列车自动驾驶技术包括列车运行速度目标规划和对规划后的速度进行跟踪两部分。高速列车在运行过程中具有非线性、不确定性、参数时变等问题，能否实现对规划后的速度进行高精度的跟踪，直接影响高速列车的安全与节能 [1] 。

高速列车运行过程具有很强的非线性，目前高速列车中的ATO系统一般采用PID算法并取得了较好的控制效果，但在面临非线性问题及参数突变情况下，不利于动车组的平稳运行，降低了运行效率，增加了能源消耗，建立准确、有效的数学模型是动车组对目标曲线精确跟踪控制的前提。文献 [2] 利用回声状态网络在非线性时间序列预测方面的优势，进行了高速动车组运行速度的在线预测，同时采用多目标粒子群优化算法对预测控制输入进行多目标优化。文献 [3] 针对动车组的非线性特性，设计了多模型广义预测控制器，采用减法聚类方法建立多模型集合，但文章只是建立了相应地线性模型，对于模型参数不确定性和未建模部分没有很好的体现出来。文献 [4] 尝试采用极大似然估计法对高速动车组的非线性部分与未知部分进行系数辨识，取得了一定的效果，但极大似然法有可能在计算时陷入系统固有存在的局部收敛，并且需要了解系统的部分特性。文献 [5] 结合系统先前状态信息在线解算高速列车运行模型的不确定系数，并以此更新当前模型，然后利用非线性模型预测控制算法以更新后的模型作为预测依据求解得到最优控制输入量，实现对高速列车的精确控制。文献 [6] 借鉴ANFIS在复杂系统建模的优势，结合动车组牵引/制动曲线和实际运行数据，建立高速动车组运行过程多工况ANFIS模型。文献 [7] 为了反映列车控制系统的特点，提出了一种列车运行的混合系统模型。文献 [8] 提出了一种动车组运行过程的分布式描述与建模方法。文献 [9] 将列车之间的耦合力作为自身内力，提出了一种“多质点–单位移”列车模型。

针对高速列车的运行控制问题，文献 [10] 构建了一个综合的动力学模型，该模型考虑了相邻车辆间的非线性和弹性冲击、牵引/制动系统的非线性特性，以及驱动故障的耦合效应。此外，该研究还特别关注了系统输入的非线性特性、执行器的潜在故障，以及列车内部力的不确定性对系统性能的影响。为了应对这些挑战，作者提出了一种基于神经网络的自适应容错控制算法，通过进行数值模拟，该算法的有效性得到了验证。文献 [11] 基于单质点模型建立动车组地状态空间方程，将状态空间方程中的未知部分作为扩张状态设计二阶自抗扰控制器，并且设计了非线性控制率NLSEF对外界干扰进行补偿，实现了动车组对速度的精确跟踪。文献 [12] 基于高速动车组制动系统的状态空间模型构建一种模型参考自适应控制系统，并且针对控制器的固有弊端引入了一种合适的辅助系统，使之有更严谨的理论结构，然而也是基于数据驱动的建模，缺乏物理动力学支持。如果同时考虑高速动车组的物理动力学特性及其控制研究还有待于进一步验证。文献 [13] 提出了一种滑膜自适应鲁棒H_∝控制方法，采用鲁棒H_∝方法将高速动车组模型中的非线性参数其他干扰造成的参数变化等减小到最小的范围，通过滑膜控制消除系统安全运行速度跟踪误差，实现了不同风速下高速列车对给定安全运行速度的精确跟踪。文献 [14] 从高速列车的非线性动力学出发，建立了模糊双线性模型，并提出了一种新的自适应预测控制方法，用于在线调整模型和控制器的参数。文献 [15] 将灰色系统理论引入高速列车速度控制器模型中，并提出了一种基于遗传算法的预测方法，提高了列车停车精度，提高了高速列车的性能指标。

针对能否实现对规划后的速度进行高精度的跟踪问题，本文在文献 [16] 的基础上，将列车的连续模型利用双线性变换离散化，并且将非线性阻力以及未知不确定性影响描述为未建模动态项，提出了高速列车线性模型与未建模动态项组成的集成模型，解决了数据驱动建模中模型参数不具有实际物理意义的问题。考虑到文献 [17] [18] 对于未建模非线性动态项的估计主要存在BP神经网络收敛速度慢并且容易陷入局部极小点的问题，本文利用极限学习机神经网络不需要进行迭代更新，只需通过最小二乘法计算输出权重，学习速度更快，同时还表现出更好的泛化能力。在模型基础上，通过参数辨识方法对模型时变参数进行辨识，并提出了高速列车的非线性广义预测控制方法。

列车自动驾驶系统根据目标速度、行车许可及线路情况等自动产生牵引或制动指令 [18] ，从列车控制指令的发出到被接收，牵引/制动系统根据控制指令发出，保证列车按照目标速度行驶。这个过程可以用一阶动态系统近似：

$\stackrel{\dot{}}{\bar{a}}\left(t\right)=-\frac{1}{\tau }\bar{a}\left(t\right)+\frac{1}{\tau }a\left(t-T\right)$(1)

式中： $\bar{a}\left(t\right)$为控制加速度； $a\left(t\right)$为目标加速度；公式(1)反映了牵引/制动力产生的动态过程，可以用一阶惯性环节近似。

目标加速度 $a\left(t\right)$为列车牵引/制动装置的输入命令，通过ATO控制 $u\left(t\right)$(控制指令)产生：

$a\left(t\right)=f\left(u\left(t\right)\right)$(2)

其中 $f(\cdot )$可以近似作为线性函数处理，其比例系数为K [18] 。

列车实际的加速度 $a_1\left(t\right)$由控制加速度 $\bar{a}\left(t\right)$以及由附加阻力引起的附加加速度d构成：

$\begin{array}{c}{a}_1\left(t\right)=\bar{a}\left(t\right)+d\\ \stackrel{\dot{}}{v}\left(t\right)=a_1\left(t\right)\end{array}$(3)

以列车动力学方程为基础，建立输入为目标加速度，输出为速度的列车模型 [19] ，如 图1 所示：

其中T为系统的响应延时；控制力平滑上升的过程可以用一阶惯性环节来表示， $\tau$为系统的响应时间常数；为了便于设计采用帕德方法来近似延时效果：

$e^{-Ts}\approx \frac{-s+\lambda }{s+\lambda }$(4)

图中的列车模型传递函数如下所示：

$\begin{array}{c}G\left(s\right)=\frac{v\left(s\right)}{u\left(s\right)}=\frac{e^{-Ts}}{\left(\tau s+1\right)s}=\frac{-s+\lambda }{s+\lambda }\frac{1}{\left(\tau s+1\right)s}\\ =\frac{\left(-s+\lambda \right)}{\tau s^3+\left(\lambda \tau +1\right)s^2+\lambda s}\end{array}$(5)

设采样周期为 $T_{\text{0}}$，采用零阶保持器，使得 $u\left(t\right)=u\left(k{T}_0\right)$， $kT\le t<\left(k+1\right)T_0$，在此记作 $v\left(k{T}_0\right)=v\left(k\right)$， $u\left(k{T}_0\right)=u\left(k\right)$利用双线性变换变换：

$s=\frac{2}{T_{\text{0}}}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$(6)

公式(5)可被离散化为：

$\begin{array}{c}G\left(z\right)=\left(-\frac{2}{T_{\text{0}}}\left(1-z^{-1}\right)+\lambda \right)/\left[\frac{8\tau }{T_{\text{0}}{}^3}\frac{{\left(1-z^{-1}\right)}^3}{{\left(1+z^{-1}\right)}^2}+\left(\lambda \tau +1\right)\frac{4}{T_{\text{0}}{}^2}\frac{{\left(1-z^{-1}\right)}^2}{1+z^{-1}}+\frac{2\lambda }{T_{\text{0}}}\left(1-z^{-1}\right)\right]\\ \text{=}\left[\lambda {\left(1+z^{-1}\right)}^3-\frac{2}{T_{\text{0}}}\left(1-z^{-1}\right){\left(1+z^{-1}\right)}^2\right]/\left[\frac{8\tau }{T_{\text{0}}{}^3}{\left(1-z^{-1}\right)}^3+\left(\lambda \tau +1\right)\frac{4}{T_{\text{0}}{}^2}{\left(1-z^{-1}\right)}^2\left(1+z^{-1}\right)+\lambda \left(1-z^{-1}\right){\left(1+z^{-1}\right)}^2\right]\end{array}$(7)

公式(7)可得如下形式：

$G\left(z\right)=\frac{v\left(k\right)}{u\left(k\right)}=\frac{b_{\text{1}}{z}^{-\text{1}}+b_{\text{2}}{z}^{-\text{2}}+b_3{z}^{-3}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+a_3{z}^{-3}}$(8)

$a_i$、 $b_i$分别为相应参数 [20] (表达式较为复杂，在此不做赘列)。

根据公式(8)可知列车的离散化模型可以表示为：

$A\left(z^{-1}\right)v\left(k\right)=B\left(z^{-1}\right)u\left(k-1\right)$(9)

其中

$\begin{array}{l}A\left(z^{-1}\right)=1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+a_3{z}^{-3}\\ B\left(z^{-1}\right)=b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}\end{array}$(10)

由于运行阻力的非线性，随着列车速度的增加，系统的非线性特性越明显，为了方便计算，我们将非线性阻力描述为未建模动态项，结合上述公式，高速列车运行过程可用线性模型与未建模动态项组成的集成模型表示，其离散化的模型为：

$A\left(z^{-1}\right)v\left(k\right)=B\left(z^{-1}\right)u\left(k-1\right)+\xi \left(k-1\right)$(11)

$\xi \left(k-1\right)$为未建模动态项，与被控系统过去的输入和输出有关； $u\left(k\right)$为k时刻的目标加速度； $v\left(k\right)$为k时刻列车的运行速度。

考虑到模型参数缓慢变化，在控制器设计中将其作为未知量去对待，并在线估计获得估计值。利用递推算法实时估计线性模型(9)，利用极限学习机神经网络实时估计系统未建模动态项，利用递推算法实时估计集成模型(11)中的模型参数。

由式(11)就可以得到高速列车的参数辨识方程为：

$v\left(k\right)=x^{\text{T}}\left(k-1\right)\theta +\xi \left(k-1\right)$(12)

其中： $\theta ={\left[a_1,a_2,a_3,b_0,b_1,b_2\right]}^{\text{T}}$，

$x\left(k-1\right)={\left[-v\left(k-1\right)\cdots -v\left(k-3\right),u\left(k-1\right)\cdots u\left(k-3\right)\right]}^{\text{T}}$

由辨识方程(12)我们可以得到高速列车的线性估计模型为：

$v_1\left(k\right)=x^{\text{T}}\left(k-1\right){\theta }_1\left(k-1\right)$(13)

其中 ${\theta }_1\left(k\right)$表示k时刻参数 $\theta$基于线性模型的估计，其中辨识算法为：

$\begin{array}{l}{\theta }_1\left(k\right)={\theta }_1\left(k-1\right)+\frac{{\mu }_1\left(k\right)x\left(k-1\right)e_1\left(k\right)}{1+x^{\text{T}}\left(k-1\right)x\left(k-1\right)}\\ {\mu }_1\left(k\right)=\{\begin{array}{l}1若\left|e_1\left(k\right)\right|>2\Delta \\ 0其他\end{array}\end{array}$(14)

其中：

$e_1\left(k\right)=v\left(k\right)-v_1\left(k\right)=v\left(k\right)-x^{\text{T}}\left(k-1\right){\theta }_1\left(k-1\right)$(15)

式中 $\Delta$为已知的误差最大值。通过式(13)~(15)建立了列车的线性模型。

极限学习机是一种由黄广斌教授提出的针对单隐层神经网络的新型算法，ELM不仅具有普通单隐层前馈神经网络(SLFN)的强非线性映射能力的优点，还有着比SLFN更高的学习精度以及更快的学习速度。

系统的未建模动态项为 $\xi \left(k\right)$，其估计值为 $\stackrel{\dot{}}{\xi }\left(k\right)$，采用极限学习机估计的结构示意图如 图2 所示：

其中β为隐含层与输出层的连接权值，H为神经网络隐含层输出矩阵，T为训练网络的输出矩阵，具体形式如下：

$H=\left[\begin{array}{l}f\left(w_1\times x_1+b_1\right)f\left(w_2\times x_1+b_2\right)\cdots f\left(w_L\times x_1+b_L\right)\\ f\left(w_1\times x_2+b_1\right)f\left(w_2\times x_2+b_2\right)\cdots f\left(w_L\times x_2+b_L\right)\\ ⋮⋮⋮\\ f\left(w_1\times x_n+b_1\right)f\left(w_2\times x_n+b_2\right)\cdots f\left(w_L\times x_n+b_L\right)\end{array}\right]$ $\beta =\left[{\beta }_{11},{\beta }_{21},\cdots ,{\beta }_{L1}\right]$(16)

其中w为连接权值， $f\left(x\right)$是激活函数，b为阈值，其中w和b可以随机分配，而隐含层和输出层的连接权值β则通过求取 $\min \Vert H\beta -T\Vert$的最小二乘解获得，其解为 $\beta =H^{+}T$，其中 $H^{\text{+}}$为H的Moore-Penrose广义逆，L为隐含层个数，其数学模型可以描述为：

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{L}{\sum }}{\beta }_j}f\left(z\left(k\right)\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{L}{\sum }}{\beta }_j}f\left(a_j\cdot z\left(k\right)+b_j\right)=\stackrel{\dot{}}{\xi }\left(k\right)$(17)

其中 $z\left(k\right)={\left[v\left(k\right),\cdots v\left(k-2\right),u\left(k\right),\cdots ,u\left(k-2\right)\right]}^{\text{T}}$为输入向量。

则系统参数辨识方程(12)的极限学习机神经网络非线性估计模型定义为：

$v_2\left(k\right)=x^{\text{T}}\left(k-1\right){\theta }_2\left(k-1\right)+\stackrel{\dot{}}{\xi }\left(k-1\right)$(18)

其中 ${\theta }_2\left(k\right)$表示参数 $\theta$基于非线性模型的估计，其辨识算法如下：

$\begin{array}{l}{\theta }_2\left(k\right)={\theta }_2\left(k-1\right)+\frac{{\mu }_2\left(k\right)x\left(k-1\right)e_2\left(k\right)}{1+x^{\text{T}}\left(k-1\right)x\left(k-1\right)}\\ {\mu }_2\left(k\right)=\{\begin{array}{l}1若\left|e_2\left(k\right)\right|>2\Delta \\ 0其他\end{array}\end{array}$(19)

其中：

$e_2\left(k\right)=v\left(k\right)-v_2\left(k\right)=v\left(k\right)-x^{\text{T}}\left(k-1\right){\theta }_2\left(k-1\right)-\stackrel{\dot{}}{\xi }\left(k-1\right)$(20)

通过极限学习机神经网络快速估计系统未建模动态项 $\xi \left(k-1\right)$，根据公式(18)~(20)建立列车的未建模动态补偿模型。

基于以上建立的高速列车模型，设计了采用如 图3 所示的含有反馈控制器以及未建模动态补偿器组成的非线性广义预测控制器进行研究。

引入如下性能指标 [21] ：

$J={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\left[v\left(k+j\right)-r_j\omega \left(k+j\right)+S_j\left(z^{-1}\right)\xi \left(k+j-1\right)\right]}^2}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N_u}{\sum }}{\lambda }_{j}u{\left(k+j-1\right)}^2}$(21)

其中 $\omega \left(k\right)\in R$为参考输入，N， $N_u$为预测时域长度和控制时域， ${\lambda }_j$为加权系数， $S_j\left(z^{-1}\right)$为加权多项式， $r_j$为加权常数。为获得j步超前预报和广义预测控制率，引入如下Diophantine方程：

$1=E_j\left(z^{-1}\right)A\left(z^{-1}\right)+z^{-j}{F}_j\left(z^{-1}\right)E_j\left(z^{-1}\right)B\left(z^{-1}\right)=G_j\left(z^{-1}\right)+z^{-j}{H}_j\left(z^{-1}\right)$(22)

可以得到j步输出预测为：

$v\left(k+j\right)=G_{j}u\left(k+j-1\right)+F_j\left(z^{-1}\right)v\left(k\right)+H_j\left(z^{-1}\right)u\left(k-1\right)+E_j\left(z^{-1}\right)\xi \left(k+j-1\right)$(23)

将公式(23)带入性能指标公式(21)中，并选择加权多项式 $S_j\left(z^{-1}\right)$使得：

$\left[E_j\left(z^{-1}\right)+S_j\left(z^{-1}\right)\right]\xi \left(k+j-1\right)=M_j\left(z^{-1}\right)\xi \left(k-1\right)$(24)

并将性能指标(21)化为向量形式：

$\begin{array}{c}J={\left[GU+Hu\left(k-1\right)+Fv\left(k\right)+M\xi \left(k-1\right)-RW\right]}^{\text{T}}\\ \left[GU+Hu\left(k-1\right)+Fv\left(k\right)M\xi \left(k-1\right)-RW\right]+U^{\text{T}}\lambda U\end{array}$(25)

使得性能指标最小，得到非线性广义预测控制方程：

$u={\left(G^{\text{T}}G+\lambda \right)}^{-1}{G}^{\text{T}}\left[RW-Fv\left(k\right)-Hu\left(k-1\right)-M\zeta \left(k-1\right)\right]$(26)

定义 ${\left(G^{\text{T}}G+\lambda \right)}^{-1}{G}^{\text{T}}$的第一行为： $p^T=\left[p_1\cdots p_N\right]$，得到非线性广义预测控制方程：

$\begin{array}{l}P\left(z^{-1}\right)\omega \left(k+N\right)=F_p\left(z^{-1}\right)v\left(k\right)+H_p\left(z^{-1}\right)u\left(k\right)+M_p\left(z^{-1}\right)\xi \left(k\right)\\ P\left(z^{-1}\right)=p_N{r}_N+p_{N-1}{r}_{N-1}{z}^{-1}+\cdots +p_1{r}_1{z}^{-N+1}\\ F_p\left(z^{-1}\right)={\displaystyle {\sum }_{j=1}^N{p}_j}{F}_j\left(z^{-1}\right)\\ H_p\left(z^{-1}\right)=z^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^N{p}_j}{H}_j\left(z^{-1}\right)+1\end{array}$(27)

将公式(26)带入(11)中，得到系统方程：

$\begin{array}{c}\left[A\left(z^{-1}\right)H_p\left(z^{-1}\right)+z^{-1}B\left(z^{-1}\right)F_p\left(z^{-1}\right)\right]v\left(k\right)\\ =z^{-1}B\left(z^{-1}\right)P\left(z^{-1}\right)\omega \left(k+N\right)+\left[H_p\left(z^{-1}\right)-z^{-1}B\left(z^{-1}\right)M_p\left(z^{-1}\right)\right]\xi \left(k-1\right)\end{array}$(28)

由公式(28)可知，为了使闭环系统稳定，应当选取适当的加权常数 ${\lambda }_j$，其中 $H_p\left(z^{-1}\right)$和 $F_p\left(z^{-1}\right)$均与 ${\lambda }_j$相关，并且满足：

$T\left(z^{-1}\right)=A\left(z^{-1}\right)H_p\left(z^{-1}\right)+z^{-1}B\left(z^{-1}\right)F_p\left(z^{-1}\right)\ne 0$(29)

并且通过选取适当的加权多项式 $r_j$， $S\left(z^{-1}\right)$，(其中 $P\left(z^{-1}\right)$与 $r_j$有关， $M_p\left(z^{-1}\right)$与 $S_j\left(z^{-1}\right)$相关)可以尽可能地消除静态偏差以及未建模动态项对系统的影响，使得下式成立：

$A\left(1\right)H_p\left(1\right)+B\left(1\right)F_p\left(1\right)=B\left(1\right)P\left(1\right)H_p\left(1\right)=B\left(1\right)M_p\left(1\right)$(30)

综上，非线性广义预测控制算法步骤如下：

离线部分：

1. 利用辨识方法辨识线性模型，即模型(9)；

2. 训练极限学习机神经网络估计未建模动态项；

3. 选择加权矩阵 ${\lambda }_j$、 $r_j$。

在线部分：

1. 测量 $v\left(k\right)$，构建数据向量 $X\left(k-1\right)$和极限学习机神经网络的输入向量 $z\left(k-1\right)$；

2. 利用极限学习机神经网络估计未建模动态项；

3. 使用辨识算法实时估计模型参数；

4. 求解Diophantine方程，并计算非线性广义预测控制律 $u\left(k\right)$，选择适当的加权多项式 $M_p\left(z^{-1}\right)$；

5. 令 $k=k+1$，返回(1)。

为了验证文章中所提出的建模方法与控制方法的有效性，本文选用京沪高速铁路某型号高速列车为对象，基于数据预处理技术，得到一组有效数据，其中一部分数据作为建模样本，剩余数据作为检验样本。采用本文中建立的模型和方法控制高速列车的运行过程，仿真验证分为两部分：

本文针对高速列车自动驾驶中的非线性和时变参数问题，提出了一种基于双线性变换和极限学习机的非线性广义预测控制方法。通过仿真实验验证了所提方法在不同工况下均能实现高精度的速度跟踪，具有较好的鲁棒性和适应性。研究结果表明，该控制方法能够有效提高高速列车的运行效率和安全性，为列车自动驾驶技术的发展提供了新的理论和实践支持。未来的工作将集中在进一步优化控制算法，并将其应用于更广泛的工程实践中。

浙江省教育厅一般科研项目(Y202353440)。