接近中心性 [15] 方法根据节点对间的最短路径长度衡量节点的关键程度，其计算公式为

$CC\left(v_i\right)=\frac{n-1}{{\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }{d}_{ij}}},$(1)

其中 $d_{ij}$表示节点 $v_i$和 $v_j$之间的最短路径长度。

H指数中心性 [16] 方法根据节点1阶邻居节点的度衡量节点的关键程度，即假设节点 $v_i$至少有h个1阶邻居节点的度大于或等于h，则节点 $v_i$的H指数中心性值 $H\left(v_i\right)=h$。

K-Shell分解 [10] 方法根据节点在网络中的位置衡量节点的关键程度，其为节点分配K-Shell值的步骤如下：第一步，计算所有节点的度，找出度为1的节点并移除，标记这些移除节点的K-Shell值为1。第二步，更新剩余节点的度，检查是否还有度为1的节点。如果有，则接着移除度为1的节点，直至所有剩余节点的度都大于1，并标记这些移除节点的K-Shell值为1；如果没有，则依次增加节点的度和K-Shell值并重复上述过程，直至网络中所有的节点都被移除。

引力中心性方法 [12] 通过结合节点的K-Shell值和最短路径长度值衡量节点的关键程度，其计算公式如下

$GC\left(v_i\right)=\underset{j\ne i,d_{ij}\le 3}{{\displaystyle \sum }}\frac{KS\left(v_i\right)\times KS\left(v_j\right)}{d_{ij}^2},$(2)

其中 $KS\left(v_i\right)$表示节点 $v_i$的K-Shell值。

拉普拉斯引力中心性 [14] 方法通过结合节点的拉普拉斯中心性值和最短路径长度值衡量节点的关键程度，其计算公式如下

$LGC\left(v_i\right)=\underset{j\ne i,d_{ij}\le R}{{\displaystyle \sum }}\frac{LC\left(v_i\right)\times LC\left(v_j\right)}{d_{ij}^2}$,(3)

$LC\left(v_i\right)=K^2\left(v_i\right)+K\left(v_i\right)+2\underset{v_j\in N_1\left(v_i\right)}{{\displaystyle \sum }}K\left(v_j\right)$,(4)

其中，R为网络平均最短路径长度 $\langle d\rangle$的一半，即 $R=\frac{1}{2}\langle d\rangle$， $LC\left(v_i\right)$表示节点 $v_i$的拉普拉斯中心性值， $N_1\left(v_i\right)$表示节点 $v_i$的1阶邻居。

拉普拉斯能量中心性 [17] 方法根据节点的度及节点形成的三角形个数衡量节点的关键程度，其计算公式为

$LC\left(v_i\right)=K^3\left(v_i\right)+3K^2\left(v_i\right)-2K\left(v_i\right)+\underset{v_j\in N_1\left(v_i\right)}{{\displaystyle \sum }}\left\{3K^2\left(v_j\right)+3K\left(v_j\right)\right\}-6\Delta \left(v_i\right),$(5)

其中 $\Delta \left(v_i\right)$表示以节点 $v_i$为顶点形成的三角形个数。

信息熵是信息论中广泛应用的基本概念之一，可用于度量信息的信息量。对于任意的离散随机变量 $X=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$，其概率分布为 $P=\left\{p_1,p_2,\cdots ,p_n\right\}$，则随机变量X的信息熵可以通过以下公式计算，即

$E\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{p}_i{\log }_2{p}_i,$(6)

其中，信息熵的值越大，表示其拥有的信息量越多。近年来，信息熵作为有效的信息量度量指标，不断被推广应用于复杂网络中关键节点识别问题的研究中 [18] - [20] 。

节点的度仅考虑了节点的1阶邻居个数，而H指数中心性忽略了节点自身的度，即对于一些节点自身度较大而1阶邻居节点度较小的节点，会造成识别结果不准确的问题。此外，无论是在计算节点度还是H指数中心性的过程中，都只考虑了邻居节点的个数而没有考虑邻居节点之间的连接情况。与此相反，聚类系数可以很好的衡量节点的邻居节点之间的连接情况。但近些年的研究结果表明，高聚类系数值的节点在信息传播过程中会造成信息的重复传播，从而影响信息传播的速度。因此，本文将通过综合考虑节点的度、H指数中心性以及聚类系数，对引力模型中衡量节点“质量”时考虑的因素单一这一问题进行改进，改进后节点 $v_i$的“质量”表示为

$C\left(v_i\right)=\frac{K\left(v_i\right)}{K_{\max }}+\frac{H\left(v_i\right)}{H_{\max }}+\frac{1-cc\left(v_i\right)}{1-\min \left(cc\right)},$(7)

其中， $K_{\max }=\max \left\{K\left(v_1\right),K\left(v_2\right),\cdots ,K\left(v_n\right)\right\}$， $H_{\max }=\max \left\{H\left(v_1\right),H\left(v_2\right),\cdots ,H\left(v_n\right)\right\}$， $\min \left(cc\right)=\min \left\{cc\left(v_1\right),cc\left(v_2\right),\cdots ,cc\left(v_n\right)\right\}$。为进一步区分不同节点的“质量”，利用信息熵对求得的值再次进行区分。基于此，节点 $v_i$的“质量”进一步表示为

$E\left(v_i\right)=-\underset{v_j\in \Psi \left(v_i\right)}{{\displaystyle \sum }}p\left(v_j\right){\log }_{2}p\left(v_j\right),$(8)

其中， $p\left(v_j\right)=\frac{C\left(v_j\right)}{{{\displaystyle \sum }}_{v_j\in \Psi \left(v_i\right)}C\left(v_j\right)}$， $\Psi \left(v_i\right)=N_1\left(v_i\right)\cup \left\{v_i\right\}$。

在利用引力模型求节点的影响力值时，如何衡量节点的影响范围一直是一个难题，大部分学者将节点的影响范围定义为网络平均最短路径长度的一半。然而，计算一个网络的平均最短路径长度所需的运行时间代价是较高的。通过对近些年关键节点识别的相关论文进行阅读，发现许多学者在考虑节点的影响范围时，通常考虑的是节点2阶内的邻居节点。因此，本文在考虑节点的影响范围时，只考虑节点2阶内的邻居节点。最终，节点 $v_i$的影响力值表示为

$IGM\left(v_i\right)=\underset{j\ne i,d_{ij}\le 2}{{\displaystyle \sum }}\frac{E\left(v_i\right)\times E\left(v_j\right)}{d_{ij}^2}.$(9)

本文采用以下八个数据集作为实验数据集，即Adjnoun [21] ：小说《大卫科波菲尔》中形容词和名词构成的网络；Enron [22] ：安然公司员工之间的电子邮件通讯网络；Netscience [21] ：网络科学领域中作者之间的合著关系网络；Celegans [21] ：秀丽隐杆线虫的代谢网络；Crime [22] ：由罪犯之间的联系构成的犯罪网络；Email [23] ：罗维拉–威尔吉利大学成员之间的电子邮件通讯网络；Air [23] ：由美国联邦航空局国家飞行数据构建的航空网络；Health [24] ：由青少年之间的联系构成的网络。八个数据集的基本信息如 表2 所示，其中， $\langle cc\rangle$表示网络平均聚类系数。

这一部分将介绍三个评估指标，分别是基于单调性的评估指标、基于网络连通性的评估指标以及基于传染病模型的评估指标。

单调性函数 [25] 可以用于评估不同方法的节点区分能力，其计算公式为

$M\left(R\right)={\left\{1-\frac{{{\displaystyle \sum }}_{r\in R}{n}_r\times \left(n_r-1\right)}{n\times \left(n-1\right)}\right\}}^2,$(10)

其中，R是根据节点的影响力值从大到小将节点进行排序的排序等级列表， $n_r$表示在排名等级r上的节点数，M的取值范围是[0, 1]。当M值为0时，表明所有节点的影响力值是相同的，即所有节点的排序等级都是相同的；当M值为1时，表明所有节点的影响力值都是不同的，即所有节点的排序等级都是不同的。M值越接近于1，表明对应方法的节点区分能力越强。

按照排序等级列表R依次移除一定的比例节点后，网络连通子图的数量和最大连通子图的规模可以用于衡量节点识别方法的鲁棒性 [26] 。记网络连通子图的总数为 $\xi$，则最大连通子图的规模表示为

$\tau =\frac{M_c}{n},$(11)

其中， $M_c=\max \left\{N_1,N_2,\cdots ,N_{\xi }\right\}$表示最大连通子图包含的节点总数， $N_{\xi }$表示对应连通子图包含的节点总数。当 $\xi$的值越大， $\tau$的值越小时，表明对应识别方法的鲁棒性越强。

识别方法的准确性可以用SI模型 [27] 进行评估。SI模型将节点分为两种状态，即易感状态和感染状态。在每一步感染过程中，处于感染状态的节点以概率 $\beta$感染其易感状态的邻居，标记第t步时处于感染状态的总节点数为 $F\left(t\right)$。在传染过程中，如果感染率 $\beta$过低，则感染状态节点只能以较低的概率感染其周围易感状态节点，从而只有少量节点被感染。相反，如果感染率 $\beta$过高，则所有节点最终都会被感染，使得难以区分出各个节点的真实感染能力。本文与文献 [27] 取值相同的参数值，即 $\beta =0.1$， $t=10$。在相同步长内，如果 $F\left(t\right)$值越大，表示对应方法识别出的节点感染能力越强，即识别出的节点越准确。

表3 列出了七种方法在八个数据集的单调性值，其中，每个数据集上最高的单调性值被加粗表示。根据 表3 可知，除了在Netscience数据集上，IGM方法总是可以取得最高的单调性值，并且在Netscience数据集上的单调性值也是位于第二的。KS方法是一种基于节点位置信息的粗粒化识别方法，故该方法将许多影响力不同节点分配到同一层中，导致该方法在不同数据集上的单调性值都是最低的。从 表3 可以观察到，相比于KS方法，HC方法在节点区分能力上有一定的提升。LEC方法不仅考虑了节点自身与邻居节点的度，而且还考虑了节点的邻居互为邻居的情况。因此，LEC方法的节点区分能力得到进一步提升，并且在Netscience数据集上取得了最高的单调性值。CC方法的单调性值基本都大于0.99，比起KS和HC方法，该方法的节点区分能力是更强的。GC方法同时考虑了节点的位置信息和路径信息，LGC方法同时考虑了节点自身以及邻居节点的度和路径信息，故这两种方法的节点区分能力相对来说也是比较好的。总而言之，相较于其他六种方法，IGM方法的节点区分能力是更强的。

图1 给出了移除一定比例节点后 $\xi$值的变化曲线，其中横轴表示移除节点的比例，纵轴表示 $\xi$值。从 图1 中可以观察到，在大多数情况下，IGM方法总是可以取得最大的 $\xi$值，尤其是在Adjnoun、Netscience、Crime和Air数据集上，可以看到明显的优势。在剩余的四个数据集上，虽然不同方法之间的区别没有前面四个数据集明显，但总体来说IGM方法依旧是更有优势的。例如在Celegans数据集上，当移除前40%比例的节点时，IGM方法的优势也是明显的。根据 图1 可知，在大多数情况下，HC方法获得连通子图数量是大于其它五种对比方法的。例如在Air数据集上，当移除20%~70%比例的节点时，HC方法获得的连通子图数量是大于其它五种对比方法的。相对来说，GC和LGC方法总是位于中间的位置，而CC、KS和LEC这三种方法获得的连通子图数量是较少的。例如在Enron数据集上，当移除前50%比例的节点时，KS方法获得的连通子图数量总是最少的；在Celegans数据集上，当移除前80%比例的节点时，CC和LEC方法在大多数情况下总是获得最小的 $\xi$值。结合 表2 ，可以观察到对于 $\langle d\rangle$较大的网络，CC方法获得的连通子图数量总是较少的。

图2 给出了移除一定比例节点后 $\tau$值的变化曲线，其中横轴表示移除节点的比例，纵轴表示 $\tau$值。从 图2 中可以观察到，在Adjnoun、Netscience、Crime和Air数据集上，IGM方法总是可以取得最小的 $\tau$值。例如，在Netscience数据集上，当移除节点比例为10%时，IGM方法获得了最小的 $\tau$值，并且与最大 $\tau$值之间的 $\tau$值差为0.5963。与 图1 中的情况类似，HC、GC和LGC方法总是位于中间的位置，而CC、KS和LEC这三种方法的效果较差。根据 图1 和 图2 可知，按一定比例移除IGM方法识别出的节点，不仅可以快速增加连通子图的数量，而且还可以使得最大连通子图的节点总数达到最少，即说明IGM方法的鲁棒性是最强的。

在本实验中，选取每种方法影响力值最大的前20个节点为最初的感染节点，将每种方法独立运行100次后，取每一步的平均值并标记为 $\langle F\left(t\right)\rangle$，该平均值即为每一步最终的感染节点数。 图3 给出了七种方法在八个数据集上的感染曲线，其中横轴表示步长，纵轴表示感染节点总数。从 图3 中可以观察到，IGM方法在大多数情况下都可以取得最大的 $\langle F\left(t\right)\rangle$值，即说明IGM方法识别出节点的感染能力是最强的，也即IGM方法识别出的节点是更准确的。例如，在Health数据集上，IGM方法比其它对比方法存在明显的优势，并且与最低的 $\langle F\left(t\right)\rangle$值之间的差值分别为32，116，208，286，376，378，343，263，195，129。相对来说，在大多数数据集上，CC、GC和LGC方法的 $\langle F\left(t\right)\rangle$值总是位于中间的位置。在Netscience和Crime数据集上，KS方法识别出节点的感染能力是更弱的，因为在大多数情况下，KS方法获得的 $\langle F\left(t\right)\rangle$值总是更小的。在Enron数据集上，HC方法识别出节点的感染能力是更弱的。在Email和Health数据集上，LEC方法识别出节点的感染能力是更弱的。总而言之，相比于其它六种节点识别方法，IGM方法识别出的节点是更准确的。

在本实验中，将每种方法独立运行100次后，取其运行时间的平均值作为每种方法的最终运行时间。 表4 列出了七种方法在八个数据集上的最终运行时间，运行时间单位为秒。根据 表4 可知，IGM方法的运行时间总是位于中间的位置，即IGM方法的运行时间不是最高的，也不是最低的。HC、KS和LEC方法相对来说运行时间较短，且三种方法均在1秒以内完成。然而，HC和KS方法的节点区分能力较弱。虽然CC、GC和LGC方法的节点区分能力比HC和KS方法强，但这三种方法的运行时间相对来说是更高的。尤其是CC和LGC方法，因为它们需要计算所有节点对间的最短路径长度，这是比较费时间的。从 表4 中可以观察到，随着数据集规模的扩大，CC和LGC这两种方法的运行时间是快速增加的，尤其是在Health数据集上，CC方法的运行时间是IGM的5.6倍，LGC方法的运行时间是IGM的8.1倍。此外，通过计算可得，在所有数据集上与GC和LGC方法相比，IGM方法的运行时间可以降低18.97%~87.65%。综合考虑，IGM方法的运行时间在可接受的范围内。