设因变量(响应变量)为Y，影响因变量的k个自变量(解释变量)为 $X_1,X_2,\cdots ,X_k$，假设每一个自变量X对应因变量Y的影响是线性的，那就意味着只要其他自变量保持不变，Y的均值就会随着自变量 $X_i$的变化而均匀变化，即：

$Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\cdots +{\beta }_k{X}_k+\mu$(1)

其中， ${\beta }_0$为无任何影响因素下的空气质量指数， ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$是待确认的估计值(待估参数)，把 ${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_k$称为回归参数， $\mu$为随机误差，代表模型未解释的部分，常假定

$\{\begin{array}{c}E\left(\mu \right)=0\\ Var\left(\mu \right)={\sigma }^2\end{array}$(2)

称

$E\left(Y\right)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\cdots +{\beta }_k{X}_k$(3)

为理论回归模型。

对于一个实际问题，若获得n组观测数据 $\left(X_{i1},X_{i2},\cdots ,X_{ik};Y_i\right)$ $\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，则线性回归模型数学形式可表示为：

$\{\begin{array}{l}{Y}_1={\beta }_0+{\beta }_1{X}_{11}+{\beta }_2{X}_{21}+\cdots +{\beta }_k{X}_{k1}+{\mu }_1\\ Y_2={\beta }_0+{\beta }_1{X}_{12}+{\beta }_2{X}_{22}+\cdots +{\beta }_k{X}_{k2}+{\mu }_2\\ ⋮\\ Y_n={\beta }_0+{\beta }_1{X}_{1n}+{\beta }_2{X}_{2n}+\cdots +{\beta }_k{X}_{kn}+{\mu }_n\end{array}$(4)

写成矩阵形式，为

$Y=X\beta +\mu$.(5)

多元线性回归的拟合优度检验主要用于评估模型对观测数据的拟合程度，即模型解释了多少响应变量的变异。度量拟合优度的统计量通常选用可决系数 $R^2$和调整可决系数 ${\bar{R}}^2$，即

$R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}$(6)

${\bar{R}}^2=1-\frac{\left(1-R^2\right)\left(n-1\right)}{n-k-1}$(7)

其中， $SSE={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\hat{y}}_i-y_i\right)}^2}$为残差平方和， $SSR={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\hat{y}}_i-\bar{y}\right)}^2}$为回归平方和， $SST={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2}$为总离差平方和，且SST = SSE + SSR，n为样本数，k为解释变量个数。

可决系数等于回归平方和在总平方和中所占的比率，即回归方程所能解释的因变量变异性的百分比。 $R^2$越大，说明多元线性回归模型的拟合效果越好，且 $R^2$的最优值为1，通常的取值范围为[0, 1]， $R^2$越靠近1，表明模型中的自变量对因变量的解释能力越强，模型拟合得也就越好， $R^2$越靠近0，表明模型拟合得越差，一般可决系数 < 0.4，可看作拟合效果不好。

除了可决系数和调整可决系数以外，还可使用其它统计量来对模型的拟合优度进行检验，如F检验和t检验，其中F检验主要用于检验整个回归模型的显著性，即所有变量作为一个整体是否对因变量有显著影响，t检验主要用于检验单个自变量是否对因变量有显著影响。

大气污染产生的原因既有自然原因，也有人类原因，例如火山喷发、森林火灾、工业废气、焚烧废气和机动车废气等这些因素所排放的污染物。大气污染的主要来源是生活和生产用煤，其主要污染物是颗粒物和SO₂，随着机动车辆地迅速增加，大气污染特征正在由烟煤型转变为汽车尾气型，NO₂和CO呈现加重趋势，且随着近年来温度的逐渐回暖，臭氧污染潜在的危机也处于随时爆发的状态，因此，本文根据已有文献与相应分析，选取PM_2.5、PM₁₀、SO₂、NO₂、CO及O₃作为大气污染的主要污染物 [11] 。衡量大气污染状况最直接的检测数据就是空气质量指数(AQI)，它是一种用于量化大气污染状态的非线性无量纲指标，即AQI越大，等级就越高，表明大气环境的污染程度越高，对人类身体的伤害也就越大。空气质量指数大小与空气质量的等级如 表1 所示。

因此，根据《环境空气质量标准》，本文通过重庆空气质量在线检测分析平台收集整理了2023年7月1日至2024年6月30日这最近一年的重庆市每日空气质量指数(AQI)和大气污染物浓度数据，其中大气污染物主要包含细颗粒物(PM_2.5)、可吸入颗粒物(PM₁₀)、二氧化硫(SO₂)、一氧化碳(CO)、二氧化氮(NO₂)及臭氧(O₃)这六大污染物，共有365条数据，相应的指标信息展示在 表2 中。

由于本文所用到的数据均来自重庆空气质量在线检测分析平台，里面存在缺失值以及量纲不统一的情况，需先对其进行预处理之后才能进行后续的统计分析。因此，本文针对缺失数据采用均值替换的方式，通过往年该月的污染物月平均浓度来对缺失数据进行填充，针对自变量量纲不统一的情况，本文采用数据标准化的方式进行处理。数据标准化的处理方式有多种，如Z-Score标准化、最大最小值标准化以及归一化标准化等，本文采用的是Z-Score标准化，其表达式如下：

${X^{\prime }}_i=\frac{X_i-{\bar{X}}_i}{{\delta }_i}$(8)

其中 ${\bar{X}}_i$代表第i个自变量的均值， ${\delta }_i$代表对应的方差。

基于以上研究，本文以2023年7月至2024年6月12个月365天重庆空气质量日数据作为样本，运用SPSS软件对样本数据进行分析，初步建立模型，其中PM_2.5、PM₁₀、SO₂、NO₂、CO及O₃作为自变量，AQI作为因变量，建立多元线性回归方程：

$Y_t={\beta }_0+{\beta }_1{X^{\prime }}_{1t}+{\beta }_2{X^{\prime }}_{2t}+{\beta }_3{X^{\prime }}_{3t}+{\beta }_4{X^{\prime }}_{4t}+{\beta }_5{X^{\prime }}_{5t}+{\beta }_6{X^{\prime }}_{6t}+{\mu }_t$(9)

式中， ${\beta }_0$为无任何影响因素下的空气质量指数， ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_6$是待确认的估计值(待估参数)， ${\mu }_t$为随机扰动项， ${X^{\prime }}_{1t},{X^{\prime }}_{2t},\cdots ,{X^{\prime }}_{6t}$分别表示标准化后第t时刻PM_2.5、PM₁₀、SO₂、CO、NO₂及O₃的浓度数据。

据 表3 的数据结果显示，可决系数R²为0.887，调整后的可决系数为0.885，表明解释变量能够解释被解释变量88.5%的变异程度，进而说明模型的拟合效果好。

表4 展示了模型整体的显著性检验结果。据分析显示，检验统计量F为469.429，显著性(P值)小于0.001，则拒绝原假设，说明该模型在显著性检验中获得通过，即至少存在PM_2.5、PM₁₀、SO₂、CO、NO₂及O₃中的一个因素对空气质量有显著影响，拟合效果有效。

表5 展示了模型参数的显著性检验，从中可看出， ${X^{\prime }}_2$和 ${X^{\prime }}_5$的P值均大于0.05，没有通过显著性检验，说明该变量对对空气质量指数AQI的影响不显著，可将其剔除，且X₁与X₂的方差扩大因子大于10，意味着回归模型中存在多重共线性问题。因此，综合利用所有变量进行多元回归的效果将会受到影响，需对全模型进行优化或修正处理，为得到更优的回归方程，考虑采用逐步回归的方法。

在剔除不显著的变量后，可以得到经过逐步回归优化后的回归方程，剔除变量后的描述性分析和参数估计结果如 表6 、 表7 和 表8 所示。 表6 展示了优化后的可决系数，通过拟合模型的可决系数R²= 0.887，调整后的可决系数仍为0.885可知，该优化模型的拟合程度较高，空气质量指数可以被这四种污染物数据很好地解释。通过 表7 可知，检验统计量F为705.891，显著性(P值)小于0.001，则拒绝原假设，说明该模型在显著性检验中获得通过。 表8 展示了优化后的参数估计结果，从中可看出，常量与所有变量均通过了显著性检验，且通过逐步回归之后不存在多重共线性问题，因此，该模型可用于最终的评判分析。

由 表8 可得出最终的影响重庆市空气质量的多元线性回归模型为

$Y=26.226{X^{\prime }}_1-2.159{X^{\prime }}_3+3.508{X^{\prime }}_4+16.972{X^{\prime }}_6+63.880$(10)

根据该模型可知：PM_2.5、SO₂、CO及O₃是造成重庆市大气污染的主要原因，其中PM_2.5的影响最为显著，其次是臭氧，最后是CO和SO₂。

本文以重庆2023年7月至2024年6月的空气质量日平均数据为研究样本，将空气质量指数AQI作为因变量，六项污染物(PM_2.5, PM₁₀, SO₂, NO₂, CO及O₃)作为自变量，初步建立多元线性回归方程，发现PM_2.5和PM₁₀存在共线性问题，NO₂对因变量AQI的影响不显著，因此使用逐步回归法，剔除不显著的变量后，将PM_2.5、SO₂、CO及O₃作为自变量重新构建优化后的多元线性回归模型，结果表明：近一年内，PM_2.5和臭氧对重庆市空气质量的影响最为显著，其次是CO和SO₂。

鉴于上述分析结果与重庆市发展现状，为进一步改善重庆市空气质量问题提出一些相关建议：

第三，CO和SO₂也对空气质量有一定影响，因此可推广使用清洁燃料，如天然气和生物燃料，减少汽油和柴油车辆的一氧化碳排放，加强对燃煤电厂和工业锅炉的监管，实施脱硫技术，发展可再生能源，如风能、太阳能和水能，减少化石燃料的使用。