马尔科夫链 [6] 是以俄国数学家安德雷·安德耶维齐·马尔科夫命名的一种预测模型。在事物的发展过程中，若每次状态的转移都只与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是“无后效性”，即要确定过程将来的状态，知道它此刻的情况就足够了，并不需要对它以往状况的认识，这样的状态转移过程称为马尔科夫过程。该过程用数学语言描述就是：如果随机过程 $\left\{X_t,t\in T\right\}$，具有如下特殊性质： $X_t=i$表过程在时刻t处于状态i，则在下一时刻 $t+\text{1}$将处于状态j的概率满足：

$P\left(X_{t+1}=j|X_0=i_0,X_1=i_1,\cdots ,X_{t-1}=i_{t-1},X_t=i\right)=P\left(X_{t+1}=j|X_t=i\right)$

对于 $t=\text{0,1,}\cdots$和每一个状态序列 $i,j,i_0,i_1,\cdots ,i_{t-1}$均成立，该随机过程被称为具有马尔科夫属性，具有马尔科夫属性的随机过程被称为马尔科夫链。

条件概率 $P\left(X_{t+1}=j|X_t=i\right)=p_{ij}$为马尔科夫链的一步转移概率，简称转移概率；类似地，称条件概率 $P\left(X_{t+n}=j|X_t=i\right)=p_{ij}^{\left(n\right)}$为n步转移概率 [7] 。

马尔科夫预测模型是基于马尔科夫链的有关理论知识计算出未来各时刻各状态下的概率，然后预测所研究的过程未来所处的状态即为概率最大时的状态，这是一种利用概率建立随机序列模型进行预测的方法，是一种预测事件发生概率的方法。

1) 具有马尔科夫属性的随机过程，即过程具有“无后效性”；

2) 随机过程在要预测的时期内，各时刻的状态转移概率保持稳定，即每一时刻向下一时刻变化的转移概率都是一样的，均为一步转移概率；

3) 随机过程平稳。

1) 任意时刻状态概率预测

假定马尔科夫链有n个可能的状态 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$，则：

$P=\left(p_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ p_{21}& p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{n1}& p_{n2}& \cdots & p_{nn}\end{array}\right)$

为状态转移概率矩阵，一般简称转移矩阵，相应地，称 $P^{\left(n\right)}=\left(p_{ij}^{\left(n\right)}\right)$为n步转移矩阵。

查普曼–柯尔莫哥洛夫(Chapmann-Kolmogorov)方程，简称C-K方程：

设随机过程 $\left\{X_t,t\in T\right\}$是时齐马尔科夫链，对一切 $n,m\ge 0$， $i,j\in S$，S表过程的状态空间，有：

$p_{ij}^{\left(m+n\right)}={\displaystyle \underset{k\in S}{\sum }{p}_{ik}^{\left(m\right)}{p}_{kj}^{\left(n\right)}}$

$P^{\left(n\right)}=P\cdot P^{\left(n-1\right)}=P\cdot P\cdot P^{\left(n-2\right)}=\cdots =P^n$

通过上述C-K方程的两个结论，很容易得到马尔科夫链中任意时刻状态概率预测。设 ${\pi }_i\left(k\right)$表示事件在初始状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在第k个时刻处于状态 $E_i$的概率。从初始状态开始，经过k次状态转移后到达状态 $E_i$这一状态转移过程，根据C-K方程，可以看作是首先经过k − 1次状态转移后达到状态，后再由 $E_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$经过一次状态转移到达状态 $E_i$，则：

${\pi }_i\left(k\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\pi }_j\left(k-1\right)p_{ji}},\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$(1)

记 $\pi \left(0\right)=\left({\pi }_1\left(0\right),{\pi }_2\left(0\right),\cdots ,{\pi }_n\left(0\right)\right)$为初始状态概率向量，k时刻的状态概率为 $\pi \left(k\right)$，同样由C-K方程，则预测k时刻的状态概率为：

$\pi \left(k\right)=\pi \left(k-1\right)P=\pi \left(0\right)P^k$(2)

2) 终极状态概率预测

经过无穷多次状态转移后随机过程所处状态的概率称为随机过程的终极状态概率 [8] 。记终极状态概率向量为 $\pi =\left({\pi }_{\text{1}},{\pi }_2,\cdots ,{\pi }_n\right)$， $\left(\text{0}\le {\pi }_i\le 1,i=1,2,\cdots ,n\right)$，终极状态概率同时满足以下条件 [5] ：

$\pi =\pi P$， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\pi }_i}=1$

很明显，通过这两个条件建立数学方程组，该数学方程组的解便是所讨论的各个终极状态概率。

上述两种概率的预测就是马尔科夫预测模型的主要内容，随机过程的初始分布和转移概率或转移概率矩阵是确定因素。

马尔科夫预测模型是一种预测事件发生概率的方法，但这种预测模型只适合用于具有马尔科夫属性的时间序列，并且时间序列在要预测的时期内，各时刻的状态转移概率保持稳定，即每一时刻向下一时刻变化的转移概率都是一样，均是一步转移概率。若时间序列的状态转移随不同时刻在变化，不适宜用该方法。由于实际的客观事物很难长时间保持同一状态的转移概率，因此这种方法一般适用于短期预测。

综合以上对马尔科夫模型特点的分析，可以选择它来对房价短期走势做预测。

本文数据来源于网站安居客，选取南宁市2019年3月至2022年2月商品房住宅价格月度数据(如下 表1 所示)作为研究数据。

借助EViews软件，首先绘制2019年3月至2022年2月南宁市商品房住宅价格数据的时序图，如 图1 所示。

由 图1 可以看到，2019年3月至2022年2月南宁市商品房住宅价格存在明显的趋势，这是不平稳时间序列的特征，因此可以根据时序图初步判断该序列是不平稳时间序列，接着对该序列进行滞后阶数是6阶的ADF检验，检验结果如 图2 所示。

由 图2 可以看到，检验T统计量的值是−1.855207，该值分别大于显著性水平是1%、5%、10%对应的临界值，按照ADF检验的判别规则是不能拒绝原假设的；另一方面，检验的P值是0.6553，大于0.05，根据P值法的判别规则，做出的决策也是不能拒绝原假设，而ADF检验的原假设是序列不平稳，因此由ADF检验的结果可进一步确认南宁市商品房住宅价格序列是不平稳的序列。

采用马尔科夫预测模型分析时，首先要确保时间序列是平稳的，对于不平稳的时间序列可以通过差分运算来对序列平稳化。此处的2019年3月至2022年2月南宁市商品房住宅价格数据由上述分析可知是不平稳的，在进行差分处理时按照统计建模的“约简”原则。由低阶开始进行，如果低阶差分满足要求就不需要进行高阶差分，对该序列进行一阶差分后的ADF检验结果如 图3 所示。

由 图3 可以看到，2019年3月至2022年2月南宁市商品房住宅价格一阶差分后ADF检验的T统计量值是−4.263012，分别小于显著性水平是1%、5%、10%对应的临界值，按照ADF检验的判别规则是要拒绝原假设的；另一方面，检验的P值是0.0098，小于0.05，根据P值法的判别规则，做出的决策也是拒绝原假设，这说明南宁市商品房住宅价格一阶差分后的序列是平稳的。因此，将一阶差分后的数据也就是数据的变化作为马尔科夫的状态。

在划分预测对象状态时，如果预测对象本身有明显的状态界限，则以其界限划分；相反，则根据实际情况人为划分。本文根据实际情况，将南宁市商品房价格月度变化分为3个状态：上升、稳定和下降，分别记为E₁、E₂、E₃。依照 表1 利用公式(3)计算出月距环比指数，也就是每月房价的环比增长速度：

$�比增�速度=\frac{各期水平-上期水平}{上期水平}\times 100\text{\%}$(3)

计算结果如下 表2 所示。

每月房价的环比增长速度大于0的作为上升状态E₁，波动在0.1%范围内视为稳定状态E₂，每月房价的环比增长速度小于0的作为下降状态E₃。按照这个状态划分原则，2019年3月至2022年2月各月份的状态如 表3 所示。

由 表3 数据可知，初始状态是E₁的样本有10组，其中下一个状态是E₁的样本有3组，是E₂的样本有2组，是E₃的样本有5组，由统计思想，现实世界中事件发生的概率由对应事件发生的频率来估计，得到初始状态是E₁分别转移到E₁、E₂、E₃状态的一步转移概率估计值分别是： $p_{11}=P\left(E_1|E_1\right)=\text{0}\text{.3}$、 $p_{12}=P\left(E_2|E_1\right)=\text{0}\text{.2}$、 $p_{13}=P\left(E_3|E_1\right)=\text{0}\text{.5}$；由 表3 数据又看到2022年3月是将来状态，因此2022年2月的下一个状态不能确定，而2月的状态是E₂，为了得到较准确、合理的状态E₂转移到E₁、E₂、E₃各状态的一步转移概率的估计，本文在考虑初始状态处于E₂的样本数时，把2022年2月的状态剔除考虑，基于这样的分析，初始状态是E₂的样本有14组，其中下一个状态是E₁的样本有4组，是E₂的样本有10组，是E₃的样本有0组，同样的分析方法和思想，得到初始状态是E₂分别转移到E₁、E₂、E₃状态的一步转移概率分别是 $p_{\text{2}1}=P\left(E_{\text{1}}|E_{\text{2}}\right)=\text{0}\text{.29}$、 $p_{\text{2}2}=P\left(E_2|E_{\text{2}}\right)=\text{0}\text{.71}$、 $p_{\text{2}3}=P\left(E_3|E_{\text{2}}\right)=\text{0}$；初始状态是E₃的样本有10组，其中下一个状态是E₁的样本有2组，是E₂的样本有3个，是E₃的样本有5组，得到初始状态是E₃分别转移到状态E₁、E₂、E₃的一步转移概率分别是 $p_{\text{3}1}=P\left(E_{\text{1}}|E_{\text{3}}\right)=\text{0}\text{.2}$、 $p_{\text{3}2}=P\left(E_2|E_{\text{3}}\right)=\text{0}\text{.3}$、 $p_{\text{3}3}=P\left(E_3|E_{\text{3}}\right)=\text{0}\text{.5}$。综上分析，得到南宁市商品住宅价格月度变化的一步状态转移矩阵，如下式所示：

$P=\left(\begin{array}{ccc}{p}_{11}& p_{12}& p_{13}\\ p_{21}& p_{22}& p_{23}\\ p_{31}& p_{32}& p_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0.3& 0.2& 0.5\\ 0.29& 0.71& 0\\ 0.2& 0.3& 0.5\end{array}\right)$(4)

由 表3 看到，2022年2月份房价和上个月是持平的，属于平稳状态，因此将2022年2月份的房价状态看成初始状态，记为 ${\pi }_0=\left(0\text{,}1\text{,}0\right)$，根据公式(1)和南宁市商品住宅价格月度变化的一步状态转移矩阵(4)式，得到2022年3月马尔夫预测模型、3月份南宁市商品房住宅价格状态概率：

3月份房价处于上升状态E₁，用 $i=1$表示，对应概率为：

${\pi }_1\left(1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{\pi }_i\left(0\right)p_{i1}}={\pi }_1\left(0\right)p_{11}+{\pi }_2\left(0\right)p_{21}+{\pi }_3\left(0\right)p_{31}=p_{21}=0.29$

3月份房价处于稳定状态E₂，用 $i=2$表示，对应概率为：

${\pi }_2\left(1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{\pi }_i\left(0\right)p_{i2}}={\pi }_1\left(0\right)p_{12}+{\pi }_2\left(0\right)p_{22}+{\pi }_3\left(0\right)p_{32}=p_{22}=0.71$

3月份房价处于下降状态E₃，用 $i=3$表示，对应概率为：

${\pi }_3\left(1\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{\pi }_i\left(0\right)p_{i3}}={\pi }_1\left(0\right)p_{13}+{\pi }_2\left(0\right)p_{23}+{\pi }_3\left(0\right)p_{33}=p_{23}=0$

继续使用马尔夫预测模型公式(1)可以得到2022年4月份、5月份、6月份、7月份、8月份南宁市商品房住宅价格变化状态概率预测值，预测结果汇总如下 表4 所示。

由 表4 可以看到，2022年南宁市未来3月份到8月份这半年的时间里，从6月份开始每月房价处于上升状态的概率和处于下降状态的概率相差不大，但在这未来的半年时间里，商品房住宅价格处于稳定的状态始终都大于分别处于上升和下降状态的概率，这说明南宁市2022年自3月份起未来半年的商品房住宅价格处于稳定状态的可能性最大。

设南宁市商品房住宅价格终极状态的概率为 $\pi =\left({\pi }_1\text{,}{\pi }_2\text{,}{\pi }_3\right)$， ${\pi }_1\text{,}{\pi }_2\text{,}{\pi }_3$分别表示处于上升、平稳、下降状态的概率。由马尔科夫预测模型公式(2)和南宁市商品住宅价格月度变化的一步状态转移矩阵(4)式，有：

$\left({\pi }_1\text{,}{\pi }_2\text{,}{\pi }_3\right)=\left({\pi }_1\text{,}{\pi }_2\text{,}{\pi }_3\right)\left(\begin{array}{ccc}0.3& 0.2& 0.5\\ 0.29& 0.71& 0\\ 0.2& 0.3& 0.5\end{array}\right)$

整理后得方程组：

$\{\begin{array}{l}{\pi }_1=0.3{\pi }_1+0.29{\pi }_2+0.2{\pi }_3\\ {\pi }_2=0.2{\pi }_1+0.71{\pi }_2+0.3{\pi }_3\\ {\pi }_3=0.5{\pi }_1+0.5{\pi }_3\\ {\pi }_1+{\pi }_2+{\pi }_3=1\end{array}$

求解上述方程组得： ${\pi }_1={\pi }_3=0.2685$， ${\pi }_2=0.463$。

由上述方程组的结果可得到南宁市商品房住宅价格变化终极状态的概率情况是：平稳状态概率大于上升状态概率和下降状态概率，上升状态概率和下降状态概率相等。这说明南宁市房价的变化过程在经过无穷次状态转移之后，平稳状态出现的概率大于上升状态和下降状态的概率，上升状态的概率和下降状态的概率相等。结合现实情况，南宁市商品房住宅价格在2019年之前的时间里每月房价大多数都处于上升状态，而且上升的势头很明显，进入2020年后，房价上升的势头有所削弱，由 表1 南宁市2019年3月至2022年2月商品房住宅价格表可以看到，这三年的每月房价总体上变化的幅度很小，可以认为这三年的房价变化平稳。很明显，本文使用马尔科夫预测模型讨论南宁市商品房住宅价格状态变化和现实情况总体相符。

另外，通过查看安居网南宁市2022年3月至8月的真实房价如下 表5 所示。

由 表5 可以看到，南宁市3月至8月的真实房价在11,000元上下波动，房价变化稳定。很明显，本文使用马尔科夫预测模型讨论南宁市商品房住宅价格状态变化和现实情况总体相符。