纽结理论是拓扑学中的一个不可或缺的领域分支。在纽结理论中，把纽结和链环作为主要研究对象，从纽结投影图开始对它们展开研究。纽结(链环)多项式是一个纽结不变量，且是以系数符合给定纽结(链环)性质的多项式。1985年，Jones为纽结或链环定义了一个新的多项式不变量。之后Peter Freyd、David Yette、Jim Hoste、W. B. R. Lickorish、Kenneth C. Millett、Ocnean，几乎在同一时间独立地提出了一种新的关于一个有向纽结或链环的双变量多项式——HOMFLY多项式。HOMFLY多项式为纽结相关研究带来了新进展和新成就，HOMFLY多项式与Alexander多项式和Jones多项式有某些联系，它在一定程度上可以说是Alexander多项式和Jones多项式的一般形式，纽结的Alexander多项式或Jones多项式可以直接由HOMFLY多项式得出。

1892年，Hermann Brunn引入了一类非平凡链环，这些链环具有这样的属性：拆去任何单个分量都会生成一个平凡链环，这样的链环被称作Brunnian链环。换句话说，如果每一个(n − 1)-分量的子链都是平凡的，则一个有n个分量的链环就是Brunnian链环。由于Brunnian链环的任意真子链环都是平凡的，链环构造具有特殊性，所以Brunnian链环在学术上的性质被利用进行广泛探究，会根据Brunnian链环的概念去对链环进行新的性质的定义，比如：一个有n个分量的链环，如果拆去任何一个分量使L平凡化，则可以说L是Brunnian的。本文主要研究这一类Brunnian链环，利用HOMFLY多项式的拆接关系，对链环投影图的交叉点依次进行拆接，重复操作，得到该链环HOMFLY多项式的递推关系式，进而计算得出HOMFLY多项式。

本文的组织结构为：在第2节中，回顾了一些关于纽结的基本知识，有关HOMFLY多项式的定义及性质，同时还简单介绍了Brunnian链环。在第3节中，利用HOMFLY多项式的拆接关系和Brunnian链环的性质计算Brunnian链环的HOMFLY多项式。第4节中，对本文的主要研究结果进行总结。

定理3.1 Brunnian链环B_n的HOMFLY多项式的表达式为

$\begin{array}{l}P\left(B_n\right)={\left(l+l^{-1}\right)}^{n-3}\left(m^3-2m\right)\left({\left(l+l^{-1}\right)}^2\left(1-m^2\right)+m^4\right)+\left(1-m^2\right){\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{n-1}\\ +{{\displaystyle \underset{i=3}{\overset{n-1}{\sum }}\left[\left(l+l^{-1}\right)\left(m^3-2m\right)\right]}}^{n-i-1}{\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^i{\left(l+l^{-1}\right)}^2{\left(m^2-1\right)}^2.\end{array}$

证明 应用HOMFLY多项式的拆接关系，拆接B_n最右边分支上左上角的交叉点，得到两个新的链环，将这两个链环分别记为 ${B^{\prime }}_n,{B^{″}}_n$，如 图7 所示。

图7. ${B^{\prime }}_n,{B^{″}}_n$

可得到拆接关系式

$lP\left(B_n\right)+l^{-1}P\left({B^{″}}_n\right)+mP\left({B^{\prime }}_n\right)=0$. (3.1)

然后对 ${B^{\prime }}_n$应用一系列R变换，得到链环 ${B^{\prime }}_n^{\ast }$，如 图8 所示。

再对 ${B^{″}}_n$应用一系列R变换，此时 ${B^{″}}_n$等价于 $n-2$个平凡结和一个Hopf链环的并，根据HOMFLY多项式的性质(1)可得到 ${B^{″}}_n$的HOMFLY多项式的表达式，即

$P\left({B^{″}}_n\right)={\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{n-2}\cdot P($ $)$. (3.2)

下面计算(3.2)中Hopf链环的HOMFLY多项式，对上述Hopf链环中最上面的上交叉点应用HOMFLY多项式的拆接关系，如 图9 所示。

经过一系列R变换， $L_{+}$等价于两个平凡结的并， $L_0$等价于一个平凡结。

则有拆接关系式

$l^{-1}P($ $)+lP($

整理(3.3)有

$P($ $)=-l^2\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]-ml=l^3{m}^{-1}+l\left(m^{-1}-m\right)$. (3.4)

将(3.4)代入(3.2)得

$P\left({B^{″}}_n\right)={\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{n-2}\left[l^3{m}^{-1}+l\left(m^{-1}-m\right)\right]$. (3.5)

计算出 ${B^{″}}_n$的HOMFLY多项式后，接着分析 ${B^{\prime }}_n^{\ast }$。对链环 ${B^{\prime }}_n^{\ast }$右上方的交叉点应用HOMFLY多项式的拆接关系，得到 $A_{n-1}$和 $L_{n-1}$，如 图10 所示。

那么就有拆接关系式

$l^{-1}P\left({B^{\prime }}_n^{\ast }\right)+lP\left(A_{n-1}\right)+mP\left(L_{n-1}\right)=0$. (3.6)

注1 其中 $A_{n-1}$表示 $n-1$个平凡结的并，根据HOMFLY多项式的性质(1)，有 $P\left(A_{n-1}\right)={\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{n-2}$。

注2 将 $B_n$最右侧的分支增加一个，并且这个新增的分支与链环 $B_n$最右侧分支的连接方式一致，方向相反，令其为 $L_n$。

对(3.1)、(3.5)和(3.6)进行整理，得到 $P\left(B_n\right)$关于 $P\left(L_n\right)$和 $P\left(A_{n-1}\right)$的表达式

$P\left(B_n\right)=mlP\left(A_{n-1}\right)+m^{2}P\left(L_{n-1}\right)-{\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{n-2}\left[l{m}^{-1}+l^{-1}\left(m^{-1}-m\right)\right]$. (3.7)

其中，由注1可知 $P\left(A_{n-1}\right)={\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{n-2}$，下面只需再计算出 $P\left(L_{n-1}\right)$即可。

接下来，应用HOMFLY多项式的拆接关系，拆接链环 $L_{n-1}$的右上角的端点C，得到 ${L^{\prime }}_{n-1}$和 ${L^{″}}_{n-1}$，如 图11 所示。

得到拆接关系式

$l^{-1}P\left(L_{n-1}\right)+lP\left({L^{\prime }}_{n-1}\right)+mP\left({L^{″}}_{n-1}\right)=0$. (3.8)

再次应用HOMFLY多项式的拆接关系，分别对 ${L^{\prime }}_{n-1}$和 ${L^{″}}_{n-1}$的右上端点进行拆接，得到 $B_{n-1}$、 $B_{n-1}\cup {\rm O}$和 $B_{n-1}$、 $L_{n-1}\cup {\rm O}$。如 图12 所示。

得到拆接关系式

$lP\left({L^{\prime }}_{n-1}\right)+l^{-1}P\left(B_{n-1}\cup {\rm O}\right)+mP\left(B_{n-1}\right)=0$. (3.9)

和

$lP\left({L^{″}}_{n-1}\right)+l^{-1}P\left(B_{n-1}\right)+mP\left(L_{n-2}\cup {\rm O}\right)=0$. (3.10)

整理(3.8)~(3.10)，可得 $P\left(L_{n-1}\right)$的表达式

$P\left(L_{n-1}\right)=\left(l+l^{-1}\right)\left(m-m^{-1}\right)P\left(B_{n-1}\right)-m\left(l+l^{-1}\right)P\left(L_{n-2}\right)$. (3.11)

将(3.11)中的n替换为 $n+1$，即得到 $P\left(L_n\right)$的表达式

$P\left(L_n\right)=\left(l+l^{-1}\right)\left(m-m^{-1}\right)P\left(B_n\right)-m\left(l+l^{-1}\right)P\left(L_{n-1}\right)$. (3.12)

将(3.7)的结果代入(3.12)，整理得 $P\left(L_n\right)$的递推关系式为

$\begin{array}{c}P\left(L_n\right)=\left(l+l^{-1}\right)\left(m-m^{-1}\right)\left(\left(l+l^{-1}\right)\left(m-m^{-1}\right)P\left(A_{n-1}\right)+m^{2}P\left(L_{n-1}\right)\right)-m\left(l+l^{-1}\right)P\left(L_{n-1}\right)\\ =\left(l+l^{-1}\right)\left(m^3-2m\right)P\left(L_{n-1}\right)+{\left(l+l^{-1}\right)}^2{\left(m-m^{-1}\right)}^{2}P\left(A_{n-1}\right),\end{array}$

令 $a=\left(l+l^{-1}\right)\left(m^3-2m\right)$， $b_n={\left(l+l^{-1}\right)}^2{\left(m-m^{-1}\right)}^{2}P\left(A_{n-1}\right)$，则上式等价于

$P\left(L_n\right)=aP\left(L_{n-1}\right)+b_n$.

将上式中n取 $3,4,\cdots ,n-1$，可依次推出

$P\left(L_{n-1}\right)=aP\left(L_{n-2}\right)+b_{n-1}$, (3.13)

$⋮$

$P\left(L_3\right)=aP\left(L_2\right)+b_3$. (3.14)

对上述式子进行整理，可得出

$P\left(L_n\right)=a^{n-2}P\left(L_2\right)+b_n+a{b}_{n-1}+\cdots +a^{n-3}{b}_3$, (3.15)

其中 $P\left(L_2\right)=P($ $)$。

应用HOMFLY多项式的拆接关系，拆接 $P\left(L_2\right)$最上面的交叉点，得到拆接关系式

$l^{-1}P($ $)+lP($ $)+mP($ $)=0$.

整理得

$P($ $)=-l^{2}P($ $)-mlP($ $)$. (3.16)

其中 $P($ $)=P($

对 $P\left(B_2\right)$左侧交叉点应用HOMFLY多项式的拆接关系，得到拆接关系式

$lP($

即

$P($

把(3.17)代入(3.16)，即可计算出 $P\left(L_2\right)$的表达式

$P\left(L_2\right)={\left(l+l^{-1}\right)}^2\left(m^{-2}-1\right)+m^2$. (3.18)

再将(3.18)代入(3.15)，整理得 $P\left(L_n\right)$的表达式

$\begin{array}{c}P\left(L_n\right)={\left(l+l^{-1}\right)}^{n-2}{\left(m^3-2m\right)}^{n-2}\left({\left(l+l^{-1}\right)}^2\left(m^{-2}-1\right)+m^2\right)\\ +{\displaystyle \underset{i=3}{\overset{n}{\sum }}{\left[\left(l+l^{-1}\right)\left(m^3-2m\right)\right]}^{n-i}}{\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{i-2}{\left(l+l^{-1}\right)}^2{\left(m-m^{-1}\right)}^2.\end{array}$(3.19)

根据 $P\left(L_n\right)$的表达式可知 $P\left(L_{n-1}\right)$，

$\begin{array}{c}P\left(L_{n-1}\right)={\left(l+l^{-1}\right)}^{n-3}{\left(m^3-2m\right)}^{n-3}\left({\left(l+l^{-1}\right)}^2\left(m^{-2}-1\right)+m^2\right)\\ +{\displaystyle \underset{i=3}{\overset{n-1}{\sum }}{\left[\left(l+l^{-1}\right)\left(m^3-2m\right)\right]}^{n-i-1}}{\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{i-2}{\left(l+l^{-1}\right)}^2{\left(m-m^{-1}\right)}^2.\end{array}$(3.20)

最后把(3.20)代入(3.7)中，可计算出Brunnian链环B_n的HOMFLY多项式的表达式，即

$\begin{array}{c}P\left(B_n\right)={\left(l+l^{-1}\right)}^{n-3}{\left(m^3-2m\right)}^{n-3}\left[{\left(l+l^{-1}\right)}^2\left(1-m^2\right)+m^4\right]+\left(1-m^2\right){\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^{n-1}\\ +{\displaystyle \underset{i=3}{\overset{n-1}{\sum }}{\left[\left(l+l^{-1}\right)\left(m^3-2m\right)\right]}^{n-i-1}}{\left[-\left(l+l^{-1}\right)m^{-1}\right]}^i{\left(l+l^{-1}\right)}^2{\left(m^2-1\right)}^2.\end{array}$

本文主要研究一类特殊的Brunnian链环B_n，通过应用HOMFLY多项式的性质以及拆接关系，对链环投影图中某个交叉点进行拆接，重复操作下去，得到相应的递推关系式，进而计算出这类特殊的n-分支定向Brunnian链环B_n的HOMFLY多项式。