概率不等式是概率论中常用的一类不等式，它们可以帮助我们对随机变量的概率分布进行估计和推断。如Chebyshev不等式给出了一个测量随机变量偏离其期望值的可能性的上界。它对于证明大数定律和中心极限定理是很有用的。1963年，Hoeffding [1] 提出了有界随机变量之和的概率不等式；2006年，Nagaev [2] 深入研究了临界的经典分枝过程(G-W过程)的概率不等式。概率不等式在概率论和统计学中扮演着重要角色，能帮助我们理解随机现象的分布特性和预测系统动态行为，从而进行推断和决策。

假设随机环境 $\xi =\left({\xi }_0,{\xi }_1,\cdots \right)$是独立同分布的，加权分枝过程 $\left\{Y_n\right\}$定义如下：

$Y_n={\displaystyle \underset{u\in {\mathbb{T}}_n}{\sum }{X}_u},X_u=A_{u_1}\cdots A_{u_1\dots u_n},u=u_1\cdots u_n\in {\mathbb{N}}^n;$(1)

令 $Y_0=X_{\varnothing }=1$。 $Y_n$表示第n代所有粒子所带的权重， $X_u$表示第n代中u粒子所带的权重，

$A_{ui}$表示第n代中u粒子的第i个后代所获得的权重，用 $\left|u\right|=n$表示第n代粒子的长度，约定 $\left|\varphi \right|=0$.令 ${\mathbb{T}}_n=\left\{u\in \mathbb{T}:\left|u\right|=n\right\}$表示第n代粒子的权重树。

为了方便讨论，我们记：

$m_0=m_0\left(\xi \right)=E{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{A}_i},$

$m_n=m_n\left(\xi \right)=E_{\xi }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N_u}{\sum }}{A}_{ui}^p},i=1,2,\cdots ,N_u,$

对 $p\ge 0$， $n\ge 1$，我们定义： ${\Pi }_0=1$， ${\Pi }_n={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-1}{\prod }}{m}_i}$， $E_{\xi }{Y}_n={\Pi }_n$。其规范化过程

$W_n=\frac{Y_n}{E_{\xi }{Y}_n}=\frac{Y_n}{{\Pi }_n},n\ge 0$

是关于

${ℱ}_0=\sigma \left\{\xi \right\},{ℱ}_n=\sigma \left\{\xi ;\left(N_u,A_{u1},A_{u2},\cdots \right):\left|u\right|<n\right\},n\ge 1,$

的非负鞅，存在非负随机变量 $W={\lim }_{n\to \infty }{W}_{n}a.s.$，且有 $EW\le 1$。

令

$X=X_1=\log m_0,\mu =EX,{\sigma }^2=E{\left(X-\mu \right)}^2,$

在本文中，我们假定 $\mu >0,0<{\sigma }^2<\infty$。记

$Y_{n_0,n}:=\frac{\log \left(\frac{Y_{n_0+n}}{Y_{n_0}}\right)-n\mu }{\sigma \sqrt{n}},n_0,n\in \mathbb{N}.$

由 $W_n=\frac{Y_n}{{\Pi }_n}$可得到下面这个分解式

$\log Y_n={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}+\log W_n,$

其中 $X_i=\log m_{i-1}\left(i\ge 1\right)$， $X_i$为只依赖于环境的独立同分布随机变量序列。 $\log Y_n$的渐进性为会受到相关随机游动 $S_n={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{X}_i}=\log {\Pi }_n,n\in \mathbb{N}$的影响。

${\eta }_{n,i}=\frac{X_i-\mu }{\sigma \sqrt{n}},i=1,\cdots ,n_0+n,W_{n_0,n}=\frac{W_{n_0+n}}{W_{n_0}},$

可以知道 $E{\eta }_{n,i}=E\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right)=0$， $Var\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E{\eta }_{n,n_0+i}^2}=1$。

基于以上定义，我们有

$Y_{n_0,n}=\frac{{\displaystyle \underset{i=n_0+1}{\overset{n_0+n}{\sum }}{X}_i}+\log W_{n_0,n}-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}={\displaystyle \underset{i=n_0+1}{\overset{n_0+n}{\sum }}\frac{X_i-\mu }{\sigma \sqrt{n}}}+\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}+\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}.$(2)

定理1：假设存在 $\alpha \in \left(0,1\right)$，使得 $E\left[{\left(X-\mu \right)}^2\exp \left\{{\left({\left(X-\mu \right)}^{+}\right)}^{\alpha }\right\}\right]<\infty$，则 $\forall x>0$，

$P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)\le 3\exp \left\{-\frac{x^2}{8{\left(u+(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha })}\right\},$

其中 $u=\frac{1}{{\sigma }^2}E\left[{\left(X-\mu \right)}^2\exp \left\{{\left({\left(X-\mu \right)}^{+}\right)}^{\alpha }\right\}\right]$。

证明：对 $x\ge 0$有，根据式(2)有

$P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}+\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge x\right)\le I_1+I_2,$(3)

其中

$I_1=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\ge x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right),I_2=P\left(\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge \frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right).$

因此当 $0<x\le \frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$，

$\begin{array}{c}{I}_1=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{n_0+i}-\mu \right)}\ge \sigma \sqrt{n}\left(x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)\\ \le 2\exp \left\{-\frac{{\left(\sigma \sqrt{n}\left(x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)}^2}{2\left(u_n+{\left(\sigma \sqrt{n}\left(x-\frac{x^2}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)}^{2-\alpha }\right)}\right\}\\ =2\exp \left\{-\frac{x^2{\left(1-\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^2}{2\left(\frac{u_n}{{\sigma }^{2}n}+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }{\left(1-\frac{x}{\sigma \sqrt{n}}\right)}^{2-\alpha }\right)}\right\}\\ \le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\},\end{array}$(4)

其中 $u_n=nE\left[{\left(X-\mu \right)}^2\exp \left\{{\left({\left(X-\mu \right)}^{+}\right)}^{\alpha }\right\}\right]$。由Markov不等式及 $E{W}_n=1$，对 $0\le x<\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$，我们有

$I_2\le \exp \left\{-x^2\right\}.$(5)

由式(3)~(5)，对 $0\le x<\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$，有

$\begin{array}{c}P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)\le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}+\exp \left\{-x^2\right\}\\ \le 3\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\},\end{array}$

类似地，当 $x>\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$，有

$P\left(Y_{n_0,n}\ge x\right)\le I_3+I_4,$(6)

其中

$I_3=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_{n,n_0+i}}\ge \frac{x}{2}\right),I_4=P\left(\frac{\log W_{n_0,n}}{\sigma \sqrt{n}}\ge \frac{x}{2}\right).$

所以

$\begin{array}{c}{I}_3=P\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left(X_{n_0+i}-\mu \right)}\ge \sigma \sqrt{n}\frac{x}{2}\right)\\ =2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(\frac{u_n}{{\sigma }^{2}n}+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2-\alpha }\right)}\right\}\\ \le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}\end{array}$(7)

以及

$I_4\le \exp \left\{-\frac{x\sigma \sqrt{n}}{2}\right\}.$(8)

因此，综合式(6)~(8)，对 $x>\frac{\sigma \sqrt{n}}{2}$，有

$\begin{array}{c}P\left(Z_{n_0,n}\ge x\right)\le 2\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}+\exp \left\{-\frac{x\sigma \sqrt{n}}{2}\right\}\\ \le 3\exp \left\{-\frac{x^2}{8\left(u+{\left(\sigma \sqrt{n}\right)}^{-\alpha }{x}^{2-\alpha }\right)}\right\}.\end{array}$

证毕。

国家自然科学基金面上项目“随机矩阵乘积与随机环境中多型分枝过程”(12271062)。

^*通讯作者。