随机环境中乘积受控分枝过程(Multiplicative controlled branching process in random environments, MCBPRE)是经典分枝过程(G-W过程)一个既自然又关键的延伸，繁衍能力粒子数受特殊控制函数制约体现出优势，能够更有效地对现实生活中个体后代的繁衍过程进行模拟，由此也获得了学者们的重视与探究。1992年，Hambly [1] 率先研究了随机环境中分支过程的淬火调和矩问题。此后，1995年，Dion和Essebbar [2] 引入了乘积受控分枝过程(Multiplicative controlled branching process, MCBP)，为该领域增添了新的研究方向。接着，2012年，Huang C和Liu Q [3] 计算了随机环境中分支过程W的调和矩存在的临界值，这一成果对于深入理解分支过程具有重要意义。2019年，Li Y和Liu Q [4] 探究了随机环境中加权分支过程调和矩。本文在文献 [5] 的研究基础上，探讨了随机环境MCBPI中序列 $\log W_n$的矩的存在性问题。

在独立同分布的随机环境 $\xi =\left({\xi }_0,{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots \right)$中， ${\xi }_n$的每个实现都对应于 $N=\left\{0,1,2,\cdots \right\}$上的概率分布

$\left\{p_i\left({\xi }_n\right):i\in N\right\}$，其中 $p_i\left({\xi }_n\right)\ge 0$， ${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\sum }}{p}_i\left({\xi }_n\right)}=1$， $0<{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\sum }}i{p}_i\left({\xi }_n\right)}<\infty$。乘积受控分枝过程可以通过下列关

系来定义：

$Z_0=1,Z_{n+1}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_n{Z}_n}{\sum }}{X}_{n,i}},n=0,1,2,\cdots$(1)

其中， $X_{n,i}$表示第n代第i个粒子在第 $n+1$代产生的粒子总数， $\left\{{\alpha }_n:n\ge 0\right\}$是一列非负整数的随机变量，表示在第n代粒子繁衍后代的过程中期间对这些粒子展开(倍数)的约束， $Z_{n+1}$表示第 $n+1$代的粒子总数。随机变量 ${\alpha }_n\left(n=0,1,2,\cdots \right)$和 $X_{n,i}\left(n=0,1,2,\cdots ;i=1,2,\cdots \right)$相互独立。

令 ${ℱ}_0=\left\{\varnothing ,\Omega \right\}$且 ${ℱ}_n=\sigma \left(X_{k,i},{\alpha }_j:0\le k<n,0\le j<n,i\ge 1;\xi \right)$，使得 $Z_n$关于 ${ℱ}_n$可测。

为了方便讨论，对 $n\ge 0,p\ge 1$，我们记：

$m_n\left(p\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{X}_{n,i}^p$, $m_n=m_n\left(1\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{X}_{n,i}$,

${\tau }_n\left(p\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{\alpha }_n^p$, ${\tau }_n={\tau }_n\left(1\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{\alpha }_n$

$P_0=1$, $P_n={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\prod }}{\tau }_i}{m}_i$, $W_n=\frac{Z_n}{P_n}$.

在本文中，我们研究通常的情况，其中 $P_n\to \infty$且对 $n\ge 0$，并存在常数M使得 $1\le \underset{n\ge 0}{\inf }{\tau }_n\le \underset{n\ge 0}{\sup }{\tau }_n\le M$。由于

$\begin{array}{c}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n+1}\right)={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\mathbb{E}}_{\xi }\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_n{Z}_n}{\sum }}{X}_{n,i}}|Z_n,{\alpha }_n\right)\right]={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_n{Z}_n}{\sum }}{\mathbb{E}}_{\xi }}\left(X_{n,i}|Z_n,{\alpha }_n\right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_n{Z}_n}{\sum }}{m}_n}\right)={\mathbb{E}}_{\xi }\left({\alpha }_n{Z}_n{m}_n\right)=m_n{\tau }_n{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_n\right)\end{array}$

由迭代，有

$\begin{array}{c}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n+1}\right)=m_n{\tau }_n\left[m_{n-1}{\tau }_{n-1}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n-1}\right)\right]\\ =m_n{\tau }_n\left\{m_{n-1}{\tau }_{n-1}\left[m_{n-2}{\tau }_{n-2}{\mathbb{E}}_{\xi }\left(Z_{n-2}\right)\right]\right\}=\cdots \\ =P_{n+1}\end{array}$

所以， $Z_n$的期望为

${\mathbb{E}}_{\xi }{Z}_{n+1}=P_{n+1}.$(2)

假设

$\mathbb{P}\left(Z_1=1\right)=\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)<1.$(3)

引理1 [6] 令 ${\left(X_i\right)}_{i\ge 1}$是一列独立同分布的随机变量。那么对于 $p\in \left(1,\infty \right)$，

$\mathbb{E}{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}\right|}^p\le \{\begin{array}{ll}{\left(B_p\right)}^p\mathbb{E}\left({\left|X_i\right|}^p\right)n,\hfill & \text{if}1<p\le 2,\hfill \\ {\left(B_p\right)}^p\mathbb{E}\left({\left|X_i\right|}^p\right)n^{p/2},\hfill & \text{if}p>2,\hfill \end{array}$(4)

其中， $B_p=2\min \left\{k^{1/2}:k\in N,k\ge p/2\right\}$是一个仅取决于p的常数(因此，如果 $1<p\le 2$时， $B_p=2$)。

定理2 设 $\mathbb{E}{\left|\log m_0\right|}^{2p}<\infty$，对于 $p>1$。那么，对于所有 $q\in \left(0,p\right)$， $\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^q<\infty$和 $\underset{n\in N}{\sup }\mathbb{E}{\left|\log W_n\right|}^q<\infty$。

我们通过研究W的斯拉普拉变换的渐近行为来证明定理2.2。用 ${\varphi }_{\xi }\left(t\right)={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-tW}$和 $\varphi \left(t\right)=\mathbb{E}{\varphi }_{\xi }\left(t\right)=\mathbb{E}{e}^{-tW}$定义W的淬火和退火拉普拉斯变换，其中 $t\ge 0$。那么根据马尔可夫不等式，对于 $t>0$，我们有

$\mathbb{P}\left(W<t^{-1}\right)\le e\mathbb{E}{e}^{-tW}=e\varphi \left(t\right).$(5)

证明：根据Holder不等式只需在 $q\in \left(1,p\right)$时证明该引理的断言即可。利用不等式 ${\left|\log x\right|}^q{1}_{\left\{x>1\right\}}\le Cx$，显然存在一个常数 $C>0$，使得 $\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\ge 1\right)\le C\mathbb{E}W<\infty$。因此，还需要证明 $\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\le 1\right)<\infty$。根据(5)以及

$\begin{array}{c}E{\left|\log W\right|}^q{1}_{\left(W\le 1\right)}=E{\left(-\log W\right)}^q{1}_{\left(W\le 1\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(\log W^{-1}\right)}^q{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}P}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_0^{\log W^{-1}}q{x}^{q-1}}{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}x}\text{d}P\\ =q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_1^{W^{-1}}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}\left(\log t\right)\text{d}P}\\ =q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_1^{W^{-1}}\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{1}_{\left(W\le 1\right)}\text{d}t}\text{d}P\\ =q{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{1}_{\left(W\le t^{-1}\right)}\text{d}t}\text{d}P\\ =q{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{1}_{\left(W\le t^{-1}\right)}}\text{d}P\text{d}t\\ =q{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}{\left(\log t\right)}^{q-1}}E{1}_{\left(W\le t^{-1}\right)}\text{d}t\\ =q{\displaystyle {\int }_1^{+\infty }\frac{1}{t}}{\left(\log t\right)}^{q-1}P\left(W\le t^{-1}\right)\text{d}t.\end{array}$(6)

只需证明，当 $t\to \infty$时，

$\varphi \left(t\right)=O{\left(\log t\right)}^{-p}$。

令 ${\varphi }_n\left(t,\xi \right)={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-t{W}_n}$， $f_0\left(s\right)=\mathbb{E}\left(s^{{\alpha }_1{Z}_1}|\xi \right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{\infty }{\sum }}P}\left({\alpha }_1{Z}_1=i|{\xi }_0\right)s^i$， $s\in \left[0,1\right]$，我们有

$\begin{array}{c}{\varphi }_{n+1}\left(t,\xi \right)={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-t{W}_{n+1}}={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-t\frac{Z_{n+1}}{m_0{\tau }_0{m}_1{\tau }_1\cdots m_n{\tau }_n}}={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}\frac{Z_{n+1}}{m_1{\tau }_1\cdots m_n{\tau }_n}}\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_1{Z}_1}{\sum }}{Z}_n^{\left(1,i\right)}}}{m_1{\tau }_1\cdots m_n{\tau }_n}}={\mathbb{E}}_{\xi }{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_1{Z}_1}{\sum }}{W}_n^{\left(1,i\right)}}}={\mathbb{E}}_{\xi }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_1{Z}_1}{\prod }}{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}}\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left[\mathbb{E}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_1{Z}_1}{\prod }}{e}^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}}|\xi ,{\alpha }_1,Z_1\right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_1{Z}_1}{\prod }}\mathbb{E}}\left(e^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}|\xi ,{\alpha }_1,Z_1\right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_1{Z}_1}{\prod }}\mathbb{E}}\left(e^{-\frac{t}{m_0{\tau }_0}{W}_n^{\left(1,i\right)}}|\xi \right)\right]\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{{\alpha }_1{Z}_1}{\prod }}{\varphi }_n}\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0},T\xi \right)\right)\\ ={\mathbb{E}}_{\xi }{\varphi }_n{\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0},T\xi \right)}^{{\alpha }_1{Z}_1}\\ =f_0\left({\varphi }_n\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0},T\xi \right)\right),\end{array}$(7)

则

${\varphi }_{\xi }\left(t\right)=f_0\left({\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\right).$(8)

其中， $T^n$是移位算子，定义为在 $n\ge 1$时， $T^n\left({\xi }_0,{\xi }_1,\cdots \right)=\left({\xi }_n,{\xi }_{n+1},\cdots \right)$。利用(7)以及对于所有 $k\ge 2$， ${\varphi }_{T\xi }^k\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\le {\varphi }_{T\xi }^2\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)$的事实，我们得到 ${\varphi }_{\xi }\left(t\right)\le p_1\left({\xi }_0\right){\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_0\right)\right){\varphi }_{T\xi }^2\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)={\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\left(p_1\left({\xi }_0\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_0\right)\right){\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)\right)$，通过迭代，考虑到 ${\varphi }_{\xi }\left(t\right)$是非递增的和 ${\varphi }_{\xi }\left(t\right)\le {\varphi }_{T\xi }\left(\frac{t}{m_0{\tau }_0}\right)$，可以得出

${\varphi }_{\xi }\left(t\right)\le {\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{P_n}\right){\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\prod }}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{P_n}\right)\right)}.$(9)

求期望值并利用 ${\varphi }_{T^n\xi }\left(t\right)\le 1$的事实，我们得到

$\varphi \left(t\right)\le \mathbb{E}\left[{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\prod }}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{P_n}\right)\right)}\right]$.

利用简单截断法和 ${\varphi }_{\xi }(\cdot )$非递增这一事实，对于所有 $A>1$，我们可以得到

$\begin{array}{c}\varphi \left(t\right)\le \mathbb{E}\left[{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\prod }}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{A^n}\right)\right)1\left(P_n\le A^n\right)}\right]+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right)\\ \le \mathbb{E}\left[{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\prod }}\left(p_1\left({\xi }_j\right)+\left(1-p_1\left({\xi }_j\right)\right){\varphi }_{T^n\xi }\left(\frac{t}{A^n}\right)\right)}\right]+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right).\end{array}$

由于 $T^n\xi$与 $\sigma \left({\xi }_0,\cdots ,{\xi }_{n-1}\right)$是独立的，且随机变量 $p_1\left({\xi }_i\right)$( $i\ge 0$)为独立同分布的，我们有，

$\varphi \left(t\right)\le {\left[\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)+\left(1-\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)\right)\varphi \left(\frac{t}{A^n}\right)\right]}^n+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right).$

根据控制收敛定理，我们有， $\underset{t\to \infty }{\lim }\varphi \left(t\right)=0$。因此，对于任意 $\gamma \in \left(0,1\right)$，存在一个常数 $K>0$，使得对于所有 $t\ge K$，我们都有 $\varphi \left(t\right)\le \gamma$。那么对于所有 $t\ge K{A}^n$，我们有 $\varphi \left(\frac{t}{A^n}\right)\le \gamma$。因此，对于 $t\ge K{A}^n$，

$\varphi \left(t\right)\le {\alpha }^n+\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right)$(10)

其中，根据(3)，

$\alpha =\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)+\left(1-\mathbb{E}{p}_1\left({\xi }_0\right)\right)\gamma \in \left(0,1\right).$(11)

回顾 $\mu =\mathbb{E}X$和 $S_n=\log P_n={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}$。选择A使得 $\log A>\mu$并让 $\delta =\log A-\mu >0$。根据马尔可夫不等式和引理1，存在一个常数 $C>0$，对于 $n\in N$，使得

$\mathbb{P}\left(P_n\ge A^n\right)\le \mathbb{P}\left(\left|S_n-n\mu \right|\ge n\delta \right)\le \frac{\mathbb{E}{\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_i-\mu \right)}\right|}^{2p}}{n^{2p}{\delta }^{2p}}\le \frac{C}{n^p}.$

那么，根据(10)对于n足够大且 $t\ge K{A}^n$，我们可以得到

$\varphi \left(t\right)\le \frac{C}{n^p}.$(12)

对于 $t\ge K$，定义 $n_0=n_0\left(t\right)=\left[\frac{\log \left(t/K\right)}{\log \left(A\right)}\right]\ge 0$，其中 $\left[x\right]$代表x的整数部分，因此

$\frac{\log \left(t/K\right)}{\log \left(A\right)}-1\le n_0\le \frac{\log \left(t/K\right)}{\log \left(A\right)}$和 $t\ge K{A}^{n_0}$.

回到(12)， $n=n_0$，对于 $t\ge K$，我们得到

$\varphi \left(t\right)\le \frac{C{\left(\log A\right)}^p}{{\left(\log \left(t/K\right)\right)}^p}\le C{\left(\log t\right)}^{-p}$,

证明了对于所有 $q\in \left(1,p\right)$， $\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^q<\infty$(见(6))。

此外，对于 $q\in \left(1,p\right)$， $x\mapsto \left|{\log }^q\left(x\right)\right|1\left(x\le 1\right)$是非负凸函数，根据 [3] 的引理2.1，我们有

$\underset{n\in N}{\sup }\mathbb{E}{\left|\log W_n\right|}^{q}1\left(W_n\le 1\right)=\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\le 1\right).$

通过标准截断法，我们得到

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\mathbb{E}{\left|\log W_n\right|}^q\le C\mathbb{E}W+\mathbb{E}{\left|\log W\right|}^{q}1\left(W\le 1\right)<\infty ,$(13)

这就结束了这一定理的证明。

国家自然科学基金面上项目“随机矩阵乘积与随机环境中多型分枝过程”(12271062)。

^*通讯作者。