奇异Markov跳变正系统是一类非常重要的系统，这类系统在一些经济系统、生物系统以及一些化学过程中有非常广泛的应用。不少的学者对奇异Markov跳变正系统以及一些相关正系统进行了研究。文献 [1] 讨论了Markov跳变正系统的随机稳定性以及其反馈控制器的设计方法， [2] - [4] 则讨论了半Markov跳变正系统的随机稳定性以及其反馈控制器的设计方法。 [5] - [7] 研究了奇异正系统的稳定性。但是， [1] - [4] 研究的系统不是奇异Markov跳变正系统， [5] - [7] 研究的系统不含有Markov跳变参数。因此， [1] - [7] 提出的方法不能用来解决奇异Markov跳变正系统的随机稳定性问题。

奇异Markov跳变正系统是一类比Markov跳变正系统和奇异系统更一般的系统。文献 [8] [9] 对奇异Markov跳变正系统的随机稳定性和反馈控制器进行了研究， [10] 则对部分转移概率未知的奇异Markov跳变正系统的随机稳定性和反馈控制器进行了研究， [11] [12] 也研究了奇异Markov跳变正系统的随机稳定性。值得一提的是，在 [8] - [10] 研究的系统中，导数项的系数是一个不变的奇异矩阵，而在 [11] [12] 研究的系统中，导数项的系数是与模态有关的奇异矩阵。因此， [11] [12] 所研究的系统是一类更加复杂的系统。但是， [11] [12] 所研究的系统的状态时滞不是与模态有关的。另外， [11] [12] 所研究的系统也不含有分布时滞。

受以上讨论的启发，本文将研究一类更复杂的奇异Markov跳变正系统。我们所讨论的系统含有分布时滞且含有与模态有关的状态时滞。另外，系统的导数项的系数是与模态有关的奇异矩阵。与本文所考虑的系统有关的研究结果目前还非常少见。

本文将讨论一类如下形式的奇异Markov跳变系统：

$\{\begin{array}{l}{E}_{z\left(t\right)}{h}^{\prime }\left(t\right)=A_{z\left(t\right)}h\left(t\right)+B_{z\left(t\right)}h\left(t-g_{z\left(t\right)}\right)+C_{z\left(t\right)}h\left(t-k_{z\left(t\right)}\right)+D_{z\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-u_{z\left(t\right)}}^{t}h\left(s\right)\text{d}s}\\ h\left(\nu \right)=\theta \left(\nu \right)，\nu =\left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\end{array}$(1)

在系统(1)中， $t>0$， $h\left(t\right)\in R^n$是系统的状态向量， $h^{\prime }\left(t\right)$表示 $h\left(t\right)$的导数。 $z\left(t\right)$在有限集合 $\hat{Z}=\left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$中取值，其中Z是一个大于等于1的正整数。另外， $z\left(t\right)$表示一个右连续的Markov过程，从状态i到状态j的转移速率为

$P\left\{z\left(t+v\right)=j|z\left(t\right)=i\right\}=\{\begin{array}{ll}{p}_{ij}v+\text{ο}\left(v\right),\hfill & i\ne j\hfill \\ 1+p_{ii}v+\text{ο}\left(v\right),\hfill & i=j\hfill \end{array}$(2)

在(2)中，当 $i\ne j$时， $p_{ij}\ge 0$。当 $i=j$时， $p_{ii}$满足 $p_{i1}+p_{i2}+\cdots +p_{iZ}=0$。当 $v\to 0^{+}$时， $\text{ο}\left(v\right)$是v的高阶无穷小。根据式(2)，我们可得该Markov过程的转移速率矩阵为

$H=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1Z}\\ p_{21}& p_{22}& \cdots & p_{2Z}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{Z1}& p_{Z1}& \cdots & p_{ZZ}\end{array}\right]$(3)

另外，在(1)中，对于任意的 $z\left(t\right)=i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$， $E_{z\left(t\right)}$、 $A_{z\left(t\right)}$、 $B_{z\left(t\right)}$和 $C_{z\left(t\right)}$都是已知的n阶实矩阵。对于任意的 $z\left(t\right)=i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$， $E_{z\left(t\right)}$都是不可逆矩阵且秩都等于 $\sigma$，其中 $0<\sigma <n$。 $g_{z\left(t\right)}$、 $k_{z\left(t\right)}$和 $u_{z\left(t\right)}$都是大于0的实数。我们记 $g=\max \left\{g_1,g_2,\cdots ,g_Z\right\}$、 $k=\max \left\{k_1,k_2,\cdots ,k_Z\right\}$以及 $u=\max \left\{u_1,u_2,\cdots ,u_Z\right\}$。在(1)中， $g_{z\left(t\right)}$、 $k_{z\left(t\right)}$和 $u_{z\left(t\right)}$代表系统的时滞。 $\varphi \left(\nu \right)\left(\nu \in \left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\right)$表示系统的初始条件且是连续的。

假设1：在本文中，我们假定存在矩阵 $M_i\left(i\in Z\right)$和Y满足

${\bar{E}}_i=M_i{E}_{i}Y=\left[\begin{array}{cc}{I}_{\sigma }& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\begin{array}{c}\end{array}\left(i\in \hat{Z}\right)$(4)

本文需要用到下面的一些定义。

定义1 [11] ：如果对于每一个 $l\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$， $\det \left(v{E}_l-A_l\right)$都不恒等于0，则称系统(1)是正则的。

定义2 [11] ：如果对于每一个 $l\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$， $\mathrm{deg}\left(\det \left(v{E}_l-A_l\right)\right)=rank\left(E_l\right)$都成立，则称系统(1)是无脉冲的。

定义3 [12] ：假定 $h\left(\nu \right)=\varphi \left(\nu \right)\succ =0\left(\nu \in \left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\right)$。如果对于任意的 $t>0$，系统(1)的解 $h\left(t\right)$满足条件 $h\left(t\right)\succ =0$，则称系统(1)是一个正系统。

定义4 [12] ：在初始条件 $\varphi \left(\nu \right)\left(\nu \in \left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\right)$和 $z\left(0\right)=z_0$下，如果系统(1)的解 $h\left(t\right)$满足条件 $\epsilon \left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert h\left(t\right)\Vert }_1\text{d}t}\right)<\infty$，则称系统(1)是随机稳定的。

注1： $A\succ =0$表示矩阵A的每一个元素都大于等于0。 $A\succ 0$表示矩阵A的每一个元素都大于0。 $A\prec =0$表示矩阵A的每一个元素都小于等于0。 $A\prec 0$表示矩阵A的每一个元素都小于0。 $\det \left(A\right)$表示矩阵A的行列式。 $\mathrm{deg}(\cdot )$表示一个多项式的度。

注2： $\epsilon \left(A\right)$表示随机事件A的数学期望。

注3： ${\Vert h\left(t\right)\Vert }_1$表示向量 $h\left(t\right)$的各个元素的绝对值之和。

在本文中，我们还需用到下面的引理。

引理1 [12] ：令Λ为随机过程 $\left(h\left(t\right),z\left(t\right),t\right)$的弱无穷小算子。那么对任意的 $z\left(t\right)=i\in \hat{Z}$，下式成立：

$\Lambda V\left(t\right)=\underset{\Delta \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\Delta }\left[ℰ\left\{V\left(t+\Delta \right)|z\left(t\right)=i\right\}-V\left(t\right)|z\left(t\right)=i\right]$(5)

令

${\bar{A}}_i=M_i{A}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{A}}_{i1}& {\bar{A}}_{i2}\\ {\bar{A}}_{i3}& {\bar{A}}_{i4}\end{array}\right]$、 ${\bar{B}}_i=M_i{B}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{B}}_{i1}& {\bar{B}}_{i2}\\ {\bar{B}}_{i3}& {\bar{B}}_{i4}\end{array}\right]$、

${\bar{C}}_i=M_i{C}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{C}}_{i1}& {\bar{C}}_{i2}\\ {\bar{C}}_{i3}& {\bar{C}}_{i4}\end{array}\right]$、 ${\bar{D}}_i=M_i{D}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{D}}_{i1}& {\bar{D}}_{i2}\\ {\bar{D}}_{i3}& {\bar{D}}_{i4}\end{array}\right]$(6)

另外，如果 ${\bar{A}}_{i4}$可逆，假设存在矩阵 ${\bar{M}}_i\left(i\in Z\right)$和 $\bar{N}$满足

${\hat{E}}_i={\bar{M}}_i{E}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{I}_{\sigma }& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$、 ${\hat{A}}_i={\bar{M}}_i{A}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{A}}_{i1}& 0\\ 0& {\hat{A}}_{i4}\end{array}\right]$、 ${\hat{B}}_i={\bar{M}}_i{B}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{B}}_{i1}& {\hat{B}}_{i2}\\ {\hat{B}}_{i3}& {\hat{B}}_{i4}\end{array}\right]$、

${\hat{C}}_i={\bar{M}}_i{C}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{C}}_{i1}& {\hat{C}}_{i2}\\ {\hat{C}}_{i3}& {\hat{C}}_{i4}\end{array}\right]$、 ${\hat{D}}_i={\bar{M}}_i{D}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{D}}_{i1}& {\hat{D}}_{i2}\\ {\hat{D}}_{i3}& {\hat{D}}_{i4}\end{array}\right]$(7)

下面的定理给出了一个充分条件。该充分条件保证系统(1)是正系统。另外，该充分条件也保证系统(1)是正则、无脉冲和随机稳定的。

定理1. 令 $N=Z$和 $\bar{p}=\underset{i,j\in \hat{Z}}{\max }\left\{\left|p_{ij}\right|\right\}$。如果系统(1)满足如下条件：

(i) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\bar{A}}_{i4}$可逆；

(ii) ${\bar{N}}^{-1}\succ 0$以及对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\hat{A}}_{i1}$是梅兹勒矩阵；

(iii) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\hat{B}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{B}}_{i2}\succ =0$、 ${\hat{C}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{C}}_{i2}\succ =0$、 ${\hat{D}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{D}}_{i2}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i3}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i4}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i3}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i4}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i3}\succ =0$以及 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i4}\succ =0$；

(vi) 存在n维向量 ${\alpha }_i\left(i\in \hat{Z}\right)$、 ${\beta }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$、 ${\gamma }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$和 $\pi \succ 0$，使得对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$下面式子都成立：

$E_i^{\text{T}}{\alpha }_i\succ =0$(8)

$A_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{E}_j^{\text{T}}{\alpha }_j+{\beta }_i+{\gamma }_i+u\pi +\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{g}_j{\beta }_j}+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{k}_j{\gamma }_j}\prec 0$(9)

$B_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\beta }_i\prec 0$(10)

$C_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\gamma }_i\prec 0$(11)

$D_i^{\text{T}}{\alpha }_i-\pi \prec 0$(12)

那么(i)系统(1)是一个正系统；

(ii)系统(1)是正则和无脉冲的；

(iii)系统(1)是随机稳定的。

证明：注意对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\bar{A}}_{i4}$可逆。那么，和文献 [12] 中的证明相类似，我们可得系统(1)是正则和无脉冲的。

注意 ${\bar{N}}^{-1}\succ 0$以及对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\hat{A}}_{i1}$是梅兹勒矩阵。另外，注意对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\hat{B}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{B}}_{i2}\succ =0$、 ${\hat{C}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{C}}_{i2}\succ =0$、 ${\hat{D}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{D}}_{i2}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i3}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i4}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i3}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i4}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i3}\succ =0$以及 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i4}\succ =0$。那么，和文献 [12] 中的证明相类似，我们可得系统(1)是正系统。

下面，我们利用如下的李雅普诺夫泛函来证明系统(1)是随机稳定的。

$V\left(t\right)=V_1\left(t\right)+V_2\left(t\right)+V_3\left(t\right)+V_4\left(t\right)+V_5\left(t\right)+V_6\left(t\right)$(13)

其中

$V_1\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right)E_{z\left(t\right)}^{\text{T}}{\alpha }_{z\left(t\right)}$

$V_2\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{t-g_{z\left(t\right)}}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\beta }_{z\left(t\right)}}\text{d}s$

$V_3\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{t-k_{z\left(t\right)}}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\gamma }_{z\left(t\right)}}\text{d}s$

$V_4\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{-g_j}^0{\displaystyle {\int }_{t+\theta }^t{h}^{\text{T}}}\left(s\right){\beta }_j}\text{d}s\text{d}\theta }$

$V_5\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{-k_j}^0{\displaystyle {\int }_{t+\theta }^t{h}^{\text{T}}}\left(s\right){\gamma }_j}\text{d}s\text{d}\theta }$

$V_6\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{-u}^0{\displaystyle {\int }_{t+\theta }^t{h}^{\text{T}}}\left(s\right)\pi }\text{d}s\text{d}\theta$

由上式我们可得

$\begin{array}{c}\Lambda V_1\left(t\right)={\left[h^{\prime }\left(t\right)\right]}^{\text{T}}{E}_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{h}^{\text{T}}\left(t\right)E_j^{\text{T}}{\alpha }_j\\ ={\left[A_{i}h\left(t\right)+B_{i}h\left(t-g_i\right)+C_{i}h\left(t-k_i\right)+D_i{\displaystyle {\int }_{t-u_i}^{t}h\left(s\right)\text{d}s}\right]}^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{h}^{\text{T}}\left(t\right)E_j^{\text{T}}{\alpha }_j\end{array}$

$\Lambda V_2\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right){\beta }_i-h^{\text{T}}\left(t-g_i\right){\beta }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{\displaystyle {\int }_{t-g_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\beta }_j\text{d}s}$

$\Lambda V_3\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right){\gamma }_i-h^{\text{T}}\left(t-k_i\right){\gamma }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{\displaystyle {\int }_{t-k_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\gamma }_j\text{d}s}$

$\Lambda V_4\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{h}^{\text{T}}\left(t\right)g_j{\beta }_j}-\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t-g_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\beta }_j\text{d}s}}$

$\Lambda V_5\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{h}^{\text{T}}\left(t\right)k_j{\gamma }_j}-\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t-k_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\gamma }_j\text{d}s}}$

$\Lambda V_6\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right)u\pi -{\displaystyle {\int }_{t-u}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right)\pi \text{d}s}$

令 ${\Theta }_i=A_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{E}_j^{\text{T}}{\alpha }_j+{\beta }_i+{\gamma }_i+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{g}_j{\beta }_j}+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{k}_j{\gamma }_j}$。由上可得，存在 $w>0$满足

$\Lambda V\left(t\right)\le h^{\text{T}}\left(t\right){\Theta }_i\le -w{\Vert h\left(t\right)\Vert }_1$(14)

根据(14)，我们可得 $\epsilon \left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert h\left(t\right)\Vert }_1\text{d}t}\right)<\infty$，即系统(1)是随机稳定的。证毕。

在系统(1)中，如果对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 $D_i=0$，那么系统(1)变成了下面的系统：

$\{\begin{array}{l}{E}_{z\left(t\right)}{h}^{\prime }\left(t\right)=A_{z\left(t\right)}h\left(t\right)+B_{z\left(t\right)}h\left(t-g_{z\left(t\right)}\right)+C_{z\left(t\right)}h\left(t-k_{z\left(t\right)}\right)\\ h\left(\nu \right)=\theta \left(\nu \right)，\nu =\left[-\max \left\{g,k\right\},0\right]\end{array}$(15)

仿照定理1，我们可得下面的推论。

推论1. 令 $N=Z$和 $\bar{p}=\underset{i,j\in \hat{Z}}{\max }\left\{\left|p_{ij}\right|\right\}$。如果系统(15)满足如下条件：

(i) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\bar{A}}_{i4}$可逆；

(ii) ${\bar{N}}^{-1}\succ 0$以及对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\hat{A}}_{i1}$是梅兹勒矩阵；

(iii) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$，都有 ${\hat{B}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{B}}_{i2}\succ =0$、 ${\hat{C}}_{i1}\succ =0$、 ${\hat{C}}_{i2}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i3}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i4}\succ =0$、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i3}\succ =0$以及 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i4}\succ =0$；

(vi) 存在n维向量 ${\alpha }_i\left(i\in \hat{Z}\right)$、 ${\beta }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$和 ${\gamma }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$，使得对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$下面式子都成立：

$E_i^{\text{T}}{\alpha }_i\succ =0$(16)

$A_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{E}_j^{\text{T}}{\alpha }_j+{\beta }_i+{\gamma }_i+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{g}_j{\beta }_j}+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{k}_j{\gamma }_j}\prec 0$(17)

$B_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\beta }_i\prec 0$(18)

$C_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\gamma }_i\prec 0$(19)

那么(i)系统(15)是一个正系统；

(ii)系统(15)是正则和无脉冲的；

(iii)系统(15)是随机稳定的。

本文对一类带有多时滞的奇异Markov跳变系统的稳定性进行了分析。我们首先给出了所讨论的系统是正系统的充分条件。其次，我们给出了所讨论的系统正则和无脉冲的充分条件。最后，我们利用Lyapunov函数方法给出了所讨论的系统随机稳定的一些充分条件。在以后的研究中，我们将进一步研究带有多时滞的中立型奇异Markov跳变正系统的稳定性。

重庆市教育委员会科技项目–科学技术研究项目(青年) (KJQN202101129)。

^*通讯作者。