借助计算机实现动漫技术是一项新兴的极具竞争力的产业。线性代数理论在该技术中起到非常重要的作用。比如把一个空间物体用多个顶点图形合成，把物体的动作分别用各个顶点的位置变化来表述，再把这些顶点在两个时间点之间的位移进行插补，使得动作可以用较小的步长连续实现，最后把立体形象投影到屏幕上。在这个过程中，很多环节都和线性代数知识相关。实际问题很复杂，以下给出一个简单平面运动的插补案例 [4] 。

例1 (1) 构造并绘制大写字母A的图形，然后对其逆时针旋转 $\frac{3}{4}\pi$，向上平移30，再向右平移20，构造平移和旋转矩阵，并绘制移动后的图形。

(2) 构造微变化矩阵，通过动画描述(1)中大写字母A的运动过程。

解：(1) 用矩阵X来描述平面坐标系中的一个闭合图形(即刚体)，X的第i个列向量表示图形第i个顶点的坐标。为了实现刚体的平移及旋转运算，给矩阵X添加元素值都为1的一行，使矩阵X的形状为3 × n (图形共有n-1个顶点)。

若有矩阵： $M=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& c_1\\ 0& 1& c_2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$， $R=\left[\begin{array}{ccc}\cos t& -\sin t& 0\\ \sin t& \cos t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，且： $Y_1=MX$， $Y_2=RX$

可以证明，矩阵Y₁是刚体X沿x轴正方向平移c₁，沿y轴正方向平移c₂后的结果；矩阵Y₂是刚体X以坐标原点为中心逆时针旋转t弧度的结果 [5] 。

表1 给出大写字母A的11个顶点坐标值，其中最后一列与第一列相同，表示一个完整的闭合图形。

构造刚体矩阵 $X=\left[\begin{array}{cccccccccccc}0& 4& 6& 10& 8& 5& 3.5& 6.1& 6.5& 3.2& 2& 0\\ 0& 14& 14& 0& 0& 11& 6& 6& 4.5& 4.5& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$旋转矩阵 $R=\left[\begin{array}{ccc}\cos \frac{3\pi }{4}& -\sin \frac{3\pi }{4}& 0\\ \sin \frac{3\pi }{4}& \cos \frac{3\pi }{4}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$及平移矩阵 $M=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 20\\ 0& 1& 30\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

在MATLAB的M文件编辑器中编写程序11-1.m

在MATLAB命令窗口中输入：11-1。

绘制图形如 图1 所示。

(2) 空心A图形(X矩阵)经过N次微运动变化到实心A图形(Y矩阵)，可以理解为用微变化矩阵K对X进行了N次左乘，即： $Y=\left(K^N\right)\ast X$，则有 $K^N=M\ast R$，则微运动变化矩阵可以用MATLAB命令求得： $K={\left(M\ast R\right)}^{1/N}$，即K是对矩阵(M*R)开N次方的结果。

在MATLAB的M文件编辑器中编写程序l1-2.m

在MATLAB命令窗口中输入：l1-2。

MATLAB绘制出字母A经过8次微运动变化过程图，如 图2 所示。如果添加上消隐语句，可以得到更好的动画效果。

在目标与背景的红外辐射特性研究中，常常要分析太阳的辐射因素，而太阳因子的计算是一个非常重要的工作(太阳因子是面元的外法向与太阳光线夹角的余弦值)。以下给出一个利用线性代数知识和MATLAB软件计算建筑物表面太阳因子的应用案例。

例2 假设有一个半球形状的建筑物，计算其外表面各面元的太阳因子。

解：首先建立建筑物的几何模型，并进行网格划分，如 图3 所示。

建立固定在地面的坐标系，x轴为北方向，y轴为东方向，z为竖直向上方向。 $\theta$值分别取0˚、10˚、20˚、……70˚、80˚九个不同的值； $\phi$值分别取0˚、10˚、20˚、……、340˚、350˚三十六个不同的值。把半球表面分为9 × 36 = 324个小面元，容易得到这324个面小元的外法向向量：

$\left(\cos \theta \cos \phi ,\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \right)$

若已知某时刻太阳的高度角 $S\text{\_}\theta$和方位角 $S\text{\_}\phi$，如 图4 所示。则可以算出太阳光线的方向向量为：

$\left(\cos S\text{\_}\theta \cos S\text{\_}\phi ,\cos S\text{\_}\theta \sin S\text{\_}\phi ,\sin S\text{\_}\theta \right)$

最后，把每个面元的外法向向量和此时的太阳方向向量进行内积运算，从而求出该时刻每个面元的太阳因子。

在MATLAB的M文件编辑器中编写程序l2.m。

在MATLAB命令窗口中输入：l2。在MATLAB命令窗口中输入：12。即可以计算出半球形建筑物表面所有面元该时刻的太阳因子，具体数据放入了数组d_g中。太阳因子数据的获得，为下一步建筑物表面红外辐射特性的研究奠定了基础。

线性代数的矩阵运算常常可以解决生活中的很多问题，下面这个案例是一个关于旅行路线统计的问题。

例题3：李博士从西安要到a、b、c、d、e五个国家去旅行，规定在每一个国家只能停留在一个城市。 图5 给出李博士从西安到五个国家不同城市的路线图。从图中可以看出，a国有3个城市可以选择，从西安到a1城市有2种不同的途径，到a2有3种不同的途径，到a3有1种途径；b国有2个城市可以选择……问李博士从西安游遍这五个国家共有多少不同的旅行方式？

解：构造两个相邻国家之间旅行路线矩阵。

从西安到a国的情况可以用下表或矩阵A描述：

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\end{array}\right)$

从a国到b国的情况可以用下表或用矩阵B描述：

$B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$

从b国到c国的情况可以用下表或用矩阵C描述：

$C=\left(\begin{array}{cccc}3& 3& 1& 0\\ 0& 0& 2& 2\end{array}\right)$

从c国到d国的情况可以用下表或矩阵D描述：

$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 3\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$

从d国到e国的情况可以用下表或用矩阵E描述：

$E=\left(\begin{array}{ccccc}2& 4& 5& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 2& 2& 2\end{array}\right)$

根据矩阵乘法规则，知 $A\ast B=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& 11\end{array}\right)$，12和11分别代表从西安到b国的b1和b2两个不同城市的路线总数，于是有A*B*C*D*E的乘积代表从西安到e国e1、e2、e3、e4和e5五个不同城市的路线总数。

M文件编辑器中编写程序11-3.m。

在MATLAB命令窗口中输入：l1-3。

最后输出为：

X =

216 432 1372 508 508

ans =

3036

即从西安到E国家5个不同城市的路线总数由X给出，5个城市的路线总和为3036条路线。