文献 [30] 提出了相对误差的方法，这种方法仅仅涉及到对于真实值的误差，这样处理是不全面的，在考虑相对于真实值的误差，也应该考虑相对于测量值的误差。为了更好地理解相对误差估计方法，我们考虑下面线性模型：

$y_i\text{=}{a}_i^{T}x+v_i,i=1,\cdots ,n$(4)

这里 $y_i$是观测数据， $a_i$是模型已知参数， $x$是待未知估参数， $v_i$是测量噪声项，(4)式两边同时取指数运算可得到：

$z_i=\exp \left(a_i^{T}x\right){\eta }_i,i=1,\cdots ,n$(5)

其中 $z_i=e^{y_i}$， ${\eta }_i=e^{v_i}$，对于模型(5)相对绝对误差为 $\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{z_i}\right|$， $\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{\exp \left(a_i^{T}x\right)}\right|$。

我们的目标是考虑以上两种形式的相对误差最小时求解位置参数，因此，此问题可以表示为一个最小化问题，

$\hat{x}=\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{z_i}\right|+\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{\exp \left(a_i^{T}x\right)}\right|}\right)$(6)

将上述相对绝对误差估计方法应用在DRSS模型中，现将模型(3)变形为

${\tilde{d}}_i=d_i{\eta }_i,i=2,\cdots ,n$(7)

这里 ${\tilde{d}}_i={10}^{\frac{P_{i,1}}{-10\gamma }}$， $d_i={\Vert \frac{x-s_i}{x-s_1}\Vert }_2$， ${\eta }_i={10}^{-\frac{n_{i,1}}{10\gamma }}$，根据相对绝对误差估计方法可得未知位置的估计为：

$\hat{x}=\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{{\tilde{d}}_i}\right|+\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{d_i}\right|}\right)$(8)

很明显上述最小化问题是非凸的，很难求解，将(8)式等价变形为

$\hat{x}=\arg \min {\left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{{\tilde{d}}_i}\right|+\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{d_i}\right|}\right)}^2$(9)

整理后可得：

$\begin{array}{c}\hat{x}=\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\frac{d_i^2}{{\tilde{d}}_i^2}+\frac{{\tilde{d}}_i^2}{d_i^2}-2}\right)\\ =\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\frac{d_i^2}{{\tilde{d}}_i^2}+\frac{{\tilde{d}}_i^2}{d_i^2}}\right)\end{array}$(10)

为了求解(10)中的凸优化问题，引入辅助变量 $u_i={\Vert x-s_i\Vert }^2$， $v_i=\frac{1}{{\Vert x-s_i\Vert }^2}$， $y={\Vert x-s_1\Vert }^2$，则(10)可以转换为如下约束优化问题：

$\begin{array}{l}\underset{u,v,y}{\min }{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\left(\frac{u_i^{}}{{\tilde{d}}_i^2}+\frac{{\tilde{d}}_i^2}{u_i^{}}\right)}\\ \begin{array}{cc}s.t.& \end{array}\\ \Vert \left[\begin{array}{cc}2\left(x-s_i\right)& y-u_i\end{array}\right]\Vert \le y+u_i,\begin{array}{cc}& i=2,\cdots ,N\end{array}\\ \Vert \left[\begin{array}{cc}2\left(x-s_1\right)& y-1\end{array}\right]\Vert \le y+1,\\ \left[\begin{array}{cc}{v}_i& 1\\ 1& u_i\end{array}\right]\ge 0.\end{array}$(11)

显然(11)是一个SDP和SOCP混合的凸优化问题且可以应用MATLAB标准的凸优化包来有效求解此问题。

为了方便大家了解本文所涉及的方法及方法具体的内容， 表1 列出了本章所涉及的所有方法及其内容描述。CRLB同样作为方法所比较的对象列于此处，其可以作为各个算法性能衡量的一个指标。DRSS路径损失模型(3)用来产生测量数据。仿真环境设置如下：10个锚节点随机部署在半径为25 m的圆上及其内部，1个目标节点随机均匀的分布在25 × 25 m²的正方形区域内，参考距离d₀= 1 m。性能评价的准则主要依赖于估计的RMSE。此部分分析不同噪声标准差下，各种方法定位精度对比分析。与LARE-SDP方法相比，本文改进后的混合定位法性能有很大提高。

从 图1 可以看出，在噪声较低的场景中，本文所提LARE-NEW方法的RMSE值低于U-BLUE，LARE-SDP以及SOCP方法的RMSE的值，随着噪声均方差σ值的增加，LARE-NEW方法的RMSE的值均低于所对比的四种方法，这是因为LARE-NEW方法在求解模型时采用了相对误差的方法，在噪声较高的场景中具有较好的鲁棒性能。

图2 结果显示，当路径损失参数变大时，随着γ的增大，所有方法的RMSE均降低，LARE-NEW方法的RMSE最低，具有显著的优越性。整体来看所有方法的性能都有所提高，其中A-BLUE与U-BLUE方法的性能相比，变化幅度差不多，但A-BLUE的性能更高，基于最小二乘法的SOCP的性能相较于其它方法的性能提升幅度较大，而LARE-SDP、LARE-NEW性能变高，但是曲线比较平稳，变化幅度不大，这也说明本文方法具有较好的鲁棒性能，这个结论和文献 [30] 所提一致。

图3 结果显示，随着锚节点数目的增大，所有方法的RMSE均降低，本文所提LARE-NEW方法的RMSE均低于所对比的方法，并且其RMSE值更加贴近理论误差的CRLB下界。另一方面也可以发现，当RMSE相同时，本文方法需要较少的锚节点，从而更加节省资源。