定义1 [5] ：如果函数 $f\left(x\right)$当 $x\to x_0$(或 $x\to \infty$)时的极限为零，那么称函数 $f\left(x\right)$为当 $x\to x_0$(或 $x\to \infty$)时的无穷小。

注解：无穷小是在自变量的某一变化过程中，以0为极限的函数，注意0是特殊的无穷小量，但无穷小量不是0。

定理1 [5] ：在自变量的同一变化过程中 $x\to x_0$(或 $x\to \infty$)中，函数 $f\left(x\right)$具有极限A的充分必要条件是 $f\left(x\right)=A+\alpha$，其中 $\alpha$是无穷小。

定义2 [5] ： $\alpha$及 $\beta$都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 $\alpha \ne 0$， $\lim \frac{\beta }{\alpha }$也是在这个变化过程中的极限，若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，称 $\beta$是比 $\alpha$高阶的无穷小，记作 $\beta =o\left(\alpha \right)$；若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，称 $\beta$与 $\alpha$是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

定理2 [5] $\beta \sim \alpha$的充分必要条件为 $\beta =\alpha +o\left(\alpha \right)$。

定理3 [5] 若 $\alpha \sim \alpha \text{'}$， $\beta \sim \beta \text{'}$，且 $\lim \frac{\beta \text{'}}{\alpha \text{'}}$存在，则 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{\beta \text{'}}{\alpha \text{'}}$。

高阶无穷小的运算规则：当 $x\to 0$时，

(a) $o\left(x^n\right)\pm o\left(x^n\right)=o\left(x^n\right)$(同阶加减，阶数不变)；

(b) 当 $m>n$时， $o\left(x^m\right)\pm o\left(x^n\right)=o\left(x^n\right)$(不同阶加减，取次数低)。

(c) $k\cdot o\left(x^n\right)=o\left(x^n\right)$(常数k乘以高阶无穷小，阶数不变)。

几个常用函数 $f\left(x\right)$在 $x=0$处的带有佩亚诺余项的泰勒展开式：

${\text{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}+o\left(x^{2n-1}\right)$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}+o\left(x^{2n}\right)$

$\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots +\frac{B_{2n}{\left(-4\right)}^n\left(1-4^n\right)}{\left(2n\right)!}{x}^{2n-1}+o\left(x^{2n-1}\right)$，其中 $B_{2n}$是伯努利数。

$\ln \left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o\left(x^n\right)$。

例1 求极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$。

错误解法：当 $x\to 0$时，直接把 $\tan x\sim x$和 $\sin x\sim x$直接带入得 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-x}{x^3}=0$。

问题原因：当 $x\to 0$时，将 $\tan x-\sin x$与 $x-x$式子直接等价无穷小，而 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-x}{\tan x-\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{0}{\tan x-\sin x}=0$，不符合等价无穷小定义，所以 $\tan x-\sin x$与 $x-x=0$不是等价无穷小。另外，由等价无穷小充分必要条件得 $\sin x=x+o\left(x\right)$， $\tan x=x+o\left(x\right)$，所以 $\tan x-\sin x=o\left(x\right)-o\left(x\right)$，而 $o\left(x\right)-o\left(x\right)=0$是错误的，比如当 $x\to 0$时， $x^2=o\left(x\right)$， $x^3=o\left(x\right)$，但是 $x^2-x^3\ne 0$，所以 $o\left(x\right)-o\left(x\right)$不一定是0，只能确定是比x的高阶无穷小，即 $\tan x-\sin x=o\left(x\right)$，但不确定阶数，所以极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o\left(x\right)}{x^3}$就无法计算。错解中省略了 $o\left(x\right)$，默认了是比 $x^3$高阶的无穷小，因误差精度不够而导致计算错误。

正确解法(1)： $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x\left(1-\cos x\right)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot \frac{1}{2}{x}^2}{x^3}=\frac{1}{2}$。

在乘积或除法运算中，如果某一部分的因子或除数可以表示为另一个与之等价的无穷小，则可以直接进行替换，而不影响整个表达式的极限值。

正确解法(2)：由泰勒公式可得 $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)$， $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)$，则 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)-\left(x-\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)\right)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{2}+o\left(x^3\right)-o\left(x^3\right)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{2}+o\left(x^3\right)}{x^3}=\frac{1}{2}$。

等价无穷小的本质是函数逼近，可以看成泰勒公式的一阶展开，忽略了一阶后面的项，容易因为精度不足引起等价无穷小代换的失败。解法(2)充分考虑到了精度问题，利用泰勒公式展开第一项后面的高阶项来近似，得到了正确解。

例2 求极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\ln \left(1+3x\right)}{x^2}-\frac{3}{x}\right)$。

错误解法：把 $\ln \left(1+3x\right)\sim 3x\left(x\to 0\right)$直接带入得原式得 $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\ln \left(1+3x\right)}{x^2}-\frac{3}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{3x}{x^2}-\frac{3}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{3}{x}-\frac{3}{x}\right)=0$。

问题原因：待求极限的整个式子不是整体乘法因子，只是局部乘法因子，不能局部代换。

正确解法(1)：把待求极限式子化成整体乘法因子型后利用洛必达法则求得

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\ln \left(1+3x\right)}{x^2}-\frac{3}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+3x\right)-3x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{3}{1+3x}-3}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{9}{2\left(1+3x\right)}\right)=-\frac{9}{2}$。

对于不是整体乘法因子型的，要避免直接局部代换，先化成整体乘法因子再选择合适的方法计算。

正确解法(2)：当 $x\to 0$时，由泰勒公式得 $\ln \left(1+3x\right)=3x-\frac{9x^2}{2}+o\left(x^2\right)$，所以 $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\ln \left(1+3x\right)}{x^2}-\frac{3}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+3x\right)-3x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x-\frac{{\left(3x\right)}^2}{2}+o\left(x^2\right)-3x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{9}{2}{x}^2+o\left(x^2\right)}{x^2}=-\frac{9}{2}$。

对于乘法因子不能整体代换时，可以尝试泰勒公式求解，要注意精度。

分式“上下同阶”指的是对于分式 $\frac{A}{B}$型，如果分母(或分子)是x的k次方，则应把分子(或分母)按泰勒公式展开到x的k次方，称之为“上下同阶”原则 [7] 。

例3 计算极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^x\left(x-2\right)+x+2}{{\sin }^{3}x}$。

错误解法： $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^x\left(x-2\right)+x+2}{{\sin }^{3}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1+x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right)\left(x-2\right)+x+2}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{2}+o\left(x^2\right)}{x^3}=\frac{1}{2}$。

错误原因：分子中 $x-2$这一项中有常数2， ${\text{e}}^x$在展开时没有展开到与分母相同阶数的3次项，只展开到了2次项，与2相乘结果的最高次幂低于分母的3次幂，导致分式“上下不同阶”，精度丢失较大，引发错误。

正确解法：利用泰勒公式展开到3次项得

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^x\left(x-2\right)+x+2}{{\sin }^{3}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)\right)\left(x-2\right)+x+2}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{2}-\frac{2x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{x^3}=\frac{1}{6}$。

泰勒展开的基本原则是分子与分母上下同阶即可，如果展开阶数过低，就会导致精度降低，误差增大，所以展开到几阶由分母的最低阶数确定最佳 [8] 。