大气边界层(Atmospheric Boundary Layer, ABL)是指靠近地球表面的大气分层，其厚度通常情况下在300米到3公里之间，动植物生存、人类活动以及风电场运行等等都处在ABL中，因此对ABL的仿真对于掌握大气中温度、湿度等的分布，雨水的生成，污染物的扩散规律，以及风能的利用等均具有重要意义。因为ABL湍流的雷诺数基本上都在10⁸以上，对其仿真求解仍依赖于湍流模型。大涡模拟(Large-Eddy Simulation, LES)是当前ABL仿真的主要方法之一，其关键是如何利用解析尺度的速度场和标量场信息构建亚网格(Sub-Grid-Scale, SGS)应力模型和通量模型 [1] ，

${\tau }_{ij}=\widetilde{u_i{u}_j}-\widetilde{u_i}\widetilde{u_j}$(1)

$q_i=\widetilde{u_i\theta }-\widetilde{u_i}\tilde{\theta }$(2)

其中，三维空间过滤操作在文中表示为波浪线(~)， ${\tau }_{ij}$为SGS应力， $q_i$为SGS通量。对于均匀各向同性湍流这种简单的理想化湍流来说，不同SGS模型给出的差异有限，但对于ABL这种典型的高雷诺数高剪切的非各向同性湍流来说，SGS模型对结果的影响较大 [2] [3] 。已有的研究表明，涡黏性SGS模型在ABL模拟中暴露出不少问题，包括对小尺度能量耗散过快，无量纲梯度过大等等 [4] [5] 。这都与ABL的特殊性质与涡黏性模型基本建模假设的局限有关，包括ABL在内的边界层湍流作为非各向同性湍流的典例，存在像发卡涡、大尺度低速条带等等大尺度的相干结构。而要在仿真中捕捉这些结构，务必要求湍流模型能够提供从小尺度到大尺度的逆向传输，且不假设湍动能量的局部平衡。

Smagorinsky模型 [6] 以及对应的通量模型是最早提出的SGS模型，

${\tau }_{ij}-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{\tau }_{kk}=-2v_{sgs}{\tilde{S}}_{ij}$(3)

$q_i=-\frac{{\nu }_{sgs}}{P{r}_{sgs}}\frac{\partial \tilde{\theta }}{\partial x_i}$(4)

其中， ${\tilde{S}}_{ij}$是应力张量， ${\nu }_{sgs}={\left(C_S\tilde{\Delta }\right)}^2\left|\tilde{S}\right|$为各向同性的SGS黏性项， $\left|\tilde{S}\right|=2{\tilde{S}}_{ij}{\tilde{S}}_{ij}$为应力强度， $C_S$为常系数， $P{r}_{sgs}$是SGS普朗特数(对应温度场，或者 $S{c}_{sgs}$对应其他标量场)。以该模型为代表的黏性SGS模型在湍流建模理论上需要依赖的基础假设包括：1) 亚网格尺度流动的影响主要表现在湍流能量上，因此，采用能量传递的平衡关系来描述尺度之间的相互作用；2) 从解析大尺度到亚网格尺度的能量传递机制沿用以扩散表示的分子黏性机制；3) 尺度分离假说假设亚网格尺度与解析尺度完全分离，因此它们之间的相互作用只能通过从较大的解析尺度到较小的亚网格尺度的能量传输来模拟；4) 局部平衡假说假设湍流场中任何区域的湍动能耗散都与大尺度到小尺度的能量传输平衡，这常常和尺度相似性假设一起，被用于确定黏性模型的系数，它与第二和第三个假设一起，常常在被修正之后用于对黏性模型的改进研究；5) 模型广泛采用各向同性假设，在不同方向上，采用同样大小的湍流黏性。务必要提及的是，前两个假设继承了雷诺平均(Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS)方法的主要建模思想，即Boussinesq假设，用黏性项来建模。黏性假设使得模型项与精确项之间存在较大误差，并且模型项与精确项的坐标变换不一致性 [7] ，再加上各向同性假设和对于能量传递机制的假设无法满足非各向同性湍流物理特性，使得在包括ABL的许多湍流仿真中黏性模型给出的结果与实际测量有较大的偏差，例如在ABL表层，速度和温度的无量纲垂直梯度可能被高估20%以上 [8] [9] 。

非线性模型(也称为结构型模型)是SGS建模的另外一个方向 [1] 。非线性模型对不同湍流尺度之间的相互作用不做人为预设的假设，而主要关注如何精确地模拟SGS项。早期的非线性模型包括相似性模型 [10] 和梯度模型 [11] [12] 等都表现出较强的不稳定性，主要是因为它们对湍动能大小的预测不够准确，因此错估跨尺度的能量传输快慢强弱 [13] 。经过改进之后，许多高级模型可以在许多复杂条件下的湍流模拟中给出高精度的大涡模拟 [2] ，尤其是在ABL研究当中，结果表明它们能够给出比黏性SGS模型更好的预测 [7] [14] [15] 。

本研究将采用中性ABL基准工况，考察SGS湍动能和SGS标量方差的输运方程耦合梯度型结构SGS模型在ABL仿真中的效果。采用中性ABL工况可以有效地解耦速度场与标量场之间的耦合关系，标量场以被动标量的形式出现在ABL工况中，因此也扩展了标量的通用性，可以代表温度、湿度、污染扩散研究中的化学组分等等。虽然SGS湍动能输运方程与梯度型结构模型的耦合在各向同性湍流、旋转湍流 [7] [16] ，以及复杂的湍流燃烧、喷雾和喷雾燃烧模拟中已被证明能够给出低网格敏感且高精度的LES结果，但在以ABL为代表的边界层湍流中还没有得到有效的论证，这是本研究的首要任务。更重要的是，本研究将通过引入SGS标量方差的输运方程这一方法来对大气边界层条件下的SGS通量模型进行建模，并通过与经典的SGS黏性模型进行比较等方式对新模型进行考察。

在LES中，结果的准确性与选用的亚网格模型有很大关系。本研究提出采用非线性梯度型结构亚网格应力模型和亚网格通量模型来求解ABL，

${\tau }_{ij}=2k_{sgs}\left(\frac{{\tilde{G}}_{ij}}{{\tilde{G}}_{mm}}\right)+{\nu }_{sgs}^u{\nabla }^2{\tilde{S}}_{ij}$(5)

$q_i=\left|\text{q}\right|\left(\frac{{\tilde{G}}_{\theta ,i}}{\left|{\tilde{G}}_{\theta }\right|}\right)+\frac{{\nu }_{sgs}^u}{S{c}_{sgs}}{\nabla }^2\frac{\partial \tilde{\theta }}{\partial x_i}$(6)

其中， $k_{sgs}=\frac{1}{2}\left(\widetilde{u_i{u}_j}-\widetilde{u_i}\widetilde{u_j}\right)$为亚网格动能， $\left|\text{q}\right|$为亚网格通量的大小， $\tilde{\theta }$为滤波后的任意标量， ${\tilde{G}}_{ij}=\frac{{\tilde{\Delta }}^2}{12}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial x_m}\frac{\partial {\tilde{u}}_j}{\partial x_m}$和 ${\tilde{G}}_{\theta ,i}=\frac{{\tilde{\Delta }}^2}{12}\frac{\partial \tilde{u}{}_i}{\partial x_m}\frac{\partial \tilde{\theta }}{\partial x_m}$为梯度项(考虑到网格的各向异性，本研究中梯度张量和梯度向量由 $G_{ij}=\frac{\tilde{\Delta }{x}^2}{12}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial x}\frac{\partial {\tilde{u}}_j}{\partial x}+\frac{\tilde{\Delta }{y}^2}{12}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial y}\frac{\partial {\tilde{u}}_j}{\partial y}+\frac{\tilde{\Delta }{z}^2}{12}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial z}\frac{\partial {\tilde{u}}_j}{\partial z}$和 ${\tilde{G}}_{\theta ,i}=\frac{\tilde{\Delta }{x}^2}{12}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial x}\frac{\partial \tilde{\theta }}{\partial x}+\frac{\tilde{\Delta }{y}^2}{12}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial y}\frac{\partial \tilde{\theta }}{\partial y}+\frac{\tilde{\Delta }{z}^2}{12}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial z}\frac{\partial \tilde{\theta }}{\partial z}$来进行计算)， $\left|{\tilde{G}}_{\theta }\right|=\sqrt{{\tilde{G}}_{\theta ,1}^2+{\tilde{G}}_{\theta ,2}^2+{\tilde{G}}_{\theta ,3}^2}$。同时，研究采用亚网格高黏性 ${\nu }_{sgs}^u={C^{\prime }}_k{\tilde{\Delta }}^3\sqrt{k_{sgs}}$，替代了传统的亚网格黏性，以减小对大尺度湍流的耗散。根据Lu等人 [17] 的研究，选择经验常数 ${C^{\prime }}_k=0.008$。这一模型将建模分成两部分：归一化梯度向量用于模拟亚网应力张量和通量矢量的结构(每个方向的相对量级)；并且需要一个单独的模型来计算亚网格应力和通量的大小。

进一步地，本研究摒弃了ABL在解析尺度与亚网格尺度之间的局部平衡假设，而采用输运方程来计算亚网格湍动能，

$\frac{\partial k_{sgs}}{\partial t}+{\tilde{u}}_i\frac{\partial k_{sgs}}{\partial x_i}=-\frac{{\tau }_{ij}}{\bar{\rho }}\frac{\partial {\tilde{u}}_i}{\partial x_j}-C_{\epsilon }\frac{k_{sgs}^{3/2}}{\tilde{\Delta }}+\frac{\partial }{\partial x_i}\left({\nu }_{sgs}\frac{\partial k_{sgs}}{\partial x_i}\right)$(7)

上式从左到右分别表示的是亚格子湍动能的瞬态项、对流项、源项、耗散项和扩散项。其中， ${\nu }_{sgs}=C_k\sqrt{k_{sgs}}\tilde{\Delta }$，根据Menon等人 [18] 的研究，经验常数取 $C_k=0.05$， $C_{\epsilon }=1.0$。亚网格通量的大小用下面的方程计算，

$\left|\text{q}\right|=u_{sgs}{\theta }_{sgs}$(8)

其中，亚网格速度标度与亚网格动能的平方根成正比，即 $u_{sgs}=\sqrt{2k_{sgs}}$，用于刻画标量脉动程度的标量标准差 ${\theta }_{sgs}$的计算，依赖于亚网格标量方差 ${\theta }_{sgs}^2=\widetilde{\theta \theta }-\tilde{\theta }\tilde{\theta }$求解。对于标量通量的模化，本研究也摒弃局部平衡假设，而是求解其动态的输运方程，

$\frac{\partial {\theta }_{sgs}^2}{\partial t}+{\tilde{u}}_i\frac{\partial {\theta }_{sgs}^2}{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{{\nu }_{sgs}}{S{c}_{sgs}}\frac{\partial {\theta }_{sgs}^2}{\partial x_i}\right)-q_i\frac{\partial \tilde{\theta }}{\partial x_i}-\sqrt{2}{C}_{\epsilon \theta }\frac{{\theta }_{sgs}^2\sqrt{k_{sgs}}}{\tilde{\Delta }}$(9)

本研究将这节展示的基于 $k_{sgs}$与 ${\theta }_{sgs}^2$输运的梯度型结构模型用于ABL大涡模拟仿真，该方法是一种求解 $k_{sgs}$与 ${\theta }_{sgs}^2$动力学过程的湍流模化方法，因此缩写为“GDSM (Gradient-type Dynamic Structure Modeling)”。

本研究采用成熟应用于许多ABL数值模拟研究中的LES方法 [5] [19] - [24] 求解基本守恒方程，包括滤波后的连续性方程、动量守恒方程和标量输运方程。由于ABL的雷诺数基本上都在108以上，湍流的黏性占据了绝对的主导(往往在数量级上大于分子黏性千万倍以上)，因此空气的分子黏性可以忽略不计。目前研究中常用的标准黏性亚网格模型(公式(3))及以此为基础的扩散型通量模型(公式(4)) [6] 。最早的涡流黏性模型假设 $C_S$为常数，即Smagorinsky系数。该模型已被广泛应用，但在高雷诺数大气边界层的大涡模拟中，标准涡黏性模型很难预测表层的平均风速、温度和剪切力，进而会产生相应错误的剖面，其亚网格项与实际项的相关性较低，且该模型在所有方向上使用相同的涡黏度/扩散率 [25] 。考虑到所提出的模型的新颖性主要来自于其没有使用常用的涡黏性/扩散模型，为了进行比较，本文还将使用具有相似复杂度(零方程、非动态)和计算成本的涡黏性/扩散模型获得的结果。然而，由于流动的各向异性，特别是高雷诺数大气边界层中表面附近存在强平均剪切，使这些系数的最佳值与各向同性的系数不同 [14] [26] [27] 。一种常见的做法是以特定的方式指定系数。Mason and Thomson [4] 提出的特设阻尼函数可以改写成： $C_S={\left(C_0^{-n}+{\left(\kappa \left(\frac{z}{\tilde{\Delta }}+\frac{z_0}{\tilde{\Delta }}\right)\right)}^{-n}\right)}^{-1/n}$，其中n为可调参数，且研究已经表明，与使用常系数的Smagorinsky模型相比，当 $C_0$的值在0.1至0.3这一范围且n = 1, 2或3时，该公式可以在表层提供更真实的对数速度分布，且研究还发现 $S{c}_{sgs}$值的范围在0.33到0.7之间 [4] [5] [25] 。根据Port-Agel等人的研究 [5] ，本次研究中该模型采用的阻尼系数为 $C_0=0.17$及n = 1 (修正的Smagorinsky模型缩写为“SM”)，并在研究中采用 $S{c}_{sgs}=0.5$及 $S{c}_{sgs}=0.7$这两个常数值。

本次模拟的大气边界层水平均匀，其水平方向采用伪谱离散，垂直导数用二阶中心差分近似。计算域的高度为H = 1000 [m]，模拟体积的水平尺寸为L_x= L_y= 2πH。计算域被划分为N_x，N_y和N_z个均匀间隔的网格点，本研究以N_x× N_y× N_z= 32 × 32 × 32, 48 × 48 × 48和64 × 64 × 64的网格分辨率进行模拟。网格平面在垂直方向上交错，其中第一个垂直速度平面距离表面为 $z=\frac{H}{N_z-1}$，而第一个水平速度平面距离表面为 $\frac{\Delta z}{2}$。在底部通过应用Monin-Obukhov相似理论计算瞬时壁应力 [5] [19] ： ${{\tau }_{i3}|}_{\varpi }=-u_{\ast }^2\frac{{\tilde{u}}_i}{U\left(z\right)}\varpi =-{\left(\frac{U\left(z\right)\kappa }{\ln \left(z/z_0\right)-{\Psi }_M}\right)}^2\frac{{\tilde{u}}_i}{U\left(z\right)}$，其中 $\kappa$为von 常数， $u_{\ast }$为摩擦速度， $z_0$为粗糙长度， ${\Psi }_M$为动量的稳定性校正，而 $U\left(z\right)$是平面平均分解水平速度。本文使用常见的公式 $\tilde{\Delta }=\sqrt[3]{{\Delta }_x{\Delta }_y{\Delta }_z}$来计算过滤器大小，其中 ${\Delta }_x=\frac{L_x}{N_x}$，且 ${\Delta }_y=\frac{L_y}{N_y}$。这一研究根据3/2规则在非线性项中校正相应的混叠误差，且时间推进使用二阶精确的Adams-Bashforth方案来执行 [28] 。

本次模拟采用经典的数值设置 [5] [19] [24] 。模拟流动由x方向上的恒定压力梯度 $-u_{\ast }^2/H$进行驱动，并参照之前的研究设置 $u_{\ast }=0.45$[m/s]及 $z_0=0.1$[m] [5] [24] [25] 。上边界条件设置为 $\partial \tilde{u}/\partial z=0$， $\partial \tilde{v}/\partial z=0$， $\tilde{w}=0$及 $\partial \tilde{\theta }/\partial z=0$。在底部，中性稳定性结果为 ${\Psi }_M=0$。通过施加恒定的向下表面通量 ${q_3|}_w=-u_{\ast }{\theta }_{\ast }$，将类似于先前研究的被动标量场引入模拟中 [19] [25] [29] ，并设置 ${\theta }_{\ast }=0.9$[K]。

图1 显示的是在高度为z/H = 0.1的水平面上LES获得的瞬态流向速度云图，可以看出相对较为狭长的低速条带，高速带则较宽，这一观测和其他模拟 [24] 的结果是一致的。在数值模拟达到统计学稳定状态后，本研究对两种模型的湍流统计数据进行了收集。在本文中，水平面和时间的综合平均值表示为 $\langle \cdot \rangle$，而相应的分解变量的波动则表示为 ${\tilde{f}}^{\prime }=\tilde{f}-\langle \tilde{f}\rangle$；本次研究以32³、48³和64³这三种空间解析率下获得的模拟结果为基础来进行检验。

准确的ABL仿真对于精准掌握大气中温度、湿度等的分布，污染物的扩散规律及预测雨水的生成等均具有重要意义。传统的基于Smagorinsky模型的涡黏性/扩散SGS模型需要通过假设SGS脉动的产生与消耗速率达成局部平衡来模化SGS应力和通量，这一假设会给以高雷诺数高剪切为基本特征的ABL湍流的仿真带来较强的限制，导致预测结果存在较大偏差。本研究提出不采用局部平衡这一假设，通过引入输运方程这一方式来计算亚网格动能和标量方差，并结合梯度方法计算亚网格应力和通量，不需要额外的测试滤波，使得该方法在计算上十分高效。

本文通过对中性大气边界层进行模拟来检验所提出的模型。众所周知，在亚网格运动占总湍流很大一部分的ABL表层，ABL的大涡模拟对亚网格模型相当敏感。传统的涡黏性模型与表层的Monin-Obukhov相似性形式存在偏差，这种偏差很容易在速度和标量的廓线中观察到，在更大程度上在其无量纲垂直导数中也可以观察到。通过比较可以看到，新方法相对于简单的涡黏性模型有了显著的改善，除了能够获取可靠的流场结构，进一步的结果还表明，该方法可以获得更符合对数定律的风速剖面，新模型无量纲垂直速度梯度预测的相对误差提升了12%，而无量纲标量梯度预测的相对误差则提升了将近20%，且新模型可以更好地再现速度和标量方差向亚网格尺度的传递速率。此外，我们讨论了新模型预测效果提升的原因，相较于传统粘性SGS模型存在耗散较强的问题，新模型采用动态非线性的建模方法，可以预测ABL湍流中能量的逆向输运，并更好地捕捉小尺度的涡旋。

数值计算在合肥先进计算中心完成。