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Advances in Applied Mathematics

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Articles

数学与物理

带有指数阻尼项的三维Navier-Stokes方程吸引子的存在性
Existence of Attractors for the Three-Dimensional Navier-Stokes Equations with Exponential Damping

刘爱博

刘

佳

辽宁师范大学数学学院，辽宁大连

09 09 2024

13 09 4129 4143 10 8 ：2024 2 8 ：2024 2 9 ：2024

2024

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

近些年，带有多项式阻尼项的Navier-Stokes方程被推导且得到研究，并且得出了很多重要结论。本文证明了带有指数阻尼项

α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u (α > 0, β > 0)

的三维Navier-Stokes方程在有界区域上整体吸引子的存在性。
In recent years, the Navier-Stokes equations with polynomial damping have been derived and studied, and many important conclusions have been drawn. In this paper, we show that the three-dimensional Navier-Stokes equations with exponential damping

α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u (α > 0, β > 0)

have global attractors in the bounded domain.

三维Navier-Stokes方程，指数阻尼项，吸引子
The Three-Dimensional Navier-Stokes Equations
Exponential Damping Attractors

1. 引言

自1933年以来，经典的Navier-Stokes方程引起了很多学者的兴趣和研究，得到了很多重要结果。例如，Leray [1] 与Hopf [2] 分别构造了Navier-Stokes方程在全空间和有界域上的弱解，并证明了三维经典Navier-Stokes方程当 $u_{0} \in L^{2} (ℝ^{3})$ 时存在一个弱解u，我们将这个弱解称为Leray-Hopf弱解。Fujita和Kato研究了经典Navier-Stokes方程的初值问题，并构造了三维Navier-Stokes方程在有界域上的温和解 [3] 等。

近期，又有很多学者对带有多项式阻尼项的Navier-Stokes方程进行了研究。2008年，蔡晓静和酒全森研究了阻尼项为 $α {| u |}^{β - 1} u$ 的Navier-Stokes方程解的存在性和唯一性，证明了当实数 $β \geq 1$ 且初值

$u_{0} \in L_{σ}^{2} (ℝ^{3})$ 时弱解具有整体存在性，当 $β \geq \frac{7}{2}$ 时方程具有整体强解，特别地，当 $\frac{7}{2} \leq β \leq 5$ 时强解唯一 [4] 。2012年，针对这一问题，周勇证明了当 $β \geq 3$ 时强解的整体存在性，并且建立了两个正则性准则，还证明了当 $β \geq 1$ 时强解和弱解存在的唯一性。2021年，J. Benameur构建了带有指数阻尼项 $α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u$ 的Navier-Stokes方程，证明了弱解的整体存在性 [5] ；之后，J. Benameur和M. Ltifi证明了带有指数阻尼项的Navier-Stokes方程强解的存在性和唯一性 [6] 。2022年，M. Ltifi证明了带有对数阻尼项 $α \log (e + {| u |}^{2}) {| u |}^{2} u$ 的Navier-Stokes方程强解的存在性和唯一性。

同时，学者们对Navier-Stokes方程吸引子的存在和性质也得到了很多研究。1991年，Ladyzhenskaya证明了半群吸引子的存在性 [7] 。1992年，A.V. Babin和M.I. Vishik提出了发展方程吸引子这一概念 [8] 。随后，数学家们对二维和三维Navier-Stokes方程的吸引子作了大量研究，并得出了很多重要结论。1998年，R. Rosa证明了二维Navier-Stokes流体在无界域上的整体吸引子 [9] 。2000年，E Feireisl证明了三维可压缩Navier-Stokes方程紧致的整体吸引子的存在性 [10] 。2011年，宋学力和侯延仁证明了阻尼项为 $α {| u |}^{β - 1} u$ 的Navier-Stokes方程在有界域中整体吸引子的存在性 [11] 。

基于以上学者的研究，我们发现对于带有多项式阻尼项的Navier-Stokes方程吸引子的存在性的研究颇少，考虑到吸引子对于Navier-Stokes方程研究的重要意义，本文将对带有指数阻尼项的Navier-Stokes方程吸引子的存在性进行研究。

假设 $Ω \subset ℝ^{3}$ 是边界 $\partial Ω$ 足够光滑的有界区域，本文的主要研究目的是，带有指数阻尼项 $α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u$ 的三维Navier-Stokes方程整体吸引子的存在性。为便于证明，本文构建了如下方程：

${\begin{array}{l} u_{t} - μ Δ u + (u \cdot \nabla) u + α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u + \nabla p = 0, & (x, t) \in Ω \times (0, T), \\ div u = 0, & (x, t) \in Ω \times (0, T), \\ {u |}_{t = 0} = u_{0} & x \in Ω, \\ {u |}_{\partial Ω} = 0, & x \in Ω . \end{array}$ (1)

其中 $μ > 0$ 为流体的运动粘度，向量函数 $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ 和 $p = p (x, t)$ 分别代表速度场和流体压力，阻尼项中 $β > 0$ 和 $α > 0$ 是两个常数，函数 $u_{0} = u_{0} (x)$ 为初速度。

首先根据 [3] 和 [4] 给出方程(1)弱解和强解的定义。

定义1.1 [3] 设 $α > 0$ ， $β > 0$ ，如果对于 $\forall T > 0$ ，函数对 $〈 u (x, t), p (x, t) 〉$ 满足下列条件

i) $u \in L^{\infty} (0, T; L_{σ}^{2} (Ω)) \cap L^{2} (0, T; W_{0, σ}^{1, 2} (Ω))$ ， $(e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| u |}^{2} \in L^{1} ((0, T) \times Ω)$ ；

ii) $u_{t} - μ Δ u + (u \cdot \nabla) u + α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u + \nabla p = 0$ 在 $D^{'} (0, T; Ω)$ 成立，u满足方程

$- \int_{0}^{T} 〈 u, φ_{t} 〉 + μ \int_{0}^{T} 〈 \nabla u, \nabla φ 〉 - \int_{0}^{T} 〈 (u \cdot \nabla) u, φ 〉 + α \int_{0}^{T} 〈 (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u, φ 〉 = 〈 u_{0}, φ (0) 〉,$

iii) $div u (x, t) = 0$ ，a.e. $(x, t) \in Ω \times (0, T)$ ，

则称函数对 $〈 u (x, t), p (x, t) 〉$ 是方程(1)的弱解，其中 $φ \in C_{0, σ}^{\infty} (0, T; Ω)$ 且 $div φ (\cdot, T) = 0$ 。

定义1.2 [4] 如果函数对 $〈 u (x, t), p (x, t) 〉$ 是方程(1)的弱解， $u_{0} \in W_{0, σ}^{1, 2} (Ω)$ ，且满足

$u \in L^{\infty} (0, T; H^{1} (Ω)) \cap L^{2} (0, T;^{\dot{H} 2} (Ω)),$

$(e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| u |}^{2}, (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| \nabla u |}^{2}, e^{β {| u |}^{2}} {| \nabla {| u |}^{2} |}^{2} \in L^{1} ((0, T) \times Ω)$

则称函数对 $〈 u (x, t), p (x, t) 〉$ 是方程(1)的强解。

通过定义1.1可知，如果 $u \in L^{\infty} (0, T; L_{σ}^{2} (Ω)) \cap L^{2} (0, T; W_{0, σ}^{1, 2} (Ω))$ 是方程(1)在 $[0, T]$ 上的弱解，那么u满足

${\begin{cases} \frac{d}{d t} (u, v) + μ ((u, v)) + b (u, u, v) + (α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u, v) = 0, \forall v \in V, \forall t > 0, \\ u (0) = u_{0} . \end{cases}$ (2)

方程(2)等价于函数方程

${\begin{cases} \frac{d u}{d t} + μ A u + B (u) + G (u) = 0, \forall t > 0, \forall T > 0, \\ u (0) = u_{0} . \end{cases}$ (3)

其中 $A u = - \tilde{P} Δ u$ 是Stokes算子， $\tilde{P}$ 是 ${(L^{2} (Ω))}^{3}$ 在H上的正交投影，定义为 $〈 A u, v 〉 = ((u, v))$ ，且 $F (u) = α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u$ ， $G (u) = \tilde{P} F (u)$ 。 $B : V \times V \to V^{'}$ 是双线性算子，定义为 $〈 B (u, v), w 〉 = b (u, v, w)$ ， $B (u) = B (u, u)$ ，其中

$b (u, v, w) = \sum_{i, j = 1}^{3} \int_{Ω} u_{i} \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} w_{j} d x$

$〈 \cdot, \cdot 〉$ 是V与 $V^{'}$ 的对偶积。

本文定义 $Z = W_{0, σ}^{1, 2} (Ω) \cap \cup_{4 \leq p \leq \infty} L^{\infty} (0, T; L^{p} (Ω))$ ，下面将给出本文的主要结论：

定理1.3 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则方程(3)存在一个 $(Z, H^{2})$ 整体吸引子，且在 $H^{2} (Ω)$ 中具有不变性和紧致性。

本文的结构如下：第二章将介绍本文所用到的基本符号和相关引理，第三章将给出多个命题的证明，为证明后文吸引子的整体存在性作铺垫，第四章将利用第三章的结论证明带有指数阻尼项 $α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u$ 的三维Navier-Stokes方程整体吸引子的存在性。

2. 基本符号和相关引理

本章将介绍本文所用到的基本符号和定义，以及已经证明过的相关定理和引理。

2.1. 基本符号

本节将介绍本文所用到的基本符号：

$C_{0, σ}^{\infty} (Ω)$ 表示全体 $C^{\infty}$ 实向量值函数的集合 $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ ，并在 $Ω$ 中具有紧支撑，使得 $div u = 0$ 。函数空间 $L_{σ}^{p} (Ω)$ ， $1 < p < \infty$ ，定义为 $L^{p} (Ω)$ 中 $C_{0, σ}^{\infty} (Ω)$ 的闭包，其中 $L^{p} (Ω) = {(L^{p} (Ω))}^{3}$ ，赋范数为 ${| \cdot |}_{p}$ 。 $W_{0, σ}^{k, p} (Ω)$ 为 $W^{k, p} (Ω)$ 中 $C_{0, σ}^{\infty} (Ω)$ 的闭包，赋范数为 ${‖ \cdot ‖}_{k, p}$ ，当 $p = 2$ 时，定义 $H^{k} (Ω) = W^{k, 2} (Ω)$ ， $H_{0, σ}^{k} (Ω) = W_{0, σ}^{k, 2} (Ω)$ 。 $H^{- k} (Ω)$ 表示 $H_{0, σ}^{k} (Ω)$ 的对偶空间， $^{\dot{H} 2} (Ω)$ 表示齐次Sobolev空间。

本文定义 $V = {u \in {(C_{0}^{\infty} (Ω))}^{3} : div u = 0}$ ， $H$ 和 $V$ 分别表示 $V$ 在 ${(L^{2} (Ω))}^{3}$ 和 ${(H_{0}^{1} (Ω))}^{3}$ 下的闭包。显然， $H$ 和 $V$ 是可分的希尔伯特空间， $H^{'}$ 是 $H$ 的对偶空间，存在连续嵌入 $V$ ↪ $H$ ↪ $V^{'}$ ，且 $V$ ↪ $H$ 是紧嵌入。 $H$ 和 $V$ 的内积表示为：

$(u, v) = \int_{Ω} u \cdot v d x, \forall u, v \in H, ((u, v)) = \sum_{i = 1}^{3} \int_{Ω} \nabla u_{i} \cdot \nabla v_{i} d x, \forall u, v \in V,$

并且范数表示为 ${| \cdot |}_{2} = {(\cdot, \cdot)}^{\frac{1}{2}}$ ， $‖ \cdot ‖ = {((\cdot, \cdot))}^{\frac{1}{2}}$ 。因此，在本文中， $H = L_{σ}^{2} (Ω)$ ， $V = W_{0, σ}^{1, 2} (Ω)$ ， $Z = V \cap \cup_{4 \leq p \leq \infty} L^{\infty} (0, T; L^{p} (Ω))$ 。

由于 $\partial Ω$ 是足够正则的， $D (A) = {(H^{2} (Ω))}^{3} \cap V$ 和 ${| A w |}_{2}$ 在 $D (A)$ 中定义了一个范数，它等价于 ${(H^{2} (Ω))}^{3}$ 中的范数，即存在一个仅依赖于 $Ω$ 的常数 $c_{1} (Ω) > 0$ ，使得

${‖ w ‖}_{{(H^{2} (Ω))}^{3}} \leq c_{1} (Ω) {| A w |}_{2}$ ， $\forall w \in D (A)$ .

本文中的c表示常数，c的值可能会随其依赖值的变化而变化。

2.2. 相关引理

在本节中，我们将根据 [3] 和 [4] 给出方程(1)的弱解和强解的存在性以及相关引理。

首先给出方程(1)弱解的存在性。

引理2.1 [3] 设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in H$ ，对于给定的 $T > 0$ ，方程(1)存在一个弱解 $u \in L^{\infty} (0, T; L^{2} (Ω)) \cap C (0, T; H^{- 2} (Ω)) \cap L^{2} (0, T;^{\dot{H} 1} (Ω)) \cap ℰ_{β}$ ，且对于任何 $t \geq 0$ 有

${‖ u (t) ‖}_{2}^{2} + 2 \int_{0}^{t} {‖ \nabla u (z) ‖}_{2}^{2} d z + 2 α \int_{0}^{t} {‖ (e^{β {| z |}^{2}} - 1) {| u (z) |}^{2} ‖}_{L^{1}} d z \leq {‖ u_{0} ‖}_{2}^{2} .$

其中 $ℰ_{β} = {f : (0, T) \times Ω \to Ω; (e^{β {| f |}^{2}} - 1) {| f |}^{2} \in L^{1} ((0, T) \times Ω)}$ 。

下面引理将介绍方程(1)强解的存在性和唯一性。

引理2.2 [4] 设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in V$ ，则方程(1)存在唯一强解 $u \in L^{\infty} (0, T; V) \cap C (0, T; H^{- 2} (Ω))$ $\cap L^{2} (0, T;^{\dot{H} 2} (Ω)) \cap ℋ_{β}$ ，且对于任何 $t \geq 0$ 有

${‖ u (t) ‖}_{2}^{2} + 2 \int_{0}^{t} {‖ \nabla u ‖}_{2}^{2} + 2 α \int_{0}^{t} {‖ (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| u |}^{2} ‖}_{L^{1}} \leq {‖ u_{0} ‖}_{2}^{2};$

${‖ \nabla u (t) ‖}_{2}^{2} + \int_{0}^{t} {‖ Δ u ‖}_{2}^{2} + α β \int_{0}^{t} {‖ e^{β {| u |}^{2}} {| \nabla ({| u |}^{2}) |}^{2} ‖}_{L^{1}} + α \int_{0}^{t} {‖ (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| \nabla u |}^{2} ‖}_{L^{1}} \leq {‖ \nabla u_{0} ‖}_{2}^{2} e^{\frac{t}{α β^{2}}};$

其中 $M_{α, β} (u_{0}) = {‖ \nabla u_{0} ‖}_{2}^{2} + \frac{{‖ u_{0} ‖}_{2}^{2}}{α β^{2}}$ ，

$ℋ_{β} = {f : (0, T) \times Ω \to Ω; (e^{β {| f |}^{2}} - 1) {| f |}^{2}, (e^{β {| f |}^{2}} - 1) {| \nabla f |}^{2}, e^{β {| f |}^{2}} {| \nabla {| f |}^{2} |}^{2} \in L^{1} ((0, T) \times Ω)}$ .

下面将介绍方程(1)的高正则解及其存在性的证明。

定义2.3 如果函数对 $〈 u (x, t), p (x, t) 〉$ 是方程(1)的弱解， $u_{0} \in Z$ ，且满足

$u \in L^{\infty} (0, T; V) \cap L^{2} (0, T;^{\dot{H} 2} (Ω)), \frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2} \in L^{\infty} (0, T; L^{1} (Ω)),$

则称函数对 $〈 u (x, t), p (x, t) 〉$ 是方程(1)的高正则解。

引理2.4 设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则对于 $\forall t \geq 0$ ，方程(1)存在整体强解：

$u \in L^{\infty} (0, T; V) \cap C (0, T; H^{- 2} (Ω)) \cap L^{2} (0, T;^{\dot{H} 2} (Ω)) \cap ℋ_{β}, \frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2} \in L^{\infty} (0, T; L^{1} (Ω)),$

满足

$\begin{array}{l} \sup_{0 \leq t \leq T} ({‖ u ‖}^{2} + \int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2}) d x) + α \int_{0}^{T} \int_{Ω} (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| \nabla u |}^{2} d x d t \\ + \frac{α β}{2} \int_{0}^{T} \int_{Ω} e^{β {| u |}^{2}} {| \nabla {| u |}^{2} |}^{2} d x d t + \int_{0}^{T} {| u_{t} |}_{2}^{2} d t + \frac{μ}{2} \int_{0}^{T} {| Δ u |}_{2}^{2} d t \leq C . \end{array}$

引理2.5将介绍方程(3)中 $F (u)$ 的性质，便于后续吸引子的研究。

引理2.5 设 $F (u) = α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u$ ，则

1) 设 $α > 0$ ， $β > 0$ ，F在 $ℝ^{3}$ 中连续可微，对于 $ℝ^{3}$ 中 $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ 的雅可比矩阵为：

$F^{'} (u) = α (\begin{matrix} e^{β {| u |}^{2}} (1 + 2 β u_{1}^{2}) - 1 & 2 β e^{β {| u |}^{2}} u_{1} u_{2} & 2 β e^{β {| u |}^{2}} u_{1} u_{3} \\ 2 β e^{β {| u |}^{2}} u_{1} u_{2} & e^{β {| u |}^{2}} (1 + 2 β u_{2}^{2}) - 1 & 2 β e^{β {| u |}^{2}} u_{2} u_{3} \\ 2 β e^{β {| u |}^{2}} u_{1} u_{3} & 2 β e^{β {| u |}^{2}} u_{2} u_{3} & e^{β {| u |}^{2}} (1 + 2 β u_{3}^{2}) - 1 \end{matrix})$

进而 $F^{'} (u)$ 是正定的，且对于任意 $u, v, w \in ℝ^{3}$ 有：

$| (F^{'} (u) v) \cdot w | \leq c e^{β {| u |}^{2}} {| u |}^{2} | v | | w |,$

其中，c是取决于 $β$ 和 $α$ 的大于零的常数。

2) F在 $ℝ^{3}$ 中单调，即对任意 $u, v \in ℝ^{3}$ 有：

$(F (u) - F (v), u - v) \geq 0$ [1] .

3. 解的一致估计

本章将构建方程(3)解的一致估计( $t \to \infty$ )，共有7个命题证明，这些命题在第四节中证明吸引子的存在性是十分必要的。我们从 $H$ 中的估计开始，在下面的命题中为便于估计，我们取 $μ = 1$ 。

命题3.1 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则存在常数 $ρ_{1}$ 、 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ ，使得

${| u (t) |}_{2} \leq ρ_{1}, \forall t \geq 0;$

$\int_{t}^{t + 1} {‖ u (s) ‖}^{2} d s \leq I_{1}, \int_{t}^{t + 1} {| (e^{β {| u (s) |}^{2}} - 1) {| u (s) |}^{2} |}_{L^{1}} d s < I_{2}, \forall t \geq 0.$

证明：将方程(1)与u作内积可得

$\frac{d}{d t} {| u |}_{2}^{2} + 2 {‖ u ‖}_{2}^{2} + 2 α \int_{Ω} (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| u |}^{2} d x = 0,$ (4)

由Poincare不等式知，存在 $λ_{1}$ ，使得

$\frac{d}{d t} {| u |}_{2}^{2} + 2 λ_{1} {| u |}_{2}^{2} \leq 0,$

由Gronwall不等式，可得

${| u |}_{2}^{2} \leq {| u_{0} |}_{2}^{2} e^{- 2 λ_{1} t}, \forall t \geq 0,$

则有

${| u |}_{2}^{2} \leq {| u_{0} |}_{2}^{2} \equiv ρ_{1}^{2}, \forall t \geq 0,$ (5)

将(13)在t到 $t + 1$ 上积分得到

${| u (t + 1) |}_{2}^{2} + 2 \int_{t}^{t + 1} {‖ u ‖}^{2} d s + 2 α \int_{t}^{t + 1} {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| u |}^{2} |}_{L^{1}} d s \leq {| u (t) |}_{2}^{2}$

则有

$2 \int_{t}^{t + 1} {‖ u (s) ‖}^{2} d s \leq {| u (t) |}_{2}^{2},$

由(14)可知

$\int_{t}^{t + 1} {‖ u (s) ‖}^{2} d s \leq \frac{1}{2} {| u (t) |}_{2}^{2} = \frac{1}{2} ρ_{1}^{2} \leq I_{1},$

同理可证

$\int_{t}^{t + 1} {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| u |}^{2} |}_{L^{1}} d s \leq I_{2},$

其中 $ρ_{1}$ 、 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 均为常数。证毕。

命题3.2 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则存在时间 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ ，常数 $ρ_{2}$ 和 $ρ_{3}$ 使得

$‖ u (t) ‖ \leq ρ_{2}, \forall t \geq t_{1}$ ;

$\int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2}) d x \leq ρ_{3}, \forall t \geq t_{2} .$

证明：(1) 首先，由引理2.4可知对于任意 ${‖ u_{0} ‖}^{2} \leq M$ ， $‖ u ‖$ 都是一致有界的，即对于每一个 $T > 0$ ，都有

$\sup_{t \in [0, T]} \sup_{‖ u_{0} ‖ \leq M} ‖ u (t) ‖ \leq K_{T},$

其中对于每一个 $T > 0$ ， $K_{T}$ 都是有限的。

因此，对于任意序列 ${u_{0 n}}$ 和 ${t_{n}}$ ，其中 $u_{0 n} \in Z$ ， $‖ u_{0 n} ‖ \leq M$ 和 $t_{n} \in [0, T]$ ，

$‖ S (t_{n}) u_{0 n} ‖ \to \infty (n \to \infty),$ (6)

是不存在的。为证明 $Z$ 中吸收集的存在性，必须排除当 $T \to \infty$ 时， $K_{T} \to \infty$ 。也就是说，必须证明

$sup_{t \in [0, T]} \sup_{‖ u_{0} ‖ \leq M} ‖ u (t) ‖ \leq K_{T} < \infty, \forall T > 0,$

成立。

由命题3.1可知

$\int_{t}^{t + 1} {‖ u (s) ‖}^{2} d s \leq I_{1}, \forall t \geq 0,$

现在考虑 $[t, t + 1]$ 中所有关于s的集合，其中 ${‖ u (s) ‖}^{2} > 2 I_{1}$ ，并且设 $σ$ 为这个集合的测度，则有

$2 I_{1} σ \leq \int_{t}^{t + 1} {‖ u (s) ‖}^{2} d s \leq I_{1},$

因此可得 $σ \leq \frac{1}{2}$ ，那么在任意区间 $[t, t + 1]$ 中，当点的测度 $σ > \frac{1}{2}$ 时，有

${‖ u (s) ‖}^{2} \leq 2 I_{1},$ (7)

特别地，在区间 $[t, t + 1]$ 中至少存在一个点使得(16)成立。

设 $σ = \sqrt{2 I_{1}}$ ，我们将证明

$\sup_{t \geq 0} \sup_{‖ u_{0} ‖ \leq σ} ‖ u (t) ‖ < \infty,$

成立。反之，存在一个序列 $t_{n} \to \infty$ 和指数 $u_{0 n}$ 且 $‖ u_{0 n} ‖ \leq σ$ ，使得

$‖ S (t_{n}) u_{0 n} ‖ \to \infty (n \to \infty) .$ (8)

现在考虑区间 $[t_{n} - 1, t_{n}]$ ，已知一定存在一个 $s_{n} \in [t_{n} - 1, t_{n}]$ ，使得

$‖ u_{n} (s_{n}) ‖ \leq σ,$

现在引入一个关于时间的平移解 $v_{n} (t) = u_{n} (t + s_{n})$ ，其中 $v_{n} (t)$ 是三维方程的解，且有 $v_{n} (0) = v_{0 n}$ ，且 $‖ v_{0 n} ‖ \leq σ$ ，由(17)可知存在 $a_{n} = t_{n} - s_{n} < 1$ 使得

$‖ v_{n} (a_{n}) ‖ \to \infty$ ，即 $‖ S (a_{n}) v_{0 n} ‖ \to \infty$ .

但是，由(15)知这种情况是不可能出现的。

综上所述，存在一个时间s， $s \in [0, 1]$ ，使得

$u (s) \leq σ,$

则一定存在某个 $ρ_{2}$ 使得

$u (t) \leq ρ_{2},$

因此，当 $t_{1} \geq 0$ 时，则有

$‖ u (t) ‖ \leq ρ_{2}, \forall t \geq t_{1},$

即 $Z$ 中存在吸收集。

(2) 由命题3.1知

$\int_{t}^{t + 1} {| (e^{β {| u (s) |}^{2}} - 1) {| u (s) |}^{2} |}_{L^{1}} d s = \int_{t}^{t + 1} \int_{Ω} (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| u |}^{2} d x d s \leq \int_{t}^{t + 1} (\int_{Ω} {| u |}^{2} e^{β {| u |}^{2}} d x - \int_{Ω} {| u |}^{2} d x) d s \leq I_{2},$

因此有

$\int_{t}^{t + 1} \int_{Ω} {| u |}^{2} e^{β {| u |}^{2}} d x d s \leq I_{2} + \int_{t}^{t + 1} \int_{Ω} {| u |}^{2} d x d s \leq C,$

从而有

$\begin{matrix} \int_{t}^{t + 1} \int_{Ω} {| u |}^{2} e^{β {| u |}^{2}} d x d s \leq \int_{t}^{t + 1} {(\int_{Ω} {| u |}^{6} d x)}^{\frac{1}{3}} {(\int_{Ω} e^{\frac{3}{2} β {| u |}^{2}} d x)}^{\frac{2}{3}} d s \\ \leq \int_{t}^{t + 1} {| u |}_{6}^{2} {(\int_{Ω} e^{\frac{3}{2} β {| u |}^{2}} d x)}^{\frac{2}{3}} d s \leq \int_{t}^{t + 1} {‖ u ‖}^{2} {(\int_{Ω} e^{\frac{3}{2} β {| u |}^{2}} d x)}^{\frac{2}{3}} d s \\ \leq ρ_{2}^{2} \int_{t}^{t + 1} {(\int_{Ω} e^{\frac{3}{2} β {| u |}^{2}} d x)}^{\frac{2}{3}} d s \leq c ρ_{2}^{2} \int_{t}^{t + 1} \int_{Ω} e^{\frac{3}{2} β {| u |}^{2}} d x d s \leq C, \end{matrix}$

由(1)同理可得

$\int_{Ω} e^{β {| u |}^{2}} d x \leq c,$

因此存在时间 $t_{2} \geq t_{1}$ ，使得

$\int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2}) d x \leq \int_{Ω} \frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} d x - \int_{Ω} {| u |}^{2} d x \leq ρ_{3}, \forall t \geq t_{2} .$

证毕。

命题3.3 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则存在时间 $t_{3}$ 和常数 $I_{3}$ 使得

$\int_{t}^{t + 1} {| Δ u |}_{2}^{2} d s \leq I_{3}, \forall t \geq t_{3} .$

证明：将方程(1)与 $- Δ u$ 作内积可得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ u ‖}^{2} + {| Δ u |}_{2}^{2} + \frac{α β}{2} \int_{Ω} e^{β {| u |}^{2}} {| \nabla {| u |}^{2} |}^{2} d x + α \int_{Ω} (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| \nabla u |}^{2} d x \\ = \int_{Ω} (u \cdot \nabla) u \cdot Δ u d x \leq \int_{Ω} | u | | \nabla u | | Δ u | d x \\ \leq {(\int_{Ω} {| u |}^{2} {| \nabla u |}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} \cdot {(\int_{Ω} {| Δ u |}^{2} d x)}^{\frac{1}{2}} \\ \leq \frac{1}{2} \int_{Ω} {| u |}^{2} {| \nabla u |}^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{Ω} {| Δ u |}^{2} d x, \end{array}$

整理得

$\frac{d}{d t} {‖ u ‖}^{2} + {| Δ u |}_{2}^{2} + α β \int_{Ω} e^{β {| u |}^{2}} {| \nabla {| u |}^{2} |}^{2} d x + 2 α \int_{Ω} (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| \nabla u |}^{2} d x \leq \int_{Ω} {| u |}^{2} {| \nabla u |}^{2} d x$ (9)

由初等不等式可知

$α (e^{β {| u |}^{2}} - 1) \geq \frac{α β^{2} {| u |}^{4}}{2!},$

则有

${| u |}^{2} = \frac{\sqrt{α} β {| u |}^{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{α} β} \leq \frac{α β^{2} {| u |}^{4}}{2} + \frac{1}{α β^{2}},$

代入(18)中整理得

$\frac{d}{d t} {‖ u ‖}^{2} + {| Δ u |}_{2}^{2} + α β \int_{Ω} e^{β {| u |}^{2}} {| \nabla {| u |}^{2} |}^{2} d x + α \int_{Ω} (e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| \nabla u |}^{2} d x \leq \frac{2}{α β^{2}} \int_{Ω} {| \nabla u |}^{2} d x$

将上式在t到 $t + 1$ 上积分可得

${‖ u (t + 1) ‖}^{2} + \int_{t}^{t + 1} {| Δ u |}_{2}^{2} d t + α β \int_{t}^{t + 1} {| e^{β {| u |}^{2}} {| \nabla {| u |}^{2} |}^{2} |}_{L^{1}} d t + α \int_{t}^{t + 1} [(e^{β {| u |}^{2}} - 1) {| \nabla u |}^{2}] d t \leq \frac{2}{α β^{2}} \int_{t}^{t + 1} {‖ u ‖}^{2} d t + {‖ u (t) ‖}^{2} .$

由命题3.2可知一定存在一个时间 $t_{3} = max {t_{1}, t_{2}}$ ，使得当 $t \geq t_{3}$ 时，

${‖ u (t) ‖}^{2} \leq ρ_{2}^{2}, \int_{t}^{t + 1} {‖ u (s) ‖}^{2} d s \leq I_{1},$

因此

$\int_{t}^{t + 1} {| Δ u |}_{2}^{2} d t \leq I_{3}, \forall t \geq t_{3},$

其中 $I_{3}$ 是一个常量。

命题3.4 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则存在时间 $t_{4}$ 和常数 $ρ_{4}$ 使得

${| u_{t} (s) |}_{2} \leq ρ_{4}, \forall s \geq t_{4} .$

证明：将方程(1)与 $u_{t}$ 作内积可得

${| u_{t} |}_{2}^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ u ‖}^{2} + \frac{α}{2} \frac{d}{d t} (\frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - u^{2}) = - \int_{Ω} (u \cdot \nabla) u \cdot u_{t} d x \leq c \int_{Ω} {| u \cdot \nabla u |}^{2} d x + \frac{1}{2} \int_{Ω} {| u_{t} |}^{2} d x$

整理得

$\begin{array}{l} {| u_{t} |}_{2}^{2} + \frac{d}{d t} {‖ u ‖}^{2} + α \frac{d}{d t} \int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2}) d x \\ \leq 2 c \int_{Ω} {| u \cdot \nabla u |}^{2} d x \leq \frac{1}{2} {| Δ u |}_{2}^{2} + C {| u |}_{6}^{6} \leq \frac{1}{2} {| Δ u |}_{2}^{2} + C \int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2}), \end{array}$

将上式在t到 $t + 1$ 上积分可得

$\begin{array}{l} \int_{t}^{t + 1} {| u_{t} |}_{2}^{2} d s + u {(t + 1)}^{2} + α \int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u (t + 1) |}^{2}} - {| u (t + 1) |}^{2}) d x \\ \leq \frac{1}{2} \int_{t}^{t + 1} {| Δ u |}_{2}^{2} d s + C \int_{t}^{t + 1} \int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u |}^{2}} - {| u |}^{2}) d x d s + {‖ u (t) ‖}^{2} + α \int_{Ω} (\frac{1}{β} e^{β {| u (t) |}^{2}} - {| u (t) |}^{2}) d x \\ \leq c (I_{3}, ρ_{3}, ρ_{2}), \end{array}$

再将方程(1)先对t求微分，再与 $u_{t}$ 作内积可得

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} {| u_{t} |}_{2}^{2} + {‖ u_{t} ‖}^{2} + 〈 (u_{t} \cdot \nabla) u, u_{t} 〉 + 〈 (u \cdot \nabla) u_{t}, u_{t} 〉 + 〈 F^{'} (u) u_{t}, u_{t} 〉 = 0$

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} {| u_{t} |}_{2}^{2} + {‖ u_{t} ‖}^{2} \leq | 〈 (u_{t} \cdot \nabla) u, u_{t} 〉 | - \int_{Ω} (F^{'} (u) u_{t}) u_{t} d x,$

由引理2.5知 $(F^{'} (u) u_{t}) \cdot u_{t}$ 是正定的，因此有

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} {| u_{t} |}_{2}^{2} + {‖ u_{t} ‖}^{2} \leq | 〈 (u_{t} \cdot \nabla) u, u_{t} 〉 | \leq c {‖ u ‖}^{\frac{3}{2}} {| u_{t} |}^{\frac{1}{2}} ‖ u ‖ \leq \frac{1}{2} {‖ u_{t} ‖}^{2} + c {| u_{t} |}_{2}^{2} {‖ u ‖}^{4},$ (10)

整理得

$\frac{d}{d t} {| u_{t} |}_{2}^{2} + {‖ u_{t} ‖}^{2} \leq c {| u_{t} |}_{2}^{2} {‖ u ‖}^{4}, \frac{d}{d t} {| u_{t} |}_{2}^{2} \leq c ρ_{2}^{4} {| u_{t} |}_{2}^{2},$

将上式先在s到 $t + 1$ 上积分，其中 $t < s < t + 1$ ，可得

${| u_{t} (t + 1) |}_{2}^{2} \leq {| u_{t} (s) |}_{2}^{2} + c ρ_{2}^{4} \int_{s}^{t + 1} {| u_{t} (τ) |}_{2}^{2} d τ,$

再对s在t到 $t + 1$ 上积分，有

$\begin{matrix} {| u_{t} (t + 1) |}_{2}^{2} \leq \int_{t}^{t + 1} {| u_{t} (s) |}_{2}^{2} d s + c ρ_{2}^{4} \int_{t}^{t + 1} {| u_{t} (τ) |}_{2}^{2} d τ \leq (1 + c ρ_{2}^{4}) \int_{t}^{t + 1} {| u_{t} (s) |}_{2}^{2} d s \\ \leq (1 + c ρ_{2}^{4}) \leq c (I_{3}, ρ_{3}, ρ_{2}) \equiv ρ_{2}^{3}, \forall s \geq t_{4} . \end{matrix}$

证毕。

命题3.5 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则存在常数 $ρ_{5}$ 使得

${| A u (t) |}_{2} \leq ρ_{5}, t \geq t_{4} .$

证明：对方程(3)使用Minkowski不等式可得

${| A u |}_{2} \leq {| u_{t} |}_{2} + {| B (u) |}_{2} + α {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u |}_{2},$ (11)

当 $u \in Z$ ， $v \in D (A)$ 和 $w \in H$ 时，有

$| b (u, v, w) | = \int_{Ω} | (u \cdot \nabla) v \cdot w | d x \leq \int_{Ω} | u | | \nabla v | | w | d x \leq c {| u |}_{6} {| \nabla v |}_{2}^{\frac{1}{2}} {| A v |}_{2}^{\frac{1}{2}} {| w |}_{2} \leq c ‖ u ‖ {‖ v ‖}_{}^{\frac{1}{2}} {| A v |}_{2}^{\frac{1}{2}} {| w |}_{2},$

显然，如果 $u \in D (A)$ ，则有 $B (u) \in H$ ，且

${| B (u) |}_{2}^{2} = 〈 (u \cdot \nabla) u, (u \cdot \nabla) u 〉 \leq c ‖ u ‖ {‖ u ‖}^{\frac{1}{2}} {| A u |}_{2}^{\frac{1}{2}} {| (u \cdot \nabla) u |}_{2},$

整理得

${| B (u) |}_{2}^{} \leq c {‖ u ‖}^{\frac{3}{2}} {| A u |}_{2}^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{2} {| A u |}_{2} + c {‖ u ‖}^{3},$ (12)

又因

$\begin{matrix} α {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u |}_{2}^{2} = α \int_{Ω} {(e^{β {| u |}^{2}} - 1)}^{2} {| u |}^{2} d x = α \int_{Ω} e^{2 β {| u |}^{2}} {| u |}^{2} d x - 2 α \int_{Ω} e^{β {| u |}^{2}} {| u |}^{2} d x + α \int_{Ω} {| u |}^{2} d x \\ \leq α {(\int_{Ω} e^{4 β {| u |}^{2}} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω} {| u |}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} - 2 α {(\int_{Ω} e^{2 β {| u |}^{2}} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω} {| u |}^{4} d x)}^{\frac{1}{2}} + α \int_{Ω} {| u |}^{2} d x \leq α (c, ρ_{1}), \end{matrix}$ (13)

将(21)、(22)代入到(20)中可得

${| A u |}_{2} \leq 2 {| u_{t} |}_{2} + c {‖ u ‖}^{3} + c \leq 2 ρ_{4} + c ρ_{2}^{3} + c \equiv ρ_{5}, t \geq t_{4},$

证毕。

命题3.6 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则存在时间 $t_{5}$ 、常数 $I_{4}$ 和 $ρ_{6}$ 使得

$\int_{t}^{t + 1} {‖ u_{t} (s) ‖}^{2} d s \leq I_{4}, t \geq t_{4};$

$‖ u ‖ \leq ρ_{6}, t \geq t_{5} .$

证明：由(19)可知

$\frac{d}{d t} {| u_{t} |}_{2}^{2} + {‖ u_{t} ‖}^{2} \leq c {| u_{t} |}_{2}^{2} {‖ u ‖}^{4},$

将上式在t到 $t + 1$ 上积分，并根据命题3.4可知存在一个常数 $I_{4}$ 使得

$\int_{t}^{t + 1} {‖ u_{t} ‖}^{2} d s \leq c \int_{t}^{t + 1} {| u_{t} |}_{2}^{2} {‖ u ‖}^{4} d s + {| u_{t} (t) |}_{2}^{2} \leq c (ρ_{2}, ρ_{4}) \equiv I_{4}, t \geq t_{4},$ (14)

根据命题3.5可知

${‖ u (t) ‖}_{D (A)} \leq ρ_{5}, \forall t \geq t_{4},$

使用Agmon’s不等式可知

${‖ u (t) ‖}_{\infty} \leq c, \forall t \geq t_{4} .$

现将方程(3)₁先对t求微分，再与 $A u_{t}$ 作内积可得

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ u_{t} ‖}^{2} + {| A u_{t} |}_{2}^{2} \leq | b (u_{t}, u, A u_{t}) | + | b (u, u_{t}, A u_{t}) | + \int_{Ω} (F^{'} (u) u_{t}) \cdot A u_{t} d x$ (15)

并通过引理2.5存在以下估计：

$\begin{matrix} \int_{Ω} (F^{'} (u) u_{t}) \cdot A u_{t} d x \leq c \int_{Ω} e^{β {| u |}^{2}} {| u |}^{2} | u_{t} | | A u_{t} | d x \leq {‖ u ‖}_{L^{\infty}}^{2} {| A u_{t} |}_{2} {‖ u_{t} ‖}_{L^{4}} {‖ e^{β {| u |}^{2}} ‖}_{L^{4}} \\ \leq c {| A u_{t} |}_{L^{2}} ‖ u_{t} ‖ \leq c {‖ u_{t} ‖}^{2} + \frac{1}{4} {| A u_{t} |}_{2}^{2}, \end{matrix}$ (16)

以及

$\begin{matrix} | b (u_{t}, u, A u_{t}) | \leq c ‖ u_{t} ‖ {‖ u ‖}^{\frac{1}{2}} {| A u |}_{2}^{\frac{1}{2}} {| A u_{t} |}_{2} \leq \frac{1}{4} {| A u_{t} |}_{2}^{2} + c {‖ u_{t} ‖}^{2} ‖ u ‖ {| A u |}_{2} \\ \leq \frac{1}{4} {| A u_{t} |}_{2}^{2} + c {‖ u_{t} ‖}^{2}, \forall t \geq t_{4}, \end{matrix}$ (17)

$| b (u, u_{t}, A u_{t}) | \leq c ‖ u ‖ {‖ u_{t} ‖}^{\frac{1}{2}} \leq \frac{1}{4} {| A u_{t} |}_{2}^{2} + c {‖ u ‖}^{4} {‖ u_{t} ‖}^{2} \leq \frac{1}{4} {| A u_{t} |}_{2}^{2} + c {‖ u_{t} ‖}^{2}, \forall t \geq t_{4},$ (18)

将(25)、(26)和(27)代入到(24)中可得

$\frac{d}{d t} {‖ u_{t} ‖}^{2} \leq c {‖ u_{t} ‖}^{2},$

再将(23)使用Gronwall不等式得：

${‖ u_{t} ‖}^{2} \leq ρ_{6}^{2}, \forall t \geq t_{5} = t_{4} + 1,$

证毕。

命题3.7 $S (t) : Z \mapsto Z$ 是 $t \geq 0$ 时 $Z$ 上的一个Lipschitz连续映射。

证明：假设u、v分别是 $Z$ 中初值为 $u_{0}$ 、 $v_{0}$ 的两个解，设 $w = u - v$ ，且 $w_{0} = u_{0} - v_{0}$ ，则有

$\frac{d w}{d t} + A w = - B (u) + B (v) - \tilde{P} F (u) + \tilde{P} F (v),$ (19)

将(28)和Aw做内积可得

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} {‖ w ‖}^{2} + {| A w |}_{2}^{2} = - b (u, u, A w) + b (v, v, A w) - 〈 F (u) - F (v), A w 〉 \\ \leq b (w, A w, u) + b (v, A w, w) - 〈 F (u) - F (v), A w 〉 \\ \leq c ‖ w ‖ {‖ u ‖}_{}^{\frac{1}{2}} {| A u |}_{2}^{\frac{1}{2}} {| A w |}_{2} + c ‖ v ‖ {‖ w ‖}^{\frac{1}{2}} {| A w |}_{2}^{\frac{3}{2}} + {| F (u) - F (v) |}_{2} {| A w |}_{2} \\ \leq \frac{3}{4} {| A w |}_{2}^{2} + c {‖ w ‖}^{2} (‖ u ‖ {| A u |}_{2} + {‖ v ‖}^{4}) + c {| F (u) - F (v) |}_{2}^{2}, \end{matrix}$ (20)

因为

$\begin{matrix} {| F (u) - F (v) |}_{2}^{2} = α \int_{Ω} {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) u - (e^{β {| v |}^{2}} - 1) v |}^{2} d x \\ \leq c \int_{Ω} {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) w |}^{2} d x + \int_{Ω} {| [(e^{β {| u |}^{2}} - 1) - (e^{β {| v |}^{2}} - 1)] v |}^{2} d x \\ \leq c \int_{Ω} {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) w |}^{2} d x + \int_{Ω} {| (e^{β {| u |}^{2}} - e^{β {| v |}^{2}}) v |}^{2} d x, \end{matrix}$

由中值定理知

$e^{β {| u |}^{2}} - e^{β {| v |}^{2}} = 2 β e^{β {[(1 - θ) u + θ y]}^{2}} | (1 - θ) u + θ y | \cdot | u - v | \leq 2 β e^{β (u^{2} + v^{2})} | u + v | \cdot | u - v |,$

其中 $θ \in (0, 1)$ ，因此有

$\begin{matrix} {| F (u) - F (v) |}_{2}^{2} \leq c \int_{Ω} {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) w |}^{2} d x + c \int_{Ω} {| e^{2 β (u^{2} + v^{2})} | u + v | w v |}^{2} d x \\ \leq c {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) |}_{3}^{2} {| w |}_{6}^{2} + c {| e^{4 β (u^{2} + v^{2})} |}_{3} {| u |}_{12}^{4} {| w |}_{6}^{2} + c {| e^{4 β (u^{2} + v^{2})} |}_{3} {| v |}_{12}^{4} {| w |}_{6}^{2} \\ \leq c {| (e^{β {| u |}^{2}} - 1) |}_{3}^{2} {‖ w ‖}_{}^{2} + c {‖ w ‖}_{}^{2} . \end{matrix}$ (21)

将(30)代入(29)中可得

$\frac{d}{d t} {‖ w ‖}^{2} \leq c {‖ w ‖}^{2} [‖ u ‖ {| A u |}_{2} + {‖ v ‖}^{4} + {| e^{β {| u |}^{2}} - 1 |}_{3}^{2} + 1],$

使用Gronwall不等式得

${‖ w ‖}^{2} \leq {‖ w_{0} ‖}^{2} e^{c \int_{0}^{t} [‖ u ‖ {| A u |}_{2} + {‖ v ‖}^{4} + {| e^{β {| u |}^{2}} - 1 |}_{3}^{2} + 1] d x},$

其中

${({| e^{β {| u |}^{2}} - 1 |}_{3}^{2})}^{\frac{3}{2}} = \int_{Ω} {| e^{β {| u |}^{2}} - 1 |}^{3} d x = \int_{Ω} (e^{3 β {| u |}^{2}} - 3 e^{2 β {| u |}^{2}} + 3 e^{β {| u |}^{2}} - 1) d x \leq c,$

整理得

${‖ w ‖}^{2} \leq {‖ w_{0} ‖}^{2} c (ρ_{2}, ρ_{4}, c) .$

证毕。

4. 整体吸引子

在本节中，我们证明 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 整体吸引子的存在性。首先回顾一下整体吸引子的概念。

定义4.1 设 $A$ 是 $H^{2} (Ω)$ 的子集，如果满足以下条件，则称 $A$ 为 $(Z, H^{2})$ 整体吸引子：

1) $A$ 在 $H^{2} (Ω)$ 中紧致；

2) $A$ 是不变的，即 $S (t) A = A$ ， $\forall t \geq 0$ ；

3) $A$ 相对于 $H^{2} (Ω)$ 的范数吸引 $Z$ 的每个有界子集，即如果B在 $Z$ 中有界，则有

$d i s t_{H^{2}} (S (t) B, A) \to 0, t \to \infty .$

下面的命题给出了证明 $H^{2} (Ω)$ 中整体吸引子的存在性的必要条件。

命题4.2 设 $A$ 是 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 的 $(Z, Z)$ 整体吸引子，则 $A$ 也是 $(Z, H^{2})$ 整体吸引子，当且仅当：

1) ${S (t)}_{t \geq 0}$ 有一个有界的 $(Z, H^{2})$ 吸引集；

2) ${S (t)}_{t \geq 0}$ 是 $(Z, H^{2})$ 渐近紧致的。

在接下来的内容中，我们首先证明 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 有一个 $(Z, Z)$ 整体吸引子，然后通过命题4.2证明这个吸引子是 $(Z, H^{2})$ 整体吸引子。

我们定义

$B_{1} = {u \in Z : ‖ u ‖ \leq ρ_{2}}, B_{2} = {u \in D (A) : {| A u |}_{2} \leq ρ_{5}},$

由命题3.2和命题3.5可知， $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 分别是 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 的有界 $(Z, Z)$ 和 $(Z, H^{2})$ 吸引集。

通过嵌入 $D (A)$ ↪ $V$ 和命题3.5的紧致性，我们发现 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 是 $(Z, Z)$ 渐近紧致的。因此，根据标准吸引子理论( [12] )， ${S (t)}_{t \geq 0}$ 有一个 $(Z, Z)$ 整体吸引子 $A$ 。

下面将证明 $A$ 是 $(Z, H^{2})$ 整体吸引子，即证明 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 是 $(Z, H^{2})$ 渐近紧致的。

引理4.3 假设 $α > 0$ ， $β > 0$ ， $u_{0} \in Z$ ，则 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 是 $(Z, H^{2})$ 渐近紧致的。

证明：设 ${u_{0 n}}_{n = 1}^{\infty}$ 在 $Z$ 中有界，且 $t_{n} \to \infty$ 。我们要证明 ${S (t_{n}) u_{0 n}}_{n = 1}^{\infty}$ 在 $H^{2} (Ω)$ 中有收敛子序列。定义

$u_{n} (t) = S (t) u_{0 n}, w_{n} (t_{n}) = {\frac{d u_{n}}{d t} |}_{t = t_{n}},$

通过公式(3)有：

$μ A u_{n} (t_{n}) = - w_{n} (t_{n}) - B (u_{n} (t_{n})) - G (u_{n} (t_{n})),$

并且根据命题3.5和3.6，存在 $T > 0$ 使得对于所有 $t \geq T$ 有

$‖ \frac{d u_{n}}{d t} (t) ‖ \leq ρ_{6},$ (22)

${| A u_{n} (t) |}_{2} \leq ρ_{5}, \forall n = 1, 2, \dots,$

其中 $ρ_{5}$ 和 $ρ_{6}$ 分别是命题3.5和3.6中的常数。由于 $t_{n} \to \infty$ ，存在 $N > 0$ 使得对于所有 $n \geq N$ ，都有 $t_{n} \geq T$ 。因此，通过(31)有，对于所有 $n \geq N$

$‖ w_{n} (t_{n}) ‖ \leq ρ_{6}$ 且 ${| A u_{n} (t) |}_{2} \leq ρ_{5}$ ， $\forall n = 1, 2, \dots$ (23)

通过紧致嵌入 $Z$ ↪ $H$ 和 $D (A)$ ↪ $Z$ ，我们从(32)中发现存在 $w \in Z$ 和 $v \in D (A)$ 使得子序列

$w_{n} (t_{n}) \to w$ 在 $H$ 中强收敛，(24)

$u_{n} (t_{n}) \to v$ 在 $Z$ 中强收敛。(25)

通过公式(31)和Agmon不等式有

${‖ u_{n} (t_{n}) ‖}_{\infty} \leq c$ ， $\forall n \geq N$ .

因此，通过(34)可以得到

Figure 1 从而得知

G (u_{n} (t_{n})) \to G (v)

在

H

中强收敛。(26)又因

| b (u, v, w) | \leq c ‖ u ‖ {‖ v ‖}^{\frac{1}{2}} {| A v |}_{2}^{\frac{1}{2}} {| w |}_{2}

，

\forall u \in Z

，

v \in D (A)

，

w \in H

，所以，

{| B (u, v) |}_{2} \leq c ‖ u ‖ {‖ v ‖}^{\frac{1}{2}} {| A v |}_{2}^{\frac{1}{2}},

因此，

\begin{matrix} {| B (u_{n} (t_{n})) - B (v) |}_{2}^{2} = \int_{Ω} {[B (u_{n} (t_{n}), u_{n} (t_{n}) - v) + B (u_{n} (t_{n}) - v, v)]}^{2} d x \\ \leq 2 ({| B (u_{n} (t_{n}), u_{n} (t_{n}) - v) |}_{2}^{2} + {| B (u_{n} (t_{n}) - v, v) |}_{2}^{2}) \\ \leq c ({‖ u_{n} (t_{n}) ‖}^{2} ‖ u_{n} (t_{n}) - v ‖ {| A (u_{n} (t_{n}) - v) |}_{2} + {‖ u_{n} (t_{n}) - v ‖}^{2} ‖ v ‖ {| A u |}_{2}) \to 0 \end{matrix}

从而得知

B (u_{n} (t_{n})) \to B (v)

在

H

中强收敛。(27)

通过(33)、(35)和(36)得

当 $n \to \infty$ 时， $μ A u_{n} (t_{n}) \to - w - B (v) - G (v)$ 在 $H$ 中强收敛，这直接表明 ${u_{n} (t_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ 在 $H^{2} (Ω)$ 中收敛于 $\frac{1}{μ} A^{- 1} (- w - B (v) - G (v))$ 。

下面利用上文得到的结论给出定理1.3的证明。

定理1.3的证明：由上文得知 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 有一个 $(Z, Z)$ 整体吸引子 $A$ 。通过命题3.5得知，有界集合 $B_{2} = {u \in D (A) : {| A u |}_{2} \leq ρ_{4}}$ 是 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 的有界 $(Z, H^{2})$ 吸引集。此外，引理4.3表明 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 是 $(Z, H^{2})$ 渐近紧致的。因此，由命题4.2可知， $A$ 实际上是 ${S (t)}_{t \geq 0}$ 的 $(Z, H^{2})$ 整体吸引子。

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