在生态种群动力学的研究中，诸如种群的数量变化、渐近传播以及物种入侵等问题都可以通过建立合适的反应扩散方程模型来进行研究 [1] - [5] 。许多应用数学学者 [6] - [13] 利用反应扩散方程来描述环境变化对物种持续性的影响。特别地，Li等人 [6] 建立如下反应扩散方程

$\frac{\partial u\left(t,x\right)}{\partial t}=d\frac{{\partial }^{2}u\left(t,x\right)}{\partial x^2}+u\left(t,x\right)\left[r\left(x-ct\right)-u\left(t,x\right)\right],t>0,x\in ℝ,$(1)

来研究在气候变化的影响下物种在移动栖息地灭绝和持久生存的条件以及渐近传播速度。其中 $u\left(t,x\right)$表示种群在时间t位置x的密度大小，常数 $d>0$表示种群扩散系数， $r(\cdot )$表示内禀增长率函数，以速度 $c>0$变化。Li等人假设 $r(\cdot )$满足非减连续且 $r\left(-\infty \right)<0<r\left(+\infty \right)$的条件。Hu和Zou [8] 证明了对任意给定的 $c>0$，方程(1)均存在一个连接0和 $r\left(+\infty \right)$的非减受迫行波 $u\left(t,x\right)=\phi \left(x-ct\right)$。其中，受迫行波是指其波速与环境移动速度c相同的波。Berestycki和Fang [9] 考虑了方程(1)中的反应项为 $f\left(x-ct,u\right)$的情形，运用PDE的理论方法证明了强迫行波的完全存在性和多重性以及它们的吸引性，并考虑了行波在 $+\infty$处的衰减速度。Yang等人 [12] 还讨论了气候变化下局部扩散Lotka-Volterra合作系统受迫行波的存在性及其渐近行为。此外，Hu等人 [13] 把内禀增长率函数的条件减弱为： $r(\cdot )$非减连续且满足 $r\left(-\infty \right)\le 0<r\left(+\infty \right)$，并研究了移动环境下非局部扩散Lotka-Volterra型合作系统的受迫行波的存在性。

受上述研究工作的启发，我们将探讨种群受气候变化影响较弱或种群栖息地环境轻微恶化的情形下局部扩散Fisher-KPP方程受迫行波的存在性及其渐近行为，且假设如下条件成立：

(A1) 函数 $r(\cdot )$在 $ℝ$上非减有界且连续，并满足 $r\left(+\infty \right)>r\left(-\infty \right)>0$。

(A2) 函数 $r(\cdot )$在 $ℝ$上连续可微，且 $r^{\prime }\left(\pm \infty \right)$存在。

首先将方程(1)的受迫行波解记作 $\phi \left(\xi \right),\xi :=x-ct$。那么，方程(1)可转化为如下非自治常微分方程

$-c{\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=d{\phi }^{″}\left(\xi \right)+\phi \left(\xi \right)\left[r\left(\xi \right)-\phi \left(\xi \right)\right].$(2)

此外，方程(2)对应的极限方程分别为

$-c{\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=d{\phi }^{″}\left(\xi \right)+\phi \left(\xi \right)\left[r\left(+\infty \right)-\phi \left(\xi \right)\right]$(3)

和

$-c{\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=d{\phi }^{″}\left(\xi \right)+\phi \left(\xi \right)\left[r\left(-\infty \right)-\phi \left(\xi \right)\right]$(4)

注意到 $r\left(+\infty \right)>r\left(-\infty \right)>0$，那么极限方程(3)和(4)分别有正平衡点 $r\left(+\infty \right)$和 $r\left(-\infty \right)$。因此，我们将考虑连接两个正平衡点之间行波的存在性，即探讨对任意 $c>0$方程(2)是否存在满足边界条件

$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\phi \left(\xi \right)=r\left(-\infty \right),\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\phi \left(\xi \right)=r\left(+\infty \right)$(5)

的非减的解。又由于 $r\left(-\infty \right)>0$，我们还将在一定条件下探寻方程(2)满足边界条件

$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\phi \left(\xi \right)=r\left(-\infty \right),\underset{\xi \to +\infty }{\lim }\phi \left(\xi \right)=0$(6)

的非负解。为达到研究目的，我们还需要如下假设条件：

(A*) 存在常数 $\rho >0$使得当 $\xi \to +\infty$时 $r\left(+\infty \right)-r\left(\xi \right)=o\left({\text{e}}^{-\rho \xi }\right)$成立。

我们的研究结果将表明在种群受气候变化影响较弱或环境恶化程度较轻时(即物种内禀增长率恒正时)，种群在任何一个区域内都能持久生存( $\phi \left(-\infty \right)=r\left(-\infty \right)>0$)。

本文剩余部分安排如下：在第2节中我们将给出一些预备知识，定义F算子并验证它的一些性质，同时构造两对恰当的上下解。在第3节中我们将利用单调迭代技巧结合波动引理证明非减受迫行波和非负受迫行波的存在性。此外，在第4节中我们将研究两种行波在 $\pm \infty$处的渐近行为。

首先，我们介绍一些函数空间。设 $C\left(ℝ,ℝ\right)$表示由 $ℝ$上所有连续函数组成的空间， $C^{+}$表示由所有非负连续函数组成的空间，记

$BC\left(ℝ,ℝ\right)=\left\{u\in C\left(ℝ,ℝ\right)|\underset{\xi \in ℝ}{\sup }\left|u\left(\xi \right)\right|<\infty \right\},$

对任意的 $u,v\in C\left(ℝ,ℝ\right)$，如果 $u-v\in C^{+}$，我们记 $u\ge v$或 $v\le u$。

令 $\alpha =2r\left(+\infty \right)$，则方程 $-d{\lambda }^2-c\lambda +\alpha =0$有如下两个实根：

${\lambda }_{-}=\frac{-c-\sqrt{c^2+4d\alpha }}{2d}<0,{\lambda }_{+}=\frac{-c+\sqrt{c^2+4d\alpha }}{2d}>0.$

定义二阶微分算子 $\Delta$和它的逆 ${\Delta }^{-1}$分别为

$\Delta h:=-d{h}^{″}-c{h}^{\prime }+\alpha h,$

$\left({\Delta }^{-1}h\right)\left(\xi \right):=\frac{1}{d\left({\lambda }_{+}-{\lambda }_{-}\right)}\left[{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\xi }{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(\xi -\eta \right)}}h\left(\eta \right)\text{d}\eta +{\displaystyle {\int }_{\xi }^{+\infty }{\text{e}}^{{\lambda }_{+}\left(\xi -\eta \right)}}h\left(\eta \right)\text{d}\eta \right].$

不难验证对任意给定的连续有界函数h都有 $\Delta \left({\Delta }^{-1}h\right)=h$。另外，若 $h^{\prime },h^{″}$也是连续有界函数，那么 ${\Delta }^{-1}\left(\Delta h\right)=h$。

定义2.1 若 $\bar{\phi }\left(\xi \right),\underset{\_}{\phi }\left(\xi \right)\in BC\left(ℝ,ℝ\right)$满足 ${\bar{\phi }}^{\prime },{\underset{\_}{\phi }}^{\prime },{\bar{\phi }}^{″},{\underset{\_}{\phi }}^{″}\in L^{\infty }\left(ℝ,ℝ\right)$， $\bar{\phi }\ge \underset{\_}{\phi }$， ${\bar{\phi }}^{″}$和 ${\underset{\_}{\phi }}^{″}$在 $ℝ\backslash \left\{{\xi }_j\right\}$上连续( ${\xi }_j$为一有限递增点列)，且有 ${\bar{\phi }}^{\prime }\left({\xi }_j+\right)\le {\bar{\phi }}^{\prime }\left({\xi }_j-\right)$， ${\underset{\_}{\phi }}^{\prime }\left({\xi }_j+\right)\ge {\underset{\_}{\phi }}^{\prime }\left({\xi }_j-\right)$，此时，若有不等式

$-c{\bar{\phi }}^{\prime }\left(\xi \right)\ge d{\bar{\phi }}^{″}\left(\xi \right)+\bar{\phi }\left(\xi \right)\left[r\left(\xi \right)-\bar{\phi }\left(\xi \right)\right]$(7)

和

$-c{\underset{\_}{\phi }}^{\prime }\left(\xi \right)\le d{\underset{\_}{\phi }}^{″}\left(\xi \right)+\underset{\_}{\phi }\left(\xi \right)\left[r\left(\xi \right)-\underset{\_}{\phi }\left(\xi \right)\right]$(8)

在 $ℝ\backslash \left\{{\xi }_j\right\}$上成立，则称 $\bar{\phi }\left(\xi \right)$和 $\underset{\_}{\phi }\left(\xi \right)$为方程(2)的一对有序上下解。

给定一对有序上下解，可以构造先验集 $\Gamma$：

$\Gamma =\left\{\phi |\phi \in BC\left(ℝ,ℝ\right),\underset{\_}{\phi }\le \phi \le \bar{\phi }\right\}.$

对任意 $\phi \in \Gamma$，定义如下算子：

$H\left(\phi \right)\left(\xi \right):=\alpha \phi \left(\xi \right)+\phi \left(\xi \right)\left[r_1\left(\xi \right)-\phi \left(\xi \right)\right].$

接下来，我们定义算子F，其中 $F={\Delta }^{-1}H$。下面我们先讨论算子F的一些性质。

引理2.1 F是一个非减算子，且 $F\left(\Gamma \right)\subset \Gamma$。

证明 一方面，取 $\tilde{\phi },\hat{\phi }\in \Gamma$且满足 $\tilde{\phi }\ge \hat{\phi }$，则对任何 $\xi \in ℝ$有

$H\left(\tilde{\phi }\right)\left(\xi \right)-H\left(\hat{\phi }\right)\left(\xi \right)=\left(\alpha +r\left(\xi \right)-\tilde{\phi }\left(\xi \right)-\hat{\phi }\left(\xi \right)\right)\left(\tilde{\phi }\left(\xi \right)-\hat{\phi }\left(\xi \right)\right)\ge 0.$

从而，对任意的 $\xi \in ℝ$，有 $F\left(\tilde{\phi }\right)\left(\xi \right)\ge F\left(\hat{\phi }\right)\left(\xi \right)$。即F是一个非减算子。

另一方面，由 $F\left(\Gamma \right)$的定义可知，我们只需证对所有 $\phi \in \Gamma$都有

$\underset{\_}{\phi }\le F\left(\phi \right)\le \bar{\phi }.$

由于 $\bar{\phi }\left(\xi \right)$和 $\underset{\_}{\phi }\left(\xi \right)$是一对有序上下解，结合文献 [14] 的引理3.2我们有

$F\left(\underset{\_}{\phi }\right)={\Delta }^{-1}H\left(\underset{\_}{\phi }\right)\ge {\Delta }^{-1}\Delta \left(\underset{\_}{\phi }\right)=\underset{\_}{\phi },F\left(\bar{\phi }\right)={\Delta }^{-1}H\left(\bar{\phi }\right)\le {\Delta }^{-1}\Delta \bar{\phi }=\bar{\phi }.$(9)

又由F是一个非减算子，所以对任意的 $\phi \in \Gamma$有

$F\left(\underset{\_}{\phi }\right)\le F\left(\phi \right)\le F\left(\bar{\phi }\right).$(10)

结合(9)和(10)得到 $F\left(\Gamma \right)\subset \Gamma$。证毕。

引理2.2 若 $\phi \left(\xi \right)\in \Gamma$非减，则 $F\left(\phi \right)\left(\xi \right)$关于 $\xi$也非减。

证明 若 $\phi \left(\xi \right)\in \Gamma$是一个关于 $\xi$的非减函数，则对任意 $s\in ℝ$和 $\zeta >0$，有

$\begin{array}{l}H\left(\phi \right)\left(s+\zeta \right)-H\left(\phi \right)\left(s\right)\\ =\left(\phi \left(s+\zeta \right)-\phi \left(s\right)\right)\left[\alpha +r\left(s+\zeta \right)-\phi \left(s+\zeta \right)-\phi \left(s\right)\right]\\ +\left(r\left(s+\zeta \right)-r\left(s\right)\right)\phi \left(s\right)\ge 0.\end{array}$

对于任意的 $\xi \in ℝ$，注意到当h为连续有界函数时，有 $\left({\Delta }^{-1}h\left(s+\zeta \right)\right)\left(\xi \right)=\left({\Delta }^{-1}h\left(s\right)\right)\left(\xi +\zeta \right)$，那么

$\begin{array}{c}F\left(\phi \right)\left(\xi +\zeta \right)=\left[{\Delta }^{-1}H\left(\phi \right)\left(s\right)\right]\left(\xi +\zeta \right)\\ =\left[{\Delta }^{-1}H\left(\phi \right)\left(s+\zeta \right)\right]\left(\xi \right)\\ \ge \left[{\Delta }^{-1}H\left(\phi \right)\left(s\right)\right]\left(\xi \right)\\ =F\left(\phi \right)\left(\xi \right).\end{array}$

证毕。

方程(2)可写为

$\Delta \phi =H\left(\phi \right)$(11)

因此，若映射F在Γ中存在一个不动点，即存在 $\phi \in \Gamma$使得

$\phi =F\left(\phi \right)$

成立，那么该不动点必是(11)的解。若该不动点还满足边界条件(5)或(6)，则必是方程(2)的受迫行波。因此，我们通过选取两对恰当的有序上下解构造出两个先验集。

引理2.3 若 $\phi \left(\xi \right)\in \Gamma$非减，则 $F\left(\phi \right)\left(\xi \right)$关于 $\xi$也非减。设 ${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)=r\left(+\infty \right)$和 ${\underset{\_}{\phi }}_1\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)$，则 ${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)$和 ${\underset{\_}{\phi }}_1\left(\xi \right)$是(2)的一对有序上下解。

证明 由 $r\left(\xi \right)$的单调性和 ${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)$的定义可知

$-c{\left(r\left(+\infty \right)\right)}^{\prime }\ge d_1{\left(r\left(+\infty \right)\right)}^{\prime \prime }+r\left(+\infty \right)\left[r_1\left(\xi \right)-r\left(+\infty \right)\right],$

且 ${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)$满足定义2.1的所有条件，因此 ${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)=r\left(+\infty \right)$是(2)的上解。

同理可得 ${\underset{\_}{\phi }}_1\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)$是(2)的下解。证毕。

记

$c^{*}\left(\infty \right):=2\sqrt{dr\left(+\infty \right)}.$

接下来，我们在 $c>c^{*}\left(\infty \right)$的条件下构造另一对有序上下解。方程(2)在原点处的线性化方程对应的特征方程为

$\Phi \left(c,\lambda \right):=d{\lambda }^2-c\lambda +r\left(+\infty \right)=0.$

容易看出，当 $c=c^{*}\left(\infty \right)$时 $\Phi \left(c,\lambda \right)=0$有唯一正根 ${\lambda }_0$；当 $c>c^{*}\left(\infty \right)$时 $\Phi \left(c,\lambda \right)=0$有两个正根。方便起见，我们记最小正根为 ${\lambda }_1$。由假设(A*)可知，存在 $K>0$使得当 $\xi \ge K$时 $r\left(+\infty \right)-r\left(\xi \right)\le {\text{e}}^{-\rho \xi }$成立。因此，对于正数 $\omega \le \min \left\{\rho ,{\lambda }_0-{\lambda }_1\right\}$，当 $\xi \ge K$时有

$r\left(+\infty \right)-r\left(\xi \right)\le {\text{e}}^{-\rho \xi }\le {\text{e}}^{-\omega \xi }.$

此外，当 $c>c^{*}\left(\infty \right)$有 $\Phi \left(c,{\lambda }_1+\omega \right)<0$，令 $M:=-\frac{2}{\Phi \left(c,{\lambda }_1+\omega \right)}$，可取 $\omega$足够小使得 $-\frac{1}{\omega }\ln \frac{1}{M}>\max \left\{K,-\frac{\ln r\left(+\infty \right)}{{\lambda }_1}\right\}$成立。定义如下两个有界连续函数

${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}r\left(+\infty \right),\xi \le {\xi }_1,\\ {\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi },\xi >{\xi }_1,\end{array}$

${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}{\text{e}}^{-{\lambda }_1{\xi }_2}\left(1-M{\text{e}}^{-\omega {\xi }_2}\right),\xi \le {\xi }_2,\\ {\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left(1-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\right),\xi >{\xi }_2,\end{array}$

其中 ${\xi }_1=-\frac{1}{{\lambda }_1}\ln r\left(+\infty \right)$， ${\xi }_2\in \left(-\frac{1}{\omega }\ln \frac{1}{M},-\frac{1}{\omega }\ln \frac{{\lambda }_1}{\left({\lambda }_1+\omega \right)M}\right)$使得 ${\text{e}}^{-{\lambda }_1{\xi }_2}\left(1-M{\text{e}}^{-\omega {\xi }_2}\right)\in \left(0,r\left(-\infty \right)\right)$。

引理2.4 假设 $c>c^{*}\left(\infty \right)$且(A*)成立，则 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)$和 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)$是(2)的一对有序上下解。

证明 若 $\xi >{\xi }_1$，则 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)={\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }$，计算可得

$d{\lambda }_1^2{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }-c{\lambda }_1{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }+{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left[r\left(\xi \right)-{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\right]={\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left[d{\lambda }_1^2-c{\lambda }_1+r\left(\xi \right)-{\text{e}}^{-{\lambda }_c\xi }\right]\le {\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left[d{\lambda }_1^2-c{\lambda }_1+r\left(+\infty \right)\right]=0.$

这表明 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)$在 $\xi >{\xi }_1$时使得不等式(7)成立。当 $\xi <{\xi }_1$时，易证 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)=r\left(+\infty \right)$也满足不等式(7)。此外，易知 ${{\bar{\phi }}^{\prime }}_2\left({\xi }_1+\right)\le {{\bar{\phi }}^{\prime }}_2\left({\xi }_1-\right)$。因此 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)$是方程(2)的一个上解。

下面证明 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)$是方程(2)的一个下解。当 $\xi >{\xi }_2$时，有 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)={\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left(1-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\right)$， ${{\underset{\_}{\phi }}^{\prime }}_2\left(\xi \right)=-{\lambda }_1{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }$ $+\left({\lambda }_1+\omega \right)M{\text{e}}^{-\left({\lambda }_1+\omega \right)\xi }$和 ${{\underset{\_}{\phi }}^{″}}_2\left(\xi \right)={\lambda }_1^2{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }-{\left({\lambda }_1+\omega \right)}^{2}M{\text{e}}^{-\left({\lambda }_1+\omega \right)\xi }$。于是

$\begin{array}{l}d{{\underset{\_}{\phi }}^{″}}_2\left(\xi \right)+c{{\underset{\_}{\phi }}^{\prime }}_2\left(\xi \right)+{\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)\left[r\left(\xi \right)-{\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)\right]\\ =\left[d{\lambda }_1^2-c{\lambda }_1+r\left(\xi \right)-{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left(1-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\right)\right]{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\\ -\left[d{\left({\lambda }_1+\omega \right)}^2-c\left({\lambda }_1+\omega \right)+r\left(\xi \right)-{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left(1-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\right)\right]M{\text{e}}^{-\left({\lambda }_1+\omega \right)\xi }\\ =\left[-r\left(+\infty \right)+r\left(\xi \right)-{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left(1-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\right)\right]{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\\ -\left[\Phi \left(c,{\lambda }_1+\omega \right)-r\left(+\infty \right)+r\left(\xi \right)-{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left(1-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\right)\right]M{\text{e}}^{-\left({\lambda }_1+\omega \right)\xi }\\ \ge {\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left[-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\Phi \left(c,{\lambda }_1+\omega \right)-{\text{e}}^{-\omega \xi }-{\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\right]\\ \ge {\text{e}}^{-{\lambda }_1\xi }\left[-M{\text{e}}^{-\omega \xi }\Phi \left(c,{\lambda }_1+\omega \right)-2{\text{e}}^{-\omega \xi }\right]\\ =0.\end{array}$

这表明 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)$在 $\xi >{\xi }_2$时使得不等式(8)成立。当 $\xi <{\xi }_2$时，显然 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)={\text{e}}^{-{\lambda }_1{\xi }_2}\left(1-M{\text{e}}^{-\omega {\xi }_2}\right)$也满足不等式(8)。此外，易知 ${{\underset{\_}{\phi }}^{\prime }}_2\left({\xi }_2+\right)\ge {{\underset{\_}{\phi }}^{\prime }}_2\left({\xi }_2-\right)$，而且根据 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)$和 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)$的具体表达式可知 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)\ge {\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)$。因此 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)$和 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)$为方程(2)的一对有序上下解。证毕。

由上述两个引理，我们得到如下两个先验集：

${\Gamma }_1:=\left\{\phi |\phi \in BC\left(ℝ,ℝ\right),{\underset{\_}{\phi }}_1\le \phi \le {\bar{\phi }}_1\right\},$

${\Gamma }_2:=\left\{\phi |\phi \in BC\left(ℝ,ℝ\right),{\underset{\_}{\phi }}_2\le \phi \le {\bar{\phi }}_2\right\}.$

定理3.1 若(A1)成立，则对任意 $c>0$，方程(2)总存在一个满足边界条件(5)的非减受迫行波。

证明 首先构造如下迭代序列：

${\phi }_1^{\left(1\right)}=F\left({\bar{\phi }}_1\right),{\phi }_1^{\left(n+1\right)}=F\left({\phi }_1^{\left(n\right)}\right),\forall n\ge 1.$

由于 ${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)\in {\Gamma }_1$是 $ℝ$上的非减函数，结合引理2.1和引理2.2得到对所有的 $n\ge 1$， ${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)$也是 $ℝ$上的非减函数且满足不等式

${\bar{\phi }}_1\left(\xi \right)\ge {\phi }_1^{\left(1\right)}\left(\xi \right)\ge {\phi }_1^{\left(2\right)}\left(\xi \right)\ge \cdots \ge {\phi }_1^{\left(n\right)}\left(\xi \right)\ge {\phi }_1^{\left(n+1\right)}\left(\xi \right)\ge \cdots \ge {\underset{\_}{\phi }}_1\left(\xi \right).$

从而，存在一个有界非减函数 ${\phi }_1\left(\xi \right)$使得 ${\lim }_{n\to \infty }{\phi }_1^{\left(n\right)}\left(\xi \right)={\phi }_1\left(\xi \right)$。很容易看出，对所有的 $n\ge 1$， $\xi \in ℝ$有

$\left|H\left(U_1^{\left(n\right)}\right)\left(\xi \right)\right|\le r\left(+\infty \right)\left(2r\left(+\infty \right)+\alpha \right).$

从而利用Lebesgue’s控制收敛定理得

$\begin{array}{c}{\phi }_1\left(\xi \right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_1^{\left(n+1\right)}\left(\xi \right)=\underset{n\to \infty }{\lim }F\left({\phi }_1^{\left(n\right)}\right)\left(\xi \right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\Delta }^{-1}H\left({\phi }_1^{\left(n\right)}\right)\left(\xi \right)\right)\\ =\frac{1}{d\left({\lambda }_{+}-{\lambda }_{-}\right)}\left[{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\xi }{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(\xi -\eta \right)}}H\left({\phi }_1\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta +{\displaystyle {\int }_{\xi }^{+\infty }{\text{e}}^{{\lambda }_{+}\left(\xi -\eta \right)}}H\left({\phi }_1\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta \right]\\ =F\left({\phi }_1\right)\left(\xi \right).\end{array}$

即 ${\phi }_1\left(\xi \right)\in {\Gamma }_1$是算子F的不动点，也就是说 ${\phi }_1\left(\xi \right)$是方程(2)的解。

接下来证明 ${\phi }_1\left(\xi \right)$满足边界条件(5)。因 ${\phi }_1\left(\xi \right)$是 $ℝ$上的有界非减函数，记 $A_1:={\lim }_{\xi \to -\infty }{\phi }_1\left(\xi \right)$和 $B_1:={\lim }_{\xi \to +\infty }{\phi }_1\left(\xi \right)$。显然有

$0<r\left(-\infty \right)\le A_1\le r\left(+\infty \right),0<r\left(-\infty \right)\le B_1\le r\left(+\infty \right).$

由

$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }H\left({\phi }_1\right)\left(\xi \right)=A_1\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-A_1\right),\underset{\xi \to +\infty }{\lim }H\left({\phi }_1\right)\left(\xi \right)=B_1\left(\alpha +r\left(+\infty \right)-B_1\right),$

利用L’Hôpital法则可得

$\begin{array}{c}{A}_1=\underset{\xi \to -\infty }{\lim }{\phi }_1\left(\xi \right)\\ =\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left({\Delta }^{-1}H\left({\phi }_1\right)\left(\xi \right)\right)\\ =\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\frac{1}{d\left({\lambda }_{+}-{\lambda }_{-}\right)}\left[{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\xi }{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(\xi -\eta \right)}}H\left({\phi }_1\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta +{\displaystyle {\int }_{\xi }^{+\infty }{\text{e}}^{{\lambda }_{+}\left(\xi -\eta \right)}}H\left({\phi }_1\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta \right]\end{array}$

$\begin{array}{c}=\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\frac{1}{d\left({\lambda }_{+}-{\lambda }_{-}\right)}\left(\frac{H\left({\phi }_1\right)\left(\xi \right)}{-{\lambda }_{-}}+\frac{H\left({\phi }_1\right)\left(\xi \right)}{{\lambda }_{+}}\right)\\ =A_1+\frac{A_1\left[r\left(-\infty \right)-A_1\right]}{\alpha }.\end{array}$

于是 $A_1=r\left(-\infty \right)$。同理可得

$B_1=\underset{\xi \to +\infty }{\lim }{\phi }_1\left(\xi \right)=B_1+\frac{B_1\left[r\left(+\infty \right)-B_1\right]}{\alpha }.$

所以 $B_1=r\left(+\infty \right)$。证毕。

定理3.2 若(A1)和(A*)成立，则当 $c>c^{*}\left(\infty \right)$时方程(1)存在满足边界条件(6)的非负受迫行波。

证明 类似于定理3.1的证明过程可得行波的存在性。由于此时 ${\phi }_2\left(\xi \right)\in {\Gamma }_2$是 $ℝ$上的连续有界函数但不具备单调性，因此方程(2)的解 ${\phi }_2\left(\xi \right)$也不具备单调性。

接下来证明 ${\phi }_2\left(\xi \right)$满足边界条件(6)。根据 ${\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)$和 ${\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)$的定义可知 ${\phi }_2\left(\xi \right)$为正解，且有

$\underset{\xi \to +\infty }{\lim }{\underset{\_}{\phi }}_2\left(\xi \right)=0,\underset{\xi \to +\infty }{\lim }{\bar{\phi }}_2\left(\xi \right)=0.$

于是 ${\lim }_{\xi \to +\infty }{\phi }_2\left(\xi \right)=0$。

下面我们证明 ${\lim }_{\xi \to -\infty }{\phi }_2\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)$。记

$A_2:=\underset{\xi \to -\infty }{\lim \sup }{\phi }_2\left(\xi \right),B_2:=\underset{\xi \to -\infty }{\lim \inf }{\phi }_2\left(\xi \right).$

于是 $0<B_2\le A_2\le r\left(+\infty \right)$。由波动引理(文献 [15] 中引理A.1)，存在满足 ${\lim }_{n\to \infty }{s}_n=-\infty$的单调序列 ${\left\{s_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$和满足 ${\lim }_{n\to \infty }{t}_n=-\infty$的单调序列 ${\left\{t_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_2\left(s_n\right)=A_2,\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_2\left(t_n\right)=B_2,$

$\underset{n\to \infty }{\lim }{{\phi }^{\prime }}_2\left(s_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{{\phi }^{\prime }}_2\left(t_n\right)=0.$

根据 ${\phi }_2\left(\xi \right)=F\left({\phi }_2\right)\left(\xi \right)$可得

${{\phi }^{\prime }}_2\left(\xi \right)={\lambda }_{+}{\phi }_2\left(\xi \right)-\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\xi }{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(\xi -\eta \right)}}H\left({\phi }_2\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta .$

对任意 $ϵ>0$， $\exists N_1>0$使得当 $\eta \in \left(-\infty ,s_{N_1}\right)$时有

$0<{\phi }_2\left(\eta \right)<A_2+ϵ,r\left(-\infty \right)<r\left(\eta \right)<r\left(-\infty \right)+ϵ.$

因此，当 $n>N_1$时有

$\begin{array}{c}{{\phi }^{\prime }}_2\left(s_n\right)={\lambda }_{+}{\phi }_2\left(s_n\right)-\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{s_n}{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(s_n-\eta \right)}}H\left({\phi }_2\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta \\ \ge {\lambda }_{+}{\phi }_2\left(s_n\right)-\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{s_n}{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(s_n-\eta \right)}}\left(A_2+ϵ\right)\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-A_2\right)\text{d}\eta \\ ={\lambda }_{+}{\phi }_2\left(s_n\right)+\frac{1}{d{\lambda }_{-}}\left(A_2+ϵ\right)\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-A_2\right).\end{array}$

令 $n\to \infty$，我们有

${\lambda }_{+}{A}_2+\frac{1}{d{\lambda }_{-}}\left(A_2+ϵ\right)\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-A_2\right)\le 0.$

由 $ϵ$的任意性得

${\lambda }_{+}{A}_2+\frac{1}{d{\lambda }_{-}}{A}_2\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-A_2\right)\le 0.$

注意到 $A_2>0$，上不等式可推得

$A_2\le r\left(-\infty \right).$(12)

类似地，对任意 $ϵ\in \left(0,B_2\right)$， $\exists N_2>0$使得当 $\eta \in \left(-\infty ,t_{N_2}\right)$时有

$B_2-ϵ<{\phi }_2\left(\eta \right)\le r\left(+\infty \right),r\left(-\infty \right)<r\left(\eta \right)<r\left(-\infty \right)+ϵ.$

因此，当 $n>N_2$时有

$\begin{array}{c}{{\phi }^{\prime }}_2\left(t_n\right)={\lambda }_{+}{\phi }_2\left(t_n\right)-\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t_n}{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(t_n-\eta \right)}}H\left({\phi }_2\right)\left(\eta \right)\text{d}\eta \\ \le {\lambda }_{+}{\phi }_2\left(t_n\right)-\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t_n}{\text{e}}^{{\lambda }_{-}\left(t_n-\eta \right)}}\left(B_2-ϵ\right)\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-B_2+ϵ\right)\text{d}\eta \\ ={\lambda }_{+}{\phi }_2\left(t_n\right)+\frac{1}{d{\lambda }_{-}}\left(B_2-ϵ\right)\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-B_2+ϵ\right).\end{array}$

令 $n\to \infty$，我们有

${\lambda }_{+}{B}_2+\frac{1}{d{\lambda }_{-}}\left(B_2-ϵ\right)\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-B_2+ϵ\right)\ge 0.$

由 $ϵ$的任意性得

${\lambda }_{+}{B}_2+\frac{1}{d{\lambda }_{-}}{B}_2\left(\alpha +r\left(-\infty \right)-B_2\right)\ge 0.$

注意到 $B_2>0$，上不等式可推得

$B_2\ge r\left(-\infty \right).$(13)

注意到 $B_2\le A_2$，由(12)和(13)可知 $A_2=B_2=r\left(-\infty \right)$。因此， ${\lim }_{\xi \to -\infty }{\phi }_2\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)$。证毕。

为了获得更多的在 $\pm \infty$处的行波的渐近信息，我们令

$\phi \left(\xi \right)=u^0\left(\xi \right)\text{for}-\infty <\xi <+\infty ,$

它是满足边界条件(5)或(6)的方程(2)的解，对(2)关于 $\xi$求导，那么我们知道 ${\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=:\theta$满足

$d{\theta }^{″}\left(\xi \right)+c{\theta }^{\prime }\left(\xi \right)+\left[r\left(\xi \right)-2u^0\right]\theta +r^{\prime }\left(\xi \right)u^0=0.$(14)

定理4.1 假设(A1)和(A2)成立，那么存在正常数 $P_1,P_2$使得方程(1)的行波具有以下渐近性质当 $\xi \to -\infty$时有

${\phi }_1\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)+\left(P_1+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

且当 $\xi \to +\infty$时有

${\phi }_1\left(\xi \right)=r\left(+\infty \right)-\left(P_2+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c-\sqrt{c^2+4dr\left(+\infty \right)}}{2d}\xi }.$

证明 当 $\xi \to -\infty$时方程(14)的极限方程可以写为

$d{\varphi }^{″}\left(\xi \right)+c{\varphi }^{\prime }\left(\xi \right)-r\left(-\infty \right)\varphi \left(\xi \right)=0.$(15)

注意到在(15)中我们用到了 $r^{\prime }\left(-\infty \right)=0$。事实上，应用L’Hôpital’s法则，我们可以得到

$\underset{\xi \to -\infty }{\lim }r\left(\xi \right)=\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^{\xi }r\left(\xi \right)}{{\text{e}}^{\xi }}=\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^{\xi }\left[r\left(\xi \right)+r^{\prime }\left(\xi \right)\right]}{{\text{e}}^{\xi }}=\underset{\xi \to -\infty }{\lim }\left[r\left(\xi \right)+r^{\prime }\left(\xi \right)\right],$

这表明 $r^{\prime }\left(-\infty \right)=0$。同理可得 $r^{\prime }\left(+\infty \right)=0$。

方程(15)有两个形式如下的线性无关的解

${\varphi }_1\left(\xi \right)={\text{e}}^{\frac{-c-\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi },{\varphi }_2\left(\xi \right)={\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

联立(14)和(15)，我们发现当 $\xi \to -\infty$时 $\theta$具有如下性质

$\theta \left(\xi \right)=p_1\left[1+o\left(1\right)\right]{\varphi }_1\left(\xi \right)+q_1\left[1+o\left(1\right)\right]{\varphi }_2\left(\xi \right).$

由于 ${\lim }_{\xi \to -\infty }\theta \left(\xi \right)=0$，所以必须有 $p_1=0$。因此，对于 $\xi \to -\infty$，

${{\phi }^{\prime }}_1\left(\xi \right)=\theta \left(\xi \right)=q_1\left[1+o\left(1\right)\right]{\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

对上式从 $-\infty$到 $\xi$积分，可以得到当 $\xi \to -\infty$时，对某个常数 $P_1>0$有

${\phi }_1\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)+\left(P_1+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

类似地，当 $\xi \to +\infty$时，可以得到对某个常数 $P_2>0$有

${\phi }_1\left(\xi \right)=r\left(+\infty \right)-\left(P_2+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c-\sqrt{c^2+4dr\left(+\infty \right)}}{2d}\xi }.$

证毕。

定理4.2 假设(A1)、(A2)和(A*)成立，那么存在正常数 $Q_1,Q_2$使得方程(1)的行波具有以下渐近性质。当 $\xi \to -\infty$时有

${\phi }_2\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)-\left(Q_1+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

且当 $\xi \to +\infty$时有

${\phi }_2\left(\xi \right)=\left(Q_2+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2-4dr\left(+\infty \right)}}{2d}\xi }.$

证明 运用定理4.1的证明方法可得当 $\xi \to -\infty$时，对某个常数 $C_1$有

${\phi }_2\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)+\left(C_1+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

由于对任意 $\xi \in ℝ$有 ${\lim }_{\xi \to -\infty }{\phi }_2\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)$和 ${\phi }_2\left(\xi \right)\le r\left(-\infty \right)$。我们可以得到常数 $C<0$，记 $Q_1:=-C>0$。由此可得

${\phi }_2\left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)-\left(Q_1+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2+4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

当 $\xi \to +\infty$时，(14)的极限方程如下

$d{\psi }^{″}\left(\xi \right)+c{\psi }^{\prime }\left(\xi \right)+r\left(+\infty \right)\psi \left(\xi \right)=0.$(16)

方程(16)有两个形式如下的独立的解

${\psi }_1\left(\xi \right)={\text{e}}^{\frac{-c-\sqrt{c^2-4dr\left(+\infty \right)}}{2d}\xi },{\psi }_2\left(\xi \right)={\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2-4dr\left(+\infty \right)}}{2d}\xi }.$

类似地，我们可以得到当 $\xi \to +\infty$时，对某个常数 $D_1,D_2$有

${\phi }_2\left(\xi \right)=-\left(D_1+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c-\sqrt{c^2-4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }-\left(D_2+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2-4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

进一步可得对某个常数D有

${\phi }_2\left(\xi \right)=-\left(D+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2-4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

由于对任意 $\xi \in ℝ$有 ${\lim }_{\xi \to +\infty }{\phi }_2\left(\xi \right)=0$和 ${\phi }_2\left(\xi \right)\ge 0$。我们可以得到常数 $D<0$，记 $Q_2:=-D>0$，由此可得

${\phi }_2\left(\xi \right)=\left(Q_2+o\left(1\right)\right){\text{e}}^{\frac{-c+\sqrt{c^2-4dr\left(-\infty \right)}}{2d}\xi }.$

证毕。

本文主要研究了一类移动环境下随机扩散Fisher-KPP方程受迫波的存在性及其渐近行为，主要通过构造上下解和先验集，运用单调迭代技巧证明了该方程非减受迫行波和非负受迫行波的存在性。当环境移动速度 $c>0$时，证明了方程(1)存在一个连接 $r\left(-\infty \right)$和 $r\left(+\infty \right)$两个正平衡点的非减受迫行波。当 $c>c^{*}\left(\infty \right)$时，证明了方程(1)存在一个连接 $r\left(-\infty \right)$和0的非负受迫行波。并研究了这两种行波在 $\pm \infty$处的渐近行为。同时注意到这两个受迫波的边界条件中都有 ${\lim }_{\xi \to -\infty }\phi \left(\xi \right)=r\left(-\infty \right)$。由于 $r(\cdot )$恒正， $r\left(-\infty \right)>0$，这表明种群栖息地环境是轻微恶化的，因此可知该种群在任一固定的区域上都可以持久生存。