本文选择图卷积网络(GCN)进行虚拟机迁移路径优化的主要动机在于其高效的特征聚合能力，能够有效处理数据中心网络的稀疏图结构，同时具备简单且可扩展的模型架构。此外，GCN具有良好的泛化能力，能够在不同网络拓扑和负载条件下保持稳定性能，并已在多个网络优化和路径规划问题中取得成功，借鉴这些经验可以加速算法的开发和优化，提高迁移效率，减少资源浪费。 图1 是本文的图神经网络结构图。

该模型的第一层是输入层(Input)，该层负责接收虚拟机迁移的输入数据，包括虚拟机及其关联资源的特征，输入维度为16。它将这些数据作为初始特征矩阵，传递给后续的图卷积层进行处理。

GCN第1层(Conv1)是第一个图卷积层，输入维度为16，输出维度为32，使用ReLU激活函数。该层通过卷积操作聚合每个节点及其邻居节点的特征，从而提取更高阶的特征表示，增强特征的表达能力。计算公式如下：

$H^{\left(1\right)}=\text{ReLU}\left({\tilde{D}}^{-1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-1/2}X{W}^{\left(0\right)}\right)$(5)

通过卷积操作聚合每个节点及其邻居节点的特征，从而提取更高阶的特征表示。这里， $\tilde{A}$是加上自环的邻接矩阵， $\tilde{D}$是 $\tilde{A}$的度矩阵， $W^{\left(0\right)}$是权重矩阵。

GCN第2层(Conv2)是第二个图卷积层，输入维度为32，输出维度为64，使用ReLU激活函数。该层进一步聚合和提取节点特征，增加特征维度，使模型能够捕捉到更复杂的特征关系。计算公式如下：

$H^{\left(2\right)}=\text{ReLU}\left({\tilde{D}}^{-1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-1/2}{H}^{\left(1\right)}{W}^{\left(1\right)}\right)$(6)

GCN第3层(Conv3)是第三个图卷积层，输入维度为64，输出维度为128，使用ReLU激活函数。通过该层，模型继续增强特征的表示能力，捕捉更加抽象和高阶的特征信息。计算公式如下：

$H^{\left(3\right)}=\text{ReLU}\left({\tilde{D}}^{-1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-1/2}{H}^{\left(2\right)}{W}^{\left(2\right)}\right)$(7)

GCN第4层(Conv4)是第四个图卷积层，输入维度为128，输出维度为256，使用ReLU激活函数。该层是最后一个图卷积层，提取出最高维度和最抽象的特征表示，为后续的汇总和全连接层做好准备。计算公式如下：

$H^{\left(4\right)}=\text{ReLU}\left({\tilde{D}}^{-1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{-1/2}{H}^{\left(3\right)}{W}^{\left(3\right)}\right)$(8)

汇总层(Pooling)类似于池化层，用于整合图卷积层输出的节点特征，生成图级特征表示。这一步将节点级别的信息汇总到图级别，提供全局的特征表示，以便在后续全连接层中进一步处理。将所有节点特征进行汇总生成图级特征表示。计算公式如下：

$H_{graph}=\text{Pooling}\left(H^{\left(4\right)}\right)$(9)

全连接层1 (FC1)是第一个全连接层，输入维度为256，输出维度为128，使用ReLU激活函数。该层对汇总层生成的图级特征进行压缩和转换，减少特征维度，并引入非线性变换，增强特征的表达能力。计算公式如下：

$H_{FC1}=\text{RelU}\left(H_{graph}{W}_{FC1}+b_{FC1}\right)$(10)

全连接层2 (FC2)是第二个全连接层，输入维度为128，输出维度为64，使用ReLU激活函数。该层进一步处理特征，使其更加紧凑和适合最终输出的预测任务，准备好输出层的输入。计算公式如下：

$H_{FC2}=\text{RelU}\left(H_{FC1}{W}_{FC2}+b_{FC2}\right)$(11)

输出层生成最终的备选路径，作为虚拟机迁移的预测结果。它接收全连接层的输出特征，并将其转换为具体的迁移路径，为路径优化模块提供输入。计算公式如下：

$Output=H_{FC2}{W}_{Output}+b_{Output}$(12)

路径优化算法模块包括高级路径优化算法(如A*或强化学习)，用于对输出层生成的迁移路径进行进一步优化。这一步确保迁移路径在满足各种约束条件下达到最佳性能，提高迁移效率和资源利用率。

标准算法在虚拟机迁移路径规划中，通常只关注当前节点的最优选择，容易陷入局部最优，且缺乏灵活性和多目标优化能力，难以适应动态环境和复杂网络拓扑。引入优化算法(如A*算法 [11] )能够克服这些局限性，通过全局信息和智能策略，显著提高路径规划的全局优化能力、计算效率和适应性，实现资源的高效利用和多目标优化，满足复杂和动态环境下的需求。

A*算法是一种广泛应用于路径规划的启发式搜索算法，它结合了最短路径算法和启发式搜索策略，能够高效地找到从起点到终点的最优路径。优化算法的伪代码如下所示：

算法1：A*算法用于虚拟机迁移路径优化算法

输入：start_vm(起始虚拟机)，goal_vm(目标虚拟机)，network_graph(网络图)

输出：path(优化的迁移路径)

1. 初始化open_list = {start_vm}, closed_list = {}

2. 初始化g = {start_vm: 0} # 从起点到当前节点的实际代价

3. 初始化parents = {start_vm: start_vm} # 路径的父节点映射

4. 当open_list不为空时，执行以下步骤：

4.1 选择open_list中代价函数f(vm) = g(vm) + heuristic(vm, goal_vm)最小的节点current_vm

4.2 如果current_vm等于goal_vm，则执行以下步骤：

4.2.1 初始化空路径path = []

4.2.2 从goal_vm回溯到start_vm构建路径：

4.2.2.1 当parents[current_vm]不等于current_vm时，执行：

4.2.2.1.1 将current_vm添加到path

4.2.2.1.2 将current_vm更新为其父节点parents[current_vm]

4.2.2.2 将start_vm添加到path

4.2.2.3 反转路径path

4.2.2.4 返回路径path

4.3 将current_vm从open_list中移除，并添加到closed_list中

4.4 对于current_vm的每个邻居节点neighbor_vm和迁移代价migration_cost，执行以下步骤：

4.4.1 如果neighbor_vm在closed_list中，则跳过

4.4.2 计算tentative_g = g[current_vm] + migration_cost

4.4.3 如果neighbor_vm不在open_list中或tentative_g小于g[neighbor_vm]，则执行以下步骤：

4.4.3.1 将neighbor_vm添加到open_list中

4.4.3.2 更新parents[neighbor_vm]为current_vm

4.4.3.3 更新g[neighbor_vm]为tentative_g

5. 如果循环结束且未找到目标虚拟机，则打印"路径不存在"并返回None

该A*算法用于优化虚拟机迁移路径。首先，初始化开放列表、封闭列表、实际代价表和父节点映射表。然后，在开放列表不为空时，选择代价函数最小的节点作为当前节点；如果该节点为目标虚拟机，则通过回溯构建路径并返回；否则，将当前节点从开放列表移至封闭列表，并扩展其所有邻居节点，计算并更新每个邻居节点的代价和父节点信息。如果遍历完所有节点仍未找到目标虚拟机，则返回路径不存在。该A算法的时间复杂度主要取决于节点的扩展和优先队列的维护，在最坏情况下为O(b^d)，其中b是每个节点的分支因子，d是最短路径的深度。空间复杂度为O(b^d)，因为在最坏情况下，算法需要存储所有生成的节点和路径信息。尽管A算法能够找到最优路径，但在处理大规模网络时，其高时间和空间复杂度可能导致性能问题。

强化学习(Reinforcement Learning, RL) [12] 是一种通过与环境的交互学习最优策略的方法。对于虚拟机迁移路径优化，RL算法能够动态适应网络拓扑和负载的变化，通过不断学习和更新策略，找到最优的迁移路径。本文采用Q-learning [13] 算法进行路径优化，具体步骤如下：

1) 环境定义：

① 状态(State)：网络图中的每个节点表示一个状态，即虚拟机所在的位置。

② 动作(Action)：从当前节点迁移到下一个节点的行为。

③ 奖励(Reward)：迁移后的系统性能指标，如迁移时间、带宽消耗等。奖励值通常与这些指标成反比，即性能越好，奖励越高。

2) Q表初始化：初始化Q表，将所有状态–动作对的Q值设置为0。Q表用于存储每个状态–动作对的预期累积奖励。

3) 参数设置：设置学习率α，折扣因子γ和探索率ε。学习率决定了新旧信息的更新比例，折扣因子权衡当前奖励与未来奖励，探索率控制了探索和利用的平衡。

4) 算法伪代码如下：

算法2：基于Q-learning的虚拟机迁移路径优化算法

输入：network_graph (网络图)，start_vm (起始虚拟机)，goal_vm (目标虚拟机)，max_episodes (最大迭代次数)

输出：最优迁移路径optimal_path

1. 初始化Q表，所有状态–动作对的Q值设为0

2. 设置学习率α、折扣因子γ、探索率ε

3. 循环max_episodes次，执行以下步骤：

3.1 初始化当前状态state = start_vm

3.2 当state不是goal_vm时，执行以下步骤：

3.2.1 根据探索率ε，选择动作action：

3.2.1.1 以ε的概率选择随机动作(探索)

3.2.1.2 否则，选择Q值最大的动作(利用)

3.2.2 执行动作action，观察奖励reward和下一个状态next_state

3.2.3 更新Q值：

Q(state, action) = Q(state, action) + α * [reward + γ * max(Q(next_state, all_actions)) - Q(state, action)]

3.2.4 将next_state赋值给state

4. 根据Q表，从start_vm开始，按照最优策略选择路径，生成optimal_path

5. 返回optimal_path

基于Q-learning的虚拟机迁移路径优化算法首先初始化Q表和参数，然后在每次迭代中根据当前状态选择动作，执行迁移并观察奖励和下一个状态，利用奖励和折扣因子更新Q值，不断优化策略；迭代结束后，根据学习到的最优策略，从起始节点到目标节点生成最优迁移路径。在最坏情况下，每次迭代需要遍历所有状态和动作，因此时间复杂度为 $O\left(n\times m\times \text{max\_episodes}\right)$，其中n为状态数量，m为每个状态的动作数量。算法的空间复杂度为 $O\left(n\times m\right)$。

基于强化学习的路径优化算法能够动态适应网络环境的变化，通过不断学习和更新策略，找到最优的虚拟机迁移路径。相比传统的静态算法，RL算法具有更高的灵活性和适应性，能够在复杂和动态的网络环境中实现高效的路径优化。

为了验证虚拟机迁移路径优化算法的有效性，我们在CloudSim [14] 模拟环境中进行了实验。CloudSim是一种灵活且广泛应用的云计算模拟工具，适用于模拟和评估云计算资源管理和调度策略。

实验在一台配备Intel Core i7处理器和32GB RAM的计算机上进行。操作系统为Ubuntu 20.04，使用Java和CloudSim 3.0进行模拟，Python 3.8进行算法实现，并采用了NumPy和Matplotlib等科学计算和数据可视化库。

CloudSim环境设置如下：

(1) 数据中心配置：我们模拟了一个数据中心，其中包含20个主机，每个主机配备2个1000 MIPS的CPU、8 GB内存、1 TB存储和10 Gbps带宽。

(2) 虚拟机配置：在实验中，我们配置了20个虚拟机，每个虚拟机拥有1个1000 MIPS的CPU、2 GB内存、10 GB存储和1 Gbps带宽，并均匀分布在不同主机上。

(3) 任务配置：实验中设置了50个任务，每个任务长度为10⁵指令，文件大小和输出大小均为300 MB，这些任务随机分布在不同的虚拟机上。

(4) 网络拓扑：模拟的网络拓扑包含20个节点(代表虚拟机)和50条边(代表节点间的可用迁移路径)，边的权重随机分配，表示迁移代价(如带宽消耗、迁移时间等)。

(5) 迁移策略：我们采用初始随机选择虚拟机进行迁移作为基准对照，使用基于A*和Q-learning算法的优化迁移策略进行学习和优化虚拟机迁移路径。

在该实验中，我们评估了Q-learning、A*算法、Dijkstra算法和随机算法在不同学习率α、折扣因子γ和探索率ε参数下的收敛速度。具体实验过程如下：

我们使用CloudSim模拟环境配置实验环境，模拟网络包含40个虚拟机节点和100条迁移路径。实验设置不同的参数组合： $\alpha \in \left\{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9\right\}$、 $\gamma \in \left\{0.5,0.7,0.9\right\}$、 $\epsilon \in \left\{0.1,0.3,0.5\right\}$。实验中，我们记录每次参数组合下算法的收敛速度，即算法找到最优路径所需的迭代次数。

表1 是Q-learning、A*算法、Dijkstra算法和随机算法在不同参数组合下的收敛速度数据对比(单位：迭代次数或时间单位)：

从 表1 可以看出，Q-learning算法的收敛速度受学习率、折扣因子和探索率的显著影响。适当的参数组合(如 $\alpha =0.9$， $\gamma =0.9$， $\epsilon =0.5$)能够显著提高收敛速度。与A*算法、Dijkstra算法和随机算法相比，Q-learning算法在合理参数设置下能够更快地找到最优路径，尤其在动态变化的网络环境中表现更为优越。

在本实验中，我们比较了Q-learning、A*算法和Dijkstra算法在相同网络拓扑和负载条件下的效果。我们使用CloudSim模拟环境配置实验环境，模拟网络包含40个虚拟机节点和100条迁移路径。我们固定网络拓扑和任务配置，确保算法在相同的条件下进行比较。为每个虚拟机分配相同的初始任务负载，确保负载条件一致。 表2 是对比数据，包括最优路径长度和计算时间(单位：秒)。

从 表2 可以看出，在相同的网络拓扑和负载条件下，基于Q-learning的路径优化算法与A*算法、和Dijkstra算法相比，虽然在计算时间上略有增加，但能够找到更短的最优路径。具体来说，Q-learning算法在优化虚拟机迁移路径时更具灵活性和适应性，能够更好地应对动态变化的网络环境。而A*算法在计算时间上稍快，但其路径优化效果相对不如Q-learning算法。Dijkstra算法的表现与A*算法相近，但由于其缺乏启发式搜索，计算时间略长。本实验中，随机算法的最优路径长度比较长，且计算时间都比较大，没有列举到表中。

在本实验中，我们测试了基于Q-learning算法、A*算法、Dijkstra算法和随机算法在不同网络规模(节点数量分别为20、50、100)下的性能表现。具体实验过程如下：

使用CloudSim模拟环境配置实验环境，模拟网络包含不同数量的虚拟机节点(20, 50, 100)和相应的迁移路径。本实验中，我们固定任务配置和负载条件，确保所有算法在相同的条件下进行比较。同时，为每个虚拟机分配相同的初始任务负载，确保负载条件一致。实验结果 图2 和 图3 所示。

图2 ， 图3 表明，随着网络规模的增大，所有算法的收敛时间都有所增加，但基于Q-learning的路径优化算法在不同网络规模下表现依然稳定，能够有效找到最优路径。Q-learning算法通过动态学习和与环境交互，能够适应网络拓扑和负载变化，不断更新路径选择策略，从而在复杂网络中表现出色；相比之下，A算法和Dijkstra算法基于静态规则，缺乏动态适应性，无法调整路径选择策略。Q-learning算法通过Q值的更新和累积，能够进行全局优化，找到最优路径，而A算法尽管具有启发式搜索能力，但容易陷入局部最优，Dijkstra算法则缺乏全局优化能力。Q-learning算法还通过调整学习率、折扣因子和探索率等参数，增强了灵活性和适应性，而A*算法和Dijkstra算法在参数调整方面相对有限。

在本实验中，我们评估了基于Q-learning算法、A*算法、Dijkstra算法和随机算法在不同负载条件下的适应性和稳定性。具体实验过程如下：

使用CloudSim模拟环境配置实验环境，模拟网络包含40虚拟机节点和50条迁移路径。本实验中，我们设置不同的负载条件，包括高带宽消耗和低迁移时间，同时固定网络拓扑和任务配置，确保所有算法在相同的条件下进行比较。实验结果 图4 和 图5 所示。

图4 、 图5 实验结果表明，基于Q-learning的路径优化算法在不同负载条件下均表现出良好的适应性和稳定性。在高带宽消耗和低迁移时间的负载条件下，Q-learning算法能够有效收敛，找到较短的最优路径，并保持较高的资源利用率。

在高带宽消耗条件下，Q-learning算法的资源利用率为85%，在低迁移时间条件下为88%，均高于A*算法、Dijkstra算法和随机算法，表明其能够更有效地利用系统资源。相比之下，A*算法和Dijkstra算法虽然在收敛时间上稍有优势，但最优路径长度和资源利用率不及Q-learning算法。随机算法在所有负载条件下表现最差，收敛时间最长，路径最不优化，资源利用率最低。

综上所述，Q-learning算法在不同负载条件下表现出较高的适应性和稳定性，能够有效优化虚拟机迁移路径，提高系统资源利用率，适用于复杂和动态的网络环境。