K-shell分解方法通过区分节点所处的位置来识别关键节点，但会将许多不同的节点分配相同的值，这样则无法区分处于同一层的不同节点，难以有效衡量节点的重要性。但由于它是一种适用于大规模网络的快速节点排序方法，因此，近年来，研究人员基于K-shell分解方法提出了大量的改进算法。例如， [14] 考虑了节点与网络核心位置之间的距离，提出了改进的K-shell分解方法来区分同一层中的不同节点。K-shell分解方法在分解时只考虑了节点的剩余度， [15] 通过考虑节点的剩余度和已移除度，提出了混合度分解算法MDD。 [16] 提出了一种基于K-shell的改进重力中心性测量算法KSGC。同时，不少研究者还将邻居节点对节点的影响考虑在内。例如， [17] 提出了一种半局部中心性方法，其通过考虑节点的邻居和二阶邻居的度中心性来衡量节点的影响力。 [18] 提出了LSC算法，其考虑了节点的邻居及二阶邻居的数量和拓扑结构。受上述算法启发，考虑邻居节点对节点的影响，本文将节点邻居的K-shell值与重力模型相结合，提出一种新的关键节点识别算法NCGM。

1) 度中心性DC [9] 基于节点的度(即与节点相连的边的数量)来评估节点的重要程度。节点的度中心性计算如下：

$DC\left(v_i\right)=\frac{d\left(v_i\right)}{n-1}$(1)

其中，d表示节点的度，n表示网络中节点的总数。

2) 重力指数中心性算法GIC [13] 是一种基于重力公式的方法。该方法将节点的K-shell值作为重力公式中的质量，将节点之间的最短路径长度作为重力公式中的距离，其具体计算公式如下：

$GI{C}_{\left(i\right)}={\displaystyle \underset{j\in {\psi }_i}{\sum }\frac{ks\left(i\right)\times ks\left(j\right)}{d_{ij}^2}}$(2)

其中，GIC_(i)表示节点i的影响力值， ${\psi }_i$为节点i的邻居集合，ks(i)和ks(j)代表节点i和j的K-shell值，d_ij表示节点i和节点j之间的最短路径长度。

3) 局部邻居贡献LNC [19] 综合考虑了节点自身的影响以及最近邻居节点和次近邻居节点的影响，以此来量化复杂网络中节点的影响力。

4) 局部和全局中心性LGC [20] 通过考虑节点自身的度及其与网络中其他节点的连接来识别网络中的关键节点，其具体计算公式如下：

$LG{C}_{\left(v_i\right)}=\frac{d\left(v_i\right)}{n}\times {\displaystyle \underset{i\ne j}{\sum }\frac{\sqrt{d\left(v_j\right)+\alpha }}{d_{ij}}}$(3)

其中，d(v_i)和d(v_j)和分别代表节点v_i和v_j的度，d_ij表示节点v_i和节点v_j之间的最短路径长度，α为网络中的可调参数，用于控制节点度对网络的影响，其取值范围在0到1之间。

5) 基于局部的结构系统LSS， [21] 考虑了节点的度、K-shell值以及网络中三角形的数量，以此来识别复杂网络中的关键节点。

为了评估所提出的NCGM算法的有效性，本文使用了7个无向无权的真实网络进行实验。这些网络包括：

Jazz：爵士音乐家的合作网络；

Email：西班牙一所大学的电子邮件交流关系；

Facebook：来自Facebook的社交圈，其中节点代表用户，边代表用户之间有联系；

GrQc：物理学领域中量子物理和相对论物理方面的研究合作网络；

Router：描述的是互联网路由器之间的连接关系；

PG：从2002年8月开始的Gnutella对等文件共享网络快照中提取出来的，其中节点代表网络拓扑中的主机，边代表主机之间的连接关系；

Sex：双向网络，其中节点表示女性和男性，边代表他们之间的好友关系。

这些网络的详细信息如 表1 所示，其中，N表示网络中节点的数量，E表示网络中边的数量， $\langle k\rangle$表示网络的平均度， $\langle d\rangle$表示网络的平均最短路径，C表示网络的聚类系数。

本文使用易感–感染–恢复(SIR)传播模型进行实验仿真。在SIR模型中，个体被划分为三类：易感者S、感染者I和康复者R。其中，S指的是处于易感染状态且可能感染疾病的个体，I指的是处于感染疾病状态且能够传播疾病的个体，R指的是已经从感染状态恢复并对疾病具有免疫力的个体。初始时网络中存在少量感染个体I和大量易感个体S，感染个体I通过一定的概率β感染与其相连的易感个体S，同时感染个体I以一定的概率μ恢复健康。在SIR传播模型中，网络中节点的最终传播范围的计算公式如下所示：

$F\left(t\right)=SI{R}_{\left(v_i\right)}=\frac{1}{n}\times \left(nI+nR\right)$(6)

其中，n表示网络的总节点数，nI表示感染节点的数量，nR表示康复节点的数量。

肯德尔相关系数 [22] 用于衡量两个元素个数相同的排名序列之间的相关性。本文采用肯德尔相关系数来量化SIR模拟排名结果与不同算法得到的结果之间的相关程度。假设两个排名序列具有相同数量的节点，即 $X=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$和 $Y=\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$。如果两个节点的次序一致，即 $x_i>x_j$且 $y_i>y_j$，或 $x_i<x_j$且 $y_i<y_j$，那么认为 $\left(x_i,y_i\right)$和 $\left(x_j,y_j\right)$是一致的。如果两个节点的次序不一致，即 $x_i>x_j$且 $y_i<y_j$，或 $x_i<x_j$且 $y_i>y_j$，那么认为 $\left(x_i,y_i\right)$和 $\left(x_j,y_j\right)$是不一致的。如果 $x_i=x_j$或 $y_i=y_j$，那么它们既不是一致的，也不是不一致的。肯德尔相关系数的定义如下：

$\tau \left(X,Y\right)=\frac{n_c-n_d}{n\left(n-1\right)/2}$(7)

其中，n表示序列中节点的总数量， $n_c$和 $n_d$分别表示一致对和不一致对的数量。一般来说，相关系数的取值范围在−1到1之间， $\tau >0$表示正相关，而 $\tau <0$表示负相关。肯德尔相关系数的值越大，意味着两个排名序列之间的相关性越大，算法生成的排序结果越准确。

在实验中将传染病模型中的感染概率β设置为β = 0.1，将恢复概率μ设置为μ = 1。同时，使用所提出的NCGM算法和不同的对比算法计算每个网络中每个节点的影响力值，并对其进行降序排序，选择NCGM和对比算法所选出的前10个节点作为初始感染源。一般来说，一个更具有影响力的节点的传播范围更广泛，会感染更多的节点。 图1~7 展示了不同网络上NCGM算法和5个对比算法的传播范围。由图可知，NCGM算法识别的前10个节点的传播范围最大。因此，在7个网络数据集中，NCGM算法的识别效果较好。

使用随机函数选择节点作为初始感染源，在自然状态下用SIR模型计算每个节点的SIR值进行降序排序产生排名序列。将所提出的NCGM算法和其它对比算法产生的排名序列与SIR产生的排名序列进行比较，计算肯德尔相关系数，在实验中将感染概率β设置为β = 0.1，将恢复概率μ设置为μ = 0.5，所得结果如 表2 所示。由 表2 可知，NCGM与SIR得到的排名序列的肯德尔系数值最高，进一步证明了NCGM算法在识别网络关键节点方面的有效性。