EMD方法作为一种自适应的时频信号处理技术，对于分析非线性和非平稳的时频信号具有较好的效果。它的核心是将信号分解为若干个独立成分信号的叠加，通过数据自身的时间尺度特征进行分解，具有自适应性。EMD的优点在于它是一种自适应的、数据驱动的分解方法，不需要预先假设信号的分布或结构。这使得它适用于处理各种类型的信号，包括非线性和非平稳信号。

EMD认为任何复杂序列的时域信号都是由多个单频率信号叠加形成，因而原始信号可以分解成若干个IMF。每个IMF代表原始信号中的不同频率的分量，并按照从频率从高到低的顺序进行排列，这就是IMF的物理意义。

EMD算法的原理如下：

1) 将待分解的信号称为原始信号(x)，如 图1 所示。

2) 找到原始信号中的极值点(局部最大值和最小值)，通过连接这些极值点形成上下包络线。

3) 计算原始信号与上下包络线的平均值，得到一条均值曲线。

$\begin{array}{c}{m}_1=\frac{1}{2}\left[b_{\max }+b_{\min }\right]\end{array}$(1)

式中 $b_{\max }$代表上极值点形成的包络线， $b_{\min }$代表下极值点形成的包络线， $m_1$代表均值曲线。

4) 将原始信号减去均值曲线，判断细节曲线(x₁)是否满足IMF的条件：在整个数据段内，极值点和过零点的个数相等或相差不超过一个；任意时刻，上包络线和下包络线的平均值为零，即局部对称。如不满足上述条件，则将细节曲线作为新的原始信号，重复步骤2~3，得到满足条件的IMF1。

$x_1=x-m_1$(2)

5) 将原始信号减去满足条件的IMF1，重复步骤2~4，直到得到满足要求的IMF集合，且当最终多次分解后剩余分量为单调函数时，完成分解。按频率由高到低排列。

$\begin{array}{c}x=\underset{k=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}IM{F}_k+e_n\end{array}$(3)

式中 $IM{F}_1$， $IM{F}_2\cdots IM{F}_k$为对应的模态分量， $e_n$为残差分量。

针对EMD算法分解信号存在模态混叠的问题，影响后续信号的分析和处理。为了解决这些问题，提出了一种改进算法完全自适应噪声集合经验模态分解，又称完全集合经验模态分解。

CEEMDAN算法的原理如下：

1) M组高斯白噪声添加至原始信号x中，得到M组待处理新信号：

$\begin{array}{c}{x}_{new}^i=x\pm \epsilon {\partial }^i\end{array}$(4)

式中： ${\partial }^i$为满足标准正态分布的高斯白噪声信号， $i=1,2,\cdots ,M$， $\epsilon$为白噪声的标准差； $x_{new}^i$为第j组新信号数据。

2) 对每一组新信号依次EMD分解，对分解出来的第一个IMF分量取平均，获取CEEMDAN的首个固有模态分量：

$\begin{array}{c}{K}_1=\underset{i=1}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}IM{F}_1\left(x_{new}^i\right)/M\end{array}$(5)

3) 求取原信号去除IMF1后的残差分量：

$\begin{array}{c}{\alpha }_1=x-K_1\end{array}$(6)

4) 再次将M组高斯白噪声添加 ${\alpha }_1$，重复上述EMD分解，取平均，即可得到CEEMDAN的第2个固有模态分量：

$\begin{array}{c}{K}_2=\underset{i=1}{\overset{M}{{\displaystyle \sum }}}IM{F}_1\left(x_{new}^i\right)/M\end{array}$(7)

5) 循环上述过程，当最终多次分解后剩余分量为单调函数时，完成分解，则原信号表示：

$x=\underset{A=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}{K}_A+e_n$(8)

在轴承没有故障时，轴承时域信号通常符合正态分布，趋于平稳，因此其峭度值一般约为3；而当轴承出现故障时，就会出现较多的周期性冲击，峭度值随之上升。因此，峭度指标的数值大小与信号的冲击成分有很大关联，当峭度值大于3时表明其包含更多的故障冲击信息，可作为评判轴承信号中是否包含故障的有效指标，其表达式：

$\begin{array}{c}Kurt=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^N{\left[x\left(i\right)-\bar{x}\right]}^4}{N*{\sigma }^4}\end{array}$(9)

式中：N代表信号长度； $\bar{x}$代表信号平均值； $\sigma$为信号的标准差。

单一的指标很难作为有效的筛选指标，因此引入方差贡献率(VAF)这个指标，VAF的数值代表了在一系列信号中每个信号的重要程度。则本文提出通过计算各IMF分量的方差贡献率来说明各阶IMF分量的重要程度，因子分析法的统计意义表明，方差贡献率可以确定因子的相对重要性 [8] 。信号经过CEEMDAN分解为 $K_1,K_2,\cdots ,K_n$分量，定义各分量与原信号的方差贡献率计算如下：

(10)

式中： $D\left(K_j\right)$表示信号分解出来的 $K_j$分量的方差； $D\left(e_n\right)$为残差分量的方差。VAF的取值范围为[0, 1]，当小于0.1时，则表示关联程度低，即为分解出来的信号重要程度越低，当取值越接近1时，信号的重要程度越高，更加适合用于故障特征的提取。

综上所述，本方法集合峭度和VAF两个指标，选择VAF大于0.1的分量且峭度值大于3的IMF分量作为有效分量，及筛选出主要信号分量进行分解信号的重构。

常用的结构元素有直线形、三角形和半圆形。直线形结构元素可以较好地保留信号形状特诊，三角形结构元素可以抑制信号中随机噪声，半圆形相较于三角形既能抑制随机噪声也可抑制随机脉冲噪声。当只用了单一结构元素的情况下，会存在结果偏移的情况，且不能保留所有信号的特征。本方法提供了一个新的思路，在既要保持原有信号的特征，又要去除背景噪声突出冲击特征，结合使用两种不同形状的结构元素直线形及半圆形( $g_1\cdot g_2$)，优化传统形态学滤波方式，来实现正负脉冲的有效提取。

在传统形态学滤波中，简单来说开运算削弱正冲击、闭运算削弱负冲击，可以组合使用来达到突出噪声的目的，即差值滤波：

$\begin{array}{c}diff\left(f\left(n\right)\right)=\left(f\cdot g\right)\left(n\right)-\left(f\circ g\right)\left(n\right)\end{array}$(15)

当使用两种结构元素时，同样可以构造差值滤波，首先定义两个结构元素时的闭运算和开运算：

$\begin{array}{c}{f}_{\text{close}}\left(n\right)=\left(f\oplus g_1\Theta g_1\oplus g_2\text{Θ}{g}_2\right)\left(n\right)\end{array}$(16)

$\begin{array}{c}{f}_{\text{open}}\left(n\right)=\left(f\text{Θ}{g}_1\oplus g_1\text{Θ}{g}_2\oplus g_2\right)\left(n\right)\end{array}$(17)

根据上述优化后的形态学开运算和闭运算，为了突出信号中的周期冲击成分，可得到优化后的差值滤波方法。其公式如下：

$f_{NEW}\left(n\right)=f_{\text{close}}\left(n\right)-f_{\text{open}}\left(n\right)$(18)

结构元素和形态运算方式是影响形态滤波的2个最主要因素。结构元素的特性与形状、高度和长度有关，结构元素的形状对滤波效果的影响较小 [10] 。最常用的结构元素是直线型的，因为其简单的结构和高效的计算能力，这种直线型结构元素的高度为零。选择结构元素的最佳长度是关键。若长度过长，可能会将冲击信号误认为噪声而被滤除；若长度过短，则可能残留大量噪声，导致信号解调困难。对于半圆形结构元素来说，其半径的取值是影响其滤波效果的主要因素。

常用的形态学结构元素尺度的范围为：

1. 直线结构元素：长度5~15；

2. 半圆形结构元素：半径3~10；

筛选指标：TEK (Teager Energy Kurtosis)。

TEK指标：TEK指标是在峭度和Teager能量算子的基础上演变而来，对于识别信号的冲击成分较为灵敏。TEK指标结合峭度和Teager能量算子的优缺点，对信号的冲击成分很敏感，同时考虑了对尖峰的描述及信号瞬时能量的变化可以更加精确、有效地反映出故障信号的冲击特征，引入TEK作为筛选结构元素最佳长度的评判指标 [11] 。TEK计算公式为：

$\text{TEK}=\frac{\left(N-1\right){{\displaystyle \sum }}_{t=1}^N{\left({\phi }_x\left(t\right)-\overline{{\phi }_x}\right)}^4}{{\left({{\displaystyle \sum }}_{t=1}^N{\left({\phi }_x\left(t\right)-\overline{{\phi }_x}\right)}^2\right)}^2}$(19)

式中： $\begin{array}{c}N\end{array}$为信号长度， ${\phi }_x\left(t\right)$为信号在第t个点处的Teager能量， $\overline{{\phi }_x}$为 ${\phi }_x\left(t\right)$的平均值。

对于一维的时域信号 $x\left(t\right)$，某一点 $n$处的Teager能量的计算公式为：

$\begin{array}{c}{\phi }_x\left(t\right)=\phi \left[x\left(t\right)\right]={\left[x\left(t\right)\right]}^2-x\left(t+1\right)x\left(t-1\right)\end{array}$(20)

通过引入指标，解决传统结构元素尺寸无法选取的问题，同时对于电机轴承故障诊断来说，更好地识别和保留了时域信号的冲击部分，对于后续频谱的呈现具有较好的影响。

在大多数应用场合中，滚动轴承的外圈通常固定在轴承座孔或其他旋转机械设备的壳体上，起到支撑的作用，并在设备运行时保持静止。相比之下，内圈一般通过过盈配合的方式与旋转机械设备的传动轴连接，并随传动轴一起旋转。滚动体作为轴承的核心部件，主要作用是将内圈和外圈之间的相对运动产生的滑动摩擦转变为滚动摩擦。而保持架的作用则是保护滚动体，减少损坏或防止其损坏。

由 图2 滚动轴承的结构图可知，一般轴承发生故障都是会出现在这四个位置，因而不同的部位发生故障就会存在不同的故障特征频率，特征频率的计算公式为：

滚动轴承中，滚动体沿着内圈和外圈滚动，并与它们发生周期性的接触。当滚动轴承部位发生故障时，这种周期性的接触会产生特征频率。基本参数：

$f_r$：轴承转速(单位：Hz)；

$n$：滚动体的个数；

$d$：滚动体的直径；

$D$：节圆的直径；

$\beta$：接触角；

假设内圈故障每当滚动体通过内圈缺陷一次，外圈故障每当滚动体通过外圈缺陷一次。

每秒钟内圈与每个滚动体接触的次数： $\frac{f_r}{60}\times n$；

每秒钟外圈与每个滚动体接触的次数： $\frac{f_r}{60}\times n$。

考虑到接触角和滚动体的直径，修正公式得到：

$\begin{array}{c}\text{BPFI}=\frac{n}{2}\left(1+\frac{d}{D}\cos \beta \right)f_r\end{array}$(21)

$\begin{array}{c}\text{BPFO}=\frac{n}{2}\left(1-\frac{d}{D}\cos \beta \right)f_r\end{array}$(22)

滚动体故障频率推导

滚动体自旋的频率可以通过考虑滚动体相对于内圈和外圈的运动速度来计算：

$\begin{array}{c}\text{BSF}=\frac{D}{d}\left(1-{\left(\frac{d}{D}\cos \beta \right)}^2\right)f_r\end{array}$(23)

保持架故障频率推导

保持架每转动一次的频率与滚动体数量和接触角有关：

$\begin{array}{c}\text{FTF}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{d}{D}\cos \beta \right)f_r\end{array}$(24)

这些公式可以用于分析轴承时域信号，从而有效地进行故障诊断。

为了进一步验证本文所描述方法的鲁棒性，我们选用了西储大学(Case Western Reserve University, CWRU)的轴承数据集进行实例验证。CWRU轴承数据集是机械故障诊断领域中广泛使用的标准数据集，具有丰富的故障类型和运行状态数据，可用于验证故障诊断方法的有效性。CWRU轴承数据集包含了不同故障类型(如内圈故障、外圈故障和滚动体故障)和不同故障严重程度(如0.007、0.014和0.021英寸)的轴承振动信号。这些数据通过安装在不同位置(如驱动端、风扇端)的加速度传感器采集，并在各种负载条件(如0、1、2和3马力)下记录。

该实验台如 图3 所示，主要包括一个2马力(1.5 KW)的电动机，一个扭矩传感器，一个功率测试计。待检测的轴承支撑着电动机的转轴，电机驱动端轴承型号为SKF6205，轴承用电火花加工单点损伤，损伤直径分为(0.007英寸 = 7 mils = 0.1778 mm，0.014英寸 = 14 mils = 0.3556 mm，0.021英寸 = 21 mils = 0.5334 mm)其中，轴承外圈的损伤点在时钟：3点钟、6点钟、12点钟3个不同位置进行设置。电动机驱动端的轴承座上方放置一个加速度传感器用来采集故障轴承的振动加速度信号。振动信号由16通道数据记录仪采集得到，采样频率为12 kHz。

轴承参数及故障特征频率阶次：

根据 表1 轴承的参数再结合5.1部分理论计算公式可得出此轴承的故障特征阶次(相对应转频的倍数)，汇总至 表2 ：

选择内圈故障数据的具体的参数如 表3 所示：

根据 表2 和 表3 可知，当轴承内圈发生故障时其故障特征频率为162.329 Hz。

内圈受轴承安装位置的影响，信号中间传导部件较多，因而信号的传递时间较长，故其故障信号在采集过程中易受到噪声的影响。 图4 为内圈故障的时域波形图，波形中的故障特征被噪声和杂乱波干扰，无法直接进行时域信号判断； 图5 为内圈故障的频谱图，但由于大量噪声的干扰，频率主要在中、高频段较为突出，然而故障频率处于低频段，因幅值过低且周边频率谱线相近，故障特征频率并不明显，基本无法判别具体是哪类故障。

通过CEEMDAN对信号进行分解，分解结果如 图6 所示，分解后各个IMF分量的峭度和方差贡献率如 图7 所示，依据 图6 和 图7 的结果，选择分量进行信号重构。对重构信号进行优化形态学滤波，最后进行包络谱分析。

通过观察 图8 包络谱可以得到频率峰值为161.133 Hz，对应理论计算故障为162.329 Hz，对比可得轴承发生故障的部位为内圈。

选择外圈故障数据的具体的参数如 表4 所示：

根据 表2 和 表4 可知，当轴承内圈发生故障时其故障特征频率为107.16 Hz。

轴承外圈比内圈更靠近电机机壳上的传感器，且其振动信号在传导过程中不需要穿过滚动体，因此采集到的外圈故障信号中噪声含量更低。 图9 显示了外圈故障的时域波形图，与内圈故障信号相比，外圈故障的波形中故障特征更加明显，但仍存在杂波和噪声的干扰，无法确定具体的故障情况。 图10 为外圈故障的频谱图，与内圈故障情况相似，由于噪声的影响，频率主要集中在高频段，而低频段的频率幅值很小，故障特征频率难以识别，依然法准确判断故障类型。通过以上分析，可以看出尽管外圈故障信号中噪声较少，但由于噪声对频谱的影响，仍然难以清晰地识别故障特征，从而难以准确地判断轴承故障类型。

通过CEEMDAN对信号进行分解，分解结果如 图11 所示，分解后各个IMF分量的峭度和方差贡献率如 图12 所示，依据 图11 和 图12 的结果，选择分量进行信号重构。对重构信号进行优化形态学滤波，最后进行包络谱分析。

通过观察 图13 包络谱可以得到频率峰值为106.934 Hz，对应理论计算故障为107.16 Hz，对比可得轴承发生故障的部位为外圈。