本文设定帆船到达任意位置时夹角β可以测量，这也比较符合实际情况。在东北方向，当β固定时确定θ和α使得 $v_1$最大的问题是一个二元函数求极值问题。从等式(3)和(5)可知， $p_1$与α无关，因此只需在θ固定时使 $f_1$最大，解出α，再求θ使 $v_1$最大。由等式(2)得到， $f_1$可化为

$f_1=\frac{w}{2}\left[\cos \left(\theta -2\alpha \right)-\cos \theta \right]$，(7)

利用微分法可以求出 $\theta =2\alpha$时 $f_1$最大，记为 $f_{\max }=\frac{w}{2}\left(1-\cos \theta \right)$。

将 $f_{\max }$和 $p_1$代入(5)式得到

$v_1=k_1\left[w\left(1-\cos \theta \right)/2-p\cos \theta \right]\cos \left(\theta +\beta \right)=\left(k_{1}w/2\right)\left[1-\left(1+2p/w\right)\cos \theta \right]\cos \left(\theta +\beta \right)，$(8)

记 $k_2=k_{1}w/2$， $k_3=1+2p/w=1+2s_2/s_1$，则(8)式变为

$v_1=k_2\left(1-k_3\cos \theta \right)\cos \left(\theta +\beta \right).$(9)

通过 $\frac{\text{d}{v}_1}{\text{d}\theta }=0$可以求出

$k_3\sin \left(2\theta +\beta \right)=\sin \left(\theta +\beta \right)$，(10)

这里用到了两角和公式 $\sin \left(2\theta +\beta \right)=\sin \theta \cos \left(\theta +\beta \right)+\cos \theta \sin \left(\theta +\beta \right)$。(10)式表明，只要确定β值，按(10)式确定最优θ使得 $v_1$取最大值。

在东南方向，确定β和γ使得 $v^{\prime }$最大的问题仍然是一个二元函数求极值问题。同理，先固定β使 ${f^{\prime }}_1$最大，解出γ，再求β使 $v^{\prime }$最大。因此与(7)式相同方法得到当 $\gamma =\beta /2$时 ${f^{\prime }}_1$最大，记为 ${f^{\prime }}_{\max }=w\left(1-\cos \beta \right)/2$。

将 ${f^{\prime }}_{\max }$和 ${p^{\prime }}_1$代入(6)式得到

$\begin{array}{l}{v}^{\prime }=k_1\left[w\left(1-\cos \beta \right)/2-p\cos \beta \right]\\ =\left(k_{1}w/2\right)\left[1-\left(1+2p/w\right)\cos \beta \right]\\ =k_2\left(1-k_3\cos \beta \right).\end{array}$(11)

对(11)式求关于β的导数得到

$\frac{\text{d}{v}^{\prime }}{\text{d}\beta }=k_2{k}_3\sin \beta >0$，(12)

其中 $\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。这说明航速 $v^{\prime }$是一个递增函数，β越大速度 $v^{\prime }$越大。接下来，利用(10)式求出θ值，并利用数值拟合方法求出θ与β之间的关系。

当β固定时，通过(10)式求出最优的航向θ是一个非常繁琐的过程。如果能够建立航向θ与夹角β之间

的一种简单关系，在帆船调整航向时会起到事半功倍的效果。令(10)式左侧和右侧部分分别设为两个函数 $y_1=k_3\sin \left(2\theta +\beta \right)$和 $y_2=\sin \left(\theta +\beta \right)$，其中 $k_3=1+2s_2/s_1$。由假设1可知 $s_1$远大于 $s_2$，不妨取 $s_2/s_1=1/10$，则 $k_3=1.2$。当β取固定值时可以求出使两个函数值相等的θ。如 图4 所示，当 $\beta =5^{°}$时，对应的 $\theta \approx {62}^{°}$。当β取 $0^{°},5^{°},\cdots {55}^{°}$时求出使(10)式成立的θ，再利用 $\theta =2\alpha$的关系求出对应的α，并把这些数据记录在 表1 中。

如 图5 所示，通过 表1 数据进行线性拟合得到航向θ与夹角β之间的线性关系为

$\theta =-\frac{3}{5}\beta +{65}^{°}$，(13)

再由 $\alpha =\frac{1}{2}\theta$确定帆的朝向与夹角β之间的关系。

本节首先讨论帆船转东南方向夹角β的最大值和最小值问题。由(10)式确定的航向θ以及帆的朝向α使帆船东北方向航速 $v=k_2\left(1-k_3\cos \theta \right)$最大。为了使航速 $v>0$，必须满足 $f_{\max }>p_1$，即

$\frac{w}{2}\left(1-\cos \theta \right)>p\cos \theta$，(14)

进一步得到

$\cos \theta <\frac{1}{\frac{2p}{w}+1}=\frac{1}{\frac{2s_2}{s_1}+1}.$(15)

当取 $s_2/s_1=1/10$时得到 $\cos \theta <0.8333$，即 $\theta >{33}^{°}$。由关系式(13)得到 $\beta <{53}^{°}$，这表明当夹角β接近 ${53}^{°}$时帆船必须转东南方向。同理，使东南方向航速 $v^{\prime }>0$，必须满足

$\cos \beta <\frac{1}{\frac{2s_2}{s_1}+1}$，(16)

当取 $s_2/s_1=1/10$时确定 $\beta >{33}^{°}$，这说明夹角β至少大于 ${33}^{°}$时帆船才可以转东南方向。由(13)、(15)和(16)式可知，只需知道帆和船的迎风面积比例，即可确定夹角β的范围。

接下来确定帆船何时转东南方向使其到达终点B的航行时间最短。如 图6 所示， $A_i$表示β取某个值时帆船的位置，帆船东北方向的每段航行距离记为 $\Delta y_i$，用实线表示，帆船位置到终点B的距离记为 $\Delta x_i$，用虚线表示。根据 表1 的数据可知，当β取 $0^{°},5^{°},\cdots {55}^{°}$， $\Delta x_1=10$， $\Delta y_1=0$时，利用正弦定理求出三角形 $A_{1}B{A}_2$中其它两个边的长度，即 $\Delta x_2=9.6447$， $\Delta y_2=0.9277$。再利用 $\Delta x_2$求出三角形 $A_{2}B{A}_3$的其它两个边的长度 $\Delta x_3$和 $\Delta y_3$。以此类推，求出所有的 $\Delta x_i$和 $\Delta y_i$， $i=1,2,\cdots ,12$，这些数据记录在 表2 中。

为了计算帆船的航行时间，需要求出当β取 $0^{°},5^{°},\cdots {55}^{°}$时帆船东北和东南方向的最大速度。帆船在东北方向每段航行最大速度记为 $v_i$，东南方向最大速度记为 ${v^{\prime }}_i$。两个速度分别由(10)和(11)式求出，这里不妨取 $k_2=3$，求出的速度记录在 表2 中，负值表示帆船无法前进。帆船在东北方向每段航行距离所用时间记为 $t_i=\Delta y_{i+1}/v_i,i=1,2,\cdots ,11$，东南方向每个航线所用时间记为 ${t^{\prime }}_i=\Delta x_i/{v^{\prime }}_i,i=1,2,\cdots ,12$，所有结果仍记录在 表2 中，横线表示负速度对应的时间，可以忽略。

在β的取值范围 ${33}^{°}<\beta <{53}^{°}$内，由 表2 最后两列时间数据分别计算出帆船在 $\beta ={35}^{°},{40}^{°},{45}^{°},{50}^{°}$时转东南方向到达终点B所用时间。当 $\beta ={35}^{°}$时，帆船在 $A_8$的位置转东南方向到达B点的时间为 $t={t^{\prime }}_8=\text{163}\text{.2762}$；当 $\beta ={40}^{°}$时，帆船在 $A_9$的位置再转东南方向所用时间为 $t=t_8+{t^{\prime }}_9=\text{35}\text{.7448}$；当

$\beta ={45}^{°}$时，帆船先后到达 $A_9$和 $A_{10}$的位置再转东南方向，所用时间为 $t=t_8+t_9+{t^{\prime }}_{10}=\text{22}\text{.2464}$；当 $\beta ={50}^{°}$时，帆船先后到达 $A_9,A_{10}$和 $A_{11}$的位置再转东南方向，所用时间为 $t=t_8+t_9+t_{10}+{t^{\prime }}_{11}=\text{20}\text{.4679}$。从这些时间可以看出，夹角β越大帆船到达B点所用的时间越短。结合前面得到的结论，帆船在夹角β取值范围内越晚转东南方向，到达终点B的时间越短。 图7 画出了帆船在 $\beta ={50}^{°}$转东南方向时的最佳航行路线，其中箭头表示航行距离及方向。