K-means++聚类算法，与文献 [24] 提出的算法在不同方面进行对比。由于传统的K-means和K-means++对初始簇心的选取都具有一定随机性，造成了迭代次数与准确率不稳定，于是本文对每个数据集都做了100次实验，取平均值作为传统K-means和K-means++的代表。实验结果见 表3 。与文献 [24] 对比的实验结果见于 表4 。考虑到表格容量，表格内数值仅保留了前几位。在各方面实数值的比较中，效果较好的算法所对应的数值已在表格内加粗。

表4 为SK-means算法与传统K-means、K-means++在准确率、SSE及迭代次数的比较。对比发现SK-means算法在大部分数据集有着较好的聚类结果。SK-means算法在所有数据集的准确率相较于传统K-means和K-means++均有提升、SSE和迭代次数除在极个别数据集略有增加，其余均有降低。 表6 为SK-means算法在6个数据集与K-means、K-means++及文献 [24] 的比较。对比发现SK-means的准确率在6个数据集均最优，而轮廓系数较文献 [24] 效果稍差。

为了更直观的展示SK-means算法的聚类效果，将Iris数据集前2维分别用K-means、K-means++聚类，得到效果如 图1 。

图1. Iris数据集三种算法的聚类效果

图中相同的颜色的样本点为一类，叉号为最终聚类簇心。可以看到K-means算法将右下角都聚为一类，左上角分为两类。Iris数据集真实标签为三类均分，每个簇各有50个样本点。就数量而言，K-means算法聚类效果不佳。而K-means++和SK-means算法效果相似，但SK-means算法迭代次数更少且准确率更高。

由 表4 可知，与传统K-means聚类算法和K-means++算法相比，改进的算法准确率均有相应的提升，且在大多数数据集提高明显。特别是LED数据集，相较于传统K-means聚类算法和K-means++算法准确率分别提高了15.4%、37.4%。在降低SSE和迭代次数方面，SK-means算法在大部分数据集都有起到一定的作用。但在Wine等数据集本文在提升准确率的情况下，改进的算法迭代次数与K-means++算法相比略有逊色。分析发现这些数据集某些维度数据范围过大，造成每个点R范围内样本点个数都比较少，不易比较哪个点更适合作为初始簇心。于是该算法对于样本点稀疏的数据集可能会造成迭代次数增加。由 表4 可知SK-means算法在大多数数据集轮廓指数高于K-means、K-means++，且准确率相较于文献 [24] 提出的算法均有提高。