边际弹性为产出相对于投入要素增长时的增长率，它表示生产函数参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$的性质。

$e_1=\frac{\text{d}y}{y}/\frac{\text{d}{x}_1}{x_1}=\alpha$(3)

$e_2=\frac{\text{d}y}{y}/\frac{\text{d}{x}_2}{x_2}=\beta$(4)

$e_3=\frac{\text{d}y}{y}/\frac{\text{d}{x}_3}{x_3}=\gamma$(5)

关系式中 $\frac{\text{d}y}{y}$表示产出变量的增长率，这揭示了生产函数的参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$的性质，关系式表示一单位投

入要素的增长率会带来与边际弹性绝对值相等的产出增长率的变动。如果 $\alpha +\beta +\gamma =1$，那么边际弹性 $\alpha ,\beta ,\gamma$便表示每种投入要素对总产出的贡献率所占的份额。

边际产出(Marginal Product)是指当投入要素增加一单位时，总产出随之产生的增加值，本文是指每增加一单位生产要素的投入所导致的北京市GDP的变动。

$M{P}_1=\frac{\partial y}{\partial x_1}=\alpha {\rm A}{x}_1^{\alpha -1}{x}_2^{\beta }{x}_3^{\gamma }=\frac{\alpha y}{x_1}$(6)

$M{P}_2=\frac{\partial y}{\partial x_2}=\beta {\rm A}{x}_1^{\alpha }{x}_2^{\beta -1}{x}_3^{\gamma }=\frac{\beta y}{x_2}$(7)

$M{P}_3=\frac{\partial y}{\partial x_3}=\gamma {\rm A}{x}_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }{x}_3^{\gamma -1}=\frac{\gamma y}{x_3}$(8)

两个投入要素之间的边际技术替代率(Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS)，它代表的是这两种要素边际产出之间的比值。这一比率深刻揭示了不同投入要素在保持总产出稳定时，对生产成果影响的差异性，同时也指示了在要素替代过程中应维持的特定比例关系。此关系与要素的边际产出比例相吻合，意味着当一种要素投入量减少时，为了保持产出不变，另一种要素的投入量必须相应增加。MRTS的公式清晰展现了这一经济逻辑，为生产决策中的资源调整提供了量化依据：

$MRT{S}_{1,2}=\frac{M{P}_1}{M{P}_2}=\frac{\alpha y/x_1}{\beta y/x_2}=\frac{x_2/\beta }{x_1/\alpha }=\frac{\alpha }{\beta }\left(\frac{x_2}{x_1}\right)$(9)

$MRT{S}_{1,3}=\frac{M{P}_1}{M{P}_3}=\frac{\alpha y/x_1}{\gamma y/x_3}=\frac{x_3/\gamma }{x_1/\alpha }=\frac{\alpha }{\gamma }\left(\frac{x_3}{x_1}\right)$(10)

$MRT{S}_{2,3}=\frac{M{P}_2}{M{P}_3}=\frac{\beta y/x_2}{\gamma y/x_3}=\frac{x_3/\gamma }{x_2/\beta }=\frac{\beta }{\gamma }\left(\frac{x_3}{x_2}\right)$(11)

技术进步系数也叫做全要素生产率(Total Factor Productivity)，我们用A来表示技术进步系数，它无法用投入要素来直接表示，A可以表示如下：

$y=f\left(x\right)=f\left(x_1,x_2,x_3\right)=A{x}_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }{x}_3^{\gamma }$(12)

$\text{d}y=A\left(M{P}_1\text{d}{x}_1+M{P}_2\text{d}{x}_2+M{P}_3\text{d}{x}_3\right)$(13)

$\frac{\text{d}y}{y}=A\left(\frac{M{P}_1}{y}\text{d}{x}_1+\frac{M{P}_2}{y}\text{d}{x}_2+\frac{M{P}_3}{y}\text{d}{x}_3\right)$(14)

$\frac{M{P}_1}{y}=\frac{\alpha }{x_1},\frac{M{P}_2}{y}=\frac{\beta }{x_2},\frac{M{P}_3}{y}=\frac{\gamma }{x_3}$(15)

$\frac{\text{d}y}{y}=A\left(\frac{\alpha }{x_1}\text{d}{x}_1+\frac{\beta }{x_2}\text{d}{x}_2+\frac{\gamma }{x_3}\text{d}{x}_3\right)$(16)

$\frac{\text{d}y}{y}=A\left(\alpha \frac{\text{d}{x}_1}{x_1}+\beta \frac{\text{d}{x}_2}{x_2}+\gamma \frac{\text{d}{x}_3}{x_3}\right)$(17)

$A=\frac{\frac{\text{d}y}{y}}{\alpha \frac{\text{d}{x}_1}{x_1}+\beta \frac{\text{d}{x}_2}{x_2}+\gamma \frac{\text{d}{x}_3}{x_3}}$(18)

本文基于北京市自2010年至2022年的数据样本，运用scipy.optimize.curve_fit库中的拟合功能，构建了劳动力、固定资本总额、煤炭能源消耗量与GDP之间的Cobb-Douglas生产函数模型。以下是具体的实施步骤与细节：

第一步：数据预处理与环境配置

首先，将 表1 中的原始数据转换为Python可识别的文本格式(如.txt文件)，随后配置Python的运行环境，确保所有必要的库(如NumPy)已正确安装。接着，通过编写Python脚本，利用np.loadtxt等方法读取数据并存储到数组data中。为了将年份数据转换为适合切比雪夫多项式处理的范围[−1, 1]，定义了时间变量t[i]，其转换公式为t[i] = 2 * (x0[i] − a)/(b − a) − 1，其中x0[i]代表原始年份数据，a和b分别为年份区间的最小值和最大值。此外，定义了Cobb-Douglas(CD)函数的具体形式deffunc()。

第二步：导入库与数据读取

在Python脚本中，首先导入scipy.optimize.curve_fit模块，这是SciPy库中用于数据拟合的重要工具。随后，读取包含年份、劳动力、固定资本、煤炭能源消耗量及GDP等变量的数据文件。这些数据将作为后续拟合过程的输入。

第三步：构建Cobb-Douglas回归模型

基于前期设定的技术进步因子假设(以二阶技术进步因子为例)，我们构建了包含五个参数的Cobb-Douglas函数模型。其中，参数a、b、c代表技术进步的相关系数，而d、e则对应于模型中的三个生产投入要素(劳动力、固定资本、煤炭能源消耗量)。由于Cobb-Douglas函数的性质，参数之间需满足 $\alpha +\beta +\gamma =1$的约束条件，因此，实际上仅有两个独立参数需要通过回归分析来确定。

第四步：拟合过程与结果输出

利用scipy.optimize.curve_fit函数，对Cobb-Douglas函数进行参数拟合。通过设定合理的初始参数值，函数能够自动寻找最优参数组合，使得模型与实际数据之间的拟合度达到最佳。在获得满意的参数估计后，进一步计算了Cobb-Douglas函数的边际产出(MP1, MP2, MP3)，并据此推导出边际替代率和技术进步系数的动态变化。最后，利用Python的绘图功能，将拟合结果及关键经济指标以图表形式直观展示，便于后续分析与讨论。

通过以上步骤，本文成功构建了基于北京市数据的Cobb-Douglas生产函数模型，并深入分析了各生产要素对GDP增长的贡献及其动态变化特征。

g(t)的形式设定为多项式，我们通过变更其阶数来生成五个不同的模型。利用编程工具，我们评估了这些模型在预测准确性上的表现，特别是关注了劳动力、资本、能源的作用系数以及误差项R²的值，具体数据汇总于 表2 所示：

基于n = 2，北京市地区生产总值的模型为：

$y={\text{e}}^{-0.106t^2+0.2588t+7.9394}{x}_1^{0.2249}{x}_2^{0.3321}{x}_3^{0.42306338}$(19)

在评估过程中，我们注意到当g(t)的阶数为0时，能源系数呈现负值，这与生产函数的理论框架及经济发展的自然规律相违背，因此该模型被剔除。类似地，阶数为1、3和5的模型也分别因为能源或资本系数的非合理值(小于0)而被排除考虑。

经过筛选，最终剩下的两个模型均成功通过了生产函数的基本要求检验。进一步基于误差R²的分析，我们确定当g(t)的阶数为2时，模型的拟合效果最佳，同时所有投入要素的系数均保持在合理范围内，这表明该模型在解释实际经济现象方面表现最为优越。

在本文的最终选择中，我们确定了n = 2的二阶函数模型作为最佳拟合，其中资本系数 $\beta$、劳动力系数 $\alpha$和能源系数 $\gamma$分别为0.3221、0.2449和0.4231。这一结果表明，在2010至2022年的时间跨度内，北京市的经济增长动力显著依赖于化石能源和固定资本的投资规模。接下来，我们将深入分析这一经济现象背后的多重因素。

北京市作为中国的首都，具有极高的能源消费水平。随着城市化进程的加速和经济的快速增长，能源需求不断攀升。在此期间，化石能源的消耗为北京市的经济发展提供了重要支撑，特别是在交通、建筑和工业领域。因此，能源成为推动北京市经济增长的关键因素之一。

资本投入在北京市经济增长中扮演了重要角色。作为一线城市，北京市在改革开放之后吸引了大量的国内外投资，用于基础设施建设、科技创新和产业升级等方面。这些资本投入不仅直接促进了经济增长，还为北京市的长期发展奠定了坚实基础。特别是在高新技术产业和现代服务业领域，资本的持续投入推动了这些行业的快速发展，成为北京市经济增长的新引擎。

然而，与能源和资本相比，劳动力在北京市经济增长中的贡献相对较低。这可能与北京市的人口结构和产业发展特点有关。一方面，北京市的人口老龄化趋势日益明显，适龄劳动人口比重相对下降，对经济增长的推动力有所减弱。另一方面，随着北京市产业结构的优化升级，高新技术产业和现代服务业逐渐成为主导产业，这些行业对劳动力的需求相对较低，而对技术和资本的需求更高。

北京市的经济增长动力主要来源于化石能源的消耗和固定资本的投入，而劳动力的贡献相对较低。这一现象与北京市的人口结构、产业发展特点以及资本投入等因素密切相关。在未来的发展中，北京市应进一步优化产业结构，提高能源利用效率，加强科技创新和人才培养，以实现更加可持续和高效的经济增长。

按照前文公式，对上述数据进行处理，我们分别得到化石能源投入量、固定资本形成总额、劳动投入量此三种生产要素的边际产出，拟合图如 图1 所示。

基于边际产出的分析，我们观察到劳动力、资本及能源三项生产要素均对经济增长产生了积极的推动作用，其边际产出均为正数。进一步分析显示，劳动力和能源的边际产出呈现出递增的态势，这有力地证明了北京市在劳动力生产效率及能源利用效率上的不断提升，与经济发展的内在规律相契合。

通过上述数据的处理，我们可以得到劳动投入量、固定资本形成总额、化石能源投入量三大要素两两之间的边际替代率的趋势图，如 图2 所示：

劳动与资本的边际替代率随时间推移总体呈上升趋势，反映出在维持产出恒定的情况下，减少一单位劳动力所需增加的资本投入逐年增加。相反，资本与能源的边际替代率则表现出波动下降的轨迹，这揭示了当产出保持不变时，减少一单位资本所需额外投入的能源量逐年减少。类似地，劳动与能源的边际替代率也展现出相似趋势，即减少一单位劳动力后，所需补充的能源投入量逐年递减。

劳动力和资本的边际替代率逐年上升，说明在北京市，随着时间的推移，减少劳动力并增加资本投入以维持相同产出的成本在逐年增加。这可能反映了劳动力成本的上升，使得企业更倾向于使用资本来替代劳动力。

资本和能源的边际替代率波动下降，表明在保持相同产出水平的情况下，减少资本投入并增加能源投入的需求在逐年递减。这可能意味着北京市的资本使用效率在提升，或者能源的使用成本相对降低。

劳动力和能源的边际替代率也呈现逐年递减的趋势，表明减少劳动力并增加能源投入以维持产出的需求在减少。这可能反映了能源利用的效率在提升，或者能源相对于劳动力的投入在下降。

这些变化反映了北京市经济结构的变迁。随着技术的进步和资本深化，劳动力可能在一定程度上被资本和能源所替代，而资本和能源的使用效率也在不断提高。

通过数据的处理，我们得到北京市2010至2022年的技术进步系数，如 表3 所示：

技术进步系数是衡量科技进步如何促进产出增长的关键指标，它不仅体现了技术进步的直接效应，还间接反映了诸多非传统投入要素对生产结果的积极影响。分析相关表格数据，可以清晰地看到，技术进步对北京市经济增长的贡献度呈现出逐年稳步上升的趋势，其增长速率亦在逐年加快，显示了技术进步对经济增长的强大驱动力。如 图3 所示。

我们可以通过对比北京GDP的变化来分析技术对经济增长的影响如 图4 所示。

技术进步的贡献在北京市经济增长中的步伐虽略有放缓，但过往依靠劳动密集与高能耗产业支撑的粗放型增长模式，其固有问题日益凸显，已成为经济持续增长道路上的绊脚石。广义上的技术进步，即技术革新、劳动力素质的提升及管理策略的优化，正悄然重塑经济增长的引擎体系，引领经济结构从劳动密集型向高精尖产业转型。这一转型不仅是北京市面向未来的核心增长动力，更是推动经济增长模式深刻变革、实现高质量发展的根本策略，为北京市的可持续发展铺设了坚实的基石。