近年来，矩阵秩不等式的研究取得了显著进展，主要体现在以下几个方面：

1) 理论研究的深化：学者们不断挖掘矩阵秩不等式的内在联系和深层次规律，提出了许多新的不等式和定理。例如，一些学者研究了Sylvester秩不等式，参考文献 [1] 利用矩阵秩的性质和分块矩阵运算技巧对Sylvester不等式进行了研究，给出了等号成立的充要条件，将其做了一定程度的推广，并得到了一些方便应用的充分条件，丰富了矩阵秩的性质。参考文献 [2] 应用线性方程组解的理论，可将矩阵秩的等式证明转化为线性方程组解空间相等的证明；将矩阵秩的不等式的证明转化为解空间包含的证明，从行列式性质法的证明转化为集合间关系的证明，不仅简化了矩阵秩的性质的证明，而且证明过程便于理解。

2) 应用领域的拓展：随着计算机技术和大数据的发展，矩阵秩不等式在信号处理、机器学习等领域的应用越来越广泛。通过构建合适的矩阵模型和优化算法，利用矩阵秩不等式解决实际问题成为了一种有效手段，参考文献 [3] 在数学表达式的基础上，采用区域比较法提出了基于矩阵不等式的外骨骼助行稳定性判据。

3) 交叉学科的融合：矩阵秩不等式的研究不再局限于数学领域内部，而是与其他学科(如计算机科学、物理学、生物学等)产生了广泛的交叉和融合。参考文献 [4] 构建了一类秩为n (n = 5, 6, 7, 8)的3-qubit混合态，研究了这类混合态的three-tangle，并且给出了相应的最优分解，最后验证了CKW不等式，这种交叉学科的融合不仅促进了矩阵秩不等式研究的深入发展，也为相关学科的研究提供了新的思路和方法。

秩的定义 [5] 1：向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\cdots ,{\alpha }_s$的任意一个极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩。

秩的定义2： $s\times n$阶非零矩阵A的秩等于A的不为0的子式的最高阶数，记为 $rank\left(A\right)$。

定义3 [5] [6] ：数域K上 $s\times n$阶梯形矩阵的列秩 = 行秩 = 非零行的个数。

1) 由于A的行向量组是 $A^{\prime }$的列向量组，从而A的行秩 = $A^{\prime }$的列秩。即 $rank\left(A\right)=rank\left(A^{\prime }\right)$

2) 设A是 $m\times n$阶非零矩阵，则 $rankA\le \min \left(m,n\right)$。由矩阵秩的定义知：矩阵A的秩不大于A的行数，也不会大于A的列数。

定理：设向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2\cdots ,{\beta }_r$可由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\cdots ,{\alpha }_s$线性表示，若 ${\beta }_1,{\beta }_2\cdots ,{\beta }_r$线性无关，那么 $r\le s$。

命题：向量组 $\left(I\right)$可以由向量组 $\left(II\right)$线性表示，则 $rank\left(I\right)\le rank\left(II\right)$。

证明： $\because$向量组 $\left(I\right)$可以由向量组 $\left(II\right)$线性表示，则 $\left(I\right)$的一个极大线性无关组 $\left(I\right)\text{'}$可由 $\left(II\right)$的一个极大线性无关组 $\left(II\right)\text{'}$线性表示。有 $\left(I\right)\cong \left(I\right)\text{'}$， $\left(II\right)\cong \left(II\right)\text{'}$由上述定理可知， $\left(I\right)\text{'}$所含向量个数 $\le$ $\left(II\right)\text{'}$所含向量个数。

引理 [7] [8] ：设A为 $m\times n$矩阵，齐次线性方程组 $AX=0$有一基础解系： ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_r$， $\Rightarrow AX=0$解空间的维度 = r $\Rightarrow R\left(A\right)=n-r$。

齐次线性方程组 $ABX=0$，如果η是 $ABX=0$的解向量，则有 $AB\eta =0$，即 $A\left(B\eta \right)=0$，所以 $B\eta$是 $AX=0$的解向量。

1) 不等式 $rank\left(AB\right)\le \min \left(rankA,rankB\right)$

证明：

$AB=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{s1}& \cdots & a_{sn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1j}& \cdots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nj}& \cdots & b_{nm}\end{array}\right)$的第j列是 $\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{b}_{1j}+\cdots +a_{1n}{b}_{nj}\\ ⋮\\ a_{s1}{b}_{1j}+\cdots +a_{sn}{b}_{nj}\end{array}\right)=b_{1j}{\alpha }_1+\cdots +b_{nj}{\alpha }_n$，于是 $AB=\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nm}\end{array}\right)=\left(b_{11}{\alpha }_1+\cdots +b_{n1}{\alpha }_n,\cdots ,b_{1m}{\alpha }_1+\cdots +b_{nm}{\alpha }_n\right)$从而AB的列向量组可由A的列向量组线性表示。于是 $rank\left(AB\right)\le rank\left(A\right)$ $rank\left(AB\right)=rank\left[\left(AB\right)\text{'}\right]=rank\left(B^{\prime }{A}^{\prime }\right)\le rank\left(B^{\prime }\right)=rank\left(B\right)$

因此有 $rank\left(AB\right)\le \min \left(rankA,rankB\right)$。

2) $rank\left(A+B\right)\le rankA+rankB$

证明： $A=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right),B=\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)$均为 $s\times n$阶矩阵

$\Rightarrow A+B=\left({\alpha }_1+{\beta }_1,{\alpha }_2+{\beta }_2,\cdots ,{\alpha }_n+{\beta }_n\right)$

令 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{r_1}$与 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_{r_2}$分别是A，B列向量组的极大线性无关组，

显然 ${\alpha }_i+{\beta }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$均可由 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{r_1},{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{r_2}$线性表示，

所以 $rank\left(A+B\right)\le {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{r_1},{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{r_2}$的秩 $\le rank\left(A\right)+rank\left(B\right)$，证毕。

3) $rank\left(AB\right)\ge rankA+rankB-n$

证明：设 $A,B$分别是 $m\times n,n\times s$矩阵，齐次线性方程组 $BX=0$有一基础解系： ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_l$，所以 $R\left(B\right)=s-l$

又因为 $BX=0$的解一定是 $ABX=0$，所以 $ABX=0$的基础解系一定包含 $BX=0$的基础解系

设 $ABX=0$的基础解系为 ${\eta }_1,\cdots ,{\eta }_l,{\eta }_{l+1},\cdots ,{\eta }_{l+k}$， $ABX=0$解空间的维度 $=l+k$，所以 $R\left(AB\right)=s-\left(l+k\right)$

如果， $k=0$，所以 $R\left(AB\right)=R\left(B\right)$，又因为 $R\left(A\right)\le n$，所以 $R\left(AB\right)\ge R\left(B\right)+R\left(A\right)-n$

如果， $k>0$， $R\left(B\right)=s-l$， $R\left(AB\right)=s-\left(l+k\right)$，所以 $R\left(B\right)-R\left(AB\right)=k$，

所以 ${\eta }_{l+1},\cdots ,{\eta }_{l+k}$共k个是 $ABX=0$的解向量，所以 $AB{\eta }_{l+i}=0\left(i=1,\cdots ,k\right)$，所以 $A\left(B{\eta }_{l+i}\right)=0$

因此 $B{\eta }_{l+1},\cdots ,B{\eta }_{l+k}$共k个是 $AX=0$的解向量， $B{\eta }_{l+1},\cdots ,B{\eta }_{l+k}$ $\subseteq$ $AX=0$的解空间，

所以 $B{\eta }_{l+1},\cdots ,B{\eta }_{l+k}$的秩 $\le$ $AX=0$解空间的维度，因此 $k\le n-R\left(A\right)$，所欲 $R\left(B\right)-R\left(AB\right)\le n-R\left(A\right)$ $\Rightarrow R\left(AB\right)\ge R\left(B\right)+R\left(A\right)-n$。

本文深入探讨了三个关键的矩阵秩不等式，这些不等式在多个数学领域展现出广泛的应用价值。前两个不等式的证明巧妙地利用了向量组线性相关性的原理。而第三个不等式的证明，则从齐次线性方程组解的性质出发，提供了一个新颖且深刻的视角，这不仅展示了矩阵秩与线性方程组之间的紧密联系，也为理解矩阵不等式提供了新的思路。本文的研究不仅加深了我们对矩阵不等式及其相关数学内容的理解，还进一步丰富了现有的理论框架，为后续的研究与应用奠定了坚实的基础。

矩阵秩的不等式是高等代数中的一个重点、难点，本文所做的这些还远远不能解决矩阵秩中许许多多复杂多变的问题，而且证明它们的方法也有很多，本人也会继续努力，希望在以后的学习与科研中能够更深入地研究，使得相关的基本知识以及应用越来越完善。