1) 定义：

ARIMA (自回归差分移动平均模型)是一种用于时间序列分析和预测的统计模型。它结合了自回归(AR)和移动平均(MA)的概念，以及差分(I)。ARIMA模型的核心思想是利用过去的观测值来预测未来的值。它基于三个主要参数：自回归模型阶数p、移动平均模型阶数q以及差分阶数d。

2) ARIMA模型及其组合：

① 自回归(AR)模型：

假设时间序列的当前值是其过去值的线性函数，并加上一个随机扰动项。AR模型常用于表示时间序列存在的自相关性，即过去值对未来值的影响。

AR模型的一般形式 [4] 为：

$x_t=c+{\varphi }_1{x}_{t-1}+{\varphi }_2{x}_{t-2}+\cdots +{\varphi }_p{x}_{t-p}+{\epsilon }_t$(1)

其中， $x_t$是时间序列的当前值，(p)是自回归模型的阶数， ${\phi }_i$是自回归系数， ${\epsilon }_t$是随机扰动项。

② 移动平均(MA)模型：

假设时间序列的当前值是过去随机扰动项的线性函数。MA模型常用于表示时间序列的随机性。

MA模型的一般形式 [4] 为：

$x_t=\mu +{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}+\cdots +{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}$(2)

其中，(q)是移动平均模型的阶数， $\begin{array}{c}{\theta }_i\end{array}$是移动平均系数。

③ ARIMA模型：

ARIMA模型的一般形式可以表示为ARMA(p, d, q)，其中p是自回归模型的阶数，q是移动平均模型的阶数，I为差分阶数。

ARIMA模型的一般方程 [4] 为：

$\{\begin{array}{l}\Phi \left(B\right){\nabla }^d{x}_t=\Theta \left(B\right){\epsilon }_t\hfill \\ E\left({\epsilon }_t\right)=0,Var\left({\epsilon }_t\right)={\sigma }_{\epsilon }^2,E\left({\epsilon }_t{\epsilon }_s\right)=0,s\ne t\hfill \\ E\left(x_s{\epsilon }_t\right)=0,\forall s<t\hfill \end{array}$(3)

其中，[4] ${\nabla }^d={\left(1-B\right)}^d,\Phi \left(B\right)=1-{\varphi }_{1}B-\cdots -{\varphi }_P{B}^P$为平稳可逆的ARMA(p, q)模型的自回归系数多项式， $\Theta \left(B\right)=1-{\theta }_{1}B-\cdots -{\theta }_q{B}^q$为平稳可逆的ARMA(p, q)模型的移动平均系数多项式。

特殊地，当d = 0时，ARIMA(p, d, q)模型为ARMA(p, q)模型。

1) 平稳性检验

① 第一步进行平稳性检验，根据R studio，做出序列时序图，如 图1 所示，存在明显的上升趋势，无一定的范围，故初步判断出序列不平稳。

② 采用单位根检验ADF检验的方法对1997~2020年青海省肉类产量时间序列数据进一步进行平稳性检验。由 表1 结果显示，该序列type 1和type 2的ADF检验统计量p值均大于显著性水平(α = 0.05)，所以接受原假设序列非平稳，可以确认该序列为非平稳序列。(原假设为序列为非平稳序列，备择假设为序列为平稳序列。)

③ 对其进行一阶差分后再次做时序图，由 图2 初步判断得知，一阶差分后的时序图无明显的趋势或周期特征，在一定水平线上下波动，可判断为平稳序列。

采用ADF检验的方法对差分后的时间序列数据进一步进行平稳性检验。由 表2 结果显示，type 2的ADF检验统计量p值均小于显著性水平(α = 0.05)，所以可以拒绝原假设，确认该序列为平稳序列。

2) 定阶以及参数估计

由王燕编著的《时间序列分析》 [4] 中得到定阶的依据，如 表3 所示。

根据时序图平稳的特征以及单位根检验的通过，可以判断出一阶差分后的序列是平稳的，可以建立ARIMA模型(I = 1)，根据自相关图(ACF)和偏自相关图(PACF)的性质判断其为拖尾还是截尾，确定阶数p和q [5] ，如 图3 和 图4 所示。

由图没有得出最优的拟合模型，故通过建立多个拟合模型，根据自相关图和偏自相关图的特征，选择拟合AR(1)、MA(1)、AR(2)、MA(2)、ARMA(1, 1)以及ARIMA(1, 1, 0)和ARIMA(0, 1, 1)等模型来拟合 [6] ，通过模型的显著性检验和参数的显著性检验以及最小信息量AIC准则来判断最优拟合模型。

经过检验发现，AR(1)、AR(2)、MA(1)、MA(2)、ARMA(1, 1)、ARMA(2, 2)等均未通过参数的显著性检验。通过AIC最小信息量准则得出带漂移项的ARIMA(1, 1, 0)拟合效果最好。故使用带漂移项的ARIMA模型预测序列将来的走势。

解出模型方程为：

$x_t=1.16+0.4903x_{t-1}+0.5097x_{t-2}+{\epsilon }_t$(4)

其中， $x_t$为青海省肉类产量的序列。

3) 残差序列检验

对模型的残差序列进行显著性检验，由模型的显著性检验知得知，残差序列可视为白噪声序列。