若收益率序列 $y_t\sim p\left(y_t|f_t,F_t;\theta \right)$，其中， $f_t$是随时间变化的模型参数， $F_t$表示序列 $y_t$在t时刻的信息集，而 $\theta$是不随时间变化的静态参数， $S_t$由Fisher信息矩阵构造。 $f_t$的时变演化模式采用比例得分向量驱动的自回归形式，具体如下：

$f_t=\omega +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{p}{\sum }}{A}_i{s}_{t-i}}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{q}{\sum }}{B}_j{f}_{t-j}}$(1)

$s_t=S_t\cdot {\nabla }_t$(2)

${\nabla }_t=\frac{\partial \ln p\left(y_t|f_t,F_t;\theta \right)}{\partial f_t}$(3)

$S_t={\left[E_{t-1}\left({\nabla }_t{{\nabla }^{\prime }}_t\right)\right]}^{-1/2}$(4)

Copula熵是一种基于Copula函数和信息熵概念的熵度量，测度Copula函数的复杂性、非线性程度及变量之间的非线性依赖关系。现令 $X$的边际分布为 $u$， $\text{c}\left(u\right)$为Copula密度函数，则 $X$的Copula熵定义如下：

$H_c\left(X\right)=-{\displaystyle {\int }_{u}c\left(u\right)\log c\left(u\right)\text{d}u}$(5)

Copula熵的值表示变量之间的依赖关系和非线性关系，随机变量的互信息(Mutual Information, MI)等于其对应Copula函数的负熵 [12] ：

$I\left(x\right)=-H_c\left(x\right)$(6)

与传统的熵度量方法不同，Copula熵能够精准刻画变量之间的关联性，不受变量边缘分布的影响。通过计算变量的Copula熵，我们可以评估变量之间的依赖强度和非线性关系程度，进而辅助特征选择过程。

LightGBM是一种基于梯度提升框架的机器学习模型，广泛用于解决分类和回归问题。LightGBM以其卓越的性能、高效的训练速度和能够处理大规模高维数据集的能力而闻名。LightGBM的工作原理是梯度提升算法，其主要思想是通过迭代的方式，逐步提升多个弱分类器的性能，从而构建一个强大的集成模型。LightGBM与传统的梯度提升决策树(Gradient Boosting Decision Tree, GBDT)相比具有一些独特的优势。首先，LightGBM使用了直方图算法处理数据，意味着将数据集划分为直方图，并在每个直方图上进行分裂，而不是在每个数据点上分裂，大大减少了内存占用和计算复杂度，使其能够高效地处理大规模数据集。其次，LightGBM引入了高效的叶子生长策略，它采用了叶子中的最大值和最小值来进行分裂，从而减小了损失函数的梯度估计误差，提高了模型的性能。此外，LightGBM还支持类别特征的处理，能够自动将类别特征转换为数值特征，无需独热编码(One-Hot Encoding)等繁琐的预处理步骤。

简言之，LightGBM的优点包括了出色的预测性能、高效的训练速度和对大规模高维数据的适应能力。因此，本文选择了LightGBM作为“一带一路”收益率预测的基本模型，与MLP模型进行对比，并通过实验验证了其在处理高维数据集上的卓越表现。

GAS-CE-LGBM模型是一种将GAS模型、Copula熵特征筛选以及LightGBM模型融汇而成的框架。该模型的核心思想是通过GAS模型对“一带一路”指数的波动性进行建模和度量，然后根据Copula熵作为相关性度量选择输入特征，联系历史信息特征，将这些特征作为LightGBM模型的输入进行训练和预测。以下是GAS-CE-LGBM模型的原理和架构：

数据来源于东方财富Choice终端，数据处理使用Python 3.8和R 4.2.2。选取中证“一带一路”指数(代码为399991)，样本期为2020年1月2日~2023年8月1日，选取纳入日期在2020年之前的成分股，计算各成分股收益率，填补缺失值，删除存在过多缺失值的样本后，共包含867个样本数据，58支适用成分股，共60个特征，包含“一带一路”指数的历史信息和相关58支成分股的历史收益率数据，如 表1 所示。“一带一路”指数的对数收益率为预测目标，用BRI表示。

为更好地研究“一带一路”指数与相应成分股收益率的具体情况，需要对预处理数据的描述性特征进行进一步分析，如 表2 所示。由于成分股数量过多，后文的图表信息仅给出部分结果。观察统计分析值发现，大多收益率序列JB统计量值较高，表明它们的分布不是正态的。同时，大多数成分股收益率的偏度接近0，峰度大于3，说明样本数据普遍具有尖峰厚尾特征。单位根检验的结果表明，所有样本数据都是平稳序列，可以进行下一步实验。

由 表2 的JB统计量可知，BRI显然不服从正态分布，BRI的具体分布如 图1 所示。为了进一步确定BRI的分布，假设数据服从t分布并对其拟合，得到自由度为5.47。对其进行K-S检验，结果如 表3 所示。

为了检验“一带一路”指数收益率是否存在异方差性，采用ARCH-LM检验。检验结果如 表4 所示，P值小于0.05，由此可以判断收益率序列存在异方差性。

根据K-S检验的结果，我们可以认为BRI服从自由度为5.47的t分布。t分布能灵活地捕捉厚尾特征，故拟合波动率模型是t分布的GAS(1, 1)模型。“一带一路”指数的变化具有一定波动性，因此在估计波动模型的参数时，不使用固定参数来解释收益率的波动，而是将滑动估计的参数值作为影响收益率波动的因素 [20] 。

运用R语言对“一带一路”指数收益率和58支成分股收益率进行Copula建模，选用正态、t、Gumbel、Frank和Clayton Copula，根据AIC准则选出最合适的Copula模型，如 表5 所示。

然后由式(5)和式(6)可以计算得到各成分股收益率和“一带一路”指数收益率之间的Copula熵值，列于 表6 。明显看到辽港股份与BRI之间的Copula熵值与其他组别相差很大，故选择0.5作为第一个阈值，随后每次更新0.05来循环步骤4设计的程序。

续表

以下四个误差指标用于评估模型的预测性能：均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)、平均绝对百分比误差(MAPE)和R²。指标的计算公式如式(7)~(10)所示：

$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\hat{y}}_i-y_i\right)}^2}}$(7)

$\text{MAE}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\hat{y}}_i-y_i\right|}$(8)

$\text{MAPE}=\frac{100\%}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|\frac{{\hat{y}}_i-y_i}{y_i}\right|}$(9)

${\text{R}}^2=1-\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-{\hat{y}}_i\right)}^2}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2}}$(10)

其中， ${\hat{y}}_i$是预测值， $y_i$是真实值， $\bar{y}$是样本均值，n是测试的样本数量。RMSE和MAE的值越小，MAPE越收敛接近于0%，R²越接近于1，意味着模型的预测性能越好。

表7 为通过阈值筛选后的不同特征输入到LightGBM模型中的拟合结果。当阈值为0.35时，筛选结果没有发生任何变化；当阈值为0.30时，共入选54个特征因子，此时MAE、RMSE和MAPE三项误差值达到最小，R²达到最大。此后再更新阈值，误差结果会越来越大，R²也随之减小。

续表

首先，当实验不考虑特征筛选时，我们将所有成分股的收益率作为特征输入到不同的模型中进行预测，预测结果如 表8 所示。实验结果显示，在RMSE、MAE、MAPE和R²上，LightGBM模型的表现均明显优于MLP。这也验证了LightGBM模型对于高维数据的处理效果很好，而神经网络模型在处理高维数据上存在着一定的局限性。

其次，为了验证合适的波动因子作为输入特征在提高预测精度方面是有效的，将分别运用GARCH(1, 1)和GAS(1, 1)模型拟合收益率波动性，将模型参数输入到LightGBM得到GARCH-LGBM和GAS-LGBM模型，预测收益率波动性。预测结果表明，输入参数增强了模型的预测能力。具体地，根据RMSE、MAE和MAPE三个误差指标，模型的预测能力皆被排序为GAS-LGBM、GARCH-LGBM和LightGBM，其中RMSE最低为0.00282，MAE最低为0.00221，MAPE最低为2.38%。根据R²，模型的预测能力排名仍为GAS-LGBM、GARCH-LGBM和LightGBM，其中GAS-LGBM的R²最高为0.916。总体而言，MAE反映了绝对的误差，而RMSE表示了平均偏差的程度。因此，无论从最小化最大误差的角度，还是从模型的拟合度来看，GAS-LGBM都比GARCH-LGBM和LightGBM模型具有更佳的预测效果。

最后，当实验考虑选择输入特征时，通过Copula熵以及阈值筛选的方法最终确定54个有效特征时模型预测能力最佳。根据RMSE、MAE和MAPE来看，GAS-CE-LGBM分别为0.00274%、0.00208%和1.02%，均为最小值。GAS-CE-LGBM的R²为0.920，是所有模型中最高的。预测结果表明，使用Copula熵进行特征筛选能有效提高模型的整体预测精度与拟合度。

上述不同模型的预测结果表明，结合GAS滑动时变系数的LightGBM预测模型具有更好的预测精度和结果。较其他四个模型，GAS-CE-LGBM模型评估指标RMSE、MAE、MAPE和R²的变化百分比如 表9 所示。相对于MLP模型，分别降低了52.92%、48.89%和67.31%，而R²提高了43.53%；对于没有考虑波动率的LightGBM模型来说，分别降低了11.61%、13.33%和66.78%，R²提高了2.45%；相对于GARCH-LGBM模型，分别降低了8.97%、11.11%和58.70%，R²增加了1.77%。在没有考虑特征筛选的GAS-LGBM模型上，分别下降了2.84%、5.88%和57.14%，R²增加了0.44%。

图2 展示了不同模型的预测结果，其中Test Data表示真实值。总体而言，与其他四个模型相比，GAS-CE-LGBM模型在RMSE、MAE、MAPE和R²四个评估指标上表现最出色，RMSE、MAE和MAPE分别平均降低了19.09%、19.81%、62.48%，R²平均提高了12.05%。

上述这些结果进一步表明，过多的输入特征会对预测产生负面影响，适量的输入特征会对预测产生积极影响。另一方面，GAS模型可以有效地表征负载的波动，将GAS模型的参数作为输入特征可以有效地提高预测精度，且效果优于GARCH模型。