不妨假定八次对称二维准晶的周期方向是z轴，准周期平面是xoy平面，夹杂不随周期方向变化，即 $\frac{\partial }{\partial z}=0$。由文献 [16] ，点群8 mm八次对称二维准晶的广义Hooke定律为

$\{\begin{array}{l}{\sigma }_{xx}=L\left({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}\right)+2M{\epsilon }_{xx}+R\left({\omega }_{xx}+{\omega }_{yy}\right),\\ {\sigma }_{yy}=L\left({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}\right)+2M{\epsilon }_{yy}-R\left({\omega }_{xx}+{\omega }_{yy}\right),\\ {\sigma }_{xy}={\sigma }_{yx}=2M{\epsilon }_{xy}+R\left({\omega }_{yx}-{\omega }_{xy}\right),\\ {\tau }_{xx}=K_1{\omega }_{xx}+K_2{\omega }_{yy}+R\left({\epsilon }_{xx}-{\epsilon }_{yy}\right),\\ {\tau }_{yy}=K_1{\omega }_{yy}+K_2{\omega }_{xx}+R\left({\epsilon }_{xx}-{\epsilon }_{yy}\right),\\ {\tau }_{xy}=\left(K_1+K_2+K_3\right){\omega }_{xy}+K_3{\omega }_{yx}-2R{\epsilon }_{xy},\\ {\tau }_{yx}=\left(K_1+K_2+K_3\right){\omega }_{yx}+K_3{\omega }_{xy}+2R{\epsilon }_{xy},\end{array}$(1)

变形几何方程为

${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right),{\omega }_{ij}=v_{i,j},$(2)

不计体力的平衡方程为

${\sigma }_{ij,j}=0,{\tau }_{ij,j}=0,$(3)

其中 $i=1,2$， $j=1,2$； ${\sigma }_{ij},{\epsilon }_{ij},u_i$表示声子场的应力、应变和位移； ${\tau }_{ij},{\omega }_{ij},v_i$是相位子场的应力、应变和位移；L和M表示声子场的弹性常数； $K_1$、 $K_2$及 $K_3$

$u_{i,j}=\frac{\partial u_i}{\partial x_j},v_{i,j}=\frac{\partial v_i}{\partial x_j};$

指标符号 $x_1$和 $x_2$分别表示空间直角坐标x和y。用 ${\sigma }_{12}$简记 ${\sigma }_{xy}$， ${\sigma }_{xy}$表示作用在y面(其外法线沿着y方向)上沿x方向的应力，其他符号的定义是类似的。同一个下标符号在一个单项中出现两次表示对该下标符号的所有可能取值求和，如

${\sigma }_{ij,j}={\sigma }_{i1,1}+{\sigma }_{i2,2},{\tau }_{ij,j}={\tau }_{i1,1}+{\tau }_{i2,2},$

上式中i是自由指标，j是哑标。

假设薄板各点沿z轴方向所有的场变量都为零，我们引入广义位移向量

$U=\xi g\left(z\right),$(4)

其中， $U={\left(u_1,u_2,v_1,v_2\right)}^{\text{T}}$， $g\left(z\right)$为任意的解析函数， $z=x_1+\lambda x_2$，上标“T”表示转置， $\lambda$是复数， $\xi$是列向量。 $U$可以由边界条件确定。把式(1)代入式(3)并结合式(4)和式(2)得

$\Lambda \xi =0,$(5)

其中

$\begin{array}{l}\Lambda =D+\lambda \left(N+N^{\text{T}}\right)+{\lambda }^{2}S,D=\left[\begin{array}{cc}{Q}_1& R_1\\ R_1& T_1\end{array}\right],N=\left[\begin{array}{cc}{Q}_2& R_2\\ R_2^T& T_2\end{array}\right],S=\left[\begin{array}{cc}{Q}_3& -R_1\\ -R_1& T_3\end{array}\right],\\ Q_1=\left[\begin{array}{cc}L+2M& 0\\ 0& M\end{array}\right],Q_2=\left[\begin{array}{cc}0& L\\ M& 0\end{array}\right],Q_3=\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ 0& L+2M\end{array}\right],R_1=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right],\\ R_2=\left[\begin{array}{cc}0& R\\ -R& 0\end{array}\right],T_1=\left[\begin{array}{cc}{K}_1& 0\\ 0& K_1+K_2+K_3\end{array}\right],T_2=\left[\begin{array}{cc}0& K_2\\ K_3& 0\end{array}\right],T_3=\left[\begin{array}{cc}{K}_1+K_2+K_3& 0\\ 0& K_1\end{array}\right].\end{array}$(6)

若式(5)存在非平凡解 $\xi$，须有

$\text{det}\left(\Lambda \right)=0.$(7)

方程(7)有4对共轭特征根 ${\lambda }_k$和 ${\bar{\lambda }}_k$，由应变能的正定性可知，特征根 $\lambda$是非实的，不失一般性，我们取 $\lambda =\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4\right\}$是虚部为正的特征根，相应的特征向量 $\xi =\left\{{\xi }_k\right\}$由方程(5)给出。方程(3)的基本解可以表示为

$U=2\mathrm{Re}\left\{Ag\left(z\right)\right\},$(8)

其中， $A={\left({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,{\xi }_4\right)}^{\text{T}}$， $g\left(z\right)={\left(g_1\left(z_1\right),g\left(z_2\right),g_3\left(z_3\right),g_4\left(z_4\right)\right)}^{\text{T}}$， $z_k=x_1+{\lambda }_k{x}_2$。

取 $\varsigma =\left(N^{\text{T}}+\lambda S\right)\xi$，声子场和相位子场应力可以表示为

${\sigma }_{j1}=-\lambda {\varsigma }_j{g}^{\prime }\left(z\right),{\sigma }_{j2}={\varsigma }_j{g}^{\prime }\left(z\right),{\tau }_{j1}=-\lambda {\varsigma }_{j+2}{g}^{\prime }\left(z\right),{\tau }_{j2}={\varsigma }_{j+2}{g}^{\prime }\left(z\right),j=1,2.$(9)

引入应力函数P，声子场和相位子场应力可以表示为

${\sigma }_{j1}=-P_{j,2},{\sigma }_{j2}=P_{j,1},{\tau }_{j1}=-P_{j+2,2},{\tau }_{j2}=P_{j+2,1},j=1,2.$(10)

则可求得应力函数

$P=2\text{Re}\left\{Bg\left(z\right)\right\},$(11)

其中， $B=\left[{\varsigma }_1,{\varsigma }_2,{\varsigma }_3,{\varsigma }_4\right]$。

若无特殊说明，本文取 $k=1,2,3,4$。

下面考虑含刚性夹杂的无限大准晶平面弹性问题。假设薄板在 $z^0=\left(x_1^0,x_2^0\right)$处受一集中点力 $q=\left(q_1,q_2,q_3,q_4\right)$作用，在无限远处不受力，如 图1 。

如果刚性夹杂相对基体不发生旋转，则相应的边界条件表示为 [14]

$U=0$，沿着椭圆边界；

${\displaystyle {\oint }_{C_1}\text{d}P}=q,{\displaystyle {\oint }_{C_2}\text{d}U}=\text{0}$， $C_1$表示包含点的封闭曲线， $C_2$表示任意封闭曲线；(12)

${\sigma }_{ij}\to 0,{\tau }_{ij}\to 0$，在无穷远处。

式(12)表明，如果点力q非零，应力函数 $g_k$应该是多值函数，要得到该多值函数，需要选择一个与点 $z^0$有关的多值函数 $g_k\left(z_k,z_k^0\right)$。参考文献 [15] ，我们选择

$g_k\left(z_k,z_k^0\right)=\ln \left(z_k-z_k^0\right){\eta }_k,$(13)

其中 ${\eta }_k$是未知复常数，由边界条件确定。结合式(13)，由式(8)和式(11)得到的基本解可以写为

$U=2\text{Re}\left\{A\langle \ln \left(z_k-z_k^0\right)\rangle \eta \right\},P=2\text{Re}\left\{B\langle \ln \left(z_k-z_k^0\right)\rangle \eta \right\},$(14)

其中， $\eta ={\left({\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,{\eta }_4\right)}^{\text{T}}$， $\langle \text{ln}\left(z_k-z_k^0\right)\rangle$表示4阶对角矩阵。对式(13)进行积分，则有

${\displaystyle {\oint }_C\text{d}}g\left(z\right)=2\text{πi}.$

把式(14)代入边界条件式(12)的第二组条件，可得

$2\text{πi}\left\{A\eta -\overline{A\eta }\right\}=0\text{,}2\text{πi}\left\{B\eta -\overline{B\eta }\right\}=q.$(15)

利用正交性

$\left(\begin{array}{cc}{B}^{\text{T}}& A^{\text{T}}\\ {\bar{B}}^{\text{T}}& {\bar{A}}^{\text{T}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& \bar{A}\\ B& \bar{B}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& I\end{array}\right),$

由式(15)可得 $\eta =A^{\text{T}}q/2\text{πi}$。

边界元法的基础是Green函数。为了方便问题求解，利用保角变换

${\chi }_k=\frac{z_k+\sqrt{z_k^2-a^2-{\lambda }_k^2{b}^2}}{a-\text{i}{\lambda }_{k}b}$(16)

将不同倾斜角椭圆孔的外部映射到单位圆孔的外部。根据解析延拓方法 [14] ，设椭圆刚性夹杂问题的Green函数为

$U=2\text{Re}\left\{A\left[g^{\text{I}}\left(\chi \right)+g^{\text{R}}\left(\chi \right)\right]\right\},P=2\text{Re}\left\{B\left[g^{\text{I}}\left(\chi \right)+g^{\text{R}}\left(\chi \right)\right]\right\},$(17)

其中 $g^{\text{I}}\left(\chi \right)=\langle \text{ln}\left({\chi }_k-{\chi }_k^0\right)\rangle {\eta }_{0}q$， ${\eta }_0=A^{\text{T}}/2\text{πi}$， $g^{\text{R}}\left(\chi \right)$是对应于刚性夹杂问题摄动场的解析函数，由边界条件确定。 $U$是无限大八次准晶平面弹性问题的基本解，如式(14)。把式(17)代入式(12)的第一个条件，经过计算得

$g^{\text{R}}\left(\chi \right)=A^{-1}\bar{A}\langle \text{ln}\left({\chi }^{-1}-{\overline{{\chi }^0}}_k\right)\rangle {\bar{A}}^{\text{T}}q/2\text{πi}=\underset{j=1}{\overset{4}{{\displaystyle \sum }}}\langle \text{ln}\left({\chi }_k^{-1}-{\overline{{\chi }^0}}_k\right)\rangle A^{-1}\bar{A}{E}_j{\bar{A}}^{\text{T}}q/2\text{πi}\text{,}$

其中 $E_j={\left(e_{mn}\right)}_{4\times 4}$， $e_{mn}=\{\begin{array}{l}1,m=n=j\\ 0,其它\end{array}$。

含刚性夹杂有限尺寸准晶薄板如 图2 所示，椭圆刚性夹杂的中心位于坐标原点，椭圆孔边界用参数方程

$x_1=a\cos \theta ,x_2=b\sin \theta$(18)

表示，参数 $\theta \in \left[0,2\text{π}\right]$，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。W为薄板宽，H为薄板高，板的边界用 $\Gamma$表示，椭圆中心与薄板中心重合。基体的椭圆孔边没有加载，仅在试样两端施加拉伸力。含椭圆孔有限尺寸准晶薄板如 图3 所示 [19] 。

在体力忽略不计且基体孔边不受力的情况下，边界条件为

$f_k={\sigma }_{kj}{n}_j={\tilde{f}}_k,\left(x_1,x_2\right)\in {\Gamma }_1;u_k={\tilde{u}}_k,\left(x_1,x_2\right)\in {\Gamma }_2,$(19)

其中， $k=1,2,3,4$； $j=1,2$； ${\text{Γ}}_1\cup {\text{Γ}}_2=\text{Γ}$。

引入记号

${\sigma }_{3j}\triangleq {\tau }_{1j},{\sigma }_{4j}\triangleq {\tau }_{2j},{\epsilon }_{3j}=\frac{1}{2}{u}_{3,j}\triangleq \frac{1}{2}{\omega }_{1j},{\epsilon }_{4j}=\frac{1}{2}{u}_{4,j}\triangleq \frac{1}{2}{\omega }_{2j},$

则式(2)和式(3)简记为

${\epsilon }_{kj}=\left(u_{k,j}+u_{j,k}\right)/2$

和

${\sigma }_{kj,j}=0.$(20)

当k > 2时， $u_{j,k}=0$。式(19)和式(20)组成偏微分方程边值问题，利用加权余量法，其定解问题的弱形式表示为

${\displaystyle {\iint }_{\Omega }{\sigma }_{kj,j}{\hat{u}}_k\text{d}\Omega }-{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_1}\left(f_k-{\tilde{f}}_k\right){\hat{u}}_k\text{d}\Gamma +{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_2}\left(u_k-{\tilde{u}}_k\right){\hat{p}}_k\text{d}\Gamma =0.$(21)

其中 ${\hat{u}}_k$和 ${\hat{p}}_k$为权函数。

对式(21)的第一项应用高斯公式，结合式(19)并利用功的互等定理，则有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\iint }_{\Omega }{\sigma }_{kj,j}{\hat{u}}_k\text{d}\Omega }={{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\left({\sigma }_{kj}{\hat{u}}_k\right)}_{,j}\text{d}\Omega -{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\sigma }_{kj}{\hat{u}}_{k,j}\text{d}\Omega \\ ={{\displaystyle \int }}_{\Gamma }{\sigma }_{kj}{\hat{u}}_k{n}_j\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\sigma }_{kj}{\hat{u}}_{k,j}\text{d}\Omega \\ ={{\displaystyle \int }}_{\Gamma }{f}_k{\hat{u}}_k\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\sigma }_{kj}{\hat{u}}_{k,j}\text{d}\Omega \\ ={{\displaystyle \int }}_{\Gamma }{f}_k{\hat{u}}_k\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\hat{\sigma }}_{kj}{u}_{k,j}\text{d}\Omega \\ ={{\displaystyle \int }}_{\Gamma }{f}_k{\hat{u}}_k\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\left({\hat{\sigma }}_{kj}{u}_k\right)}_{,j}\text{d}\Omega +{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\hat{\sigma }}_{kj,j}{u}_k\text{d}\Omega \\ ={{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_1}{f}_k{\hat{u}}_k\text{d}\Gamma +{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_2}{f}_k{\hat{u}}_k\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_1}{\hat{p}}_k{u}_k\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_2}{\hat{p}}_k{u}_k\text{d}\Gamma +{{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\hat{\sigma }}_{kj,j}{u}_k\text{d}\Omega ,\end{array}$(22)

将式(22)代入式(21)得

${{\displaystyle \int }}_{\Omega }{\hat{\sigma }}_{kj,j}{u}_k\text{d}\Omega +{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_1}{\tilde{f}}_k{\hat{u}}_k\text{d}\Gamma +{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_2}{f}_k{\hat{u}}_k\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_1}{u}_k{\hat{p}}_k\text{d}\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{{\Gamma }_2}{\tilde{u}}_k{\hat{p}}_k\text{d}\Gamma =0.$(23)

若权值 ${\hat{u}}_k$和 ${\hat{f}}_k$为方程(20)的位移和应力基本解，则与 ${\hat{u}}_k$对应的 ${\hat{\sigma }}_{kj}$应满足

${\hat{\sigma }}_{kj,j}+{\delta }_{kL}\Delta \left(z^0,z\right)=0,$(24)

其中“δ”是Kronecker符号，“Δ”是Dirac符号， $L=1,2,3,4$。边界上统一记号， ${\tilde{f}}_k$和 $f_k$均由 ${\stackrel{⌣}{f}}_k$表示， ${\tilde{u}}_k$和 $u_k$均由 ${\stackrel{⌣}{u}}_k$表示，为了避免混淆，哑标k改写为 $\alpha$， $\alpha =1,2,3,4$。由式(23)和式(24)可得区域Ω内的积分方程

${\stackrel{⌣}{u}}_L\left(z^0\right)={{\displaystyle \int }}_{\Gamma }{\stackrel{⌣}{f}}_{\alpha }{\hat{u}}_{\alpha L}d\Gamma -{{\displaystyle \int }}_{\Gamma }{\stackrel{⌣}{u}}_{\alpha }{\hat{f}}_{\alpha L}d\Gamma ,$(25)

其中 ${\hat{u}}_{\alpha L}$和 ${\hat{p}}_{\alpha L}$为已知函数。记长度为4的向量 $q_L={\left(q_k\right)}_4$，不失一般性，取

$q_k=\{\begin{array}{l}1,k=L,\\ 0,k\ne L.\end{array}$

${\hat{u}}_{\alpha L}$由式(17)中的 $U$直接得到， ${\hat{f}}_{\alpha L}$由式(17)中的 $\frac{\partial P}{\partial m}$得到。式(25)表明，若已知边界上的位移 $u_L$和面力 $f_L$，即可求得区域内任意一点的声子场位移及相位子场位移。将区域内的点 $z^0$边界逼近直至位于边界上，利用区域延拓法 [16] 可得边界积分方程

$D_{\alpha L}\left(z^0\right)u_{\alpha }\left(z^0\right)=\underset{\Gamma }{\overset{}{{\displaystyle \int }}}{p}_{\alpha }\left(z\right)u_{\alpha L}\left(z^0,z\right)\text{d}\Gamma \left(z\right)-\underset{\Gamma }{\overset{}{{\displaystyle \int }}}{u}_{\alpha }\left(z\right)f_{\alpha L}\left(z^0,z\right)\text{d}\Gamma \left(z\right),$(26)

其中

$D_{\alpha L}\left(z^0\right)=-\underset{\Gamma }{\overset{}{{\displaystyle \int }}}{f}_{\alpha L}\left(z^0,z\right)\text{d}\Gamma \left(z\right).$(27)

式(26)中的 $u_{\alpha L}\left(z^0,z\right)$和 $f_{\alpha L}\left(z^0,z\right)$分别表示点 $z^0$上 $x_{\alpha }$方向的单位点力诱导出点z处 $x_L$方向的位移和牵引力， $x_1$和 $x_2$分别对应声子场的x方向和y方向， $x_3$和 $x_4$分别对应相位子场的x方向和y方向， $D_{\alpha L}\left(z^0\right)$是依赖于 $z^0$的系数。利用式(17)把 $z^0$和z分别变换为 ${\chi }^0$和 $\chi$，则边界积分方程式(26)的矩阵形式可写为

$D\left({\chi }^0\right)u\left({\chi }^0\right)=\underset{\Gamma }{\overset{}{{\displaystyle \int }}}f\left(\chi \right)U\left({\chi }^0,\chi \right)\text{d}\Gamma \left(\chi \right)-\underset{\Gamma }{\overset{}{{\displaystyle \int }}}u\left(\chi \right)F\left({\chi }^0,\chi \right)\text{d}\Gamma \left(\chi \right),$(28)

待求解的物理量是 $f$或 $u$。由式(17)的格林函数可得 $U\left({\chi }^0,\chi \right)$和 $F\left({\chi }^0,\chi \right)$如下

$U\left({\chi }^0,\chi \right)=\frac{1}{\text{π}}\text{Im}\left\{A\left[\ln \left({\chi }_{\alpha }-{\chi }_{\alpha }^0\right)A^{\text{T}}+{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^4\ln \left({\chi }_{\alpha }^{-1}-{\bar{\chi }}_i^0\right)A^{-1}\bar{A}{E}_i{\bar{A}}^{\text{T}}\right]\right\},$

$\begin{array}{c}F\left({\chi }^0,\chi \right)=\frac{1}{\text{π}}\mathrm{Im}\left\{B\frac{2{\chi }_{\alpha }^2\left(\partial x_1/\partial m+p_k\partial x_2/\partial m\right)}{\left({\chi }_{\alpha }-{\chi }_{\alpha }^0\right)\left[\left(a-\text{i}{\lambda }_{\alpha }b\right){\chi }_{\alpha }^2-\left(a+\text{i}{\lambda }_{\alpha }b\right)\right]}{A}^{\text{T}}\right\}\\ +\frac{1}{\text{π}}{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^4\mathrm{Im}\left\{B\frac{-2{\chi }_{\alpha }\left(\partial x_1/\partial m+p_{\alpha }\partial x_2/\partial m\right)}{\left(1-{\chi }_{\alpha }{\bar{\chi }}_i^0\right)\left[\left(a-\text{i}{\lambda }_{\alpha }b\right){\chi }_k^2-\left(a+\text{i}{\lambda }_{\alpha }b\right)\right]}{A}^{-1}\bar{A}{E}_i{\bar{A}}^{\text{T}}\right\}.\end{array}$

式(27)中 $f$和 $u$均是长度为4的向量 $D,U$和 $F$均是四阶方阵。由式(27)可知， $D$为对角阵，平滑边界上 $D$的主对角线元素都是1/2，内点处 $D$是单位阵。

利用Guass数值积分公式对边界积分方程式(27)的积分进行离散，有

$D\left({\chi }^0\right)u\left({\chi }^0\right)+{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^N{\tilde{Y}}_n\left({\chi }^0\right)u_n={{\displaystyle \sum }}_{n=1}^N{G}_n\left({\chi }^0\right)f_n$,

整理为

${{\displaystyle \sum }}_{n=1}^N{Y}_{in}{u}_n={{\displaystyle \sum }}_{n=1}^N{G}_{in}{f}_n,i=1,2,\cdots ,N,$(29)

其中

$Y_{in}={\tilde{Y}}_{in},i\ne n;Y_{in}=Y_{in}+D_i,i=n.$

由式(29)可以计算出各边界节点处的位移或牵引力、应力及应变值。如果 ${\chi }^0$是内部点利用同样的数值积分公式，对区域内积分方程式(25)进行离散并整理，有

$u_i\left({\chi }^0\right)={{\displaystyle \sum }}_{n=1}^N{G}_{in}\left({\chi }^0\right)f_n-{{\displaystyle \sum }}_{n=1}^N{\hat{Y}}_{in}\left({\chi }^0\right)u_n,i=1,2,\cdots ,N.$(30)

利用边界的物理量 $f$和 $u$，由式(30)可以计算出区域内任意点相应的物理量。