Schrödinger-Kirchhoff-Poisson方程是一个综合了量子力学、经典电磁学和电势理论的数学模型，通常用于描述带电粒子的运动及其与电场的相互作用。近年来，Schrödinger-Kirchhoff-Poisson系统

$\{\begin{array}{l}-\left(a+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u+L\left(x\right)\varphi \left(x\right)u=f\left(x,u\right),x\in {ℝ}^3,\\ -\Delta \varphi =u^2,x\in {ℝ}^3,\end{array}$(1.1)

解的存在性，已被众多学者研究 [1] - [6] 。在适当的条件下，文献 [1] 运用山路引理和Ekeland变分原理证明了方程(1.1)有多个正解，文献 [2] 运用变分方法结合一些不等式技巧，在一般非线性条件下得到了方程(1.1)的最小能量解、山路解和基态解的存在性，文献 [3] 运用Nehari流形和山路引理证明了方程(1.1)解的存在性，文献 [4] 运用喷泉定理证明了方程(1.1)无穷多个解的存在性，文献 [5] 通过构造Nehari流形和运用形变原理证明了方程(1.1)基态解的存在性，文献 [6] 通过构造山路几何，得到了方程(1.1)正规化解的存在性。

若 $a=1,b=0$，则系统(1.1)就简化为如下Schrödinger-Poisson系统

$\{\begin{array}{l}-\Delta u+V\left(x\right)u+L\left(x\right)\varphi \left(x\right)u=f\left(x,u\right),x\in {ℝ}^3,\\ -\Delta \varphi =u^2,x\in {ℝ}^3,\end{array}$(1.2)

该系统也被众多学者广泛研究 [7] - [10] 。在适当的条件下，文献 [7] 运用山路引理和Ekeland变分原理证明了方程(1.2)有多个正解，文献 [8] 证明了方程(1.2)无穷多个解的存在性，文献 [9] 证明了方程(1.2)基态解的存在性，文献 [10] 运用变分方法证明了方程(1.2)解的存在性。

本文研究如下Schrödinger-Kirchhoff-Poisson方程

$\{\begin{array}{l}-\left(1+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u=\lambda \varphi \left(x\right)u+{\left|u\right|}^{p-1}u+\mu u,x\in {ℝ}^3,\\ -\Delta \varphi =u^2,\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\varphi \left(x\right)=0,\end{array}$(1.3)

正解的存在性。其中， $b>0$， $\lambda ,\mu >0$以及 $3<p<5$。假设满足条件：

$V\left(x\right)\in C\left({ℝ}^3,{ℝ}^{+}\right),V\left(x\right)\ge 1,\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }V\left(x\right)=+\infty .$

定义

$H=\left\{u\in W^{1,2}\left({ℝ}^3\right):{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}V}\left(x\right)u^2\text{d}x<\infty \right\},$

相应的范数为

${\left|u\right|}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}.$

由假设条件(V1)可知，嵌入 $H$↪ $L^q\left({ℝ}^3\right)\left(2\le q<6\right)$是紧的。在H中， $-\Delta +V$存在特征值序列 $\left({\mu }_n\right)$，使得 $0<{\mu }_1<{\mu }_2\le {\mu }_3\le \cdot \cdot \cdot \le +\infty$且 $H=span\left\{e_i:i\ge 1\right\}$，其中， $e_i$是 ${\mu }_i$对应的标准化特征函数，即 $\Vert e_i\Vert =1$。

对任意的 $u\in H$，存在唯一的 ${\varphi }_u\in D^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$是方程 $-\Delta \varphi =u^2$的弱解，且

${\varphi }_u=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u^2\left(y\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}y}.$

那么，方程(1.3)可以表示为

$-\left(1+b{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)\Delta u+V\left(x\right)u=\lambda {\varphi }_{u}u+{\left|u\right|}^{p-1}u+\mu u,x\in {ℝ}^3.$

本文的主要结果叙述如下。

定理1.1 假设条件(V1)成立且满足 $b>\frac{\lambda }{3\cdot 4^{\frac{5}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}\frac{{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}}{{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2}$。

1) 若 $0<\mu \le {\mu }_1$，则方程(1.3)至少有一个正解；

2) 存在 $\bar{\delta }>0$，使得当 ${\mu }_1<\mu <{\mu }_1+\bar{\delta }$时，方程(1.3)至少有两个正解。

为了完成证明，以下给出一些记号和引理。对于 $1\le s\le +\infty$， $L^s\left({ℝ}^3\right)$表示勒贝格空间。 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$表示内积。 $B_{\rho }\left(x\right)$表示圆心为x，半径为 $\rho$的球。 $D^{1,2}\left({ℝ}^3\right)$表示 $C_0^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$照范数 ${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}$完备化产生的空间。根据需要，用 $C,C_i$表示不同的正常数。若没有特殊说明，则所有积分都在 ${ℝ}^3$上考虑。

在H上，定义如下泛函：

$\begin{array}{l}{I}_{\mu }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\frac{\lambda }{4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p+1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x}-\frac{\mu }{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}^2}\text{d}x,\end{array}$

其中 ${\Vert u\Vert }^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\left({\left|\nabla u\right|}^2+V\left(x\right)u^2\right)\text{d}x}$，易得泛函是适定的且 $I_{\mu }\in C^1\left(H,ℝ\right)$。因为方程(1.3)的正解恰好是泛函 $I_{\mu }$的正临界点，所以只需要研究 $I_{\mu }$正临界点的存在性。

引理1.1 [11] 令E是一个实的Banach空间，泛函 $I\in C^1\left(E,ℝ\right)$。设 $I\left(0\right)=0$且满足

1) 存在正常数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2>0$，使得 ${I|}_{\partial B_{{\alpha }_1}}\ge {\alpha }_2$；

2) 存在 $\bar{U}\in E\backslash {\bar{B}}_{{\alpha }_1}$，使得 $I\left(\bar{U}\right)<0$。

定义

$c=\underset{g\in \Gamma }{\inf }\underset{t\in g\left[0,1\right]}{\max }I\left(u\right),$

其中Γ是E中连接0和 $\bar{U}$的道路的集合，

$\Gamma =\left\{g\in C\left(\left[0,1\right],E\right):g\left(0\right)=0,g\left(1\right)=\bar{U}\right\},$

那么 $c\ge {\alpha }_2$。若I满足 ${\left(PS\right)}_c$条件，则c是I的一个临界值。

引理1.2 假设条件(V1)成立，令序列 $\left(u_n\right)\subset H$满足对所有的 $n\in \mathbb{N}$，有 $\left|I_{\mu }\left(u_n\right)\right|\le M<+\infty$且当n充分大时，有 ${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right)\to 0$，那么 $\left(u_n\right)$在H中有一个强收敛的子序列。

证明. 由于 $H$↪ $L^q\left({ℝ}^3\right)\left(2\le q<6\right)$是紧的，只需研究 $\left(u_n\right)$在H中有界即可。取 $\beta \in \left(\frac{1}{p+1},\frac{1}{4}\right)$，当n足够大时，有

$\begin{array}{c}M+\Vert u_n\Vert \ge I_{\mu }\left(u_n\right)-\beta \langle {I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right),u_n\rangle \\ \ge \left(\frac{1}{2}-\beta \right){\Vert u_n\Vert }^2+\left(\frac{1}{4}-\beta \right)b{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u_n\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\left(\frac{1}{4}-\beta \right)\lambda {\displaystyle \int {\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x\\ -\left(\frac{1}{2}-\beta \right)\mu {\displaystyle \int u_n^2}\text{d}x+\left(\beta -\frac{1}{p+1}\right){\displaystyle \int {\left|u_n\right|}^{p+1}\text{d}x}.\end{array}$

根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式 [12] 和Gagliardo-Nirenberg不等式 [2] ，可得

${\displaystyle \int {\varphi }_{u_n}}{u}_n^2\text{d}x\le C{\Vert u_n\Vert }^4.$

参考文献 [7] 的方法，当 $\Vert u_n\Vert$足够小时，有

$\begin{array}{c}M+\Vert u_n\Vert \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\beta \right){\Vert u_n\Vert }^2+\left(\frac{1}{4}-\beta \right)b{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\left(\frac{1}{4}-\beta \right)\lambda C{\Vert u_n\Vert }^4-C\left(\beta ,\mu \right)\\ \ge C_1{\Vert u_n\Vert }^2-C\left(\beta ,\mu \right).\end{array}$

因此， $\left(u_n\right)$在H中有界。

注释1.1 引理1.2说明 $I_{\mu }$满足(PS)条件。

引理1.3 假设条件(V1)成立。

1) 若 $0<\mu <{\mu }_1$，则 $\mu =0$是 $I_{\mu }$的局部最小值；

2) 存在正常数 $\bar{\delta },{\rho }_1$和 $\alpha$，使得对任意的 $\mu \in \left[{\mu }_1,{\mu }_1+\bar{\delta }\right)$，有 ${I_{\mu }|}_{\partial B_{{\rho }_1}}\ge \alpha$；

3) 存在 $\bar{u}\in H$且 $\Vert \bar{u}\Vert >{\rho }_1$，使得对任意的 $\mu >0$，有 $I_{\mu }\left(\bar{u}\right)<0$。

证明. 1)的证明：当 $\Vert u\Vert$足够小时，有

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\frac{\lambda }{4}{\displaystyle \int {\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p+1}{\displaystyle \int {\left|u\right|}^{p+1}\text{d}x}-\frac{\mu }{2}{\displaystyle \int u^2}\text{d}x\\ \ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{\mu }{{\mu }_1}\right){\Vert u\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-C{\Vert u\Vert }^4-C_1{\Vert u\Vert }^{p+1}\\ \ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{\mu }{{\mu }_1}\right){\Vert u\Vert }^2-C{\Vert u\Vert }^4-C_1{\Vert u\Vert }^{p+1}\\ \ge C_2{\Vert u\Vert }^2.\end{array}$

因此， $u=0$是 $I_{\mu }$的局部最小值。

2)的证明：对任意的 $u\in H$，令 $u=t{e}_1+v$，其中， $t\in ℝ$和 $v\in {\left\{span\left\{e_1\right\}\right\}}^{\perp }$。有

${\Vert u\Vert }^2=t^2+{\Vert v\Vert }^2,{\mu }_2{\displaystyle \int {\left|v\right|}^2\text{d}x}\le {\Vert v\Vert }^2,{\mu }_1{\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^2\text{d}x}={\Vert e_1\Vert }^2,$

且

${\mu }_1{\displaystyle \int e_1}v\text{d}x={\displaystyle \int \left(\nabla e_1\nabla v+V\left(x\right)e_{1}v\right)\text{d}x}=0.$

则有

${\displaystyle \int \nabla }{e}_1\nabla v\text{d}x=0.$

由 $u=t{e}_1+v$，可得

$\begin{array}{c}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2={\left(t^2{\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}+{\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ =t^4{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2+2t^2{\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}{\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}+{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ \le t^4{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2+{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2+C{t}^2{\Vert v\Vert }^2,\end{array}$

再由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式，可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle \int {\varphi }_u}{u}^2\text{d}x=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle \iint \frac{u^2\left(x\right)u^2\left(y\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}=\frac{1}{4\pi }{\displaystyle \iint \frac{{\left(t{e}_1+v\right)}^2{\left(t{e}_1+v\right)}^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}\\ =\frac{1}{4\pi }\left(t^4{\displaystyle \iint \frac{e_1^2{e}_1^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}+2t^2{\displaystyle \iint \frac{e_1^2{v}^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}+{\displaystyle \iint \frac{v^2{v}^2}{\left|x-y\right|}\text{d}x\text{d}y}\right)\\ \le \frac{1}{3\cdot 4^{\frac{5}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}{t}^4+C_1{t}^2{\Vert v\Vert }^2+C_2{\Vert v\Vert }^4.\end{array}$

那么

$\begin{array}{c}{I}_{{\mu }_1}\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2-\frac{{\mu }_1}{2}{\displaystyle \int {\left|v\right|}^2\text{d}x}+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\frac{\lambda }{4}{\displaystyle \int {\varphi }_u}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{p+1}{\displaystyle \int {\left|t{e}_1+v\right|}^{p+1}\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right){\Vert v\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2{t}^4+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-C{t}^2{\Vert v\Vert }^2\\ -\frac{\lambda }{3\cdot 4^{\frac{8}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}{t}^4-C_1{t}^2{\Vert v\Vert }^2-C_2{\Vert v\Vert }^4-C_3{\left|t\right|}^{p+1}-C_4{\Vert v\Vert }^{p+1}.\end{array}$

由Young不等式，可得

$t^2{\Vert v\Vert }^2\le \frac{2}{p+1}{\left|t\right|}^{p+1}+\frac{p-1}{p+1}{\Vert v\Vert }^{\frac{2\left(p+1\right)}{p-1}}.$

因此

$\begin{array}{c}{I}_{{\mu }_1}\left(u\right)\ge \frac{1}{2}\left(1-\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right){\Vert v\Vert }^2+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2{t}^4+\frac{b}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\frac{2C}{p+1}{\left|t\right|}^{p+1}-\frac{C\left(p-1\right)}{p+1}{\Vert v\Vert }^{\frac{2\left(p+1\right)}{p-1}}-\frac{\lambda }{3\cdot 4^{\frac{8}{3}}\cdot {\pi }^{\frac{5}{3}}}{\left({\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{\frac{12}{5}}\text{d}x}\right)}^{\frac{5}{3}}{t}^4\\ -C_1{\Vert v\Vert }^4-C_2{\left|t\right|}^{p+1}-C_3{\Vert v\Vert }^{p+1}.\end{array}$

由于 $\frac{2\left(p+1\right)}{p-1}>2$，则存在正常数 ${\theta }_2,{\theta }_3$和 ${\tilde{\theta }}_2,{\tilde{\theta }}_3$，使得当 $\Vert v\Vert \le {\tilde{\theta }}_2$和 $\left|t\right|\le {\tilde{\theta }}_3$时，有

$I_{{\mu }_1}\left(u\right)\ge {\theta }_2{\Vert v\Vert }^2+{\theta }_3{\left|t\right|}^4.$

故存在正常数 ${\theta }_4$和 ${\tilde{\theta }}_4$，使得当 ${\Vert u\Vert }^2\le {\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2$时，有

$I_{{\mu }_1}\left(u\right)\ge {\theta }_4{\Vert u\Vert }^4.$

令 $\bar{\delta }=\min \left\{\frac{{\mu }_1}{2}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2,{\mu }_2-{\mu }_1\right\}>0$，则对任意 $\mu \in \left[{\mu }_1,{\mu }_1+\bar{\delta }\right)$和 $\frac{1}{2}{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2\le {\left|u\right|}^2\le {\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2$，有

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(u\right)=I_{{\mu }_1}\left(u\right)+\frac{1}{2}\left({\mu }_1-\mu \right){\displaystyle \int {\left|u\right|}^2\text{d}x}\\ \ge {\theta }_4{\Vert u\Vert }^4-\frac{\mu -{\mu }_1}{2{\mu }_1}{\Vert u\Vert }^2={\Vert u\Vert }^2\left({\theta }_4{\Vert u\Vert }^2-\frac{\mu -{\mu }_1}{2{\mu }_1}\right)\\ \ge {\Vert u\Vert }^2\left(\frac{1}{2}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2-\frac{1}{4}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2\right)=\frac{1}{4}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2{\Vert u\Vert }^2.\end{array}$

取 ${\rho }_1^2\in \left[\frac{1}{2}{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2,{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2\right]$和 $\alpha :=\frac{1}{4}{\theta }_4{\left({\tilde{\theta }}_4\right)}^2{\rho }_1^2$，则(2)的证明完成。

3)的证明：对任意 $s>0$，有

$I_{\mu }\left(s{e}_1\right)=\frac{s^2}{2}\left({\Vert e_1\Vert }^2-\mu {\displaystyle \int e_1^2}\text{d}x\right)+\frac{b{s}^4}{4}{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla e_1\right|}^2\text{d}x}\right)}^2-\frac{\lambda s^4}{4}{\displaystyle \int {\varphi }_{e_1}}{e}_1^2\text{d}x-\frac{s^{p+1}}{p+1}{\displaystyle \int {\left|e_1\right|}^{p+1}\text{d}x}.$

因此，存在足够大的 $s_1>0$，使得 $\Vert s_1{e}_1\Vert >{\rho }_1$且 $I_{\mu }\left(s_1{e}_1\right)<0$。取 $\bar{u}=s_1{e}_1$，(3)的证明完成。

命题1.1 假设条件(V1)成立，当 $0<\mu <{\mu }_1+\bar{\delta }$时，方程(1.3)有一个正解 $u_{\mu }$且满足 $I_{\mu }\left(u_{\mu }\right)>0$。

证明. 定义

$c_{1,\mu }=\underset{\gamma \in \Gamma }{\text{inf}}\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left(\gamma \left(t\right)\right),$

其中，

$\Gamma =\left\{\gamma \in C\left(\left[0,1\right],H\right):\gamma \left(0\right)=0,\gamma \left(1\right)=\bar{u}\right\},$

$\bar{u}$同引理1.3的(3)。由引理1.1可得 $c_{1,\mu }$是 $I_{\mu }$的临界且 $c_{1,\mu }>0$。参考 [13] [14] 中的方法可知，对任意的 $u\in H$，有 $I_{\mu }\left(u\right)=I_{\mu }\left(\left|u\right|\right)$且对每个 $n\in \mathbb{N}$，存在 ${\gamma }_n\in \Gamma$，在 ${ℝ}^3$上几乎处处有 ${\gamma }_n\ge 0$，因此对所有 $t\in \left[0,1\right]$，有

$c_{1,\mu }\le \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n\left(t\right)\right)\le c_{1,\mu }+\frac{1}{n}.$

由Ekeland变分原理 [15] ，可得 ${\gamma }_n^{\ast }\in \Gamma$具有以下性质：

1) $c_{1,\mu }\le \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n^{\ast }\left(t\right)\right)\le \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n\left(t\right)\right)<c_{1,\mu }+\frac{1}{n}$；

2) $\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|\left({\gamma }_n\left(t\right)\right)-\left({\gamma }_n^{\ast }\left(t\right)\right)\right|<\frac{1}{\sqrt{n}}$；

3) 存在 $t_n\in \left[0,1\right]$，使得 $z_n={\gamma }_n^{\ast }\left(t_n\right)$满足 $I_{\mu }\left(z_n\right)=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{I}_{\mu }\left({\gamma }_n^{\ast }\left(t_n\right)\right)$和 $\left|{I^{\prime }}_{\mu }\left(z_n\right)\right|\le \frac{1}{\sqrt{n}}$。

特别地，我们得到一个 ${\left(PS\right)}_{c_{1,\mu }}$序列 ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\subset H$。通过注释1.1，我们得到一个收敛的子序列，仍记为 ${\left(z_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$。因此可以假设在H中，当 $n\to \infty$时，有 $z_n\to z$。再由上面的性质可得，在H中，当 $n\to \infty$时，有 ${\gamma }_n\left(t_n\right)\to z$。因为 ${\gamma }_n\left(t\right)\ge 0$，所以我们得到在 ${ℝ}^3$中，几乎处处有 $z\ge 0$且 $I_{\mu }\left(z\right)>0$，它是方程(1.3)的一个解。由强极大值原理可得在 ${ℝ}^3$中 $z>0$，取 $u_{\mu }=z$，故命题得证。

命题1.2 假设条件(V1)成立，当 ${\mu }_1<\mu <{\mu }_1+\bar{\delta }$时，方程(1.3)有一个正解 $w_{\mu }$且满足 $I_{\mu }\left(w_{\mu }\right)<0$。

证明. 设 $B_{{\rho }_1}:=\left\{u\in H:\left|u\right|\le {\rho }_1\right\}$，其中 ${\rho }_1$同引理1.3的(2)。定义

$c_{2,\mu }:=\underset{\left|u\right|\le {\rho }_1}{\text{inf}}{I}_{\mu }\left(u\right).$

显然 $c_{2,\mu }>-\infty$。参考 [1] 的方法，可得存在正常数 $C_i$，使得

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(t{\eta }_R{e}_1\right)\le \left({\mu }_1-\mu \right)\frac{t^2}{4}{\displaystyle \int {\eta }_R^2}{e}_1^2\text{d}x+\frac{b}{4}{t}^4{\left({\displaystyle \int {\left|\nabla \left({\eta }_R{e}_1\right)\right|}^2\text{d}x}\right)}^2\\ -\frac{\lambda t^4}{4}{\displaystyle \int {\varphi }_{{\eta }_R{e}_1}}{\left({\eta }_R{e}_1\right)}^2\text{d}x-\frac{t^{p+1}}{p+1}{\displaystyle \int {\eta }_R^{p+1}}{e}_1^{p+1}\text{d}x\\ \le -C_1{t}^2+C_2{t}^4-C_3{t}^4-C_4{t}^{p+1}.\end{array}$

当 $t>0$足够大时，可得 $I_{\mu }\left(t{\eta }_R{e}_1\right)<0$。因此 $c_{2,\mu }<0$得证。

同命题1.1的方法，根据Ekeland变分原理和注释1.1，可得 $w_{\mu }\ge 0$是方程(1.3)的一个解，且 $I_{\mu }\left(w_{\mu }\right)<0$。由强极大值原理可得在 ${ℝ}^3$中 $w_{\mu }>0$。该命题得证。

定理1.1证明. 定理1.1的(1)由命题1.1得证，定理1.1的(2)结合命题1.1和命题1.2得证，故定理1.1得证。